Автоматическое управление. 4

Содержание           2

1. Техническое задание , исходные данные      3

2. Введение            4

3. Расчетная часть          5

3.1. Построение статических характеристик устройств системы

управления:  5

объекта регулирования,          

датчика,            

регулятора,            

исполнительного механизма        

3.2. Определение графическим методом общей статической   

характеристики цепи обратной связи — ДРИМ. 6

3.3. Построение статических характеристик объекта регулирования

и системы управления. Определение на графиках рабочей точки и

угла между статическими характеристиками.     6 

3.4.Рассчет динамического коэффициента регулирования  

D = ΔУ/ΔХ и определение коэффициента К_о.с. для цепи обратной

связи с целью выравнивания масштабов.      6

3.5.Определение аналитического выражения регулирующей  

системы — ДРИМ.          7

3.6.Нахождение аналитическим способом рабочей точки  

— пересечение статических характеристик ДРИМ и объекта.   7

3.7.Выбор передаточных функций элементов системы.    8

3.8.Определение передаточной функции системы. 8 

3.9. Нахождение временной функции переходного процесса.   9

3.10.Определение основных параметров переходного процесса.  11

3.11.Определение коэффициентов качества системы  

регулирования.          11

3.12.Построение частотных характеристик устройств:  12

объекта регулирования,          

датчика,            

исполнительного механизма,         

регулятора,            

ДРИМ,             

всей системы.            

3.13.Построение годографа.        15

4. Заключение 17

5. Литература           18

6. Приложения           19

 

 

1. Техническое задание  

I.  Определение устойчивости системы по статическим характеристикам

1. Построить статические характеристики устройств системы управления.
2. Определить графическим методом общую статическую характеристику цепи обратной связи — ДРИМ.
3. Построить статические характеристики объекта регулирования и системы управления.
4. Определить на графиках рабочую точку и угол между статическими характеристиками.
5. Рассчитать динамический коэффициент регулирования D = ΔУ/ΔХ и определить коэффициент К_о.с. для цепи обратной связи с целью выравнивания масштабов.
6. Определить аналитическое выражение регулирующей системы — ДРИМ.
7. По аналитическому выражению построить график статической характеристики — ДРИМ.
8. Найти аналитическим способом рабочую точку — пересечение статических характеристик ДРИМ и объекта.

II . Расчет динамических параметров системы

9. Выбрать передаточные функции элементов системы.
10. Определить передаточную функцию системы.
11. Найти временную функцию переходного процесса.
12. Определить основные параметры переходного процесса.
13. Определить два коэффициента качества системы регулирования.

III.  Построение частотных характеристик устройств и системы

14. Построить частотные характеристики устройств: объекта регулирования, датчика, регулятора, исполнительного механизма, ДРИМ, всей системы.

IV. Определение устойчивости системы

15. Определить параметры устойчивости системы.
16. Построить годограф.

 

 

 

Исходные данные:

1. N=20 
2. Статическая характеристика объекта регулирования:
3.                                            

 

4. Передаточная функция для двух объектов регулирования описывается выражением:

W_о.р(p) = (N²+1)/(N²+4)p= 1/p

 

5. Статические характеристики основных звеньев системы (датчика, регулятора, исполнительного механизма), полученные методом проб и ошибок и соответствующие им передаточные функции, выбранные из справочных данных системы:

 

Регулятор:

статическая характеристика   передаточная функция

           

            Y_р = 4.5*X_р    W_р(p) = (p+1)/(p+10) 

 

  Датчик:

статическая характеристика   передаточная функция

       

      Y_д= 4.5 – X_д     W_д(p)= (2p+2)/(p+0,2)  

 

 

Исполнительный механизм:

статическая характеристика   передаточная функция

     

 

                   Y_им= X_им      W_им(p)= (20p+1)/40

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Введение

Современная теория автоматического  регулирования является основной частью теории управления. Система автоматического  регулирования состоит из регулируемого объекта и элементов управления, которые воздействуют на объект при изменении одной или нескольких регулируемых переменных. Под влиянием входных сигналов (управления или возмущения), изменяются регулируемые переменные. Цель же регулирования заключается в формировании таких законов, при которых выходные регулируемые переменные мало отличались бы от требуемых значений. Решение данной задачи во многих случаях осложняется наличием случайных возмущений (помех). При этом необходимо выбирать такой закон регулирования, при котором сигналы управления проходили бы через систему с малыми искажениями, а сигналы шума практически не пропускались.

