Динамика волн цунами

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГИДРОМЕТЕОРОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

 

 

 

 

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

На тему: «Динамика волн цунами»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Cанкт-Петербург 2011

Введение 

 

Цунами – японское слово, означающее волну в гавани. Теперь оно применяется для обозначения гравитационных волн на поверхности воды, вызванных главным образом землетрясениями или явлениями, связанными с ними (например, оползнем), а также взрывами вулканических островов или ядерных устройств. Прежде эти волны назывались приливными (tidal waves), но это неверно, так как цунами не связаны с приливами. Другой хорошо распространенный термин «морские сейсмические волны» не включает волны от естественных и искусственных  взрывов. Здесь можно пользоваться определением Ван Дорна: «Цунами – это японское название системы гравитационных волн, возникающих в море вследствие крупномасштабных непродолжительных возмущений свободной поверхности». Этим определением исключаются штормовые нагоны (ветровые приливы) и связанные с ними сейши.

 

 

 

 

 

 

 

Общая характеристика явления  цунами

Под японским названием  «цунами» известны гравитационные волны, возбуждаемые в первую очередь подвижками дна при подводных землетрясениях значительной мощности с относительно неглубоким (до 50 км) расположением очага в земной коре. Другие причины цунами – подводные извержения вулканов, оползни и обвалы – имеют второстепенное значение.

Интенсивность цунами (I) определяют по максимальному подъему воды у берега и выражают в баллах.

Периоды волн цунами лежат в пределах 10²-10⁴ с (2 - 200 мин), а скорость распространения хорошо описывается формулой Лагранжа-Эри ; таким образом, их длина имеет порядок 10-1000 км. Над большими глубинами высота большинства цунами не превышает 2-3 м, но при переходе на прибрежное мелководье высота цунами значительно возрастает. В табл. 1 приведены некоторые из зарегистрированных высот у берега.

ТАБЛИЦААА

В соответствии с преобладающей  ролью различных физических факторов весь процесс принято делить на три основных этапа: возникновение, распространение, взаимодействие с берегом.

Физический механизм возбуждения цунами подвижкой океанского дна обусловлен передачей возмущения от дна к воде, которое выводит свободную поверхность из состояния равновесия и формирует так называемое начальное возмущение, которое дает начало гравитационным волнам, концентрически расходящимся из «очага цунами», как называют зону начального возмущения. При этом гравитационные колебания довольно быстро отфильтровываются от акустических, так как последние, обладая большей скоростью распространения ( ) , разбегаются из зоны очага быстрее, чем первые ( ). Поэтому при гидродинамическом описании процесса возникновения цунами приведенная выше картина обычно упрощается путем исключения ее акустической части. С этой целью часто используют «поршневую» аппроксимацию, полагая, что подвижка дна непосредственно сдвигает по вертикали несжимаемый вышележащий водяной блок. Если сама подвижка и соответствующий сдвиг предполагаются не мгновенные, а растянутыми во времени, то к моменту завершения подвижки поверхностное возмущение успевает деформироваться под действие горизонтальных градиентов давления и, сохраняя некоторые черты донной деформации, не является в точности подобным ей.

Основными факторами, определяющими  параметры излучающие свойства очага, будут пространственные и временные  характеристики донной подвижки, фоновая  топография дна в зоне очага и общая глубина. Грубо можно считать, что горизонтальный размер очага l определяет верхний предел длины излучаемой волны ( ) и тем самым нижний предел частоты возникающих колебаний ( ). Более высокие частоты обусловлены неоднородностями начального возмущения в пределах зоны очага.

После перехода ко второму этапу  процесс распространения и трансформации  волн цунами полностью описывается  законами динамики несжимаемой жидкости. Основными факторами, определяющими  характер распространения, будут геометрические и спектральные характеристики начального возмущения, а также рельеф дна в области распространения. Здесь требуется учитывать отражение и рефракцию распространяющихся волн, захват энергии, волновые эффекты и т.д.

