Гиперболический параболоид

     Содержание

1. Гиперболический параболоид. Основные свойства.
2. Понятие о линейчатых и развертывающихся поверхностях.
3. Горловая точка.
4. Горловая линия.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Гиперболический параболоид. Основные своиства.

     Гиперболический параболоид (называемый в строительстве "гипар") - седлообразная поверхность, описываемая в прямоугольной системе координат уравнением вида

 

(*) 
 

  Линиями пересечения гиперболического параболоида со всевозможными плоскостями пространства являются гиперболы, параболы и прямые. Через каждую точку гиперболического параболоида проходят две прямолинейные образующие, и, таким образом гиперболический параболоид представляет собой линейчатую поверхность.

Свойства  гиперболического параболоида:

1. Гиперболический  параболоид - неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что - любое число.

2. Гиперболический  параболоид обладает осевой симметрией относительно оси , плоскостной симметрией относительно координатных плоскостей и .

3. В  сечении гиперболического параболоида  плоскостью, ортогональной оси координат , получается гипербола, ортогональным осям и - парабола.

4. Гиперболический  параболоид может быть получен  поступательным перемещением в  пространстве параболы так, что  ее вершина перемещается вдоль  другой параболы, ось которой  параллельна оси первой параболы, а ветви направлены противоположно, причем их плоскости взаимно ортогональны.

  

Понятие о линейчатых и  развертывающихся поверхностях 

     Поверхность, представляющая собой геометрическое место прямых линий, называется линейчатой. Точнее линейчатую поверхность мы будем  строить следующим образом.

       Возьмем какую-нибудь кривую в пространстве; пусть r - ее текущий радиус-вектор, а u - параметр, к которому она отнесена,

.

Эту кривую мы будем называть направляющей. в  каждой точке этой кривой зададим  единичный вектором, который будет является, таким образом, также функцией параметра u  вдоль кривой,

.

  Через каждую точку N направляющей линии с радиус-вектором  проводим прямую параллельно вектору , отвечающему этой точке. В результате мы получаем в пространстве семейство прямых от одного параметра, именно от . Эти прямые мы будем называть образующими. Выбор образующей определяется, таким образом, значением ; что же касается выбора какой-нибудь точки на этой образующей, то его мы будем характеризировать расстояние по образующей от направляющей линии до точки M. При этом расстояние  мы берем со знаком, принимая на образующей направление l за положительное. Будем обозначать расстояние NM коротко через , 

. 

  В таком случае радиус-вектор произвольной точки M на произвольной образующей, определяемой значением , можно записать в виде

  

где

, ; 
 

 действительно, вектор коллинеарен единичному вектору и потом отличается от него лишь скалярным множителем, равным длине с соответствующим знаком, т.е. множителем . Итак, окончательно

.

     В результате радиус-вектор произвольной точки на произвольной образующей выразился как функция двух независимых параметров , . Мы получим, таким образом, параметрическое представление линейчатой поверхности, именно той, которая образована прямыми построенного нами однопараметрического семейства прямых.

  Фиксируя в этом уравнении и меняя , мы движемся, очевидно, по образующей, отвечающей данному значению . Следовательно, семейством координатных линий v у нас будут служить образующие. Если же фиксировать и менять , то мы идем по образующим "`параллельно"' направляющей линии в том смысле, что расстоянии остается постоянным.

  Таким образом, координатные линии u образуют семейство линий, "`параллельных"' направляющей линии, которая сама также входит в это семейство и отвечает случаю, когда v фиксировано на значении 0.

  Заметим, что направляющая линия геометрически ничем на заданной линейчатой поверхности не выделяется. В качестве направляющей может быть взята любая кривая на линейчатой поверхности, последовательно пересекающаяся с ее образующими; произвол этот отразится только на выборе параметров u, v  на поверхности.

       Вычислим теперь частные производные  радиус-вектора по параметрам. Очевидно,

, (1). 

     Составим  векторное произведение этих векторов, направленное, как мы знаем, по нормали  к поверхности:

 (*).

     Исследуем поведение нормали к линейчатой поверхности, когда точка движется по поверхности вдоль какой-нибудь образующей, т.е. когда мы меняем при фиксированном . Так как являются функциями только , то векторные произведения и остаются постоянными, и правая часть (*) может меняться лишь вследствие изменения коэффициента .

