Гравитационные модели

     ГРАВИТАЦИОННЫЕ  МОДЕЛИ 
 

1.Введение

 В рамках любой деятельности человек вынужден принимать решения,которые не всегда безошибочны. Цена ошибки при этом зависит

от масштаба принимаемых решений. При принятии конкретногорешения индивид руководствуется существующими правилами (моральными, этическими, юридическими, нравственными и т. п.), а также имеющимся у него опытом и сложившимися стереотипами.

    Если ситуация возникает довольно часто, то индивид вырабатывает правила, которыми он следует в своей деятельности. Таким образом, на основе собственного накопленного опыта у индивида возникает определенное представление о действительности, которая его окружает. Это представление соответствует только этому индивиду и отличается от представлений и поступков других индивидов, т. е. это представление является односторонним. Если бы представления об окружающем мире у всех были одинаковыми, то уменьшилось бы число конфликтов, скандалов, войн, часто возникающих из-за отсутствия взаимопонимания, а также игнорирования других точек зрения и интересов. Одностороннее представление индивида о каком-либо явлении, процессе, ситуации в конечном итоге можно назвать моделью, под которой понимается представление об окружающем мире. Оно никогда не может быть полным и адекватдо отражать реальность, т. к. возникающие ситуации настолько разнообразны, что индивид не в состоянии полностью получить и осознать всю информацию и, тем более, выработать эффективные правила поведения

в ответ  на все возникающие ситуации. При взаимодействии индивидов возникает необходимость обмена информацией для однозначного определения той или иной ситуации.

      В повседневных ситуациях человечество уже выработало соответствующий язык, позволяющий решить указанную проблему. Наиболее ярким проявлением тенденции к взаимопониманию являются искусство, религия, наука, производственная деятельность, которые позволяют выработать общие правила поведения и представления об окружающем мире. Эти представления об окружающем мире и правила поведения являются той моделью, которая позволяет прийти к однозначному пониманию стоящей перед менеджерами проблемы. Таким образом, любая модель имеет своей целью установить однозначное понимание или оценку рассматриваемой ситуации для принятия решения.

Ошибки при  принятии решений возникают по нескольким причинам:

• отсутствие информации о ситуации;

• неадекватная оценка полученной информации;

• неадекватная оценка ситуации на основе воспринятой  информации;

• неправильный метод решения;

• неправильная оценка последствий принимаемых  решений.

2.Постановка  задачи

     Последствия ошибок при принятии решений в экономической сфере настолько велики, что для того чтобы их избежать, используется экономико-математическое моделирование. Экономико-математическое моделирование является инструментом менеджера и имеет целью принятие обоснованных решений и оценку их последствий. Но прежде чем принять решение о тех или иных действиях, необходимо однозначно определить и оценить ситуацию. Следовательно, основными направлениями моделирования являются:

• оценка состояния  экономического объекта;

• прогнозирование  состояния экономического объекта  и внешней

среды, в которой  он находится;

• планирование состояния экономического объекта.

     Применение моделирования для оценки состояния экономического объекта связано:

• с отсутствием  полной и достоверной информации о его состоянии

в каждый момент времени и возникающей при этом

неопределенностью;

• с невозможностью оценки имеющейся в распоряжении менеджера

информации (прежде всего, из-за ее объема).

       Прогнозирование должно позволять однозначно определять будущее

состояние экономической системы, объекта  или процесса, которое произойдет независимо от желания менеджера. Прогнозирование, как правило, производится для оценки будущего состояния внешней среды, в которой находится экономический объект. Зная будущее состояние внешней среды и оценивая, насколько это состояние благоприятно для экономического объекта, менеджер может проектировать свои действия с целью:

• уменьшения неблагоприятных  последствий такого состояния;

• улучшения  положения экономического объекта (фирмы) при

этом состоянии.

         Проектирование этих мероприятий как раз и называется планированием. Таким образом, невозможность выработать полный свод правил поведения на все возможные ситуации приводит менеджера фирмы к необходимости прогнозирования и планирования, т. е. применения моделирования. Моделирование является настолько трудно формализуемой сферой деятельности менеджера, что считается искусством управления. Осознание менеджером того факта, что он занимается моделированием, позволяет ему:

• систематизировать  свои действия;

• анализировать  причины неудач и успехов;

• накапливать  и передавать свой опыт и знания;

• обосновывать и объяснять свои решения.