Наконец, на третьем этапе, при непосредственном взаимодействии волн с наклонным  берегом, характер волны зависит  от его наклона, переменности конфигурации и площади области, покрытой водой; при этом может происходить обрушение  волн и их движение «по сухому дну» при заливании берега. Математическое описание этих явлений наиболее трудно и наименее развито.

 

Возникновение начального возмущения и излучение волн цунами из зоны очага.

Обычно процесс возникновения  цунами описывается в виде задачи о движении горизонтального слоя невязкой и несжимаемой жидкости, ограниченного сверху свободной поверхностью, а снизу дном, движение которого в зоне «донного очага» известно. Начало координат располагается на поверхности либо на дне (обычно в зоне очага), ось z направлена вверх. Если дно смещается плоскопараллельно, то движение жидкости, начинающееся из состояния покоя, будет безвихревым. Дополнительный учет уравнения неразрывности приводит к уравнению:

(1).

описывающему поведение потенциала скорости.

Граничные условия на дне вытекают из известного распределения  вертикальных скоростей воды, обусловленного подвижкой дна:

(2).

Граничные условия на свободной поверхности, как обычно, состоят из динамического и кинематического. Их комбинация дает в линейном приближении одно граничное условие в виде

(3).

Если потенциал  , заданный уравнением (1), определен при граничных условиях (2) и (3), то из динамического условия

(4)

можно определить возвышение уровня . В общем случае, однако, решение для и удается получить лишь в интегральной форме, а анализ этого решения, не говоря уже про вычисление, крайне затруднителен. Получение обозримого результата возможно лишь при таких колебаниях дна, которые описываются некоторыми видами функции F(t, x, y). В частности, для осесимметричных очагов при использовании плоской полярной системы координат удается не только получить форму начального поверхностного возмущения, но и проследить за излучением из зоны очага, т.е. определить функцию для значений t и r , превышающих те, которые характеризуют функцию F. На рис.1 показан ход колебаний уровня на различных удалениях от центра очага при H=const, характеризуемого начальным возмущением поверхности в виде параболической впадины

,

которое задается для  , где r₀ – горизонтальный радиус впадины. Рис.1 демонстрирует некоторые характерные свойства волн, излучаемых из зоны начального возмущения небольших размеров:

а) первое возмущение уровня на всех удалениях  от очага совпадает по знаку с  начальным возмущением в очаге

б) в первом приближении излучаемая волновая система имеет вид косинусоиды, модулированной по амплитуде, в результате чего максимальное значение имеет не головная волна цуга, а какая-то из последующих;

в) амплитуда колебаний падает с  удалением от очага пропорционально члену 1/r. Следует отметить. Что в одномерном случае (плоская волна) падение амплитуды происходит пропорционально , т.е. медленнее. Физическая причина этого состоит в том, что в одномерном случае падения амплитуды, пропорциональное , обусловлено только различием между групповой , фазовой и характеристической скоростями (в общем с_гр< c < c₀). Это различие приводит к отставанию максимума энергосодержания в волновом цуге от переднего фронта, имеющего скорость с₀; при этом энергия как бы размазывается вдоль волнового луча и особенно в его головной части все более тонким слоем. В двумерным же случае к описанному эффекту добавляется эффект радиального расхождения волновых лучей, за счет которого энергия, приходящаяся на единицу длины фронта, падает пропорционально 1/r, что дает дополнительный множитель для амплитуды, полное падение которой характеризуется теперь множителем 1/r.

г) по мере удаления от очага происходит увеличение как длины волнового  пакета («длины волны» модулирующей огибающей), так и числа отдельных волн в пакете. Тыловая точка пакета постоянно отстает от фронтовой, т.е. пакет нарастает с тыла. В  головной части цуга происходит увеличение периодов колебаний (эффект дисперсии).

