ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ  УЧРЕЖДЕНИЕ

СРЕДНЕГО  ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО  ОБРАЗОВАНИЯ –  ТЕХНИКУМ «ШЕНТАЛИНСКОЕ  МЕДИЦИНСКОЕ УЧИЛИЩЕ» 
 
 
 

КУРСОВАЯ  РАБОТА 

Дисциплина:  Математические методы 

Тема: Динамическое программирование. 
 
 
 
 
 
 
 

                                         Филиппов Александр Владимирович 

                                 Специальность: 230105 –

                                                   Программное обеспечение ВТ и  АС 

                              Курс ІV, группа 496 

                                     Научный руководитель:

                                            Панина Людмила  Ивановна 

                                    Форма обучения: очная 
 
 
 
 
 
 
 

Шентала,

2011г. 
 

Содержание 

ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………………..3 

I. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ……………………………………………..5

1.1. Задача  динамического программирования ………………………..5

1.2. Примеры  задач динамического программирования………………9

1.3. Общая  структура динамического программирования……………13

1.4. Понятие о методе ветвей и границ………………………………….15 

II.ПРАКТИЧЕСКАЯ  ЧАСТЬ………………………………………………21

2.1.Применение  метода ветвей и границ для  задач календарного                       планирования ……………………………………………………………….21 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………………27

Библиографический список………………………………………………..28 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ВВЕДЕНИЕ 

      Работа  над данным курсовым проектом позволяет  закрепить знания по предмету «Математические методы».

      В наше время наука уделяет все  большое внимание вопросам организации  и управления, это приводит к необходимости  анализа сложных целенаправленных процессов под углом зрения их структуры и организации. Потребности практики вызвали к жизни специальные методы, которые удобно объединять под названием «исследование операций». Под этим термином понимается применение математических, количественных методов для обоснования решений во всех областях целенаправленной человеческой деятельности.

      Актуальность темы заключается в том, что метод динамического программирования, в частности метод ветвей и границ, применяется при решении многих экономических и практических задач.

      Целью исследования методов является выявление наилучшего способа действия при решении той или иной задачи. Главная роль при этом отводится математическому моделированию. Для решения математических моделей предназначены различные математические методы. Среди них метод динамического программирования, рассмотренный в данной работе.

         Для выполнения поставленной  цели мною решены следующие  задачи:

- изучен теоретический  материал  по динамическому программированию;

- дано понятие  о методе ветвей и границ;

- решена практическая  задача по применению метода  ветвей и границ.

       Курсовая работа состоит из  введения, теоретической части, практической  части, заключения и библиографического  списка. 

I.ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ  ЧАСТЬ

I. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

1. Задача динамического программирования

      Большинство методов исследования операций связано  в первую очередь с задачами вполне определенного содержания. Классический аппарат математики оказался малопригодным для решения многих задач оптимизации, включающих большое число переменных и/или ограничений в виде неравенств. Несомненна привлекательность идеи разбиения задачи большой размерности на подзадачи меньшей размерности, включающие всего по нескольких переменных, и последующего решения общей задачи по частям. Именно на этой идее основан метод динамического программирования.

      Динамическое  программирование (ДП) представляет собой  математический метод, заслуга создания и развития которого принадлежит прежде всего Беллману. Метод можно использовать для решения весьма широкого круга задач, включая задачи распределения ресурсов, замены и управления запасами, задачи о загрузке. Характерным для динамического программирования является подход к решению задачи по этапам, с каждым из которых ассоциирована одна управляемая переменная. Набор рекуррентных вычислительных процедур, связывающих различные этапы, обеспечивает получение допустимого оптимального решения задачи в целом при достижении последнего этапа.

    Происхождение названия динамическое программирование, вероятно, связано с использованием методов ДП в задачах принятия решений через фиксированные промежутки времени (например, в задачах управления запасами). Однако методы ДП успешно применяются также для решения задач, в которых фактор времени не учитывается. По этой причине более удачным представляется термин многоэтапное программирование, отражающий пошаговый характер процесса решения задачи.

