Задачи по эконометрике

Задача 1. По территориям региона приводятся данные за 199X г.

Требуется:

1. Построить линейное уравнение парной регрессии от .
2. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации.
3. Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции с помощью -критерия Фишера и -критерия Стьюдента.
4. Выполнить прогноз заработной платы при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума , составляющем 107% от среднего уровня.
5. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал.
6. На одном графике построить исходные данные и теоретическую прямую.

 

Вариант 1

Номер региона	Среднедушевой прожиточный  минимум в день одного трудоспособного, руб.,	Среднедневная заработная плата, руб.,
1	81	124
2	77	131
3	85	146
4	79	139
5	93	143
6	100	159
7	72	135
8	90	152
9	71	127
10	89	154
11	82	127
12	111	162

 

Решение:

 

1. Построим график зависимости 

Предположим линейную форму  уравнения регрессии.

2. Определим параметры  уравнения по МНК. Ищем минимум  функции

В результате преобразований придем к формулам.

 

Промежуточные расчеты разместим  в таблице:

 

	x	y
1	81	124	10044	6561	15376	137,23	-13,23	175,03	10,67
2	77	131	10087	5929	17161	133,43	-2,43	5,90	1,85
3	85	146	12410	7225	21316	141,03	4,97	24,70	3,40
4	79	139	10981	6241	19321	135,33	3,67	13,47	2,64
5	93	143	13299	8649	20449	148,63	-5,63	31,70	3,94
6	100	159	15900	10000	25281	155,28	3,72	13,84	2,34
7	72	135	9720	5184	18225	128,68	6,32	39,94	4,68
8	90	152	13680	8100	23104	145,78	6,22	38,69	4,09
9	71	127	9017	5041	16129	127,73	-0,73	0,53	0,57
10	89	154	13706	7921	23716	144,83	9,17	84,09	5,95
11	82	127	10414	6724	16129	138,18	-11,18	124,99	8,80
12	111	162	17982	12321	26244	165,73	-3,73	13,91	2,30
	1030	1699	147240	89896	242451			566,80	51,25
	85,83	141,58	12270	7491,33	20204,25			47,23	4,27

 

 

Получили уравнение:

2. Вычислим коэффициент корреляции по формуле:

Где

Подставим значения в  формулу

Полученный показатель говорит о достаточно близкой  линейной связи,  т.к. находится близко от 1.

 Определим среднюю  ошибку аппроксимации по формуле 

ошибка аппроксимации  много меньше 10% , следовательно, подбор уравнения к исходным данным достаточно хороший.

 

3. Проверим значимость коэффициентов регрессии и корреляции с помощью t-критерия Стъюдента при уровне значимости

Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии  и корреляции рассчитаем t -критерий Стьюдента.

Рассчитаем случайные  ошибки параметров линейной регрессии и коэффициента корреляции

Табличное значение t-критерия Стъюдента при и при n-2=10 степеней свободы

 т.к. 

то признаем статистическую значимость коэффициента регрессии и показателя тесноты связи коэффициента корреляции.

Оценим качество уравнения  регрессии в целом с помощью F -критерия Фишера. Вычислим фактическое значение F -критерия:

Табличное значение (   )

, т.к.  то признается статистическая значимость уравнения в целом

4. Вычислим прогнозное значение

Среднее значение среднедушевого минимума

107% составит:

Вычислим прогноз:

5. Вычислим ошибку и доверительный интервал прогноза:

доверительный интервал

6. Построим график

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 2. По 20 предприятиям региона изучается зависимость выработки продукции на одного работника (тыс. руб.) от ввода в действие новых основных фондов (% от стоимости фондов на конец года) и от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих (%).

Требуется:

1. Построить линейную модель множественной регрессии. Записать стандартизованное уравнение множественной регрессии. На основе стандартизованных коэффициентов регрессии и средних коэффициентов эластичности ранжировать факторы по степени их влияния на результат.
2. Найти коэффициенты парной, частной и множественной корреляции. Проанализировать их.
3. Найти скорректированный коэффициент множественной детерминации. Сравнить его с нескорректированным (общим) коэффициентом детерминации.
4. С помощью -критерия Фишера оценить статистическую надежность уравнения регрессии и коэффициента детерминации .
5. С помощью частных -критериев Фишера оценить целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора после и фактора после .
6. Составить уравнение линейной парной регрессии, оставив лишь один значащий фактор.