Поскольку перечисленные  особенности получены для случая небольшого очага, они в основном характеризуют лишь относительно высокочастотную  часть спектра цунами. Однако обычно горизонтальные размеры очага во много раз превосходят глубину океана, т.е. излучаемые волны имеют максимум энергии на достаточно низких частотах и являются длинными. При этом дисперсия незначительна и описанного выше «отставания» максимума энергосодержания от гребней, а гребней от фронта не происходит либо оно выражено слабо. В результате форма распространяющейся волны становится более устойчивой, а падение амплитуды с удалением от очага происходит медленнее, чем у высокочастотных волн.

На рис.2 приведены результаты расчета характеристик длинных волн, появляющихся при характерной ширине зоны исходного возмущения 100 и 50 миль. При постоянной глубине H=3 мили оба колебания зафиксированы на расстоянии около 3000 миль от центра очага (волна предполагается плоской). Видно, что в первом случае волна пробегает весь путь практически без изменения формы, сохранив свою высоту и характер одиночного возмущения. Во втором случае уже заметны искажения: падения амплитуды, отставание гребня от фронта, возникновение высокочастотного хвоста. В обоих случаях, однако, энергия весьма устойчиво удерживается в головной волне цуга, которая остается самой высокой. Нарушение этой закономерности у длинных волн цунами в открытом море может происходить лишь за счет особенностей самого исходного возмущения.

Исследования аналитических решений  модельных задач установило возможность  появления неравномерной направленности излучения волн в зависимости  от характера подвижки дна в области  возмущения. Существенная разница между  амплитудами волн, распространяющихся в различных направлениях, может возникнуть в связи с уклоном дна в эпицентре землетрясения.

Приведенные выше результаты аналитических  решений получены при идеализированном условии H=const и описывают лишь начальный этоп развития цунами. Построить функцию для больших значений t, x, y и при H=const крайне трудно. Математические модели, позволяющие воспроизводить как возбуждение, так и распространение волн цунами при наличии переменной глубины и отражающих берегов сложной конфигурации, реализуются с помощбю численного решения уравнения длинных волн:

(5);

  (6);

(7),

где f – параметр Кориолиса; r_* - коэффициент трения.

На береговых границах обычно используется условие непротекания (v_n=0), а на открытых границах – условия свободного ухода волны в той или иной модификации.

При приближенных расчетах часто не учитывают роль трения и  силы Кориолиса. Система (6) – (7) переписывается в конечно-разностной форме и  решается шагами по времени и пространству, воспроизводя эволюцию возмущения свободной поверхности и поля скоростей. В качестве начального условия обычно принимается решение задачи, описываемой уравнениями (1) – (3), в какой-то момент t, когда значение (а значит, и ) отличны от нуля в ограниченной области очага. Однако, видоизменив уравнение неразрывности (7), можно учесть подвижку дна, описываемую известной функцией непосредственно. Поскольку при наличии вертикальной донной подвижки полная глубина будет

(8),

то интегрирование по вертикали уравнение неразрывности  от дна до свободной поверхности  дает не (7), а

(9),

где первый член часто  представляется в виде

(10),

поскольку в линейном приближении

(11).

Таким образом, в качестве уравнений модели служит система (6), (9), а в качестве начальных условий  используется соотношение

(12),

характеризующее невозмущенное состояние до начала подвижки дна.

 

3 распространение и трансформация  волн цунами.

Характер распространения волн цунами в значительной мере определяется влиянием топографических особенностей дна океана и его берегов. Такие  явления, как рефракция, отражение, концентрация волновой энергии на шельфах и подводных хребтах, аналитически исследованы в работах С. С. Войта, Б. И. Себекина и других. В принципе эффекты такого рода могут быть учтены в процессе численного решения системы (6), (7) либо (6), (9), если продолжить вычисления достаточно долго. Однако на этом пути встречаются трудности, связанные с ограниченной емкостью существующих вычислительных средств, поскольку область расчета нередко охватывает огромные пространства океана, а расчетная сетка должна быть достаточно частой, чтобы воспроизвести характерные черты явлений без грубых искажений. Поэтому в практике исследований часто применяются упрощенные, но зато более доступные методы расчета распространения волн цунами. Одним из них является метод рефракционных диаграмм (лучей и фронтов), в основе которого лежит аналогия с законами геометрической оптики.

