Биномиаоьное распеределение

Н.контр.

 

Реценз..

Перев.

Розроб.

Затверд.

Загородна Н.В.

.Сеник М. В.

Підпис

№ докум.

Дата

Арк.

рк.

Зм.

 

 

ТНТУ ФІС КН СНс-31

 

 

 

Зміст

 

КРКН 12.103.17.000 ПЗ

Арк.

 

Аркушів

 

Літ.

 

 

 

Н.контр.

 

Реценз..

Перев.

Розроб.

Затверд.

Загородна Н.В.

.Сеник М.В.

Підпис

№ докум.

Дата

Арк.

рк.

Зм.

 

 

ТНТУ  ФІС КН СНс-31

 

 

 

Вступ

 

КРКН 12.103.17.000 ПЗ

Арк.

 

Аркушів

 

Літ.

 

 

 

Н.контр.

 

Реценз..

Перев.

Розроб.

Затверд.

Загородна Н.В.

Сеник М.В.

Підпис

№ докум.

Дата

Арк.

рк.

Зм.

 

 

ТНТУ ФІС КН СНс-31

 

 

59

Ймовірнісні характеристики дискретних випадкових величин

 

КРКН 12.103.17.000 ПЗ

Арк.

 

Аркушів

 

Літ.

 

 

 

Зм.

Арк.

№ докум.

Підпис.

Дата.

 

Арк.

 

КРКН 12.103.17.000 ПЗ

Н.контр.

 

Реценз..

Перев.

Розроб.

Затверд.

Загородна Н.В.

.Сеник М.В.

Підпис

№ докум.

Дата

Арк.

рк.

Зм.

 

 

ТНТУ ФІС КН СНс-31

 

 

 

Розрахункова частина

 

КРКН 12.103.17.000 ПЗ

Арк.

 

Аркушів

 

Літ.

 

 

 

Зм.

Арк.

№ докум.

Підпис.

Дата.

 

Арк.

 

КРКН 12.103.17.000 ПЗ

Н.контр.

 

Реценз..

Перев.

Розроб.

Затверд.

Загородна Н.В.

.Сеник М.В.

Підпис

№ докум.

Дата

Арк.

рк.

Зм.

 

 

ТНТУ ФІС КН СНс-31

 

 

 

Висновок

 

КРКН 12.103.17.000 ПЗ

Арк.

 

Аркушів

 

Літ.

 

 

 

Н.контр.

 

Реценз..

Перев.

Розроб.

Затверд.

Загородна Н.В.

.СеникМ.В.

Підпис

№ докум.

Дата

Арк.

рк.

Зм.

 

 

ТНТУ ФІС КН СНс-31

 

 

 

Список використаних джерел

 

КРКН 12.103.17.000 ПЗ

Арк.

 

Аркушів

 

Літ.

 

 

 

ЗМІСТ

 

ВСТУП 4

1 ЙМОВІРНІСНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ дискретних ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН 5

1.1 Випадкова величина 5

1.2 Функція розподілу випадкової величини та її властивості 6

1.3 Математичне сподівання, дисперсія, моменти вищих порядків 7

1.4  Біноміальний закон розподілу 9

1.5 Закон розподілу Пуассона 9

1.6 Геометричний розподіл 10

1.7 Гіпергеометричний розподіл 10

1.8  Рівномірний закон розподілу 11

1.9 Розподіл Бернуллі 12

2 Розрахункова частина 13

ВИСНОВОК 17

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ 18

 

 

 

 

ВСТУП

 

В процесі  свої життєдіяльності в людини постійно виникає необхідність дослідження  різних явищ і передбачення того як поведе себе той чи інший об'єкт  в різних умовах.

Як правило  досліджувана система містить ряд  елементів, що мають певну невизначеність. Такі системи називаються стохастичними, оскільки їх поведінка не може бути однозначно прогнозована.

Для того щоб  якось спрогнозувати поведінку  системи явищ проводять спеціальне дослідження - експеримент. Експеримент - це строга послідовність наперед  заданих дій спрямована на отримання  однієї або декілька величин, які  є результатом експерименту.

Результати  експерименту можуть змінюватись неперервно (температура, довжина, вологість) або дискретно (кількість зумовлено на обслуговування, кількість сонячних днів у році). Якщо в ході повторень експерименту в одних і тих же умовах результати будуть різні в силу внутрішньої природи досліджуваного явища, то це означає, що досліджене явище має випадковий характер. В роботі розглядаються дискретні випадкові величини, які характеризують експеримент, а також числові характеристики і розподіли дискретних випадкових величин.