Теория автоматического  регулирования прошла значительный путь своего развития. На начальном  этапе были созданы методы анализа устойчивости, качества и точности регулирования непрерывных линейных систем. Затем получили развитие методы анализа дискретных и дискретно-непрерывных систем. Можно отметить, что способы расчета непрерывных систем базируются на частотных методах, а расчета дискретных и дискретно-непрерывных - на методах z-преобразования.

В настоящее время  развиваются методы анализа нелинейных систем автоматического регулирования. Нарушение принципа суперпозиции в  нелинейных системах, наличие целого ряда чередующихся (в зависимости от воздействия) режимов устойчивого, неустойчивого движений и автоколебаний затрудняют их анализ. Еще с большими трудностями встречается проектировщик при расчете экстремальных и самонастраивающихся систем регулирования.

Как теория автоматического регулирования, так и теория управления входят в науку под общим названием «техническая кибернетика», которая в настоящее время получила значительное развитие. Техническая кибернетика изучает общие закономерности сложных динамических систем управления технологическими и производственными процессами. Техническая кибернетика, автоматическое управление и автоматическое регулирование развиваются по двум основным направлениям: первое связано с постоянным прогрессом и совершенствованием конструкции элементов и технологии их изготовления; второе - с наиболее рациональным использованием этих элементов или их групп, что составляет задачу проектирования систем.

Проектирование систем автоматического  регулирования можно вести двумя  путями: методом анализа, когда при заранее выбранной структуре системы (расчетным путем или моделированием) определяют ее параметры; методом синтеза, когда по требованиям, к системе сразу же выбирают наилучшую ее структуру и параметры. Оба эти способа получили широкое практическое применение и поэтому достаточно полно освещены в настоящей книге.

Определение параметров системы, когда  известна ее структура и требования на всю систему в целом, относится  к задаче синтеза. Решение этой задачи при линейном объекте регулирования  можно найти, используя, например, частотные методы, способ корневого годографа или изучая траектории корней характеристического уравнения замкнутой системы. Выбор корректирующего устройства методом синтеза в классе дробно-рациональных функций комплексного переменного можно выполнить с помощью графоаналитических методов. Эти же методы позволяют синтезировать корректирующие устройства, подавляющие автоколебательные и неустойчивые периодические режимы в нелинейных системах.

Дальнейшее развитие методы синтеза  получили на основе принципов максимума и динамического программирования, когда определяется оптимальный с точки зрения заданного критерия качества закон регулирования, обеспечивающий верхний предел качества системы, к которому необходимо стремиться при ее проектировании. Однако решение этой задачи практически не всегда возможно из-за сложности математического описания физических процессов в системе, невозможности решения самой задачи оптимизации и трудностей технической реализации найденного  нелинейного закона регулирования. Необходимо отметить, что реализация сложных законов регулирования возможна лишь при включении цифровой вычислительной машины в контур системы. Создание экстремальных и самонастраивающихся систем также связано с применением аналоговых или цифровых вычислительных машин.

Формирование систем автоматического  регулирования, как правило, выполняют  на основе аналитических методов  анализа или синтеза. На этом этапе  проектирования систем регулирования  на основе принятые допущений составляют математическую модель системы и выбирают предварительную ее структуру. В зависимости от типа модели (линейная или нелинейная) выбирают метод расчета для определения параметров, обеспечивающих заданные показатели устойчивости, точности и качества. После этого уточняют математическую модель и с использованием средств математического моделирования определяют динамические процессы в системе. При действии различных входных сигналов снимают частотные характеристики и сравнивают с расчетными. Затем окончательно устанавливают запасы устойчивости системы по фазе и модулю и находят основные показатели качества.

Далее, задавая на модель типовые  управляющие воздействия; снимают  характеристики точности. На основании  математического моделирования  составляют технические требования на аппаратуру системы. Из изготовленной аппаратуры собирают регулятор и передают его на полунатурное моделирование, при котором объект регулирования набирают в виде математической модели.

По полученным в результате полунатурного  моделирования характеристикам  принимают решение о пригодности работы регулятора с реальным объектом регулирования. Окончательный выбор параметров регулятора и его настройка выполняют в натурных условиях при опытной отработке системы регулирования.

Развитие теории автоматического  регулирования на основе уравнений состояния и z-преобразований, принципа максимума и метода динамического программирования   совершенствует   методику   проектирования   систем регулирования и позволяет создавать высокоэффективные автоматические системы для самых различных отраслей народного хозяйства. Полученные таким образом системы автоматического регулирования обеспечивают высокое качество выпускаемой продукции, снижают ее себестоимость и увеличивают производительность труда.

Цель курсового  проекта: Закрепление знаний по курсу «Автоматическое управление» и приобретение навыков по расчету основных элементов системы. Создаваемая система должна состоять из объекта управления, датчика, регулятора и исполнительного механизма. Элементы системы заданы статическими и передаточными функциями.  Из предложенного набора датчиков, регуляторов и исполнительных механизмов необходимо выбрать те, которые смогут обеспечить стабильную рабочую точку системы в статическом режиме. Для обеспечения работы системы в динамическом режиме необходимо  выбрать такое дополнительное корректирующее звено, чтобы оно обеспечивало основные параметры переходного процесса в следующих пределах:

перерегулирование — 20 %,

затухание — составляет 75 % и выше

колебательность — 2... 3 периода.

 

3. Расчетная часть

3.1. Построение статических характеристик устройств системы управления:

В соответствии с заданием курсового проекта статическая характеристика объекта регулирования описывается уравнением:

                                                            У_ор = Х/N

У_ор = 0,05* Х

Для построения статической  характеристики объекта необходимо давать текущие значения для Х_вх. Здесь достаточно определить две точки, чтобы построить характеристику. Положим Х₀ = 1 и получим У₀ = 0,04, положим Х₀ = 5 и получим У₀ = 0,18. По этим двум точкам построена прямая, показанная в Приложении 1.

Согласно заданию необходимо выбрать из справочных данных элементы, образующие цепь обратной связи в системе автоматического регулирования и которые смогут обеспечить стабильную рабочую точку системы в статическом режиме. На основе этих элементов я должен определить статическую характеристику цепи обратной связи.

Для определения статической  характеристики цепи обратной связи  выбираются статические характеристики датчика, регулятора и исполнительного механизма.

Статическая характеристика датчика описывается уравнением

                                     

           Y_д= 4.5 – X_д

Для построения этой статической  характеристики даны следующие значения:

 

X	0	2	4.5
Y	4.5	2.5	0

 

По этим значениям  строим статическую характеристику датчика, приведена в Приложении 1.

Статическая характеристика регулятора описывается уравнение

 Y_р = 4.5*X_р

Эта характеристика также  относится к классу нелинейных. Для  ее построения достаточно взять две точки Х_р = 0, Y_р = 0, и для X_р =2 получим Y_Р = 9. Статическая характеристика регулятора приведена в Приложении 1.

Статическая характеристика исполнительного механизма описывается уравнением

Y_им= X_им

  Для построения  этой линейной статической характеристики достаточно дать Х_им два значения. При Х_им = 0 получим У_{и м} = 0, а для Х_им = 2 имеем У_им =2. Статическая характеристика исполнительного механизма приведена в Приложении 1.

 

3.2. Определение графическим методом общей статической характеристики цепи обратной связи — ДРИМ.

Для определения общей  статической характеристики цепи обратной связи (ДРИМ) изобразим статические  характеристики этих звеньев на общей  плоскости. В первом квадранте находится  статическая характеристика датчика, во втором — регулятора, в третьем — исполнительного механизма (Приложение 2). Для определения результирующей статической характеристики разбиваем ось Х_д на равные отрезки 0—1, 1 — 2, 2—3 и т.д. Из точек 1, 2, З и т.д. проводим перпендикуляры до пересечения с линейной статической характеристикой датчика. Получаем точки А₁ В₁ С₁, и т.д. Из этих точек проводим горизонтали до пересечения с линейной статической характеристикой регулятора в точках А₂, В₂, С₂ и т. д. Из этих точек опускаем перпендикуляры. Горизонтальное положение оси Х_р меняется на вертикальное. Из новых точек проводятся горизонтали до пресечения с соответствующими перпендикулярами в точках А₃, В₃, С₃ и т.д.

Соединяя эти точки, получим  результирующую статическую характеристику обратной связи — ДРИМ.

 

3.3. Построение статических характеристик объекта регулирования и системы управления.

Для определения взаимосвязи  между статическими характеристиками объекта и ДРИМ изобразим их в одной системе координат. В результате эти две статические характеристики пересекутся в точке А (Приложение 2). Эта точка называется рабочей.

Угол пересечения этих двух статических характеристик  равен 77°.

Вывод: Из теории автоматического регулирования известно: при пересечении двух статических характеристик под углом 60...90° система характеризуется хорошей устойчивостью, следовательно, моя система по статическим характеристикам устойчивая.

 

3.4.Рассчет динамического коэффициента регулирования  D = ΔУ/ΔХ и определение коэффициента К_о.с. для цепи обратной связи с целью выравнивания масштабов.  

Для расчета динамического коэффициента регулирования обратимся к Приложению 2. На этом рисунке по одной из характеристик определяется возможный диапазон изменений входного параметра. Фиксируются две точки этого диапазона. Далее эти две точки переносятся на вторую статическую характеристику, и с помощью этой характеристики определяется диапазон изменения выходного параметра. В результате по статической характеристике ДРИМ определим ΔХ_ВХ = 5,2, по статической характеристике объекта получим ΔY= 0,25. Подставим эти значения Δ Y и Δ Х_ВХ в выражение

при D = 1 система имеет оптимальную передачу сигнала в замкнутом контуре; при D > 1 в цепь обратной связи следует включить ослабитель сигнала; при D < 1 в цепь обратной связи следует включить усилительный элемент

 

Коэффициент Ко.с. для  цепи обратной связи определяется по формуле:

Ко.с.= 1/ D = 1/0,045 = 22.2

 

Вывод: Так как нам нужен динамический коэффициент, равный единице, в цепь обратной связи включен усилительный элемент с коэффициентом передачи К_ос= 22.2.

Включение усилительного  звена в цепь обратной связи:

3.5.Определение аналитического выражения регулирующей системы — ДРИМ.

Для определения аналитического выражения работы регулирующей системы осуществим преобразования статических характеристик датчика регулятора и исполнительного механизма.

Уравнение для объекта  регулирования: У_ор = 0,05* Х

Уравнение для датчика:  Y_д= 4.5 – X_д

Уравнение для регулятора: Y_р = 4.5*X_р

Уравнение для исполнительного  механизма: Y_им= X_им

 

Из структурной схемы  системы следует, что      У _д= Х_р, У_р = Х _и.м.

Подставим уравнение  датчика в уравнение для регулятора. Результирующее уравнение подставим в уравнение для исполнительного механизма:

                                                            ,

                                                            ,

В результате получено выражение:

                                                            ,

Это выражение является статической характеристикой цепи обратной связи, полученной аналитическим способом. Оно также описывает статическую характеристику цепи обратной связи, полученную ранее графическим способом.

Вывод: Аналитическое выражение ДРИМ соответствует общей статической характеристике цепи обратной связи, полученной графическим методом, следовательно, я сделал правильный выбор статических характеристик звеньев системы, выбрав те, которые обеспечили стабильную рабочую точку системы в статическом режиме.

3.6.Нахождение аналитическим способом рабочей точки — пересечение статических характеристик ДРИМ и объекта. 

Поскольку статические  характеристики представляются прямыми  линиями, то необходимо найти точку пересечения двух прямых линий. Эти линии задаются уравнениями

                                                               

                                                               

                                                                

4.55X=20.3,

X=4.46=4.5   Y=4.5/20=0.2

A (4.5; 0.2)

Вывод: Координаты рабочей точки, полученные аналитическим способом, совпадают с координатами на графике.

3.7. Выбор передаточных функций элементов системы.

Для определения передаточной функции всей системы необходимо по справочным данным выбрать передаточные функции датчика, регулятора и исполнительного механизма.

Передаточная функция  объекта регулирования дана в  задании и определяется выражением

                                         .

По справочным данным выбираем передаточные функции. Передаточная функция датчика

                                       

Передаточная функция  регулятора

                                   

Передаточная функция  исполнительного механизма

                                      

 

3.8.Определение передаточной функции системы. 

