Задача №1

 

     Дано:

     А={5,6,7,8,9,0}

      B={7,0}

     C={6,0,3} 

     Решение:

     а)

     А={5,6,7,8,9,0}

      B={7,0}

     A∩B={7,0}

     б)

     А={5,6,7,8,9,0}

      C={6,0,3}

     АÇC={3,5,6,7,8,9,0}

     в)

     C={6,0,3}

      B={7,0}

     С\В={6,3}

     г)

     А={5,6,7,8,9,0}

      B={7,0}

     В\А=Æ

     д)

     C={6,0,3}

      B={7,0}

     В∩С={0} 

     В∩С={0}

      А={5,6,7,8,9,0}

     А\(В∩С) ={5,6,7,8,9} 

     е)

     А={5,6,7,8,9,0}

      B={7,0}

     A∩B={7,0}

      C={6,0,3}

     A∩BÇС={3,6,7,0} 

     ж)

     C={6,0,3}

      B={7,0}

     В∩С={0}

      C={6,0,3}

     (В∩С)\С=Æ 

 

Задача  №2

 

     Вычислить площадь ограниченную линиями:

     

     Решение:

     Найдем  точки пересечения параболы и  прямой:

     

     x+4=x²+4x

     x²+3x-4=0

     Д=3²-4*1*(-4)=25

     x₁=1

     x₂=-4

      Учитывая, что коэффициент при  x прямой больше нуля, а парабола пересекает ось OX в точках -4 и 0 построим эскиз графиков, заданных функций: 

     

     

     

       
 
 

     Тогда искомая площадь заштрихована.

 

Задача  №3

 

     Исследовать функцию:

     y=4-x²

     Решение:

     1) Область определения функции:

     xe(-¥;+¥)

     2) Функция является четной, т.к.  выполняется равенство:

     f(x)=f(-x)

     4-x²=4-(-x)²

     3) Функция обращается в ноль при x=±2

     Таким образом, область определения разбивается на 3 интервала:

     (-¥;-2); (-2;2); (2;+¥)

     Знак  функции:

     в интервале: (-¥;-2);y(-3)<0

     в интервале: (-2;2); y(0)>0

     в интервале: (2;+¥); y(3)<0

     Функция не имеет разрывов:

     

     

     

     4) Дифференцируя функцию получим:

     

      при x=0

     Этой  точкой числовая ось делится на два  интервала:

     (-¥;0); (0;+¥)

     Знак  производной:

     в интервале: (-¥;0);

     в интервале: (0;+¥);

     Следовательно, точка x=0 – точка максимума.

     Эскиз графика функции: 
 

       

     

       

       
 
 
 

 

Задача  №4

 

     n=6

     k=4 

     Число сочетаний:

     

     Ответ: 15 четырехзначных чисел.

Задача  №5

 

     n₁=3

     n₂=8 

     Искомое число перестановок есть произведение:

     

 

Задача №6

     

     m₁=3

     m₂=2

     n=5

     P_B1(A)=0,1

     P_B2(A)=0,2

     P_A(B₁)=? 

     Вероятность появления на шоссе:

     грузовика

     легкового автомобиля:  

     Вероятность заправки автомобиля:

     P(A)= P(B₁)P_B1(A)+ P(B₂)P_B2(A)=0,6*0,1+0,4*0,2=0,14

     Вероятность того, что к заправке подъехал грузовик:

       

 

Задача №7

 

     

     

     P_B1(A)=0,98

     P_B2(A)=0,05 
 

     P_A(B₂)=? 
 

     Вероятность того, что продукция будет пригодной:

     P(A)= P(B₁)P_B1(A)+ P(B₂)P_B2(A)=0,96*0,98+0,04*0,05=0,9428 

     Вероятность того, что это будет нестандартная  продукция:

       

 

Задача №8

 

     

     n=6

     к=5

     P=0,8 
 

     

     Вероятность того, что выключено 5 и более моторов:

     

     Вероятность того, что выключено 5 моторов:

     

     Вероятность того, что выключено 6 моторов:

       

     

     Вероятность того, что выключено менее 5 моторов:

     

 

Задача  №9

     

     P₁=0,9

     M(X)=3,1

     D(X)=0,09

     p(X)=? 

     Решение:

 

     Решаем  систему уравнений:

     

     

     Тогда искомое распределение:

 

Задача №10

     

     m=0

     s=60м

     b=20м

     P₃=? 

     Найдем  вероятность того, что одним выстрелом  будет разрушен мост (попадание в мост):

     

     

     

       

     Вероятность разрушения моста после 3-х выстрелов:

 

Задача №11

 
 

     Гистограмма частот:

     Гистограмма относительных частот:

     Эмпирическая  функция распределения:

     

 

Задача №12

 

     Даны  десять измерений случайной величины:

     8,4,4,9,15,0,4,6,14,11

     Найти выборочное среднее, выборочную дисперсию, исправленную дисперсию. 

     Решение:

     По  формуле Г. Стерджесса определяем количество интервалов:

     k =1+3,322*lgn=1+3,322*1=4,322

     где n — число единиц совокупности.

     Принимаем количество интервалов равным 5.

     Размах  выборки: M_x =x_max – x_min = 15-0=15/

     Длина интервала b_x определяется по формуле:

     

 

     Вычислим  исходные параметры. Промежуточные  вычисления сведем в таблицу.

 

     Выборочное  среднее:

     

     Выборочная дисперсия:

     

     Несмещенная дисперсия: