Конструктивное описание графов
министерство образования и науки Российской федерации федеральное агенство по образованию
гоу впо нижегородский государственный педагогический университет
|
КОНСТРУКТИВНЫЕ ОПИСАНИЯ ГРАФОВ |
Курсовая работа студента |
Научный руководитель: |
|
Нижний Новгород 2008г. |
Оглавление
Стр.
Введение…………………………………………………………
Глава 1. Конструктивное описание графов: елементный и операционный базисы, структура и способы порождения замкнутых классов графов
§ 1. Определения основных понятий и обозначения……………………4
§ 2. Свойства операций склейки……….…………………………………6
§ 3. Структура замкнутых и if-замкнутых классов графов.…………….8
§ 4. Базисы классов всех графов,
мультиграфов и обыкновенных графов………………………………………………………………
Глава 2. Условия наследования графов
§1. Условия наследования триангулированности графов......................11
§2. Условия наследования планарности графов…………………..…...12
§ 3. Условие наследования планарности
максимальных графов………………………………………………………………
Заключение……………………………………………………
ЛИТЕРАТУРА……………………………………………………
Введение.
Рассматриваются процессы построения графов с помощью операций объединения с пересечением (операции склейки). Изучается структура замкнутых классов системы (Q,C), где Q-множество всех графов, С — суперпозиция операций склейки. Установлено, что каждый замкнутый класс графов имеет единственный базис; существуют классы со счетными базисами; мощность множества всех замкнутых классов графов континуальна. Таким образом, система (Q, С) занимает промежуточное положение по структуре замкнутых классов между системами ( ,С) и ( ,C), где — множество всех функций алгебры логики, Рk — множество всех функций k-значной логики, к ≥ 3. Выделены конечные базисы классов всех графов, мультиграфов и простых графов. Найдены необходимые и достаточные условия наследования при выполнении операций склейки таких свойств графов, как триангулированность, планарность и максимальная планарность. Получены элементные и операционные базисы соответствующих классов планарных графов.
Широкое использование теоретико-графовых моделей в задачах дискретной математики требует разработки методов анализа структур графов, в частности графов, обладающих тем или иным характеристическим
свойством. Каждый граф можно рассматривать как результат некоторого процесса его построения. Так, задания графов матрицами или списками основываются на построении графа с помощью операции соединения ребром вершин графа. Однако при каждом применении этой операции характеристическое свойство графа может меняться, что затрудняет анализ структуры результирующего графа.
Предлагаемый в работе подход основывается на совместном рассмотрении графа и его характеристического свойства, аналогично тому,
как это делается при изучении строения и функционирования управляющих
систем . Каждый граф строится из исходных, базисных графов с помощью бинарной операции склейки, являющейся обобщением теоретико- ножественных операций объединения и пересечения. «Сила» операций регулируется ограничениями, обеспечивающими наследование требуемых свойств графов. Ограничения в виде необходимых и достаточных условий задают динамическую структурную характеризацию соответствующих замкнутых классов графов.
В § 1 приводятся определения основных понятий, используемых при конструктивном описании графов. В § 2 рассматриваются свойства операции
склейки графов. В § 3 изучается структура замкнутых классов системы (Q,С), где Q-множество всех графов, С — операция суперпозиции.
В § 4 определяются базисы замкнутых классов всех графов, мультиграфов и обыкновенных графов. В § 5 — 7 дается динамическая структурная характеризация соответственно классов хордальных, планарных и максимальных планарных графов. В § 8 приводятся конечные описания класса планарных графов. В § 9 получены конечные базисы ряда классов хордальных планарных графов.
§ 1. Определения основных понятий и обозначения
Объектом исследований являются конечные псевдографы, мульти- графы и обыкновенные графы.
Псевдограф — это пара (V, E), где V — непустое множество (вершин), a E— некоторая совокупность (вообще говоря, с повторениями) неупорядоченных пар вершин (ребер). (При обращении к псевдографам для краткости используется термин «граф».)
Мультиграф — это псевдограф без петель.
Обыкновенный граф — это мультиграф без кратных ребер.
Если G — граф, то V(G) и E(G), как обычно, обозначают соответственно
множество вершин и множество ребер в G.
Все графы рассматриваются с точностью до изоморфизма. Граф G' называется частью графа G, если V(G') V(G) и E(G') E(G) (обозначается как G' G). Часть G' графа G называется подграфом графа G, если E(G') содержит все ребра графа G, соединяющие вершины из V(G').
Пусть и — непересекающиеся графы, т. е. V( )∩ V( ) =Ø, содержащие изоморфные части G1' G1и G2' G2.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Объединение графов и путем отождествления их изоморфных частей ' и ' называется операцией склейки графов и .
Граф G, получаемый при выполнении операции склейки, называется результирующим графом (склейкой графов), графы G1 и G2 — графами-операндами. Поскольку графы-операнды изоморфны частям результирующего графа, то для числа вершин и ребер графов , и G справедливы соотношения \V( )\ + \V( )\ ≥ \V(G)\ ≥ max{\V( )\, \V( )\},
\E( )\ + \E( )\ ≥ \E(G)\ ≥ max { \E( )\ , \E( )\}.