 

 

1 ЙМОВІРНІСНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ дискретних ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН

1.1 Випадкова величина

 

Теорія ймовірностей, як математична теорія, вивчає закономірності масових подій. Пізнавальна цінність її обумовлена тим, що масові випадкові  явища у своєму сукупному впливу створюють строгі закономірності. Саме поняття математичної ймовірності  було б безплідним, як би не знаходило  б свого здійснення у вигляді  частоти появи якого не будь наслідку при многократному повторі певного  комплексу умов. Математичні закони теорії ймовірностей, одержані внаслідок  формалізації реальних статистичних закономірностей, що притаманні масовим випадковим подіям. Ймовірність – є мірою можливості здійснення результату. Формально міра ймовірності є функцією випадкової величини Р(х), яка ставить у відповідність результатам деякі раціональні числа і задовольняє наступним аксіомам:

1. Для будь-якого результату

 

0<P(x)<1       (1.1)

P() = 1,       (1.2)

 

де  – простір елементарних подій або достовірний результат.

2. Якщо 1, ξ2, ..., ξn попарно несумісні події, то справедливе таке співвідношення:

Р(ξ1Uξ2U…U ξn) = P(ξ1) + P(ξ2) + … + P(ξn) 

Випадкова величина – це величина, яка з певною ймовірністю  приймає одне із значень простору елементарних подій.

Дискретна випадкова  величина – це випадкова величина, яка приймає випадкові ізольовані дискретні значення з певними ймовірностями. Число можливих значень дискретної випадкової величини може бути скінченим або зліченим. Наприклад кількість абітурієнтів у поточному році, число студентів у групі, число яблук на яблуні, число успіхів події в n експериментах.

Неперервна  випадкова величина – це випадкова  величина, яка може приймати всі  значення із певного скінченого або  нескінченного проміжку.

1.2 Функція розподілу випадкової величини та її властивості

 

Нехай дискретна  випадкова величина задана законом  розподілу. Розглянемо подію, яка полягає  в тому, що випадкова величина ξ прийме яке-небудь значення менше будь-якого числа x. Ця подія має певну ймовірність.

При зміні  x будуть змінюватися і ймовірності. Отже F(x) можна розглядати як функцію змінної величини x.

Функцією  розподілу випадкової величини називається функція F(x), яка виражає для кожного числа x ймовірність того, що ξ прийме яке-небудь значення менше заданого.

Функція розподілу  випадкової величини x - це ймовірність

 

F(x)=P{x<x}    (1.3).

Функція розподілу F(x) неперервна зліва, не спадна на проміжку (-¥, +¥), при цьому F(-¥)=0, F(+¥)=1.

 

 

1.3 Математичне сподівання, дисперсія, моменти вищих порядків

 

Нехай x(w) – випадкова величина на ймовірному просторі (W,Á, Р). Математичним сподіванням будь-якої дискретної випадкової величини називається сума добутків всіх можливих для неї значень, помножених на ймовірності.

Мx= .    (1.4)

Властивості математичного сподівання:

• Постійний множник можна виносити за знак математичного сподівання.
• Математичне сподівання постійної величини дорівнює цій постійній величині.
• Математичне сподівання суми випадкових величин дорівнює сумі математичних сподівань.
• Математичне сподівання добутку незалежних випадкових величин дорівнює добутку математичних сподівань.
• Якщо всі значення випадкової величини ξ зменшити (збільшити) на одне й те саме число C , то математичне сподівання зменшиться (збільшиться) на те саме число С.

В більшості  випадків тільки математичне сподівання не може в достатній мірі характеризувати  випадкову величину.

Середня заробітна платня не дає  можливості казати про питому вагу високо й низькооплачуваних робітників, тобто по математичному сподіванню не можна казати, які відхилення від нього хоча б у середньому можливі. Найбільш розповсюджена міра розсіювання – це дисперсія та безпосередньо отримане з неї  середнє квадратичне відхилення.

ппре

Розкид значень випадкової величини ξ від її математичного сподівання Мξ характеризують різницю х_і– Мξ, однак середнє значення їх не може характеризувати розсіювання, тому що, відповідно наслідку, математичне сподівання цієї різниці буде дорівнювати 0. Отже розглядають квадрати вказаних відхилень:

Це математичне  сподівання й називається дисперсією випадкової величини ξ, а позначається D(ξ) або

Дисперсією  випадкової величини називається математичне сподівання квадрату відхилення її математичного сподівання.

 

    _(1.5)

 

Середнім  квадратичним відхиленням випадкової величини ξ називається арифметичне значення квадратного кореню від дисперсії, тобто:

 

     _(1.6)

 

Випадкові величини однозначно описується своїм законом  розподілу. Проте, на практиці не завжди потрібно такого докладного опису. В  таких випадках випадкові величини характеризуються своїми чисельними характеристиками - початковими та центральними моментами.