       Таким образом, моделирование позволяет менеджеру провести эффективный анализ ситуации и принять обоснованные решения. 

3. Назначение и сфера применения гравитационных моделей 

       Гравитационные модели применяются для описания и прогноза различных социальных и экономических взаимодействий между районами города, населенными пунктами и базируются на предположении, что величина (сила) взаимодействия пропорциональна произведению показателей численности населения районов и обратно пропорциональна расстоянию между ними 

где:

Рi,Рj - численность населения районов i и j ;

di,j - расстояния между районами i и j;

Мi,j -  показатель взаимодействия между районами i и j (например, количество поездок);

К - нормирующий параметр. 

     Гравитационная  модель исходно была использована Рейли и затем развита Конверсом. В основе ее лежит концепция пространственного взаимодействия городов. Этот закон был выведен на основе эмпирических исследований 20-х годов по зонам торговой привлекательности городов США и был применен во многих исследованиях по различным странам.

      Этот тип моделей был предложен еще в предвоенный период в англосаксонской школе пространственного анализа. Данная формула в ее исходном варианте полностью аналогична формуле закона всемирного тяготения Ньютона:

Fij = у(mimj) / гij

      В рамках данной аналогии в качестве экономической массы каждого города (i или j) рассматривают тот или иной показатель, отражающий экономическое значение данного города для установления его связей с другими городами. Показатель расстояния между двумя взаимодействующими городами гij, входящий в основную формулу в минус второй степени, как и в физическом законе Ньютона, представляет, таким образом, в модели их доступность друг для друга. Коэффициент пропорциональности у определяется методами эконометрического анализа. При этом предполагается, что данная модель адекватно описывает экономические взаимосвязи всех городов некоторой страны (или наднациональной экономической зоны) для достаточно продолжительного

периода времени. Поэтому оценив значение коэффициента у по имеющимся

данным, мы получаем возможность прогнозирования  величины товарных потоков (или потоков информации) на несколько лет вперед при наличии надежных прогнозов экономического развития городов. Рассмотрение гравитационной модели вводит нас в концепцию пространственного взаимодействия городов. Эта же концепция оказывается плодотворной для анализа внутригородских взаимодействий между фокусами экономической активности. Многочисленные эмпирические исследования выявили нереалистичность претензий стандартной "гравитационной" модели пространственной экономики на полную аналогию с классическим законом гравитации. Классическая теоретическая механика Ньютона дает строгое формальное обоснование значению "два" в качестве показателя степени при переменной "расстояние", стоящей в знаменателе формулы. В то же время экономическая теория не предлагает каких-либо обоснований для подобного значения при описании экономических взаимосвязей. Однако эта проблема легко снимается, если мы готовы заменить значение "два" произвольной положительной константой, фиксируя лишь факт нарастания доступности по мере сокращения расстояния. Конкретное значение показателя степени для переменной "расстояние" оценивается эконометрически и рассматривается в качестве константы для конкретной страны и соответствующего периода ее развития. Обобщенный вариант формулы при логарифмировании приводит нас к обычной модели линейной регрессии. Как правило, в прикладных исследованиях коэффициенты регрессионного уравнения оцениваются методом наименьших квадратов (МНК). Исследования выявляют резервы повышения точности модели, связанные с выбором наиболее подходящих показателей для представления в модели экономических масс (mi) и экономического расстояния (г).

В случае использования стандартной формулы  связи городов, в знаменателе которой стоит квадрат расстояния, есть возможность чисто теоретическим путем довольно просто выявить зоны влияния для простого теоретического случая двух полюсов на плоскости. Разграничение зон влияния ставит две взаимосвязанные проблемы: 1) где провести границу влияния двух городов на окружающее пространство; 2) какой из двух полюсов оказывает более сильное влияние на заданную точку межгородского пространства. Зона влияния меньшего города располагается внутри некоторого круга, зона влияния большего города расположена вне этого круга и заполняет всю остальную плоскость. В случае двух равных городов граничная окружность вырождается в прямую, перпендикулярную отрезку, соединяющему эти города, и мы получаем две одинаковые зоны влияния.

