Содержание:

Глава I. Алгебра матриц……………………………………………………………....3

       1. Понятие матрицы…………………………………………………………..3

       2. Виды матриц………………………………………………………………..3

       3. Основные операции над матрицами  и их свойства……………………....5

           3.1. Сложение матриц……………………………………………………....5

           3.2. Умножение матрицы на число………………………………………...5

           3.3. Произведение матриц………………………………………………….6

       4. Вырожденные и невырожденные  матрицы………………………………8

            5. Обратная матрица…………………………………………………………..8

       6. Понятие и основные свойства определителя…………………………….10

       7. Транспонирование…………………………………………………………11

Глава II. Реализация матричных операций в Mathcad……………………………..12

Заключение…………………………………………………………………………....17

Литература…………………………………………………………………………….18 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

       1. Понятие матрицы.

       При решении различных задач математики очень часто приходится иметь  дело с таблицами чисел, называемых матрицами. С помощью матриц удобно решать системы линейных уравнений, выполнять многие операции с векторами, решать различные задачи компьютерной графики и другие инженерные задачи.

       Матрицей  называется прямоугольная таблица  из чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество п столбцов. Числа т и п называются порядками матрицы. В случае, если т = п, матрица называется квадратной, а число m = n — ее порядком.

       В дальнейшем для записи матриц будут  применяться либо сдвоенные черточки, либо круглые скобки:

         или    

       Для  краткого обозначения матрицы часто  будет использоваться либо одна большая  латинская буква  (например, A),  либо символ  || a _ij || ,  а иногда с разъяснением:  А = || a _ij || =    ( a _ij ), где (i = 1, 2, ..., т,  j=1, 2, ..., n).

       Числа a _ij , входящие в состав данной матрицы, называются ее элементами. В записи a _ij первый индекс і означает номер строки, а второй индекс j — номер столбца. 

       2. Виды матриц

       Квадратная  матрица

       Матрица называется квадратной порядка n, если число ее строк равно числу столбцов и равно n. В случае квадратной матрицы

                                (1.1)

вводятся понятия главной и побочной диагоналей. Главной диагональю матрицы (1.1) называется диагональ а₁₁ а₂₂ … a_nn идущая из левого верхнего угла этой матрицы в правый нижний ее угол. Побочной диагональю той же матрицы называется диагональ а_n1  а_(n-1)2 … a_1n , идущая из левого нижнего угла в правый верхний угол.

    Квадратная  матрица, элементы которой удовлетворяют  условию:         

    называется  диагональной, т.е. диагональная матрица  имеет вид:

    Диагональная  матрица порядка n называется единичной, если все элементы ее главной диагонали равны 1. Матрица любого размера называется нулевой или нуль матрицей, если все ее элементы равны нулю. Единичная матрица обозначается буквой Е, нулевая – О. Матрицы имеют вид:

Блочные матрицы

         Предположим, что некоторая матрица  A = || a _ij || при помощи горизонтальных и вертикальных прямых разбита на отдельные прямоугольные клетки, каждая из которых представляет собой матрицу меньших размеров и называется блоком исходной матрицы. В таком случае возникает возможность рассмотрения исходной матрицы А как некоторой новой (так называемой б л о ч н о й) матрицы А = || A _ab ||,  элементами которой служат указанные блоки. Указанные элементы мы обозначаем большой латинской буквой, чтобы подчеркнуть, что они являются, вообще говоря, матрицами, а не числами и (как обычные числовые элементы) снабжаем двумя индексами, первый из которых указывает номер «блочной» строки, а второй — номер «блочного» столбца.

       Например, матрицу

       можно рассматривать как блочную матрицу 

       элементами  которой служат следующие блоки:

       Замечательным является тот факт, что основные операции с блочными матрицами совершаются по тем же правилам, по которым они совершаются с обычными числовыми матрицами, только в роли элементов выступают блоки.

3. Основные операции над матрицами и их свойства

         Прежде всего, договоримся считать две матрицы равными, если эти матрицы имеют одинаковые порядки и все их соответствующие элементы совпадают.

       Перейдем к определению основных операций над матрицами. 

       3.1. Сложение матриц

       Суммой  двух матриц  A = || a _ij || , где (i = 1, 2, ..., т,  j=1, 2, ..., n)  и В = || b _ij || , где (i = 1, 2, ..., т,  j=1, 2, ..., n) одних и тех же порядков т и п называется матрица С = || c _ij ||  (і =1,2, ..., т;  j = 1, 2, ...., п) тех же порядков т и п, элементы с_ij   которой определяются по формуле

        , где (i = 1, 2, ..., т,  j=1, 2, ..., n) (1.2)

Для обозначения  суммы двух матриц используется запись С = А + В. Операция составления суммы матриц называется их сложением. Итак, по определению:

+ =

       Из  определения суммы матриц, а точнее из формулы (1.2) непосредственно вытекает, что операция сложения матриц обладает теми же свойствами, что и операция сложения вещественных чисел, а именно:

       1) переместительным свойством: А + В = В  + А,

       2) сочетательным свойством: (A + B) + С = А + (В + С).