    Фундаментальным принципом, положенным в основу теории ДП, является принцип оптимальности. По существу, он определяет порядок поэтапного решения допускающей декомпозицию задачи (это более приемлемый путь, чем непосредственное решение задачи в исходной постановке) с помощью рекуррентных вычислительных процедур.

      Динамическое  программирование позволяет осуществлять оптимальное планирование управляемых процессов. Под «управляемыми» понимаются процессы, на ход которых мы можем в той или другой степени влиять.

      Пусть предполагается к осуществлению  некоторое мероприятие или серия  мероприятий («операция»), преследующая определенную цель. Спрашивается: как нужно организовать (спланировать) операцию для того, чтобы она была наиболее эффективной? Для того, чтобы поставленная задача приобрела количественный, математический характер, необходимо ввести в рассмотрение некоторый численный критерий W, которым мы будем характеризовать качество, успешность, эффективность операции. Критерий эффективности в каждом конкретном случаи выбирается исходя из целевой направленности операции и задачи исследования (какой элемент управления оптимизируется и для чего).

      Сформулируем  общий принцип, лежащий в основе решения всех задач динамического  программирования («принцип оптимальности»):

      «Каково бы ни было состояние системы S перед очередным шагом, надо выбрать управление на этом шаге так, чтобы выигрыш на данном шаге плюс оптимальный выигрыш на всех последующих шагах был максимальным».

      Динамическое  программирование – это поэтапное  планирование многошагового процесса, при котором на каждом этапе оптимизируется только один шаг. Управление на каждом шаге должно выбираться с учетом всех его последствий в будущем.

      При постановке задач динамического  программирования следует руководствоваться следующими принципами:

1. Выбрать параметры (фазовые координаты), характеризующие состояние S управляемой системы перед каждым шагом.
2. Расчленить  операцию на этапы (шаги).
3. Выяснить набор шаговых управлений x_i для каждого шага и налагаемые на них ограничения.
4. Определить какой выигрыш приносит на i-ом шаге управление x_i, если перед этим система была в состоянии S, т.е. записать «функцию выигрыша»:

.

5. Определить, как изменяется состояние S системы S под влиянием управление x_i на i-ом шаге: оно переходит в новое состояние

. (1.1)

6. Записать основное рекуррентное уравнение динамического программирования, выражающее условный оптимальный выигрыш W_i(S) (начиная с i-го шага и до конца) через уже известную функцию W_i+1(S):

. (1.2)

      Этому выигрышу соответствует условное оптимальное  управление на i-м шаге x_i(S) (причем в уже известную функцию W_i+1(S) надо вместо S подставить измененное состояние )

7. Произвести условную оптимизацию последнего (m-го) шага, задаваясь гаммой состояний S, из которых можно за один шаг дойти до конечного состояния, вычисляя для каждого из них условный оптимальный выигрыш по формуле
8. Произвести условную оптимизацию (m-1)-го, (m-2)-го и т.д. шагов по формуле (1.2), полагая в ней i=(m-1),(m-2),…, и для каждого из шагов указать условное оптимальное управление x_i(S), при котором максимум достигается.

    Заметим, что если состояние системы в  начальный момент известно (а это обычно бывает так), то на первом шаге варьировать состояние системы не нужно - прямо находим оптимальный выигрыш для данного начального состояния S₀. Это и есть оптимальный выигрыш за всю операцию

9. Произвести  безусловную оптимизацию управления, «читая» соответствующие рекомендации на каждом шаге. Взять найденное  оптимальное управление на первом шаге ; изменить состояние системы по формуле (1.1); для вновь найденного состояния найти оптимальное управление на втором шаге х₂^* и т.д. до конца.