      Данную формулу трудно распространить на случай нескольких городов ( >2), возникает частичная неопределенность. Тем не менее некоторые авторы

используют  гравитационную модель для групп  городов сравнимого размера, что позволяет хотя бы приблизительно определить относительную значимость влияния городов-центров, в зависимости от их торговой привлекательности. Расчеты по выявлению границы зоны влияния можно проводить и для обобщенного ,более реалистичного, варианта основной формулы. Однако в этом случае мы не может рассчитывать на простоту теоретических выкладок и вынуждены ограничиться имитационными расчетами с использованием компьютера. Очень удобным инструментом предварительного анализа взаимодействий городов является модель потенциала. Масса Е, расположенная в месте j, создает некоторый потенциал в рассматриваемой точке i (который можно интерпретировать в терминах влияния, доступности, привлекательности или близости городов). Общий потенциал места i, принадлежащего к исследуемой территории из n мест, равен сумме потенциалов, произведенных в данном месте каждой из масс Ej, соответствующих этим n местам. Влияние каждого города выражается окружающим его "силовым полем", интенсивность которого уменьшается с ростом расстояния. Для выявления зоны преимущественного влияния города необходимо сопоставить создаваемый им потенциал с суммарным потенциалом всех остальных полюсов системы. К собственной зоне города можно отнести точки, где его потенциал доминирует над суммарным. В частности, модель этого типа была применена в середине 80-х годов для теоретического выявления зон влияния бельгийских городов Бегином и Тиллом. В качестве "массы" они использовали численность занятых в третичном секторе, в расчетах участвовал обычный показатель евклидова расстояния. Теоретически рассчитанная система зон влияния хорошо соответствовала эмпирически выявленным зонам влияния трех крупных уровней иерархии городов (во главе с 5-ю национальными центрами). Интересен пример использования гравитационных моделей для изучения

каркаса университетов Франции. В конце 60-х годов Буйно (J. Bouinot) провел измерение привлекательности, испытываемой и оказываемой системой университетов Парижа по отношению к 22 зонам. Увеличение расстояния довольно резко снижало привлекательность провинциальных ВУЗов для парижских студентов, однако обратное влияние достаточно слабо зависело от расстояния. Аналогичные исследования, еще накануне Второй мировой войны, проводились для университетских городов США, в качестве "массы" полюса рассматривалась численность белого населения.

          Как правило, в рамках данного подхода зоны влияния не удается выявить с достаточной точностью. Использование простых уравнений обеспечивает лишь приблизительный образ зон влияния городов для хорошо определенных, специфических видов деятельности, которые осуществляются в однородном пространстве (эта весьма серьезная предпосылка, как правило, плохо соответствует реальным ситуациям). Чтобы отразить неоднородность

экономического  пространства необходимо усложнять  модель, последовательно переходя от моделей теоретических к имитационным. Здесь требуется дополнительное изучение иерархии городов, для того, чтобы достаточно полно описать сети полюсов. Подробный анализ иерархической модели системы городов был проведен в рамках теории центральных мест. 
 
 

     4.3 Проблемы применимости  классической гравитационной  модели 

В основе классической модели лежит часто  неформулируемая в явном виде предпосылка о том, что между любыми двумя городами-полюсами пространство предполагается совершенно однородным: во взаимодействие этих двух городов не вмешивается воздействие никакого города-спутника, никакого промежуточного центра-посредника. При этом не учитываются существующие границы между государствами, т.е. дополнительные трудности, связанные с таможней. Показатель степени для «расстояния» меняется и со сменой продаваемых продуктов, и в зависимости от дохода обслуживаемой клиентуры. В приложениях нередко принимается допущение о постоянстве констант b и q на протяжении длительных периодов времени. Естественно, в процессе перехода от одного уклада к другому эти значения могут претерпеть существенные изменения.

Таким образом, сфера применимости гравитационной модели весьма ограничена. Однако большинство  исследователей признают целесообразность использования этой техники в  качестве предварительного этапа исследования в сочетании с другими, более  тонкими методами; например, при  выяснении зон влияния в рамках изучения каркаса городов.

Данный  подход не может быть использован  для оценки объема «самопотребления», т.е. потребления на территории внутри города его собственной продукции в рамках упрощенной модели, в которой расстояние от города до самого себя равно нулю. Это изымает из сферы применимости гравитационной модели весьма значимую группу прикладных маркетинговых исследований, для которых гораздо важнее разделить клиентуру города между двумя конкурирующими зонами на его территории, чем разделить между ними клиентуру поселков сельской местности.