  4 метод рефракционных диаграмм.

Цель этого метода состоит в  построении системы волновых лучей  и фронтов, описывающих распространение головной волны уцнами и зоны очага до ближайшего побережья. Для нахождения лучевой картины используется известный закон Снеллиуса, описывающий преломление волнового луча за счет изменения глубины, а для определения положения фронтов – формула Дюбуа

(13),

где t₀ – момент образования начального возмущения; t_н – момент регистрации волны в пункте наблюдения; l – расстояние вдоль волнового луча, соединяющего очаг с пунктом регистрации у берега, а X – расстояние самого пункта от очага. Формула (13) прямо следует из формулы Лагранжа – Эри , если придать последней формуле локальный характер, считая, что Н и с зависят от l.

На практике построение волновых лучей  производят, например, разбивая рассматриваемый  район но полосы между принятыми изобатами и приписывая каждое полосе среднюю постоянную глубину H_m. Получив для каждой полосы значение и задаваясь первоначальным направлением луча (обычно по нормали от границы очага), продолжают его до первой изобаты, определяя тем самым угол падения . Зная , с₁ и с₂, с помощью закона Снеллиуса находят угол преломления

(14),

после чего производят надлежащий излом луча и вводят его во вторую полосу, продолжая по прямой линии до следующей изобаты, где повторяют ту же процедуру. Полученная ломаная линия затем сглаживается. Иногда методику видоизменяют, производя излом луча не на изобатах, а посередине каждой полосы. Для построений широко используются вспомогательные графики, таблицы, палетки, а также графопостроители на ЭВМ.

Получив набор волновых лучей, каждый из них можно разбить на небольшие отрезки и, применяя вытекающее из (13) выражение

(15),

где L – полный путь вдоль луча, рассчитать время пробега волны от очага до любой точки. После этого, соединив точки с одинаковыми значениями t_н, строят систему ортогональных к лучам волновых фронтов на разные моменты времени, получая тем самым полную картину распространения фронта головной волны от очага.

Указанный способ особенно часто применяется для решения  обратной задачи – определения положения  очага по данным наблюдений в береговых  пунктах. Из каждого такого пункта строят пучок веерообразно расходящийся в море лучей. Момент землетрясения, регистрируемый во всех пунктах практически одновременно (если необходимо, вводятся небольшие поправки), принимают за момент образования исходного возмущения, т.е. за t₀ . Если t_н – момент регистрации первой волны в данном пункте, то время пробега волны от очага до пункта будет . Если теперь для каждого пункта построить условный фронт на расстоянии, соответствующем времени пробега , то такой фронт будет «линией положения» того края очага, который обращен в сторону данного пункта. При надлежащем и удачном расположении береговых пунктов несколько таких условных фронтов, как видно из примера на рис.3, позволяют довольно уверенно определить положение очага.

Трансформация волн цунами на пути от очага к берегу. При  построении прямых рефракционных диаграмм (от очага к берегу) можно получить дополнительные сведения о параметрах первой волны из весьма простых соображений. В случае лучевого приближения, которое оправдывается тем лучше, чем проще рельеф дна и сама лучевая картина, предполагается, что волновая энергия переноситься вдоль лучей, не пересекая их. Таким образом, область между двумя смежными лучами – так называемую «лучевую трубку» – можно рассматривать как элементарный канал переменного сечения, к которому применимы одномерные уравнения и соответствующие положения теории длинных волн. Так, если сечение трубки меняется достаточно плавно и отражение в ее пределах является слабым, то закон Грина

(16)

позволяет ориентировочно определить высоту первой волны  на любой изобате Н, если высота возмущения и глубина Н₀ в очаге известны, а b и b₀ означают ширину трубки на выходе из очага и на изобате Н. кроме того, если известен горизонтальный размер l₀ однородного очага в направлении луча, то, считая, что , из соотношения можно получить примерное значение основной частоты колебания

(17).