   Данные  этапы рассматривались для аддитивных задач, в которых выигрыш за всю  операцию равен сумме выигрышей  на отдельных шагах. Метод динамического программирования применим также и к задачам с так называемым «мультипликативным» критерием, имеющим вид произведения:

      (если  только выигрыши w_i положительны). Эти задачи решаются точно так же, как задачи с аддитивным критерием, с той единственной разницей, что в основном уравнении (1.2) вместо знака «плюс» ставится знак «умножения»:   
 
 

      1.2. Примеры задач динамического программирования 

    Задача  планирования рабочей  силы:

    При выполнении некоторых проектов число рабочих, необходимых для выполнения какого-либо проекта, регулируется путем их найма и увольнения. Поскольку как наем, так и увольнение рабочих связано с дополнительными затратами, необходимо определить, каким образом должна регулироваться численность рабочих в период реализации проекта.

    Предположим, что проект будет выполнятся в  течение n недель и минимальная потребность в рабочей силе на протяжении i-й недели составит b_i рабочих. При идеальных условиях хотелось бы на протяжении i-й недели иметь в точности b_i рабочих. Однако в зависимости от стоимостных показателей может быть более выгодным отклонение численности рабочей силы как в одну, так и в другую сторону от минимальных потребностей.

    Если  x_i – количество работающих на протяжении i-й недели, то возможны затраты двух видов: 1) С₁(x_i- b_i)-затраты, связанные с необходимостью содержать избыток x_i - b_i рабочей силы и 2) С₂(x_i- x_i-1)-затраты, связанные с необходимостью дополнительного найма (x_i- x_i-1) рабочих.

    Элементы  модели динамического программирования определяются следующим образом:

1. Этап і представляется порядковым номером недели і, і=1,2,…n.
2. Вариантами решения на і-ом этапе являются значения x_i – количество работающих на протяжении і-й недели.
3. Состоянием на і-м этапе является x_i-1 – количество работающих на протяжении (і-1) –й недели (этапа).

    Рекуррентное  уравнение динамического программирования представляется в виде 

    где

    Вычисления  начинаются с этапа n при x_n=b_n и заканчиваются на этапе 1.  

    Задача  замены оборудования:

    Чем дольше механизм эксплуатируется, тем  выше затраты на его обслуживание и ниже его производительность. Когда  срок эксплуатации механизма достигает определенного уровня, может оказаться более выгодной его замена. Задача замены оборудования, таким образом, сводится к определению оптимального срока эксплуатации механизма.

    Предположим, что мы занимаемся заменой механизмов на протяжении n лет. В начале каждого года принимается решение либо об эксплуатации механизма еще один год, либо о замене его новым.

    Обозначим через r(t) и c(t) прибыль от эксплуатации t-летнего механизма на протяжении года и затраты на его обслуживание за этот же период. Далее пусть s(t) – стоимость продажи механизма, который эксплуатировался t лет. Стоимость приобретения нового механизма остается неизменной на протяжении всех лет и равна l.

    Элементы  модели динамического программирования таковы:

1. Этап і представляется порядковым номером года і, і=1,2,...n.
2. Вариантами решения на і-м этапе (т.е. для і-ого года) являются альтернативы: продолжить эксплуатацию или заменить механизм в начале і-ого года.
3. Состоянием на і-м этапе является срок эксплуатации t (возраст) механизма к началу і-ого года.

    Пусть f_i(t)-максимальная прибыль, получаемая за годы от і до n при условии, что в начале і-ого года имеется механизм t-летнего возраста.

    Рекуррентное  уравнение имеет следующий вид: 

    (1)-если  эксплуатировать механизм,

    (2)-если  заменить механизм. 

    Задача  инвестирования:

    Предположим, что в начале каждого из следующих n лет необходимо сделать инвестиции P₁, P₂,…, P_n соответственно. Вы имеете возможность вложить капитал в два банка: первый банк выплачивает годовой сложный процент r₁, а второй - r₂. Для поощрения депозитов оба банка выплачивают новым инвесторам премии в виде процента от вложенной суммы.

    Премиальные меняются от года к году, и для  і-ого года равны q_i1 и q_i2 в первом и втором банках соответственно. Они выплачиваются к концу года, на протяжении которого сделан вклад, и могут быть инвестированы в один из двух банков на следующий год. Это значит, что лишь указанные проценты и новые деньги могут быть инвестированы в один из двух банков. Размещенный в банке вклад должен находится там до конца рассматриваемого периода. Необходимо разработать стратегию инвестиции на следующие n лет.