 

 

 

 

 

Вариант 1

Номер предприятия				Номер предприятия
1	6	3,6	9	11	9	6,3	21
2	6	3,6	12	12	11	6,4	22
3	6	3,9	14	13	11	7	24
4	7	4,1	17	14	12	7,5	25
5	7	3,9	18	15	12	7,9	28
6	7	4,5	19	16	13	8,2	30
7	8	5,3	19	17	13	8	30
8	8	5,3	19	18	13	8,6	31
9	9	5,6	20	19	14	9,5	33
10	10	6,8	21	20	14	9	36

 

Решение:

1. построим двухфакторное уравнение

Оценка параметров по МНК приводим к системе нормальных уравнений

Построим вспомогательную таблицу:

1	3,6	9	6	12,96	81	36	32,4	21,6	54
2	3,6	12	6	12,96	144	36	43,2	21,6	72
3	3,9	14	6	15,21	196	36	54,6	23,4	84
4	4,1	17	7	16,81	289	49	69,7	28,7	119
5	3,9	18	7	15,21	324	49	70,2	27,3	126
6	4,5	19	7	20,25	361	49	85,5	31,5	133
7	5,3	19	8	28,09	361	64	100,7	42,4	152
8	5,3	19	8	28,09	361	64	100,7	42,4	152
9	5,6	20	9	31,36	400	81	112	50,4	180
10	6,8	21	10	46,24	441	100	142,8	68	210
11	6,3	21	9	39,69	441	81	132,3	56,7	189
12	6,4	22	11	40,96	484	121	140,8	70,4	242
13	7	24	11	49	576	121	168	77	264
14	7,5	25	12	56,25	625	144	187,5	90	300
15	7,9	28	12	62,41	784	144	221,2	94,8	336
16	8,2	30	13	67,24	900	169	246	106,6	390
17	8	30	13	64	900	169	240	104	390
18	8,6	31	13	73,96	961	169	266,6	111,8	403
19	9,5	33	14	90,25	1089	196	313,5	133	462
20	9	36	14	81	1296	196	324	126	504
	125	448	196	851,94	11014	2074	3051,700	1327,600	4762,000
	6,25	22,4	9,8	42,597	550,7	103,7	152,585	66,380	238,100
	3,535	48,940	7,660				12,585	5,130	18,580
	1,880	6,996	2,768				0,957	0,986	0,960

 

 

Найдем средние квадратические отклонения признаков:

;

;

.

Для нахождения параметров уравнения требуется решить следующую систему нормальных уравнений:

 

Уравнение показывает, что  при увеличении на 1% ввода основных фондов  при неизменном втором параметре выработка на одного работника возрастает на 1180 руб. При неизменном первом параметре и при увеличении  квалифицированных рабочих на 1% выработка на 1 рабочего увеличивается  на 76 руб.

Найдем уравнение множественной  регрессии в стандартизованном  масштабе:

Тогда уравнение будет  выглядеть следующим образом:

Так как стандартизованные  коэффициенты регрессии можно сравнивать между собой, то можно сказать, что ввод основных фондов оказывает большее влияние на результат, чем удельный вес работников высокой квалификации.

Найдем средние коэффициенты эластичности для каждого фактора по формуле:

 

Т.е. увеличение только основных фондов (от своего среднего значения) или  только удельного веса рабочих высокой  квалификации на 1% увеличивает в среднем выработку продукции на 0,753% или 0,174% соответственно. Таким образом, подтверждается большее влияние на результат фактора , чем фактора .

2. Найдем значения частной и множественной корреляции

Значения парных коэффициентов  корреляции указывают на тесную связь  фактора с результатом. При этом межфакторная связь также очень  сильная,  коэффициент  находится близко к 1. Следовательно, один из  факторов следует исключать из модели.

Частные коэффициенты корреляции характеризуют тесноту связи между результатом и соответствующим фактором при элиминировании (устранении влияния) других факторов, включенных в уравнение регрессии.

При двух факторах частные коэффициенты корреляции рассчитываются следующим образом:

;

.

 

Если сравнить коэффициенты парной и частной корреляции, то можно увидеть, что из-за высокой  межфакторной зависимости коэффициенты парной корреляции дают завышенные оценки тесноты связи. Именно по этой причине рекомендуется при наличии сильной коллинеарности факторов исключать из исследования тот фактор, у которого теснота парной зависимости меньше, чем теснота межфакторной связи.

Коэффициент множественной  корреляции определим через матрицу  парных коэффициентов корреляции:

,

Где

– определитель матрицы  парных коэффициентов корреляции;

Коэффициент множественной  корреляции

Коэффициент множественной  корреляции показывает на весьма сильную  связь всего набора факторов с  результатом.

3. Нескорректированный коэффициент множественной детерминации оценивает долю вариации результата за счет представленных в уравнении факторов в общей вариации результата. Эта доля составляет и указывает на весьма высокую степень обусловленности вариации результата вариацией факторов, иными словами – на весьма тесную связь факторов с результатом.

Скорректированный коэффициент  множественной детерминации

определяет тесноту  связи с учетом степеней свободы  общей и остаточной дисперсий. Он дает такую оценку тесноты связи, которая не зависит от числа факторов и поэтому может сравниваться по разным моделям с разным числом факторов. Оба коэффициента указывают на весьма высокую (более ) детерминированность результата в модели факторами и .

4.Оценку надежности уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи дает -критерий Фишера:

.

В данном случае фактическое значение -критерия Фишера:

.

Найдем табличное значение -критерия Фишера при составит

Получили, что  (при ), т.е. вероятность случайно получить такое значение -критерия не превышает допустимый уровень значимости . Следовательно, полученное значение не случайно, оно сформировалось под влиянием существенных факторов, т.е. подтверждается статистическая значимость всего уравнения и показателя тесноты связи .