Считая  в пределах всей трубки, легко найти и длину гребня первой волны на любой изобате Н:

(18).

Применяя простые формулы (16) – (18), удается получить ориентировочные  оценки амплитуд, периодов и других характеристик цунами для любых изобат, если известны его параметры в очаге.

На практике этот способ применяется для грубых оценок влияния  на «цунамиопасность» различных  участков побережья прибрежных эффектов (мелководье, рефракция). Для этого строится лучевая картина от некоторого условного очага, ориентированного параллельно берегу и с одинаковым возмущением по всей длине. Тогда, например, полученное по формуле (16) распределение величины вдоль прибрежной изобаты, в качестве которой часто берется 10 м, будет характеризоваться локальное усиление или ослабление цунами, позволяя выделить более или менее опасные зоны побережья.

Результаты такого же характера, но значительно более  точные получают путем численного интегрирования вдоль лучевой трубки одномерных уравнений длинных волн, которые в данном случае обычно записываются в форме, где фигурирует не скорость u, а объемный расход . В такой форме уравнения будут иметь вид

  (19);

(20);

В качестве начального условия  на удаленном от берега участке трубки обычно принимается либо начальное  возмущение уровня при Q₀(x)=0, либо комбинация возмущений уровня и потока Q₀(x). На конце трубки задается линеаризованное условие бегущей волны или излучения

(21),

но иногда на прибрежном конце, например на 10-метровой изобате, задают условия непротекания Q=0 либо частичного отражения

(22),

где r_к – коэффициент комплексного отражения, учитывающий фазовый сдвиг.

Этот более строгий  подход позволяет получить волновой профиль на любой момент, а также  в полной мере учитывается отражение  от неровностей дна и возможные  резонансные эффекты.

волны цунами у берега

Резонанс на шельфе. При  наличии шельфа, окаймленного крутым континентальным склоном, волна  цунами после отражения от береговой  черты испытывает затем частичное  отражение обратно от склона в  шельфовую зону, что при определенных соотношениях между длиной волны и шириной шельфа (когда ширина шельфа равна нечетному числу1/4 длин волн) может приводить к резонансу, если приходящий из океана цуг содержит хотя бы несколько индивидуальных волн. В этом случае специальный интерес представляет вопрос о перераспределении энергии между отдельными волнами подходящего к берегу цуга. В монохроматическом цуге ( ) при резонансе синфазная суперпозиция каждой новой вступающей на шельф волны цуга с дважды отраженной (от берега и склона) долей предыдущей волны в общем случае приведет к нарастанию подходящих к берегу волн до тех пор, пока излучение из зоны шельфа не превзойдет поступления энергии на шельф. В результате максимальную высоту у берега может иметь не та волна, которая была максимальной в цуге, а одна из последующих. Рассмотрим в качестве примера экспоненциально модулированный затухающий цуг вступающих на шельф волн в форме

(23),

где ; Н – глубина шельфа, ширина которого равна (четвертьволновой резонанс), а – – показатель огибающей экспоненты. Каждая последующая волна цуга, меньшая предыдущей в раз, будет, вступая на шельф, складываться с дважды отраженной, т.е. уменьшенной q^-1 раз (q=r₁r₂, r₁ и r₂ – коэффициенты отражения от берега и склона) предыдущей волны, в результате чего высота очередной волны увеличится. В этом случае отношение высоты n-й волны, регистрируемой у берега, к высоте первой волны будет не , как у неискаженного цуга, а

  (24).