    Элементы  модели динамического программирования следующие:

1. Этап і представляется порядковым номером года і, і=1,2,...n
2. Вариантами решения на і-м этапе (для і-ого года) являются суммы l_i и инвестиций в первый и второй банк соответственно.
3. Состоянием x_i на і-м этапе является сумма денег на начало і-ого года, которые могут быть инветсированы.

    Заметим, что по определению  =x_i-l_i. Следовательно,

    где і=2,3,…n, x₁=P₁. Сумма денег x_i, которые могут быть инвестированы, включает лишь новые деньги и премиальные проценты за инвестиции, сделанные на протяжении (і-1)-го года.

    Пусть f_i(x_i)- оптимальная сумма инвестиций для интервала от і-го до n-го года при условии, что в начале і-го года имеется денежная сумма x_i. Далее обозначим через s_i накопленную сумму к концу n-го года при условии, что l_i и (x_i-l_i)-объемы инвестиций на протяжении і-го года в первый и второй банк соответственно. Обозначая , і=1,2, мы можем сформулировать задачу в следующем виде.

    Максимизировать z=s₁+s₂+…+s_n, где

    Так как премиальные за n-й год являются частью накопленной денежной суммы от инвестиций, в выражения для s_n добавлены q_n1 и q_n2.

    Итак, в данном случае рекуррентное уравнение для обратной прогонки в алгоритме динамического программирования имеет вид 

    где x_i+1 выражается через x_i в соответствии с приведенной выше формулой, а f_n+1(x_n+1)=0. 

1.3 Общая структура  динамического программирования 

    Отыскание оптимальной стратегии принятия набора последовательных решений, в  большинстве случаях, производится следующим образом: сначала осуществляется выбор последнего во времени решения, затем при движении в направлении, обратном течению времени, выбираются все остальные решения вплоть до исходного.

    Для реализации такого метода необходимо выяснить все ситуации, в которых может происходить выбор последнего решения. Обычно условия, в которых принимается решение, называют «состоянием» системы. Состояние системы – это описание системы, позволяющее, учитывая будущие решения, предсказать ее поведение. Нет необходимости выяснять, как возникло то ил иное состояние или каковы были предшествующие решения. Это позволяет последовательно выбирать всего по одному решению в каждый момент времени. Независимо от того, отыскивают оптимальные решения с помощью табличного метода и последующего поиска или аналитическим путем, обычно быстрее и выгоднее производить выбор по одному решению в один момент времени, переходя затем к следующему моменту и т.д. К сожалению, таким методом можно исследовать не все процессы принятия решений. Необходимым условием применения метода динамического программирования является аддитивность цен всех решений, а также независимость будущих результатов от предыстории того или иного состояния.

    Если  число решений очень велико, то можно построить относительные оценки состояний так, чтобы оценки, отвечающие каждой паре последовательных решений, отличались друг от друга на постоянную величину, представляющую собой средний «доход» на решение. Также можно выполнять дисконтирование доходов от будущих решений. Необходимость в этом иногда появляется в том случае, когда решение принимаются редко, скажем раз в году. Тогда уже не нужно рассматривать последовательно 1,2,3…решения, чтобы достичь решения с большим номером. Вместо этого можно непосредственно оперировать функциональным уравнением, что, как правило, дает существенную выгоду с точки зрения сокращения объема вычислений. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    1.4. Понятие о методе ветвей и границ

  Метод ветвей и границ — один из комбинаторных  методов. Его суть заключается в  упорядоченном переборе вариантов  и рассмотрении лишь тех из них, которые  оказываются по определенным признакам  перспективными, и отбрасывании бесперспективных вариантов.

  Метод ветвей и границ состоит в следующем: множество допустимых решений (планов) некоторым способом разбивается  на подмножества, каждое из которых  этим же способом снова разбивается  на подмножества. Процесс продолжается до тех пор, пока не получено оптимальное целочисленное решение исходной задачи.