       Здесь мы будем различать два случая, общий и специальный.

  Общий случай: векторные произведения и не коллинеарны. В этом случае при движении вдоль образующей, т.е. при изменении  , первое слагаемое в правой части (*) постоянно, второе же, ему не параллельное, изменяется пропорционально . В результате вся правая часть представляет собой вектор, направление которого меняется вместе с . Следовательно, вдоль образующей направление нормали к поверхности меняется от точки к точке. Касательная плоскость в какой-нибудь точке на данной образующую (так как образующая является своей собственной касательной). При движении точки касания вдоль образующей касательная плоскость, все время проходит через образующую, вращается около нее (вслед за вращением нормали). В этом случае линейчатая поверхность называется косой.

       Специальный случай: векторные произведения и коллинеарны. В этом случае оба слагаемых в правой части (*), а следовательно, и их сумма параллельны постоянному направлению при любом значении . Таким образом, все нормали вдоль данной образующей параллельны между собой, так как они параллельны векторам  и . Когда точка касания движется вдоль образующей, то касательная плоскость проходит все время через образующую; и так как касательная плоскость должна, кроме того, оставаться перпендикулярной к неизвестному направлению нормали, то она не может вращаться около образующей и остается неподвижной.

  Итак, в рассматриваемом случае касательные плоскости к поверхности в точках, расположенных на одной и той же образующей, совпадают между собой. Если это имеет место для каждой образующей, то такую линейчатую поверхность мы будем называть развертывающейся поверхностью.

       Обратно, если мы имеем развертывающуюся  поверхность, т.е. касательная  плоскость постоянна вдоль каждой  образующей, а значит, и нормали вдоль образующей параллельны, то направление вектора (*) не зависит от значения , что возможно лишь в случае

 (**).

     Таким образом, условие (**) необходимо и достаточно для того, чтобы линейчатая поверхность оказалась развертывающейся. Этому условию можно придать простую форму.

     Общее направление двух векторных произведений будет ортогональным ко всем их множителям, т.е. к векторам , которые, таким образом, оказываются компланарными (параллельными одной плоскости).

 Легко  видеть, что это условие и достаточно. Итак, условие (**) может быть переписано  в эквивалентном виде 

, , компланарны , т.е. (***).

Это условие  наложено, как мы видим, на вектор-функции (радиус-вектор направляющей кривой) и (единичный вектор образующей). Плоскость вектора (***) будет параллельна векторам (1) при любом значении , т.е. параллельна касательной плоскости, проходящей через соответствующую образующую.

 

 

Горловая  точка

     До  сих пор мы изучали поверхности  обычно в бесконечно малой окрестности данной точки. Но так как линейчатая поверхность имеет особенно простое строение - состоит из прямолинейных образующих, то ее можно рассматривать сразу в окрестности целой образующей. Другими словами, можно взять произвольную образующую, которая отвечает некоторому значению , и рассмотреть бесконечно близкую образующую, которая отвечает значению и стремится к первой образующей, описывая нашу линейчатую поверхность (по крайней мере в некоторой ее части, прилегающей к образующей ).

  Таким образом, мы должны рассмотреть взаимное расположение двух бесконечно близких образующих.

     Значение  , при данном значении u мы будем обозначать просто , а при наращенном значении через , .

       Найдем прежде всего общий перпендикуляр к образующим , .

       Радиус-вектор точки  , можно записать в виде

,

где, однако, неизвестно и должно быть найдено. Аналогично запишется и радиус_вектор точки , который мы обозначим :

. .

     Здесь также неизвестно.

     Вычитая из второго равенства первое, мы вычислим вектор , который, очевидно, совпадает с .

  Так как направлен по общему перпендикуляру к двум образующим, то он ортогонален к и к , а значит, и к их разности .Следовательно, будут равны нулю и скалярные произведения:

, .

Вставляя  в эти равенства вместо его выражения, получим соответственно:

(так  как  ), и

.

Для дальнейшего  будет удобно поделить первое уравнение  на , а второе – на почленно. Получим, обозначая через :

(2) 

  Мы имеем два уравнения с двумя неизвестными и , из которых, вообще говоря, можно их найти, после чего определятся и точки , , а значит, и перпендикуляр .