На рис.4 показан ход  уровня у берега при различных  значениях q для случая резонанса при . Видно, что с ростом q колебания у берега возрастают, а максимум возвышения сдвигается на 2-й, 3-й и т.д. подъем уровня.

Обрушение волн цунами. В  прибрежной мелководной зоне действие нелинейных эффектов приводит к тому, что гребень волны движется быстрее  ложбины, передний склон волны становиться  круче и со временем, при достаточной длине мелководной зоны, на нем возникает зона обрушения волны, называемая бором. Нагляднее всего представление о возникновении и развитии бора можно получить, рассчитывая одномерное распространение длинной волны по мелководью с помощью так называемого метода характеристик, сущность которого заключается в следующем. Рассмотрим одномерную систему уравнений длинных волн на мелкой воде переменной глубины H(x):

(25.1);

(25.2);

Посредством ввода величин и система (25) сводится к

(26).

Левая часть этого  уравнения представляет собой полную производную от ( ) по t при условии, что , т.е.

(27).

Это соотношение выполняется  вдоль линий, проведенных в x, t-плоскости и имеющих наклон

(28).

Линии, имеющие наклон u+c, называются прямыми характеристиками, а линии с наклоном u – c – обратными характеристиками. Из каждой точки x, t-плоскости с известными u и c можно провести как прямую, так и обратную характеристику.

Если записать уравнения (27) и (28) в конечно-разностной форме

;

  (29),

то, имея начальные либо граничные условия, описывающие возмущения, удается проследить эволюцию волны в процессе ее распространения. Пусть, например, в момент t=t₁ во всех узлах x_i интервала x_m-x_n заданы значения и u. Так как глубина H во всех x_i также известна, то можно определить для каждой точки величину , а затем , т.е. найти наклоны характеристик в этих точках. На рис.5 показано, что, проведя, например, характеристику с наклоном u₁+c₁ из точки 1 и характеристику с наклоном u₂-c₂ из точки 2 до их пересечения, мы графически определяем точку 3, т.е. тот момент t₃ и ту координату x₃, которые обеспечивают одновременное выполнение вытекающих из (29) соотношений:

;

  (30);

Из (30) находятся u₃ и c₃ (а отсюда и ) в точке 3, а это позволяет провести из нее продолжение прямой и обратной характеристик до их следующего пересечения со смежными и т.д. При переменном уклоне дна на каждом шаге можно использовать последовательные приближения путем ввода значений N в соответствии с (30) в виде вместо N₁ и вместо N₂.

Таким образом, распространение волнового возмущения можно описать, построив сетку характеристик от зоны возмущения в сторону берега. При этом наклон прямой характеристики, идущей от переднего края возмущения, известен заранее (он равен , так как здесь ), и эта характеристика строится первой. Обратные характеристики строятся от первой прямой характеристики, а также в пределах заданного возмущения. Каждый узел полученной сетки дает новую пару значений x и t, для которых, решая систему типа (30), можно найти новые значения и u.

Следует отметить, что  метод характеристик допускает  учет донного трения и переменной ширины бассейна (в случае бухты). При  этом первое из уравнений (29) приобретает  вид

  (31) ,

где b – ширина бассейна; r* –  коэффициент трения. Соответствующим образом изменится и система (30).

  Деформация волны, обусловленная действием нелинейных эффектов, проявляется прежде всего в том, что в точках гребня волны, где , значение с возрастает, и прямые характеристики имеют тем больший наклон, чем больше . В результате по мере распространения волны на ее переднем склоне происходит сгущение прямых характеристик и в некоторый момент t* происходит пересечение каких-либо двух из них.

