Содержание 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

РАЗДЕЛ 1.Исследование модели распределения

1. Формирование выборочной совокупности

      Обычно  бывает затруднительно исследовать  генеральную совокупность. Тогда  проводят исследование выборочной совокупности, и его результаты распространяют на генеральную совокупность.

      Наиболее  часто для формирования выборочной совокупности применяют бесповторную случайную выборку. Случайный отбор организуют с помощью жребия, таблицы случайных чисел или программы, генерирующей квазислучайную последовательность чисел. Для этого единицы генеральной совокупности нумеруют. Данные, соответствующие выпавшим, номерам попадают в выборку. При этом повторяющиеся номера пропускаем.         

      Покажем применение таблицы случайных чисел. В табл. 1 приложения приведено пятьсот четырехзначных случайных чисел.

      Рассмотрим  пример получения выборки. Генеральная  совокупность содержит значения восьми количественных экономических показателей для 100 предприятий. Она представлена в табл.2 приложения.

      Наиболее  проработанной в статистике является парная корреляция. Положим,  нужно  установить  корреляционную  связь  между двумя показателями. В нашем случае мы изучаем связь между годовой балансовой прибылью (показатель 5) и электровооруженностью на одного работающего (показатель №7), выбираем в табл.1 приложения четырёхзначное число из 7-го столбца, 5-ой строки; т.к. сумма номеров показателей чётна, то из него берём правую половину; далее выбираем 30 неповторяющихся чисел. Затем из табл.2 приложения выбираем в соответствующих номерах строк 30 пар значений изучаемых показателей, в соответствии с этими данными получаем табл.1.1

Таблица 1.1

2. Построение интервального ряда  распределения

      Этот  и последующие этапы работы в  этом разделе выполняем для каждого изучаемого признака в отдельности.

       Принимая во внимание, что выборочная совокупность содержит n значений, величину равных интервалов выбираем по формуле Г.А. Стерджесса:

где К = 1+3,322gn- число интервалов; при n=30 К=5. xmax и xmin - минимальное и максимальное значения признака.

      Определяем  границы интервалов. Для первого  интервала левая граница равна  xmin, а правая – xmin +i и, для второго, соответственно - xmin +i и xmin +2i и т.д.

      Строим  таблицу частоты распределения  значений признака по интервалам и  гистограмму. Для определенности считаем, что значение признака, лежащее на границе двух интервалов, попадает в правый интервал. 

      Для показателя x:                  

      Определяем  границы интервалов и строим таблицу  частоты распределения значений признака по интервалам:  

      Строим  гистограмму:

      Для показателя y:

      Определяем  границы интервалов и строим таблицу  частоты распределения значений признака по интервалам:  
 

Строим гистограмму:

3.Проверка  соответствия эмпирического распределения  нормальному закону распределения

     Для проверки соответствия эмпирического  распределения случайной величины нормальному закону распределения в нашем случае (при n<30) можно использовать критерии Шапиро-Уилкса (W) и Колмогорова (D). В нашем случае мы используем критерий Колмогорова.

      Сначала определим  среднюю величину и среднее квадратическое отключение от нее, считая выборку малой: 

      Для признака x:

      Для признака y:

     Вычисляем ошибку определения средней по выборочной совокупности (ошибку выборки): 

где n - численность выборки; N= 100 - численность генеральной совокупности; t - коэффициент доверия; при доверительной вероятности 95,45% t=2.  

Для признака x: 

Для признака y: 

Генеральная средняя располагается в следующих  границах:

Определяем  эти границы: 

      Ранжируем значения величин x и y по возрастанию (табл.1.2.):

                           x₁£ x₂ < …£ x_n-1£ x_n

Таблица 1.2.

       Перейдем к нормированным  значениям аргумента (табл.1.3):

Таблица 1.3.

Принимаем значения эмпирической функции распределения  в точке t равным следующему значению (табл.1.4):

где i= 1, 2,...,n. При t< t₁ F*(t)=0, а при t>t_n F*(t)=l.

Таблица 1.4.

      Определим   максимальное   значение   модуля   разности   между эмпирической функцией распределения F*(t) и теоретической функцией для нормального закона распределения F(t) (значения F(t) представлены в табл.3.2): 
 
 
 

и определяем величину:                                                           

       Для признака x: 

       Для признака y:

        Затем по таблице определяем  в зависимости от l вероятность Р(l), того что за счёт чисто случайных причин расхождение между F*(t) и F(t) будет не больше, чем фактически наблюдаемое.

      При сравнительно больших Р(l) теоретический закон распределения можно считать совместимым с опытными данными.                                                                       

РАЗДЕЛ 2.Исследование взаимосвязи двух количественных признаков

1. Оценка тесноты корреляционной  связи

    Из  логических соображений выдвинем предположение, что признак (названный нами y) зависит от второго исследуемого признака x.

    Используя проведенное в первом разделе разбиение значений x на интервалы, построим аналитическую таблицу:  

Аналитическая таблица исследования зависимости признака y от признака x

      Далее рассчитываем общую дисперсию:

где - среднее значение признака для всей выборки, и межгрупповую дисперсию: 
 
 
 

где - среднее значение признака в j-й группе; m_j- численность j-й группы; k - число групп.

