Изучение влияния отрицательной обратной связи на основные свойства сложных систем управления

      Министерство  образования и науки Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение высшего  профессионального образования

Южно-Уральский  государственный университет

Факультет «Право и финансы»

Кафедра «Экономика и управление проектами» 
 
 

Изучение влияния отрицательной обратной связи на основные свойства сложных систем управления 
 

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА К КУРСОВОЙ РАБОТЕ

по дисциплине «ОТС и СА»

ЮУрГУ–080502.2011.001. ПЗ КР  
 

Нормоконтролер,                                                      Руководитель работы,

А.В. Маркина, ученый секретарь                            Ю.Н. Тарасов, доцент кафедры

кафедры «Экономика и управление                        «Экономика и управление

проектами»                                                                проектами»                            

 _____________________И.О.Ф                              _____________________И.О.Ф

_____________________201_ г.                              _____________________201_г. 

      Автор работы

      студент группы ПФ-249

                                                 ________________

                                                 _____________________ 201_ г.

                                                                 

                                                                                  Работа защищена с оценкой

                                                                                  ____________________________   

                                                                                  _______________________201_г.

                  

Челябинск 2011

 

Южно-Уральский  государственный университет

Факультет «Право и финансы»

Кафедра «Экономика и управление проектами»

Специальность «Экономика и управление на предприятии (операции с недвижимым имуществом)» 

      УТВЕРЖДАЮ

      Заведующий  кафедрой

      _________________Л.А. Баев

      ___________________2011г. 
 

ЗАДАНИЕ

на курсовую работу студента

Шараповой Ксении Александровны

Группа ПФ-249 

      1 Дисциплина

Общая теория систем и системный анализ

      2 Тема работы

Изучение влияния  отрицательной обратной связи на основные свойства

сложных систем управления

3 Срок сдачи  студентом законченной работы ________________2011г.

     4 Перечень вопросов, подлежащих разработке

1. Сформулировать цель морфологического описания систем и основные свойства  структурных связей;
2. Перечислить и определить характер влияния отрицательной обратной   связи на общие свойства систем;
3. Определить индивидуальное задание в соответствии с номером своего  варианта, привести структурные схемы и все соотношения для   оценки влияния отрицательной связи на быстродействие системы;
4. Осуществить нахождение дифференциального уравнения для системы с   обратной связью, рассчитать его параметры. Построить график переходного процесса;
5. Сформулировать выводы относительно полученных результатов;
6. Оформить итоги исследования.

 

5 Календарный  план

Наименование  разделов курсовой работы	Срок выполнения разделов работы	Отметка о выполнении руководителя
1.Введение (не нумеруется). Необходимо указать  цель курсовой работы и привести  индивидуальное задание, определяемое  номером варианта
2.Основная  часть. В данном разделе должны быть приведены все расчетные формулы, готовые результаты должны быть сведены в соответствующие таблицы и по каждой из них сформулированы самостоятельные выводы
3.Заключение (не нумеруется). Сформулировать  основные выводы и результаты  исследования, выявленные проблемы и пути их решения.

 
 

Руководитель  работы                                                          /    Ю.Н.Тарасов    /

Студент                                                                                /   К.А. Шарапова   /

 

    АННОТАЦИЯ

   Основная  часть работы включает в себя решения  трех задач, которые в свою очередь и служат выполнению цели работы, а именно: изучению влияния отрицательной обратной связи на основные свойства сложных систем управления. Основными методами, примененными для решения упомянутых задач, являются:

   - решение  однородных дифференциальных уравнений  первого порядка;

   - построение графика функции с учетом ее свойств по нескольким точкам.

 

    ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение ………………………………………………………………..………………6

Основная часть  работы………………………………………………….……………..7

   Задание №1………………………………………………………………………….7

   Задание №2………………………………………………………………………...10

   Задание №3………………………………………………………………………...11

Заключение…………………………………………………………….………………15

Библиографический список………………………………………………………..…16

Приложения……………………………………………………………………………17 

 

    ВВЕДЕНИЕ

   Заявленная  тема работы, несомненно, является актуальной, особенно в контексте изучаемой  специальности: выявление и изучение влияния отрицательной обратной связи на основные свойства сложных систем может быть эффективно применимо к управлению проектами.

   Объектом  исследования является отрицательная  обратная связь, а предметом –  ее влияние на основные свойства сложных  систем управления.

   Главная цель работы – изучить влияние  отрицательной обратной связи на основные свойства сложных систем путем математического анализа функций и уравнений, описывающих этот процесс. У систем с отрицательной обратной связью имеются как недостатки, так и преимущества, которые также уделено внимание.

   Основная  часть работы состоит из решения трех различного рода задач, объединенных общей темой.

   Среди основных источников информации, использованных для выполнения работы, материалы  лекций а также «Введение в системный анализ» Перегудова Ф.И. и Тарасенко Ф.П.