На рис.6 показано пересечение прямых характеристик а и b, в то время, как к – это обратная характеристика, проходящая через точку их пересечения. Для такой точки можно определить две системы величин u и c: одну из пары характеристик а, к, а другую – из b, k. Двойное значение u и c в одной точке и в один момент означает наличие разрыва или вертикальной водяной стенки. Эта ситуация соответствует началу обрушения волны и возникновения бора. В зависимости от уклонов дна и от формы вступающей на мелководье волны бор может возникнуть в различных точках ее переднего склона – от переднего края (фронта) до гребня.

Поскольку в окрестности  бора условие малости крутизны волновой поверхности явно нарушается и теория длинных волн, лежащая в основе метода характеристик, теряет силу, для  дальнейшего расчета распространения бора используют закономерности и соотношения, полученные в гидравлике при исследовании явления гидравлического прыжка, аналогичного бору. В частности, скорость движения бора в ряде случаев можно определить по формуле

  (31),

где Н – глубина перед бором; Z – высота бора. Величина V определяет положение возникающего разрыва в x, t-плоскости, задавая наклон так называемой линии бора, выходящей из точки начала обрушения. Последующее изменение параметров бора определяется с помощью величины u и c на характеристиках (прямых и обратных), продолжающих пересекать линию бора по мере его приближения к берегу.

Заливание берега. Собственно процесс заливания обусловлен тем, что при достижении волной или бором линии берега происходит перестройка волнового движения в поступательное, и слой воды накатывается на берег в виде потока.

Этот конечный этап взаимодействия волн цунами с берегом представляет наибольшие трудности для теоретического исследования в силу чрезвычайно сложной зависимости параметров заливания от многочисленных природных факторов. Фактические оценки показывают, что заливание достигает десятков метров в высоту. Существующие теории и методы расчета заливания относятся к частным случаям и основаны на целом ряде упрощающих предположений.

Если обозначить высоту заливания через h_б, то из общих соображений следует, что для относительного заливания h_б/h₀ (где h₀ – высота волны у береговой черты) определяющими безразмерными параметрами будут: крутизна уклона дна и берега (где – угол наклона); относительная глубина в начале мелководья   (где – длина волны) и крутизна волны .

Зависимость h_б/h₀ от уклона дна неоднозначна. При отвесном береге высота заливания равна удвоенной высоте подходящей волны за счет полного отражения. С уменьшением уклона отношения h_б/h₀ растет до тех пор, пока мелководье не становится настолько растянутым, что волна, распространяясь по нему, обрушивается, не доходя до берега. В этом случае берега достигает возникающий при обрушении бор, образование и движение которого сопровождаются значительными потерями энергии. Чем больше (при дальнейшем уменьшении уклона и удлинении мелководья) становится путь, проходимый бором от момента своего образования до берега, тем меньше становится высота заливания из-за указанных потерь. На рис.7 показана зависимость h_б/h₀ от уклона дна при фиксированных значениях для малых . Видно, что рост крутизны волны приводит к уменьшению заливания за счет более интенсивной диссипации при разрушении.  В то же время при больших уклонах (для необрушивающихся волн) рост крутизны ведет к увеличению заливания за счет нелинейных эффектов. Можно отметить, что указанная зависимость h_б/h₀ от ослабевает с уменьшением параметра .

Таким образом, степень  и характер заливания решающим образом  зависят от того, успеет ли начаться обрушение волны до ее подхода к берегу. Существующие критерии обрушения позволяют лишь ориентировочно предсказать ответ на этот вопрос, так как обрушение, как указывалось выше, зависит от начальной формы волны, которая заранее не известна.

В любом случае при достижении берега передняя соприкасающаяся с сухим берегом часть волны или бора преобразуется в поток, скорость которого определяется скоростью водных частиц в момент выхода волны на берег. По мере заливания поступательный характер движения сохраняется в зоне «движущегося уреза», т.е. переднего края накатывающего на берег слоя, где глубина равна нулю. В то же время в тыловой части области затопления, где глубина водного слоя конечна, имеется возможность для волновых движений.