  Алгоритм  решения:

  Первоначально  находим симплексным  методом  или  методом искусственного базиса оптимальный план задачи без учета  целочисленности переменных. Пусть  им является план X₀. Если среди компонент этого плана нет дробных чисел, то тем самым найдено искомое решение данной задачи и F_max = F(X_o).

  Если  же среди компонент плана X₀ имеются дробные числа, то X₀ не удовлетворяет условию целочисленности и необходимо осуществить упорядоченный переход к новым планам, пока не будет найдено решение задачи. Покажем, как это можно сделать, предварительно отметив, что F(X₀) ³ F(X) для всякого последующего плана X.

  Предполагая, что найденный оптимальный план X₀ не удовлетворяет условию целочисленности переменных, тем самым считаем, что среди его компонент есть дробные числа. Пусть, например, переменная приняла в плане X₀ дробное значение. Тогда в оптимальном целочисленном плане ее значение будет по крайней мере либо меньше или равно ближайшему меньшему целому числу , либо больше или равно ближайшему большему целому числу + 1. Определяя эти числа, находим симплексным методом решение двух задач линейного программирования:

  Найдем  решение задач линейного программирования (I) и (II). Очевидно, здесь возможен один из следующих четырех случаев:

1.   Одна  из  задач  неразрешима,   а другая имеет целочисленный  оптимальный план. Тогда этот  план и значение целевой функции  на нем и дают решение исходной  задачи.

2. Одна из  задач неразрешима, а другая  имеет оптимальный план, среди компонент которого есть дробные числа. Тогда рассматриваем вторую задачу и в ее оптимальном плане выбираем одну из компонент, значение которой равно дробному числу, и строим две задачи, аналогичные задачам (I) и (II).

3. Обе  задачи разрешимы. Одна из задач имеет оптимальный целочисленный план, а в оптимальном плане другой задачи есть дробные числа. Тогда вычисляем значения целевой функции на этих планах и сравниваем их между собой. Если на целочисленном оптимальном плане значение целевой функции больше или равно ее значению на плане, среди компонент которого есть дробные числа, то данный целочисленный план является оптимальным для исходной задачи и он вместе со значением целевой функции на нем дает искомое решение.

Если  же значение целевой функции больше на плане, среди компонент которого есть дробные числа, то следует взять одно из таких чисел и для задачи, план которой рассматривается, необходимо построить две задачи, аналогичные (I) и (II).

4. Обе  задачи разрешимы, и среди оптимальных  планов обеих задач есть дробные числа. Тогда вычисляем значение целевой функции на данных оптимальных планах и рассматриваем ту из задач, для которой значение целевой функции является наибольшим. В оптимальном плане этой задачи выбираем одну из компонент, значение которой является дробным числом, и строим две задачи, аналогичные (I) и (II).

Таким образом, описанный выше итерационный процесс может быть представлен  в виде некоторого дерева, на котором  исходная вершина отвечает оптимальному плану Х₀ задачи (1)-(3), а каждая соединенная с ней ветвью вершина отвечает оптимальным планам задач (I) и (II). Каждая из этих вершин имеет свои ветвления. При этом на каждом шаге выбирается та вершина, для которой значение функции является наибольшим. Если на некотором шаге будет получен план, имеющий целочисленные компоненты, и значение функции на нем окажется больше или равно, чем значение функции в других возможных для ветвления вершинах, то данный план является оптимальным планом исходной задачи целочисленного программирования и значение целевой функции на нем является максимальным.

Итак, процесс  нахождения решения задачи целочисленного программирования (1)-(4) методом ветвей и границ включает следующие основные этапы:

1°. Находят  решение задачи линейного программирования (1)-(3).

2°. Составляют  дополнительные ограничения для  одной из пере-менных, значение  которой в оптимальном плане  задачи (1)-(3) является дробным числом.

3°. Находят  решение задач (I) и (II), которые получаются из задачи (1)-(3) в результате присоединения дополнительных ограничений.