Таким образом, данная модель в основном предназначена  для определения зон влияния  городов как поставщиков товаров  и услуг на окружающую их сельскую местность и прочие города страны. Однако сложилась практика излишнего  доверия к математическим методам, в том числе в применении к  пространственному экономическому анализу. В результате гравитационная модель Рейли, применимость которой в основном ограничивается сферами торговли и пассажирского сообщения, многими энтузиастами стала рассматриваться как всеобщая закономерность для объяснения динамики городов и управления их экономической жизнью.

Данный  тип моделей ориентирован на описание интенсивности связи между городами, поэтому он может использоваться как инструмент теоретического описания систем городов. Однако такое описание весьма абстрактно и сфера его  практического применения весьма ограничена. Тем не менее, такие модели, не претендуя  на точное количественное соответствие реальным потокам, через которые  реализуется взаимосвязь городов, дают все же существенную конкретизацию  исходного понятия системы городов. Они в явном виде учитывают  полюса активности и проблемы осуществления  взаимодействий. Данные модели могут  учесть и функциональную специализацию  отдельных подсистем городов  за счет соответствующим образом  ориентированного набора показателей. 
 

     Теория  гравитационной модели была подробно разработана Д. Стюартом (США). Его идея состояла в том, что взаимодействие между совокупностями людей подчиняется закону, аналогичному закону всемирного тяготения (гравитации). Наряду с понятием демографической силы он предложил формулу для демографического потенциала 

где:

Vi - потенциал, создаваемый в точке х районом (или городом) i.

     Суммарный демографический потенциал точки х определяется по формуле 

     Стюартом  были составлены карты демографического потенциала для территории США. В дальнейшем подобные карты были построены и постоянно обновляются во многих странах мира. Оказалось, что демографический потенциал отражает освоенность территории лучше, чем общепринятый показатель плотности населения. Отмечена также высокая корреляция демографического потенциала с размещением розничной торговли, развитием автомобильных дорог, занятостью сельского населения в несельскохозяйственных секторах.

     Гравитационные  модели при соответствующем подборе  параметров широко используются для описания процессов миграционного взаимодействия. Они хорошо оправдывается для междугородных телефонных разговоров, поездок за покупками, маятниковой миграции. Развитие простейшей гравитационной модели происходило в нескольких направлениях:

     1. Кроме показателей численности  населения и расстояний в модели включались и другие факторы, например отношение приростов инвестиций в районах, число вакантных рабочих мест или, наоборот, доля безработных в численности трудоспособного населения, число вакантных мест на пути следования из одного района в другой (модель промежуточных возможностей).

     2. Гравитационная модель применяется  в случаях, когда показателям численности населения районов придаются некоторые веса.

     Простой пример совместного применения обоих  направлений дает модель, описывающая число поездок между штатами США:

где:

Wi, Wj - среднедушевые доходы в штатах i, j.

     3. Конструкции типа гравитационных моделей широко включаются в самые разнообразные модельные комплексы для описания процессов городского и регионального развития.

     Для анализа общих закономерностей  распределения населения, как важнейшей системообразующей функции города по его территории, используются модели городского пространственного развития. В качестве информационной модели города для решения такого рода задач используется граф, в вершинах которого в зависимости от цели решения задачи предполагается:

• сосредоточение населения (если речь идет о проживании);

• наличие определенного числа мест культурно-бытового или рекреационного обслуживания;

• определенное количество рабочих мест.

     Кроме указанного выше использования, гравитационные модели используются в логистике, например, для поиска места размещения единичного складского помещения, из которого снабжается несколько складов розничной торговли. В данном случае гравитационная модель представляется в виде средней взвешенной величины. При этом учитываются размещение складов розничной торговли, объемы перевозимых товаров, затраты на перевозку грузов относительно расчетного местоположения центрального складского помещения. На первом шаге решения рассматриваемой задачи предлагается несколько вариантов размещения центрального склада в координатной системе. Начало координатной системы и используемая шкала согласовываются на основе корректного представления относительных расстояний. Это делается, например, путем наложения координатной сетки определенного масштаба на карту.