       Эти свойства позволяют не заботиться о  порядке следования слагаемых матриц при сложении двух или большего числа  матриц.

       Замечание. Разностью двух матриц А и В одинаковых порядков т и п естественно назвать такую матрицу С тех же порядков т и п, которая в сумме с матрицей B дает матрицу A. Для обозначения разности двух матриц используется естественная запись: С = A — В.

       Очень легко убедиться в том, что  разность С двух матриц А и В может быть получена по правилу С  = A + (–1) В. 

       3.2. Умножение матрицы на число

       Произведением матрицы  A = || a _ij || ,  где (i = 1, 2, ..., m,  j=1, 2, ..., n)   на вещественное число l, называется матрица С = || c _ij ||   (і =1,2, ..., m;  j = 1, 2, ...., n), элементы  которой определяются по формуле:

        ,   где (i = 1, 2, ..., т,  j=1, 2, ..., n) (1.3)

Для обозначения произведения матрицы на число используется запись С = l A или С = А l. Операция составления произведения матрицы на число называется умножением матрицы на это число.

       Непосредственно из формулы (1.3) ясно, что умножение  матрицы на число обладает следующими свойствами:

       1) сочетательным свойством относительно  числового множителя: ( l m ) A = l ( m A );

       2) распределительным свойством относительно  суммы матриц: l (A + B) = l A + l B;

       3) распределительным свойством относительно  суммы чисел: (l + m) A = l A + m A

       3.3. Произведение матриц

       Произведением матрицы A = || a _ij || ,  где (i = 1, 2, ..., m,  j = 1, 2, ..., n) имеющей порядки, соответственно равные т и n, на матрицу В = || b _ij || , где (i = 1, 2, ..., n ,  j=1, 2, ..., р), имеющую порядки, соответственно равные n и р, называется матрица С = || c _ij ||   (і =1,2, ..., m;  j = 1, 2, ...., р), имеющая порядки, соответственно равные т и р элементы  которой определяются по формуле:

          где  (i = 1, 2, ..., m,   j = 1, 2, ..., p) (1.4)

       Для обозначения произведения матрицы А на матрицу В используют запись С = А × В. Операция составления произведения матрицы А на матрицу В называется перемножением этих матриц.

       Из  сформулированного выше определения  вытекает, что матрицу А можно умножить не на всякую матрицу В, необходимо, чтобы число столбцов матрицы А было равно числу строк матрицы В.

       Формула (1.4) представляет собой правило составления элементов матрицы С, являющейся произведением матрицы  А на матрицу В. Это правило можно сформулировать и словесно: элемент c_{i j} стоящий на пересечении і-й строки и j-го столбца матрицы С = А В, равен сумме попарных произведений соответствующих элементов і-й строки матрицы А и j-го столбца матрицы В.

       В качестве примера применения указанного правила приведем формулу перемножения квадратных матриц второго порядка.

       Из  формулы (1.4)  вытекают следующие свойства произведения матрицы А на матрицу В:

       1) сочетательное свойство: ( А В ) С = А ( В С );

       2) распределительное относительно  суммы матриц свойство:

       ( A + B ) С = А С + В С или A ( В + С ) = A В + А С.

       Вопрос  о переместительном свойстве произведения матрицы A на матрицу В имеет смысл ставить лишь для квадратных матриц A и В одинакового порядка.

       Приведем  важные частные случаи  матриц, для  которых справедливо и переместительное свойство. Две матрицы для произведения которых справедливо переместительное свойство, принято называть коммутирующими.

       Среди квадратных матриц выделим класс  так называемых диагональных матриц, у каждой из которых элементы, расположенные  вне главной диагонали, равны  нулю. Каждая диагональная матрица  порядка  п имеет вид 

       D =   (1.5) 

       где d₁ , d₂ , …, d_n—какие угодно числа. Легко видеть, что если все эти числа равны между собой, т. е. d₁ = d₂  = … = d_n  то для любой квадратной матрицы А порядка п справедливо равенство А D = D А.