       Для оценки тесноты  связи между признаками y и x рассчитываем корреляционное отношение: 
 

      Оценку  тесноты связи признаков y и x проводим по шкале Чеддока:

-если 0,3<h£0,5, то теснота связи заметная;

-если 0,5<h£0,7, то теснота связи умеренная;

-если 0,7<h£0,9, то теснота связи высокая;

-если 0,9<h£0,9(9), то теснота связи весьма высокая.

2. Определение формы связи двух  признаков

      Примерное представление о виде зависимости  y от x даёт линия, проведённая через точки, соответствующие групповым средним и полученные на основе аналитической таблицы следующим образом: среднему значению признака в j-ой группе ставится в соответствие не середина интервала группирования по признаку x, а среднее значение , полученное из соответствующих интервалу значений признака x. Можно воспользоваться следующим приемом: построим все точки, соответствующие парам (х_i;у_i), в декартовой системе координат и провести линию через середины скоплений точек (График № 1).

       Затем по справочнику плоских кривых и виду линии подбираем соответствующее уравнение регрессии. Однако не следует брать слишком сложное уравнение. В нашем случае берём линейную функцию:

      Вычислив  частные производные и приравняв  их к нулю, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов а и b. В нашем случае система уравнений имеет вид:

Решая эту систему  уравнений относительно b, получим:

      Решая первое уравнение относительно а, получим:

                                    Т.о.:          

       Линейный коэффициент  корреляции равен:

где s_x и s_y - средние квадратические отклонения признаков x и y.

       Рассчитаем общую  дисперсию: 

       и остаточную дисперсию: 

где y_x(х_i) - значение величины y, рассчитанное по уравнению регрессии при подстановке в него значения x_i; y_i- значение величины y в исходной таблице, соответствующее значению x_i.

      Определим индекс корреляции:

      Индекс  корреляции принимает значения 0£ i £1.

     Т.к. i близок к единице, то связь между признаками хорошо описана выбранным   уравнением   регрессии.   Для   линейной   зависимости дополнительным условием для такого заключения является близость значений r и i.                                                           

      Можно выбрать несколько  видов уравнения регрессии. Наилучшим  из них будет то уравнение, которому соответствует меньшая средняя  квадратическая ошибка уравнения регрессии:

где m - число коэффициентов в уравнении регрессии.

     Принимая  во внимание то, что мы имеем дело с малой выборкой, необходимо оценить  значимость коэффициентов уравнения  регрессии, а также индекса корреляции i и линейного коэффициента корреляции r. Значимость линейного коэффициента корреляции r оцениваем с помощью критерия Стьюдента. Фактическое значение критерия Стьюдента равно:

     Критическое (предельное) значение критерия Стьюдента  t_k, берем из табл.4 приложения, задаваясь уровнем значимости a=5,0 и имея число степеней свободы равное:

      k=n-2

     Если  t_r>t_k, то величину линейного коэффициента корреляции считаем значимой и можем использовать в расчетах.

      Значимость коэффициентов  уравнения регрессии а и b также оцениваем с помощью критерия Стьюдента. Расчетные значения критерия Стьюдента равны: 

     Учитывая, что число степеней свободы также равно k=n-2, сравнение фактических значений критерия Стьюдента ведем с уже найденным критическим значением t_k.

     Если  t_a>t_k, t_b>t_k, то соответствующий коэффициент уравнения регрессии значим, и мы можем им пользоваться. Значимость индекса корреляции определяем с помощью критерия Фишера. Фактическое значение критерия Фишера равно: 

где m - число коэффициентов в уравнении регрессии.

      Табличное значение критерия Фишера F_k; определяется по табл.5 приложения, задаваясь уравнением значимости a и числом степеней свободы k₁=m-l; k₂=n-m.

      Если  Fi>Fk, то величину индекса корреляции считаем значимой и можем ее использовать в расчетах.

     Если  коэффициенты а и b, а также линейный коэффициент корреляции r и индекс корреляции i значимы, то все наши расчеты и выводы, опирающиеся на эти величины, правомерны и мы можем использовать полученное уравнение  регрессии для прогноза. Ошибка прогноза будет зависеть, в частности, от остаточной дисперсии s²_e.

РАЗДЕЛ 3. ИЗУЧЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ РЯДОВ

1.Изучение сезонных явлений

      Исследуем сезонные процессы в наших двух динамических рядах. При изучении сезонных явлений из уровней динамического ряда целесообразно вычесть значения, получаемые по уравнению тренда, которые отражают основную тенденцию развития.

       При изучении периодических процессов в качестве аналитической модели используем ряд Фурье: 
 

где k=1; j=1.

      Для нахождения коэффициентов a₀, a_j, b_j применяем метод наименьших квадратов.

       Получаем: 
 
 
 
 
 
 
 

      Для признака x:                                                        Для признака y:

      Обычно  для расчётов используют ежемесячные  данные за один год или несколько лет. В этом случае интервал между двумя соседними месяцами принимают равным: 

      Построив  модель сезонных колебаний, положим  для уточнённого изучения основной тенденции a₀ =0. Исключим сезонные колебания из уровней динамического ряда (табл.3.1.1).

Таблица 3.1.1