     Центр гравитации определяется с помощью формул: 

где:

Сх - абсцисса центра гравитации;

Су - ордината центра гравитации;

di,x - абсцисса розничного склада i;

di,y - ордината розничного склада i;

wi - объем товара, перемещаемого в пункт i.

     При использовании модели гравитации исходят  из того, что затраты прямопропорциональны расстоянию доставки и объему перевозимого груза. Идеальным размещением складского помещения является такое, которое минимизирует взвешенные расстояния доставки между складскими помещениями и получателями. Поэтому из предложенных вариантов размещения центрального склада появляется возможность выбрать наилучший по предложенному критерию. 

     8.2. Модели расселения  в городе 

     Существовало  мнение, что построить математическую модель города или систему таких  моделей, которые вобрали бы все  многообразие городского развития невозможно. Как только первоначальный скептицизм по отношению к возможностям математического  моделирования города был преодолен  в начале 60-х годов, началась интенсивная  работа построения моделей социально-экономической  структуры города. Раньше архитектор-градостроитель либо принимал такую структуру как  данность, либо пытался построить  ее самостоятельно, опираясь на опытное  знание и интуицию.

     Однако  Дж. Форрестер продемонстрировал, что динамическая модель социально-экономической структуры города возможна и полезна. В модели Форрестера участвуют три подсистемы: деловая сфера, жилой фонд и городское население. Модель, прогнозирующая состояния города на основе информации о предшествующих изменениях, т. е. модель имитационного типа, дала возможность с высокой степенью вероятности предсказывать динамику занятости населения и старения материальных фондов города. Несомненным достоинством метода Форрестера было то, что его модель включила в себя понимание города как очень сложной системы, во многом напоминающей живой организм. Форрестеру удалось показать возможность оперировать с непредсказуемостью поведения города (исходя из обыденного здравого смысла), с «нечувствительностью» его к даже значительным изменениям многих параметров, с его способностью сопротивляться различным административным новшествам.

     Наряду  с моделью Форрестера и ее аналогами большое распространение получили попытки моделировать функционально-пространственную структуру города. Основой моделирования становится в них представление о городе как о системе элементов территории, каждый из которых может быть охарактеризован по типу и активности использования и функциональной связанности с другими элементами территории. Согласно наиболее популярной «гравитационной» модели корреспонденция между двумя любыми территориальными элементами тем больше, чем больше их условные «веса» (показатели интенсивности их использования) и чем меньше расстояния между ними. Например, число мест приложения труда в пределах некоторого района определяет его «генерирующую» способность, тогда как трудовая занятость населения того же района - его «поглощающую» способность.

     Слабость  подобных моделей, будь то гравитационные, энтропийные или транспортные, заключается в том, что слишком многое из существенных характеристик городской среды считается «несущественным», вопреки естественному опыту горожан, и слишком многое приходится назначать условно. Весь хитроумный математический аппарат — все же не более чем инструмент, тогда как движущей силой модели оказывается суждение эксперта или «средневзвешенное» суждение ряда экспертов, мышление которых сильно ограничено их мировоззрением, мироощущением, типом знания.

     Наряду  с «большими» моделями получили распространение  и «малые», или оценочные. С их помощью оценивается, например, размещение мест приложения труда или мест проведения досуга с помощью так называемого демографического потенциала. Это показатель числа возможностей, которыми располагает житель данного района города при осуществлении той или иной деятельности. Такого рода потенциал косвенно выражает суммарный «спрос» на тот или иной участок городской территории. Увеличивает потенциал и повышает стоимость и эффективное использование участка:

• усовершенствование транспортной сети города, улучшающее доступность оцениваемого участка;

• появление  поблизости новых мест приложения труда (центров обслуживания или привлекательного досуга).

     Очевидно, что практическая ценность подобных моделей может проявиться только в случае, если городская территория в полной мере включена в экономические  отношения. В течение десятилетий  исследователи стремились доказать необходимость стоимостного подхода  к развитию города, необходимость  в составлении «кадастра» его  территорий и дифференциальной ренты  предприятий, ее использующих. Оценочные  модели помогли накопить достаточно убедительные аргументы и появились  реальные надежды на утверждение  экономического представления о  градостроительной системе и  вариантах ее развития.