Задания и решения

Содержание

Задание 1. Построить модель экономической задачи и решить ее

симплекс-методом…………………………………………………..…………….3

Задание 2. Решение задач линейного программирования графическим методом и методом перебора……………………………………….…………..10

Задание 3. Использованию основных моделей системного анализа для решения экономических задач…………………………………………………14

Задание 4. Балансовые модели……………………………..…………………..19

Список литературы……………………………………………………..……….23

Закрепление варианта контрольной работы необходимо сделать по следующей схеме:

Задание 1. Построить модель экономической задачи и

решить ее симплекс-методом

Для изготовления различных изделий A, B, C предприятие использует три различных вида сырья. Нормы расхода сырья на производство одного изделия каждого вида, цена одного изделия A, B и С , а также общее количество сырья каждого вида, которое может быть использовано предприятием, приведены в табл.1.1:

Таблица 1.1

Изделий A, B и С могут производиться в любых соотношениях (сбыт обеспечен), на производство ограниченно выделим предприятию сырьем каждого вида.

Составить план производства изделий, при котором общая стоимость всей произведенной предприятие продукции является максимальной.

Экономико-математическая модель задачи

Обозначим через , ,   число изделий каждого типа. Целевая функция – это выражение, которое необходимо максимизировать: . Ограничения по сырью: ; ; ; .

Решение задачи в Excel

Пакет Excel содержит программу (надстройку) Поиск решения, позволяющую реализовывать модели линейной, нелинейной и дискретной оптимизации.

Так как в меню Сервис отсутствует команда Поиск решения, необходимо выполнить следующие действия:

- выбрать команду Сервис/Надстройки    

- в диалоговом окне Надстройки установить флажок Поиск решения

- щелкнуть ОК.

Решение задачи с помощью надстройки Excel Поиск решения.

1.Создать форму для ввода условий задачи.

Запускаем Excel, выбрав Microsoft Excel из подменю Программы главного меню Windows . Открывается чистый лист Microsoft Excel. Создаем текстовую форму – таблицу для ввода условий задачи, рис.1.1.

Рис. 1.1. Текстовая форма – таблица для ввода условий задачи.

2. Указать адреса ячеек, в которых будет помещен результат решения (изменяемые ячейки). Обозначим через Х1, Х2, X3 количество изделий A,B,C соответственно. В данной задаче оптимальные значения компонент вектора Х=(Х1, X3) будут помещены в ячейках В3:D3, оптимальное значение целевой функции – в ячейке E4.

3. Ввести исходные данные задачи в созданную форму. См. рис.1.2.

Рис. 1.2. Созданная форма заполнена исходными данными.

4. Ввести зависимость для целевой функции:

- курсор в ячейку E4;

- Вставка – Функция – Мастер функций.

- на экране появится диалоговое окно Мастер функций шаг 1 из 2.

- в окне «Категория» выбрать категорию Математические

- в окне «Выберите функцию» выбрать СУММПРОИЗВ; см. рис.1.3

Рис. 1.3. Мастер функций – шаг 1 из 2

-  нажать ОК. Появилось окно «Аргументы функции»

-  в строку «Массив 1» ввести В$3:D$3

- в строку «Массив 2» ввести В4:D4; см. рис.1.4

Рис. 1.4. Вводится функция для вычисления целевой функции

- нажать ОК.

5. Ввести зависимости для ограничений:

- курсор в ячейку  E4 – Копировать – курсор в ячейку E7 – Вставить

- курсор ячейку  E8 –Вставить

- курсор ячейку  E9 –Вставить

- курсор ячейку  E10 –Вставить

- курсор ячейку  E11 –Вставить

- курсор ячейку  E12 –Вставить

В строке Меню сделать Сервис – Поиск решения. Появилось диалоговое окно Поиск решения.

6. Назначить целевую функцию (установить целевую функцию):

- курсор в строку Установить целевую ячейку

- вести адрес ячейки $E$4

- ввести направление целевой функции в зависимости от условия задачи –  Максимальному значению или Минимальному значению (в данном случае Максимальному значению)

- курсор в строку Изменяя ячейки

- ввести адреса искомых переменных $B$3:$D$3, рис. 1.5.

Рис. 1.5 Назначение целевой функции

7. Ввести ограничения:

- щелкнуть левой кнопкой мыши кнопку Добавить. Появится диалоговое окно Добавление ограничения

- в строке ссылка на ячейку ввести адрес $E$7 – ввести знак ограничения >= далее в строке Ограничение ввести адрес $G$7

- щелкнуть левой кнопкой мыши кнопку Добавить. На экране вновь диалоговое окно Добавление ограничения.