Початковим  моментом порядку k дискретної випадкової величини ξ  називається число

 

       (1.7)

Центральним моментом дискретної випадкової величини ξ порядку k називається число

      (1.8)

На практиці для опису випадкової величини досить початкових та центральних моментів перших чотирьох порядків, деякі з  яких мають спеціальні позначення та назви. Найбільш важливими серед  них є математичне сподівання та дисперсія випадкових величин.

У теорії ймовірностей часто застосовуються деякі закони розподілу випадкових величин. Розглянемо ці розподіли, а також задачі, де вони використовуються.

1.4  Біноміальний  закон розподілу

 

Закон подається за формулою:

  m = 0,1,2, …, n.  (1.9)

Закон справджується  для схеми незалежних повторних  випробувань, у кожному з яких подія А настає з імовірністю р. Частота настання події А має біноміальний закон розподілу. Числові характеристики розподілу:

     _(1.10)

1.5 Закон розподілу  Пуассона

 

Дискретна випадкова  величина має розподіл Пуассона, якщо вона набуває зліченної множини  значень  з ймовірностями Цей розподіл описує кількість подій, які настають в однакові проміжки часу за умови, що ці події відбуваються незалежно одна від одної зі сталою інтенсивністю. Розподіл Пуассона розглядається як статистична модель для кількості альфа-частинок, що їх випромінює радіоактивне джерело за певний проміжок часу; кількості викликів, які надходять на телефонну станцію за певний період доби; кількості вимог щодо виплати страхових сум за рік; кількості дефектів на однакових пробах речовини і т. ін. Розподіл застосовується в задачах статистичного контролю якості, у теорії надійності, теорії масового обслуговування. Математичне сподівання і дисперсія в цьому розподілі однакові і дорівнюють а. Для цього розподілу складено таблиці щодо різних значень (0,1 – 20). У таблицях для відповідних значень а наведено ймовірності

Якщо у  схемі незалежних повторних випробувань n велике і р або 1 – р прямують до нуля, то біноміальний розподіл апроксимується розподілом Пуассона, коли

1.6 Геометричний  розподіл

Закон подається  формулою:

  _(1.11)

Геометричний  закон розподілу має частота  настання події у схемі незалежних повторних випробувань, якщо вони проводяться  до першого настання події. У формулі р — імовірність настання події в кожному випробуванні. Геометричний закон розподілу застосовується у задачах статистичного контролю якості і теорії надійності. Числові характеристики розподілу:

         _(1.12)

1.7 Гіпергеометричний  розподіл

Гіпергеометричний розподіл описує ймовірність настання m успішних результатів у n випробуваннях, якщо значення n мале порівняно з обсягом сукупності N:

   _(1.13)

Наприклад, імовірність того, що з n деталей, які випадково вибрано з партії обсягом N, m виявляться дефектними, має гіпергеометричний закон розподілу (k — кількість дефектних деталей у партії). Цей закон розподілу застосовується в задачах статистичного контролю якості та в суміжних галузях. Числові характеристики розподілу:

    _(1.14)

Зі зменшенням відношення гіпергеометричний розподіл наближається до біноміального з параметрами n i Дуже часто гіпергеометричний розподіл апроксимується розподілом Пуассона, якщо

1.8 Рівномірний закон розподілу

 

В теорії ймовірностей і статистиці випадкова величина має дискретний рівномірний розподіл, якщо вона приймає скінченне число значень з однаковими ймовірностями.

Якщо випадкова величина може приймати будь-яке з n значень k₁,k₂,…,k_n, тоді це є дискретним рівномірним розподілом. Ймовірність випадання k_j дорівнює 1/n. Простим прикладом дискретного рівномірного розподілу є випадання гральної кості. k набуває значень 1, 2, 3, 4, 5, 6 і кожен раз випадає з імовірністю 1/6. У випадку, коли випадкова величина є дійсним числом, то функція розподілу можна виразити у термінах виродженого розподілу таким чином:

(1.15)

Числові характеристики розподілу:

    _(1.16)

1.9 Розподіл Бернуллі

Розподіл Бернуллі — розподіл ймовірностей дискретної випадкової величини названий на честь швейцарського математика Якоба Бернуллі.

Дискретна випадкова величина ξ  називається такою, що має розподіл Бернуллі, якщо її закон розподілу має вигляд: , де p — параметр, що визначає розподіл, .

Позначається  .

Функція розподілу має вигляд:

.     (1.17)

Числові характеристики

Математичне сподівання:

Mξ=0q+1p=p.       (1.18)

Дисперсія:

    (1.19)

 

 

2 Розрахункова частина

 

1. _{Розрахуємо теоретичне значення імовірності появи події А. Досліджувана подія А полягає в тому, що сума очок на двох гральних кубиках менша 5.}

_{Події А сприяють 6 елементарних подій з 36 можливих.}

 

Отже імовірність того що подія  А появиться в окремому експерименті рівна  , а імовірність того що подія А не появиться в окремому експерименті рівна .