4. С помощью частных -критериев Фишера оценим целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора после и фактора после при помощи формул:

;

.

Найдем  и .

;

.

Имеем

;

.

Получили, что  . Следовательно, включение в модель фактора после того, как в модель включен фактор статистически нецелесообразно: прирост факторной дисперсии за счет дополнительного признака оказывается незначительным, несущественным; фактор включать в уравнение после фактора не следует.

Если поменять первоначальный порядок включения факторов в  модель и рассмотреть вариант  включения  после , то результат расчета частного -критерия для будет иным. , т.е. вероятность его случайного формирования меньше принятого стандарта . Следовательно, значение частного -критерия для дополнительно включенного фактора не случайно, является статистически значимым, надежным, достоверным: прирост факторной дисперсии за счет дополнительного фактора является существенным. Фактор должен присутствовать в уравнении, в том числе в варианте, когда он дополнительно включается после фактора .

5. Общий вывод состоит в том, что множественная модель с факторами и с содержит неинформативный фактор . Если исключить фактор , то можно ограничиться уравнением парной регрессии:

где:

,

.

Задача 3

 

 Имеются условные  данные об объемах потребления  электроэнергии ( ) жителями региона за 16 кварталов.

Требуется:

1. Построить автокорреляционную функцию и сделать вывод о наличии сезонных колебаний.
2. Построить аддитивную модель временного ряда (для нечетных вариантов) или мультипликативную модель временного ряда (для четных вариантов).
3. Сделать прогноз на 2 квартала вперед.

Вариант 1

1	5,8	9	7,9
2	4,5	10	5,5
3	5,1	11	6,3
4	9,1	12	10,8
5	7,0	13	9,0
6	5,0	14	6,5
7	6,0	15	7,0
8	10,1	16	11,1

 

Решение:

Построим поле корреляции:

 

Исходя из графика  видно, что значения образуют пилообразную фигуру. Рассчитаем несколько последовательных коэффициентов автокорреляции.

Формула для расчета коэффициента автокорреляции имеет вид:

        (4.1)

где

Для этого составляем первую вспомогательную  таблицу:

 

 

 

 

 

t					( )( )
1	5,8
2	4,5	5,8	-3,28	-1,24	4,0672	10,7584	1,5376
3	5,1	4,5	-2,68	-2,54	6,8072	7,1824	6,4516
4	9,1	5,1	1,32	-1,94	-2,5608	1,7424	3,7636
5	7	9,1	-0,78	2,06	-1,6068	0,6084	4,2436
6	5	7	-2,78	-0,04	0,1112	7,7284	0,0016
7	6	5	-1,78	-2,04	3,6312	3,1684	4,1616
8	10,1	6	2,32	-1,04	-2,4128	5,3824	1,0816
9	7,9	10,1	0,12	3,06	0,3672	0,0144	9,3636
10	5,5	7,9	-2,28	0,86	-1,9608	5,1984	0,7396
11	6,3	5,5	-1,48	-1,54	2,2792	2,1904	2,3716
12	10,8	6,3	3,02	-0,74	-2,2348	9,1204	0,5476
13	9	10,8	1,22	3,76	4,5872	1,4884	14,1376
14	6,5	9	-1,28	1,96	-2,5088	1,6384	3,8416
15	7	6,5	-0,78	-0,54	0,4212	0,6084	0,2916
16	11,1	7	3,32	-0,04	-0,1328	11,0224	0,0016
	116,7	105,6	-5,800	0,000	8,854	67,852	52,536
	7,78	7,04

 

Теперь вычисляем коэффициент  автокорреляции первого порядка  по формуле:

Составляем вспомогательную  таблицу для расчета коэффициента автокорреляции второго порядка.

t					( )( )
1	5,8
2	4,5
3	5,1	5,8	-3,236	-1,243	4,022	10,472	1,545
4	9,1	4,5	0,764	-2,543	-1,943	0,584	6,467
5	7	5,1	-1,336	-1,943	2,596	1,785	3,775
6	5	9,1	-3,336	2,057	-6,862	11,129	4,231
7	6	7	-2,336	-0,043	0,100	5,457	0,002
8	10,1	5	1,764	-2,043	-3,604	3,112	4,174
9	7,9	6	-0,436	-1,043	0,455	0,190	1,088
10	5,5	10,1	-2,836	3,057	-8,670	8,043	9,345
11	6,3	7,9	-2,036	0,857	-1,745	4,145	0,734
12	10,8	5,5	2,464	-1,543	-3,802	6,071	2,381
13	9	6,3	0,664	-0,743	-0,493	0,441	0,552
14	6,5	10,8	-1,836	3,757	-6,898	3,371	14,115
15	7	9	-1,336	1,957	-2,615	1,785	3,830
16	11,1	6,5	2,764	-0,543	-1,501	7,640	0,295
	116,7	98,6	-10,304	-0,002	-30,959	64,224	52,534	0
	8,336	7,043