- ввести остальные ограничения по вышеуказанному алгоритму

Так как по смыслу задачи Х1, Х2 и X3 – число изделий A, B и C соответственно  не могут быть дробным числом, то необходимо отразить,  чтобы значение коэффициента в Целевой функции принимало только целые значения. Для этого в окне Добавление ограничения в строке Ссылка на ячейку введем $B$3:$D$3, знак – «цел» Ограничение «целое» - ОК. После произведенных выше операций окно Поиск решений примет вид, рис. 1.6.

Рис. 1.6. Введены все условия задачи

8. Ввести параметры для решения ЗЛП:

- в окне Поиск решения щелкнуть мышью по кнопке Параметры. На экране появляется диалоговое окно Параметры поиска решения

- установить флажки в окнах Линейная модель (это обеспечит применения симплекс-метода) и Неотрицательные значения, рис. 1.7

Рис. 1.7 Введены параметры для решения ЗЛП.

- нажать кнопку ОК. На экране появится диалоговое окно Поиск решения

- нажать кнопку Выполнить. Появится диалоговое окно Результаты поиска решения и исходная таблица с заполненными ячейками В3:D3 для значений Х1, Х2 и Х3 и ячейка E4 с максимальным значением целевой функции. См. рис. 1.8.

Рис. 1.8. Окно Результаты поиска решений и исходная таблица с заполненными ячейками В3:D3 для значений Х1, X2 и Х3 и ячейка E4 с максимальным значением целевой функции.

- нажать кнопку ОК и диалоговое окно Результаты поиска решений закроется.

Полученное решение означает, что нормы расхода сырья

Полученное решение означает, что нужно произвести 48 изделий B для того, чтобы общая стоимость произведенной продукции была максимальной и равна 480 руб.

Задание 2. Решение задач линейного программирования графическим методом и методом перебора

Определить максимальное и минимальное значение целевой функции

z = х1 - х2   при ограничениях:           

Решить задачу методом перебора. Зафиксировать опорные и крайние точки, оценить знак ограничений.

Решить задачу графическим методом, указать крайние и опорные точки, проверить результаты решение относительно предыдущего метода.

1. Решим задачу методом перебора.

Найдем точку пересечения прямых  и .

Т.к. х2=<0, данная точка не удовлетворяет условиям ограничений.

Найдем точку пересечения прямых  и

Данная точка удовлетворяет условиям ограничений.

Найдем точку пересечения прямых  и

Т.к. х2= <0, данная точка не удовлетворяет условиям ограничений.

Найдем точки пересечения прямых с осями координат:

Получаем точку (0;0,5)

Получаем точку (1;0)

Точка (0;-1) не удовлетворяет условиям ограничений х1,х2≥0

Точка (1,5;0) не удовлетворяет ограничению 1.

Точка (0;5) не удовлетворяет ограничению 1.

Получаем точку (1;0).

Получаем точку (0;0)

Вычислим значение функции z=х1-х2 в точках (1;0), (0;0,5), (0;0):

z(1;0)=1-0=1

z(0;0,5)=0-0,5=-0,5

z(0;0)=0-0=0

Выберем из них наибольшее и наименьшее:

max z = z(1;0) = 1

min z = z(0;0,5) = -0,5

2. Решим задачу графическим метолом.

Построим область допустимых решений (ОДР) z = x1 – x2 при

В системе координат построим прямые:

x1 + 2x2 = 1               2x1 – 3x2 =3             5x1 + x2 = 5

Выделим полуплоскости, соответствующие условиям ограничений. Для этого подставим в исходные неравенства точку (0;0):

0+2·0≤1, 0≤1 – неравенство верно, следовательно, ОДР лежит ниже прямой 1

2·0-3·0≤3, 0≤3 – неравенство верно,следовательно,ОДР лежит выше прямой 2

5·0+0≤5, 0≤5 – неравенство верно, следовательно, ОДР лежит ниже прямой 3

ОДР для переменных х1 и х2 является внутренняя область треугольника ОАВ.

Построим вектор (1;-1) и прямую x1 – x2 =0.

x1 – x2 =0

Вектор (1;-1) перпендикулярен прямой x1 – x2 =0.

Рис. 2.1 Решение задачи линейного программирования

графическим методом.