 

    ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ РАБОТЫ

   Задание №1

   а) Полное решение исходного уравнения имеет вид: 

         Y(t) = Y_общ.(t) + Y_част.(t)  (1.1) 

   Найдем  общее решение однородного уравнения (при X(t)=0): 

         T*dY(t)/d(t) + Y(t) = 0  (1.2) 

         Y(t) = - T*dY(t)/d(t);  (1.3)

         Y(t)*d(t) = - T*dY(t);  (1.4)

         d(t) = - T*dY(t)/Y(t);  (1.5)

         dY(t)/Y(t) = - d(t)/Т  (1.6) 

   Проинтегрируем обе части уравнения (1.6): 

         ∫dY(t)/ Y(t) = - ∫ d(t)/T;  (1.7)

         ln Y(t) = - 1/T*t + C0;  (1.8)

         ln Y(t) = - t/T + C0;  (1.9)

         Y(t) = e^-t/T+C₀;; (1.10)

         Y(t) = e^-t/T* e ^C₀. (1.11)

   Пусть e^C₀ = C₁, тогда 

         Yобщ.(t) = C₁*e^-t/T (1.12) 

   – общее  решение исходного уравнения. 

   Так как Х - единичная ступенчатая  функция, тогда 

         Y_част.(t) = 1. (1.13) 

   Полное  решение исходного уравнения (1.1), на основании выведенных формул (1.12) и (1.13)

         Y(t) = C₁*e^-t/T+1. (1.14) 

   Найдем  величину C₁: 

               C₁*e⁰ +1= 0; (1.15)

               C₁*e⁰ = - 1; (1.16)

               C₁ = - 1. (1.17)

    
Полное решение исходного уравнения  на основании выведенных формул (1.14) и (1.17) будет выглядеть:   

               Y(t) = 1- e^-t/T (1.18)

    
    Условия для частного решения:

   m = 1

   k = 25

   Т = m´k = 25

   Тогда частное решение: 

               Y(t) = 1- e^-t/25 (1.19)

    
б) Построить график переходного  процесса Y(t) для значений времени t из диапазона 0…3´T 

                 t=0, Y(0) = 1- e ^-0/25 = 0; (1.20)

                 t=T, Y(25) = 1- e ^-25/25 = 1- e ^-1 =1- 0,37 = 0,63; (1.21)

                 t=2T, Y(50) = 1-e ^-50/25 = 1- e ^-2 = 1- 0,135 = 0,87; (1.22)

                 t=3T, Y(75) = 1-e ^-75/25 = 1- e ^-3 = 1- 0,049 = 0,95. (1.23) 

   График  для переходного процесса строится на основании формулы (1.19) и выглядит следующим образом:

       
Рис. 1.

Из  графика мы видим, что система  стремится к стабильному состоянию  и обретает его через период времени  примерно равный 3Т.

 

   Задание №2

   а) Определим значение постоянной времени Т* системы S*, которая получена из исходной системы S путем структурных преобразований 

         T*dY(t)/d(t) + Y(t) = X(t). (2.1) 

   Т.к. система  S* охвачена  отрицательной обратной связью, значит выходной сигнал  Y*(t) = Y(t), а входной X(t) = k[X(t) - Y*(t)]. Тогда: 

         k*X(t) - k*Y(t) = T*dY*(t)/d(t) + Y*(t); (2.2)

         k*X(t) = T*dY*(t)/d(t) + Y*(t) + k*Y(t); (2.3)

         k*X(t) = T*dY*(t)/d(t) + Y*(t)(1+k); (2.4)

         k*X(t)/(k+1) = T*dY*(t)/d(t)*(k+1) + Y*(t); (2.5)

         X(t) = T*dY*(t)/d(t)*(k+1) + Y*(t); (2.6)

         T*=T/(K+1). (2.7) 

      Рис. 2. Исходная система, охваченная отрицательной  обратной связью

   б) Из задания «а» можно сделать вывод о том, что системе S* на устранение внешних воздействий требуется время в раз меньше, чем системе S. Следовательно, система S* менее инерционна по сравнению с S.

   в) При построении быстродействующих динамических систем используется одно из важнейших свойств отрицательной обратной связи – повышение быстродействия системы за счет уменьшения ее инерционности, то есть чувствительности. 
 

   Задание №3

   1) Формирование или повышение устойчивости - формирование и повышение свойств системы, которые необходимы для осуществления стабильного функционирования системы.

   2) Уменьшение  зависимости системы от внешних возмущающих сигналов (информационный шум, наводки, помехи) и сохранение полезных сигналов.

В систему S поступает два входящих сигнала:

X – полезный сигнал (код)

f  – сигнал возмущения (помехи)

Рис. 3

Рассмотрим данную систему без обратной связи:

Рис. 4

Выходящий сигнал имеет вид –

Y_x = x*k₁*k₂ (3.1)

Y_f = f*k₂ (3.2)

Y = Y_x + Y_f = x*k₁*k₂ + f*k₂ = k₂*(x*k₁ + f) (3.3)

У каждой системы  имеется предел (Y_п), выше которого она не может действовать.