       Среди всех диагональных матриц (1.5) с совпадающими элементами d₁ = d₂  = … = d_n = = d особо важную роль играют две матрицы. Первая из этих матриц получается при d = 1, называется единичной матрицей n-го порядка и обозначается символом  Е. Вторая матрица получается при d = 0, называется нулевой матрицей n-го порядка и обозначается символом O. Таким образом, 

       E =    O =  

       В силу доказанного выше А Е = Е А и А О = О А. Более того, легко показать, что  

       А Е = Е А = А,   А  О = О А = 0.           (1.6) 

       Первая  из формул (1.6) характеризует особую роль единичной матрицы Е, аналогичную той роли, которую играет число 1 при перемножении вещественных чисел. Что же касается особой роли нулевой матрицы О, то ее выявляет не только вторая из формул (1.6), но и элементарно проверяемое равенство

А + 0 = 0 + А = А.

       В заключение заметим, что понятие  нулевой матрицы можно вводить  и для неквадратных матриц (нулевой  называют любую матрицу, все элементы которой равны нулю). 

  4. Вырожденные и невырожденные матрицы

    Матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю, и невырожденной, если определитель матрицы отличен от нуля.

    Пример. , = 16-15 = 1 0; А – невырожденная матрица.

                    , = 12-12 = 0;  А – вырожденная матрица.

    Теорема. Произведение матриц есть вырожденная  матрица тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей есть вырожденная матрица.

    Необходимость. Пусть АВ – вырожденная матрица, т.е. =0. Тогда, в силу того, что определитель произведения матриц равен произведению определителей перемножаемых матриц, имеем Это значит, что хотя бы одна из матриц А или В является вырожденной.

    Достаточность. Пусть в произведении АВ матрица А вырожденная, т.е. =0. Найдем , т.к. =0; итак, =0; АВ - вырожденная матрица.

    Замечание. Доказанная теорема справедлива  для любого числа множителей.

  5. Обратная матрица

    Квадратная  матрица В называется обратной по отношению к матрице А такого же размера, если

    АВ = ВА = Е.          (1)

    Пример. , .

    В – матрица обратная к А.

    Теорема. Если  для данной матрицы обратная существует, то она определяется однозначно.

    Предположим, что для матрицы А существуют матрицы Х и У, такие, что

                                                         АХ = ХА = Е        (2)

    АУ = УА = Е       (3)

    Умножая одно из равенств, например, АХ = Е слева  на У, получим У(АХ) = УЕ. В силу ассоциативности  умножения имеем (УА)Х = УЕ. Поскольку  УА = Е, то ЕХ = УЕ, т.е.      Х = У. Теорема доказана.

    Теорема (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы).

    Обратная  матрица А^-1 существует тогда и только тогда, когда исходная матрица А невырожденная.

    Необходимость. Пусть для матрицы А существует обратная А^-1, т.е.                        А А^-1 = А^-1 А = Е. Тогда, ½А А^-1½= ½А½ ½А^-1½=½Е½=1, т.е. ½А½ 0 и

    ½А^-1½ 0;       А – невырожденная.

    Достаточность. Пусть дана невырожденная матрица  порядка n

     ,

    так что ее определитель 0. Рассмотри матрицу, составленную из алгебраических дополнений к элементам матрицы А:

     ,

    ее  называют присоединенной к матрице  А.

    Следует обратить внимание на то, что алгебраические дополнения к элементам i-ой строки матрицы А стоят в i-ом столбце матрицы А^*, для .

    Найдем  произведения матриц АА^* и А^*А. Обозначим АА^* через С, тогда по определению произведения матриц имеем: С_ij = а_i1А _1j + а _i2А _2j + … + а _inА_nj;

     i = 1, n; j = 1, n.

    При i = j получим сумму произведений элементов i - ой строки на алгебраические дополнения этой же строки, такая сумма равняется значению определителя. Таким образом С_ij = |А| = D - это элементы главной диагонали матрицы С. При i j, т.е. для элементов С_ij  вне главной диагонали матрицы С, имеем сумму произведений всех элементов некоторой строки на алгебраические дополнения другой строки, такая сумма равняется нулю. Итак,

    Аналогично  доказывается, что произведение А  на А^* равно той же матрице С. Таким образом, имеем А^*А = АА^* = С. Отсюда следует, что

    Поэтому, если в качестве обратной матрицы  взять  , то Итак, обратная матрица существует и имеет вид:

     . 

6. Понятие и основные свойства определителя 

       Рассмотрим  произвольную квадратную матрицу любого порядка п:

                      A =    (1.7) 

       С каждой такой матрицей свяжем вполне определенную численную характеристику, называемую определителем, соответствующим этой матрице.

       Если  порядок n матрицы (1.7) равен единице, то эта матрица состоит из одного элемента а_{i j} определителем первого порядка соответствующим такой матрице, мы назовем величину этого элемента.