Перемещая прямую x1 – x2 =0 вдоль направления вектора (1;-1), видим, что она входит в ОДР в точке А, т.е. функция z имеет минимум в точке А. Данная точка является пересечением оси ОУ (х1=0) и прямой х1+2х2=1. Подставляя значение х1=0 в это уравнение, получим, что х2=0,5. Итак х1=0, х2=0,5 – это точка (0;0,5). При этом min z = z(0;0,5)=0-0,5=-0,5.

Перемещая прямую x1 – x2 =0 вдоль направления вектора (1;-1) далее, видим, что она выходит из ОДР в точке В. Данная точка является пересечением оси ОХ (х2=0) и прямой х1+2х2=1 и 5х1+х2=5. Подставив значение х2=0 в это уравнение получим, что х1=1. Итак х1=1, х2=0 – это точка (1;0). При этом max z = z(1;0)=1-0=1.

Сравнивая данное решение с решением, полученным в 1-м пункте, делаем вывод, что они совпадают.

Задание 3. Использованию основных моделей системного анализа

для решения экономических задач

Таблица 3.1

Примечание: прибыль от реализации дополнительной продукции вычисляется согласно следующим зависимостям:

где - неизвестные количества дополнительной продукции, ПОП - потери по организационным причинам.

                                  Таблица 3.2

Таблица 3.3

Структурную схему системы можно представить следующим образом (рис. 3.1):

Рис. 3.1. Структурная схема системы.

Если систему представить на макроуровне, то получаем модель «черного ящика» (рис.2):

Рис.3.2. Отображение системы на макроуровне.

Выразим сборочные единицы через исходные комплектующие b и c:

a:(1b,2c),

d:(1a,2b,3c) или (3b,5c),

e:(1a,2d,3c) или (7b,15c).

Выразим конечные изделия через исходные комплектующие:

1-е изд.: (e) или (7b,15c),

2-е изд.: (b),

3-е изд.: (5d,3c) или (15b,28c),

4-е изд.: (1a,7e) или (50b,107c),

5-е изд.: (2b,8d) или (26b,40c).

b→Qb→ Qb

c→Qc→ Qc

(1b,2c)→ Qa→ [(Qa)b; (2Qa)c]

(3b,5c)→ Qd→ [(3Qd)b; (5Qd)c]

(7b,15c)→ Qe→ [(7Qe)b; (15Qe)c]

Таким образом получено выражение структуры  и объема заказа через исходные комплектующие «b» и «с».

Подсчитаем количество продукции типа «b» и «c»,  необходимые для  реализации всех заказов:

(Qb + Qa + 3Qd + 7Qe)b - число комплектующих типа «b», необходимое  для реализации всего заказа;

(Qc + 2Qa + 5Qd + 15Qe)c - число комплектующих типа «c», необходимое  для реализации всего заказа.

Объемы заказов «Q» являются исходными для всех последующих рассуждений. Так как количество планируемой продукции должно превышать объёмы заказов, а объёмы готовой продукции занимают промежуточное положение, справедливы следующие соотношения:

Объем заказов составляет: Q1 =200, Q2 =150, Q3 =100, Q4 =50, Q5 =80. Время обработки одной детали типа «b» составляет 15 минут, типа  «c» - 10 минут.  В распоряжении имеется 3 станка  для производства деталей «b» и «c», работающих в 2 смены ( 2·8  часов),  при этом заказ необходимо выполнить в течении  10  рабочих дней. Известно также, что около 3% произведенной продукции составляет брак,  а 2% приходят в негодность по организационным причинам.

Прибыль от реализации дополнительной продукции вычисляется согласно следующим зависимостям:

где - неизвестные количества дополнительной продукции, ПОП -потери по организационным причинам.

Тогда целевая функция примет вид:

+ + + +

Учитывая структуру изделий (1b,2c)a, (3b;5c)d, (7b;15c)e, а также плановый заказ (Qb + Qa + 3Qd + 7Qe)b, (Qc + 2Qa + 5Qd + 15Qe)c получим следующую систему ограничений:

[(Qb + Qa + 3Qd + 7Qe)пл + (1Xa + 3Xd + 7Xe)доп]b ≤ Bmax

[(Qc + 2Qa + 5Qd + 15Qe) пл + (2Xa + 5Xd + 15Xe)доп]c ≤ Cmax

Qb + Qa + 3Qd + 7Qe = 150+200+3*50+7*80 = 1060

Qc + 2Qa + 5Qd + 15Qe = 100+2*200+5*50+15*80 = 1950

Bmax = 3*8*2*10 * 60/15 = 640

Cmax = 3*8*2*10 * 60/10 = 960