Y = k₂*(x*k₁ + f) (3.4)

Для того, чтобы  ликвидировать сигнал возмущения f, необходимо усилить k₁, но на практике такое 
Рис.5

невозможно, в  силу ограниченности диапазона возможных  значений Y.

Для этого используют обратную связь. 

      Y_x = ((k₁*k₂)/(1+ k₁*k₂*kос))*x  при   f=0 (3.5)

      Yf = ((k2)/(1+k₁*k₂*kос))*f   при   x=0 (3.6)

     k₁>>k₂        kос>>1 (3.7)

      Y_x ≈ x/kос (3.8)

      Y_f ≈ f/(1+k₁*kос)          (3.9) 

   3) Линеаризацию используют в тех случаях, когда нужно превратить сложную функцию в приближенную линейную. Этот ход значительно упрощает работу системы, в целом, но при этом появляется риск, что система упустит возможность вовремя среагировать на какие-нибудь полезные внешние воздействия, которые помогли бы функционированию системы.

   

Рис. 6.

Y = k(x)*x

X₁(ос) = X₁+Xy₁

   

   Рис. 7.

   4) Обратная связь снижает инерционность системы, делает её более быстродейственной.

 

     ЗАКЛЮЧЕНИЕ

   Задачи  работы выполнены, благодаря чему цель достигнута. Полученные результаты подчеркивают достоинства использования отрицательной обратной связи в сложных системах управления, так как ее использование повышает быстродейственность и устойчивость системы, улучшает ее состояние ценой снижения чувствительности системы, что в одних случаях может быть менее значительным минусом, а в других более. Так, например, из-за того, что при снижении чувствительности системы необходимо подавать гораздо больший входной сигнал, для получения прежнего выходного сигнала, применение отрицательной обратной связи будет нецелесообразным при жесткой ограниченности ресурсов. В то время как положительная обратная связь характеризует «неустойчивые» системы. Однако такие системы могут сознательно иметь неустойчивый режим равновесия, но в малом. Так например, в экономических системах практически отсутствуют «долговечные» цели, т.е. цели в виде поддержания некоторых параметров на заданном уровне, основной тип обратных связей в экономике – положительные. Следовательно, для того, чтобы эффективно применять на практике отрицательную обратную связь, необходимо учитывать специфику конкретной системы.

 

   БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 

   1. Лекции по Общей Теории систем и системному анализу.

   2. «Введение в системный анализ», Перегудов Ф.И., Тарасенко Ф.П.

 

    ПРИЛОЖЕНИЕ 

   Курсовая  работа по курсу

   «Общая  теория систем» 
 

   Динамические  свойства системы S (рисунок 1) описываются следующим дифференциальным уравнением первого порядка 

   T*dY(t)/d(t) + Y(t) = X(t)   (1) 

   в котором:

   T – постоянная времени, характеризующая инерционность системы S;

   X(t) – входной (управляющий сигнал);

   Y(t) – выходной сигнал (результат воздействия X(t) на систему). 

         
 
 

 

    Как известно, полное решение уравнения (1) можно представить в виде суммы

   Y(t) = Y_общ.(t) + Y_част.(t)    (2)

   В уравнении (2) слагаемое Y_общ.(t) – общее решение однородного уравнения, которое может быть получено из (1) при выполнении условия X(t)=0 так, что

   T*dY(t)/d(t) + Y(t) = 0   (3) 

         Уравнение (3) описывает  собственные динамические свойства системы S, т.е. ее поведение при отсутствии внешнего воздействия X(t).

         Составляющая Y_част.(t) учитывает частное решение неоднородного уравнения (1) которое определяется только видом входного сигнала X(t).

         Если взять в  качестве такого сигнала стандартный  сигнал простого вида, например единичную  ступенчатую функцию вида

              

   

      1 , если t >=0,

   1(t)   =          (4)

                     0, если t <0,   

   то  динамические свойства систем можно  определить путем сравнения их реакции  на такие сигналы.

 

    Задание 1.

   а) Найти решение уравнения (1), т.е. аналитический  вид Y(t), используя соотношения (1)……(4).

         Указание: значение постоянной времени системы T (в секундах) определите как произведение m*k, в котором m - условный номер академической группы в порядке возрастания, т.е. m = 1,2,3….; k – порядковый номер фамилии студента по списку в журнале

   б) Построить график переходного процесса Y(t) для значений времени t из диапазона 0….3T.

   Задание 2.

     а) Определить значение постоянной времени T* системы S*, которая получена из исходной системы S (уравнение (3)) путем структурных  преобразований, отраженных на рисунке 2.

   б) Сделайте вывод относительно динамических свойств системы S* по сравнению с системой S путем сопоставления их постоянных времени T* и T.

   в) Сформулируйте одно из важных свойств  отрицательной обратной связи используемое при построении быстродействующих  динамических систем.

   Задание 3.

         Назовите другие известные вам свойства отрицательной  обратной связи, которые применяют  для повышения качества сложных  систем, и поясните их сущность.