       Если  далее порядок п матрицы (1.7) равен двум, т. е. если эта матрица имеет вид

                      A =    (1.8)

       то  определителем второго порядка, соответствующим такой матрице, назовем число, равное а₁₁ а₂₂ — а₁₂ а₂₁  и обозначаемое одним из символов:

       Итак, по определению

           (1.9)

       Формула (1.9) представляет собой правило составления  определителя второго порядка по элементам соответствующей ему  матрицы. Словесная формулировка этого  правила такова: определитель второго порядка, соответствующий матрице (1.8), равен разности произведения элементов, стоящих на главной диагонали этой матрицы, и  произведения элементов, стоящих на побочной ее диагонали. Определители второго и более высоких порядков находят широкое применение при решении систем линейных уравнений.

       Прежде  всего отметим, что detA=detA^T, т. е. определитель матрицы не изменяет своего значения при возможной замене её строк и столбцов (трансформированием матрицы). Поэтому все свойства определителя, сформулированные для столбцов, справедливы и для строк, и обратно. Основные свойства:

1. при перестановке двух столбцов определитель теряет знак (свойство антисимметрии);
2. определитель равен нулю, если все элементы какого-нибудь столбца равны нулю или если один из столбцов является линейной комбинацией любых его других столбцов (в частности, определитель, у которого хотя бы два столбца одинаковы, равен нулю);
3. умножение всех элементов какого-нибудь столбца на скаляр равнозначно умножению определителя на это число (общий множитель элементов строки или столбца можно вынести за знак определителя);
4. умножение матрицы n-го порядка на скаляр соответствует умножению её определителя на lⁿ, т. е. det(l, A)= lⁿ detA;
5. значение определителя не изменится, если к какому-нибудь столбцу прибавить другой столбец, умноженный на скаляр l;
6. если два определителя одинаковых порядков различаются между собой только элементами i-того столбца, то их сумма равна определителю, элементы i-того столбца которого равны суммам соответствующих элементов i-х столбцов исходных определителей, а остальные элементы – те же, что у исходных.

7. Транспонирование 

       Транспонированная матрица — матрица AT, полученная из исходной матрицы A заменой строк  на столбцы. 

       Формально, транспонированная матрица для матрицы A размеров   — матрица AT размеров , определённая как AT[i, j] = A[j, i]. 

       Например,

              и       

       Свойства  транспонирования:  

       1) (Ат)т = А;

       2) (А + В)т = Ат + Вт;

       3) (А В С)т = СтВтАт - транспонированное произведение матриц равно произведению транспонированных матриц, записанных в обратной последовательности.

       Если  А = Ат, матрица симметрична. 

II. Реализация матричных операций в Mathcad

       Рассмотрим, как выполняются операции с матрицами  в системе  MathCad. Простейшие операции матричной алгебры реализованы в MathCad в виде операторов. Написание операторов по смыслу максимально приближено к их математическому действию. Каждый оператор выражается соответствующим символом. Рассмотрим матричные и векторные операции MathCad 2001.  Векторы являются частным случаем матриц размерности n x 1,  поэтому для них справедливы все те операции, что и для матриц, если ограничения особо не оговорены (например, некоторые операции применимы только к квадратным матрицам n x n). Какие-то действия допустимы только для векторов (например, скалярное произведение), а какие-то, несмотря на одинаковое написание, по-разному действуют на векторы и матрицы.

        При работе с  матрицами используется панель инструментов “Матрицы” 

       Рис.1 Панель инструментов  Матрицы 

       Для ввода матрицы:

• введите имя матрицы и знак присваивания (двоеточие)
• щелкните по значку “создать матрицу” в панели “Матрицы”.
• В появившемся диалоге задайте число строк и столбцов матрицы.

• После нажатия кнопки OK открывается поле для ввода элементов матрицы. Для того, чтобы ввести элемент матрицы, установите курсор в отмеченной позиции и введите с клавиатуры число или выражение.

       Для того, чтобы выполнить какую-либо операцию с помощью панели инструментов, нужно:

• выделить матрицу и щелкнуть в панели по кнопке операции,
• или щелкнуть по кнопке в панели и ввести в помеченной позиции имя матрицы.

       Меню  “Символы” содержит три операции - транспонирование, инвертирование, определитель.

       Это означает, например, что вычислить  определитель матрицы можно, выполнив команду Символы/Матрицы/Определитель.

       Номер первой строки (и первого столбца) матрицы MathCAD хранит в переменной ORIGIN. По умолчанию отсчет ведется от нуля. В математической записи чаще принято  вести отсчет от 1. Для того, чтобы MathCAD вел отсчет номеров строк  и столбцов от 1, нужно задать значение переменной ORIGIN:=1.