       Однако - общий перпендикуляр к образующим , - есть прямая, в значительной мере случайна, так как она будет передвигаться ввиду перемещения второй образующей, стремящейся к совпадению с первой.

     Поэтому гораздо естественней вместо рассматривать его предельное положение при , которое будет вполне определенным для каждой данной образующей . Существование такого предельного положения нужно, конечно, доказать. Однако для этого нам придется устранить из рассмотрения цилиндрические поверхности. Действительно, у цилиндрической поверхности образующие параллельны, общий перпендикуляр двух образующих неопределенный, так что нет смысла говорить о его предельном положении. Параллельность образующих можно записать условием

     

, или  .

     Устраняя  цилиндрические поверхности, мы будем  предполагать

     

.

     Конечно, и у цилиндрической поверхности  для отдельных образующих  может обращаться в нуль, но мы таких образующих рассматривать не будем.

     При коэффициенты уравнения (2) стремятся к пределам, которые нетрудно найти. Нужно только иметь в виду, что

     

, ,

     

, ,

(так как   в силу леммы 1).

      В пределе уравнения (2) с неизвестными , примут вид

(2’)

      Детерминант этой системы 

.

Значит, и у системы (2) при достаточно малом  детерминант тоже не равен нули, и система (2) имеет единственное решение , (т.е. существует вполне определенный перпендикуляр ).

      Решение  , системы (2) стремится в пределе к решению системы (2’), так как , вполне определенным образом выражаются через коэффициенты системы, а коэффициенты системы (2) стремятся к коэффициентам системы (2’) (причем детерминант системы стремится к пределу, не равному нулю). Итак,

,  ,

где  ,  - решение системы (2’), т.е.

,  (2’’).

      Так как  - координата точки на образующей , то означает, что стремится по этой образующей к предельному положению с координатой .

      Таким образом, основание общего перпендикуляра при стремится по образующей и к предельному положению ; точка называется горловой точкой образующей .

      Горловая  точка на каждой образующей отмечает «самое узкое место» линейчатой поверхности  в окрестности этой образующей.

      Нетрудно  написать явно радиус-вектор горловой точки,   пользуясь (2’’)

(3).

      Что же касается предельного положения самого перпендикуляра , то оно пройдет через параллельно вектору . Действительно, перпендикулярен к направляющим векторам , образующих , . А значит,

.

Поделив правую часть на , получим

.

      Это векторное произведение при  стремится к пределу . Следовательно, а то время, когда основание перпендикуляра стремится в точку , его направление стремится к направлению вектора . 
 
 
 
 
 
 

Горловая  линия

     Итак, на каждой образующей линейчатой поверхности  имеется [в предположении ] ровно одна горловая точка. Геометрическое место горловых точек называется горловой линией (а также линией сжатия или стрикционной линией). Если в уравнении (3) считать переменным, то оно покажет изменение радиус-вектора горловой точки в зависимости от параметра , т.е. от выбора образующей. Мы получаем, следовательно, параметрическое уравнение горловой линии.

      Геометрический  смысл горловой линии состоит  в том, что она «опоясывает» линейчатую поверхность по самому узкому ее месту. Так, например, для однополосного гиперболоида вращения

,

Который является дважды  линейчатой поверхностью (две системы прямолинейных образующих), горловой линией в обоих случаях будет окружность его пересечения с плоскостью

,  .

На этом примере видно, что горловая линия  пересекает образующие, вообще говоря, не под прямым углом, вопреки тому, что можно подумать с первого взгляда.

      Заметим, между прочем, что для гиперболического параболоида общего вида

горловая  линия не будет линией пересечения  с плоскостью (она будет пространственной кривой 4-го порядка, особой для каждой системы прямолинейных образующих).

      Чтобы горловую линию было удобнее описывать, примем ее за направляющую кривую . Тогда в формуле (3) радиус-вектор горловой линии совпадает с радиусом-вектором направляющей кривой, так что вычитаемое должно обратится в нуль. А это значит

, т.е.  .

      Очевидно, это условие и достаточно для  того, чтобы направляющая совпадала  с горловой линией . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Список  использованной литературы:

1. П.К. Рашевский «Курс дифференциальной геометрии»

Государственное издательство технико-теоритической литературы; Москва 1956г.