Для определения передаточной функции обратной связи (Wо.с) необходимо воспользоваться формулой

Подставив выражение  передаточной функции в эту формулу, получим

                

                                 

                                                             

Для определения передаточной функции системы воспользуемся  выражением

Подставим сюда все составляющие передаточные функции и преобразуем результирующее выражение:

Передаточная функция  системы описывается выражением

 

3.9. Нахождение временной функции переходного процесса. 

Для нахождения временной  функции переходного процесса необходимо упростить это выражение. Исключим в числителе вторую степень , а в знаменателе третью степень . Для дальнейшего исследования передаточная функция будет иметь вид

 

В общем случае передаточная функция системы определяется по формуле:

 

Для определения переходной функции представим общее выражение  в виде двух слагаемых. Эти слагаемые можно получить, если определить корни характеристического уравнения

где p₁ и р₂ — значения корней характеристического уравнения.

Для определения корней характеристического уравнения  приравняем к нулю знаменатель:

Найдем дискриминант уравнения

 

D<0

Коэффициенты А и  В определяются следующим образом:

А=

; В=

После преобразований получим:

В= 0,5В₁+ i

= С₀ + iС₁;

А= 0,5В₁- i

= С₀ - iС₁

С₀= 0,5*В₁ =0.5*1=0.5  

С₁= (В₀ - 0,5А₁В₁)/А_к  =(0.2-0.5*0.3*1)/0.3=0.05/0.3=0.2

Переходная функция  будет описываться двумя гармоническими функциями, их можно заменить одной, если определить модуль (М) и фазу (φ) результирующего колебания (Приложение 3).

Заменив две гармонические  функции одной при условии, что 

М=

и

(-1,3)*

=-74.1

получим временную функцию переходного процесса:

Y(t) = 2exp(-0,5А₁t)Msin(0,5А_kt+

)=2exp(-0.5*0.3t)0.5sin(0.5*0.3t+(-74.1))=

2exp(-0.15t)0.5sin(0.15t-74.1)

3.10.Определение основных параметров переходного процесса.

Определение основных параметров системы следует производить с учетом построенного графика h(t). (Приложение 3)

Определим число радиан в фазовом угле, составив пропорцию

и решив ее относительно R

Далее определяем момент времени  , когда гармоническая функция равна нулю , решается равенство

Второй момент времени  определяется выражением

Определим момент времени, когда гармоническая функция имеет максимальное отрицательное значение (-1) с помощью выражения:

t₁₂ = (t₁ + t₂)/2=(29,6+50,5)/2=80,1/2=40,5

Момент времени, когда гармоническая функция имеет максимальное положительное значение (+1),будет определяться по формуле:

Определим амплитуды гармонического колебания в разные моменты времени 

Вычислим значение функции при t = 0- Y(0)

Y(t) = 2exp(-0.15t)0.5sin(0.15t-74.1)=2exp(-0.15*0)0.5sin(0.15*0-74.1)=2*0.5sin(-74.1)=2*0.5*0.96=0.96

 

29.6c

Перерегулирование (σ- сигма)определяется выражением:

σ =

Т.к. D<0, то

∆У2= ехр(-0,5A_K t₁₂),

     ∆У₁=  значение функции при t = 0.

Перерегулирование определяется по формуле:

σ = ехр(-0,5A_K t₁₂)*100% / Y(0)=(exp(-0.5*0.3*40.5)*100%)/0.96=20.8%

Вывод :качество перерегулирования хорошее, так  как оно прнвышает 20%.

 

3.11.Определение коэффициента качества системы регулирования.

Для определения коэффициента качества системы необходимо воспользоваться аналитическим выражением

.

Чтобы упростить вычисления интеграла, площадь, ограниченную функцией h(t), заменим площадью четырех треугольников S₁, S₂,S₃ ,S₄(Приложение 3).

a=4; h=1.2

 

3.12.Построение амплитудно-частотных характеристик звеньев и системы в целом.

Приступим к определению  амплитудно-частотных характеристик  звеньев и системы в целом. Для определения частотной характеристики объекта регулирования произведем замену в передаточной функции объекта.

Имеем , сделав замену p=iw получим частотную характеристику объекта регулирования (Приложение 4).

Определим частотную  функцию датчика

Для выделения действительного  и мнимого значений умножаем числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное значение знаменателя:

В результате получим  действительную и мнимую части. Далее  определим модуль, полагая, что