2. Обчислимо ймовірність частоти появи події A в n експериментах за законом біноміального розподілу.

(2.1)

   (2.2)

(2.3)

(2.4)

(2.5)

(2.6)

(2.7) 

(2.8)

(2.9)

	0	1	2	3	4	5	6	7
	0,28	0,39	0,23	0,078	0,015	0,0017	0,00011	0,0000036

 

3. Перевіримо правильність розподілу . Отже, розподіл пораховано вірно.
4. Обчислимо математичне сподівання і дисперсію.

(2.10)

5. Обчислимо функцію розподілу.

(2.11)

6. Побудуємо графік функції розподілу(рис 2.1).

Рисунок 2.1 –  Графік функції розподілу

 

7. Побудуємо графік розподілу(рис. 2.2).

Рисунок 2.2 –  Графік розподілу

8. Проведемо N=60 стохастичних експериментів (Nxn випробувань) результати запишемо в таблицю 2.1.

Таблиця 2.1 – Результати експериментів 

№ Експерименту	Кількість успіхів x
1	1
2	2
3	0
4	0
5	1
6	1
7	1
8	2
9	1
10	2
11	1
12	1
13	1
14	2
15	2
16	2
17	0
18	1
19	2
20	1
21	1
22	0
23	0
24	1
25	0
26	1
27	2
28	1
29	2
30	1
31	2
32	0
33	2
34	1
35	0
36	2
37	2
38	0
39	1
40	1
41	2
42	1
43	1
44	1
45	3
46	2
47	3
48	1
49	0
50	0
51	2
52	1
53	1
54	1
55	2
56	1
57	3
58	0
59	2
60	0

 

9. Знайдемо оцінку математичного сподівання :

    (2.11)

Порівняймо mξ з теоретичним  значенням математичного сподівання M:

(2.12)

(2.13)

(2.14)

Отже методи розрахунку теоретичних характеристик випадкової  величини є цілком вірними.

 

 

ВИСНОВОК

 

В результаті виконання курсової роботи було досліджено:

• дискретну випадкову величину;
• функцію розподілу дискретної випадкової величини і її властивості;
• математичне сподівання дискретної випадкової величини і його властивості;
• дисперсію дискретної випадкової величини і її властивості;
• початкові і центральні моменти вищих порядків дискретної випадкової величини;
• розподіли дискретної випадкової величини(біноміальний, Пуассона, Бернуллі, геометричний, гіпергеометричний, дискретний рівномірний розподіл).

А також розраховано  розподіл, функцію розподілу, математичне  сподівання та дисперсія дискретної випадкової величини . Проведено 60 стохастичних експериментів, знайдено оцінку математичного сподівання дискретної випадкової величини . Порівнявши теоретичні розрахунки з даними отриманими на основі проведених експериментів було підтверджено достовірність теоретичних методів розрахунку ймовірності, і числових характеристик випадкової величини . А також виявлено що найчастіше (приблизно у 40% випадків) випадкова величина набуває значення 1. 

СПИСОК  ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

1. Каленюк П. І., Базилевич Л. Є., Баранецький Я. О., Ільків В. С., Киричинська І. Б. Теорія ймовірностей і математична статистика. — Л.: Видавництво Національного університету Львівська політехніка, 2005. — 240 с.
2. Латынин С. Н., Латынина И. В. Введение в теорию вероятностей. — Донецк: Юго-Восток, 2006. — 210 с.
3. Сеньо П.С. Теорія ймовірностей та математична статистика. — К.: Знання, 2007. — 556c. 
4. Тимченко Л. С., Кириллова Н. А., Гардер С. Е., Дубинина О. Н. Теория вероятностей и математическая статистика. — Х.: НТУ ХПИ, 2006. — 179 с.
5. Федоренко Н.Д., Баліна О.І. Теорія ймовірностей та математична статистика. — К.: КНУБА, 2007. — 104с.
6. Блудова Т. В. Теорія ймовірностей. — Л.: ЛБІ НБУ, 2005. — 318 с.
7. Бурачек В. Р. Основи теорії ймовірностей і математичної статистики для економістів. — Чернівці: Букрек, 2006. — 152 с.
8. Практикум з теорії ймовірностей та математичної статистики: Навч. посіб. для вищ. навч. закл./Р. К. Чорней, О. Ю. Дюженкова, О. Б. Жильцов та ін.;За ред. Р. К. Чорнея. - К.:МАУП, 2003. - 328 с.
9. Барковський В. В., Барковськ Н. В., Лопатін О. К. Математика для економістів. Теорія ймовірностей та математична статистика. – К.: НАУ, 1999. – 447 с.