При одновременном достижении левых равенств операция склейки графов G1и G2 совпадает с операцией их объединения без пересечения. При одновременном достижении правых равенств операция склейки называется тривиальной. В этом случае ' = или (и) ' = и происходит изоморфное вложение одного графа-операнда в другой. Операции склейки фиксированных графов-операндов не различаются, если их результирующие графы изоморфны. Различные операции относятся к одному типу, если их отождествляемые части изоморфны фиксированному графу.
Пусть Р и Н — некоторые (не обязательно конечные) множества графов и типов операций склейки. Операции из Н называются операциями Н- склейки.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Граф G называется Н-суперпозицией графов из Р, если G ϵ Р или G можно получить из графов множества Р путем последовательного применения операций H-склейки. Процесс построения графа G называется операцией Н-суперпозиции графов из Р.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Множество всех графов, получаемых из Р с помощью
операций H-суперпозиции, называется Н-замыканием множества Р и бозначается через [Р]h. Если [P]h = Р, то Р называется Н- замкнутым классом графов.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Минимальная по включению система графов Вэ Р называется элементным базисом H-замкнутого класса Р, если [Вэ]h= Р.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Система операций В0 H, содержащая минимальное
число типов операций, называется операционным базисом Н-замкнутого класса Р, если [Вэ] =Р.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Операция склейки сохраняет заданное свойство графов-операндов, если этим свойством обладает результирующий граф. Если Р — множество всех графов, обладающих заданным свойством, то оно, очевидно, H-замкнуто относительно любого множества Н операций склейки, сохраняющих заданное свойство графов. H-замкнутый класс имеет конечное описание, если его элементный и операционный базисы содержат соответственно конечное число графов и типов операций. Рассматриваются конечные описания H-замкнутых классов графов. При этом в множества допустимых операций включаются как все операции, охраняющие заданное свойство графов, так и некоторые их подмножества.
Используются следующие обозначения:
G(V') — подграф графа G с множеством вершин V' V(G);
G(E') — часть графа G с семейством (множеством) ребер Е' E(G) и множеством вершин, инцидентных ребрам из Е';
Кп — полный обыкновенный n-вершинный граф ( — граф, не содержащий вершин);
Ḡ — дополнение обыкновенного графа G до полного;
— простой цикл длины п ≥1 ( — петля);
— простая цепь длины п ≥ 2. _
В обозначениях однотипных операций указывается граф Ğ, изоморфный
отождествляемым частям графов-операндов. По отношению к любой такой операции используется терминология «операция склейки по Ğ», а ее результирующий граф обозначается через ( о )Ğ. Операции склейки по Ğ применимы к графам, содержащим части, изоморфные Ğ. Для упрощения записей обозначения графов и их изоморфных образов, получаемых при выполнении операций склейки, как правило, не различаются. Отождествленная часть результирующего графа операции склейки по Ğ также обозначается через Ğ.
При наличии симметрии в графах-операндах и в их отождествляемых
частях операции одного типа могут иметь изоморфные графы (G1 оG2)Ğ при любом выборе отождествляемых частей и их изоморфизмов. В таких случаях записи (G1 о G2)Ğ и их суперпозиции используются в качестве языка задания графов.
ПРИМЕР 1.
( о ) — объединение графов и без пересечения (склейка по );
( о ) — склейка графов и по \
(( о ) о ) — склейка графов ( о ) и по .
В обозначении множества H допустимых операций указываются общие для всех операций H-склейки ограничения на выбор отождествляемых частей и способ их отождествления. Эти ограничения приводятся и в обозначениях однотипных операций H-склейки.
ПРИМЕР 2.
< Ğ > операции склейки по Ğ, в которых отождествляемые части графов-операндов выбираются таким образом, что несмежным в Ğ вершинам соответствуют несмежные вершины хотя бы в одном из графов- операндов; < H > множество всех операций < Ğ> различных типов.
Формула ( о ) реализует два неизоморфных графа (рис. 1).
При использовании операции < > в качестве однозначного результата имеем только граф ( о )К2.
< Ğ > — операции склейки по Ğ, в которых отождествляемые части графов-операндов являются подграфами; < Н > — множество всех операций < G > различных типов. Операция < > не применима к графу К3.
В общем случае будут рассматриваться такие ограничения на выбор множества Н допустимых операций, которые, не гарантируя изоморфизма
результирующих графов, обеспечивают наличие у всех получаемых графов заданного свойства.
ЗАМЕЧАНИЕ 1. Если Н содержит операции всех типов, применимых к графам из Р, и на выбор отождествляемых частей и способ отождествления
не накладываются никакие ограничения, то H-замкнутый класс Р называется также замкнутым. Если в описании замкнутого класса графов операционный базис не указывается, то термин «элементный базис» заменяется для краткости на «базис». Базис обозначается через В.
Определения всех используемых понятий можно найти в [1, 6, 7].
§ 2. Свойства операций склейки
Рассматривается
связь некоторых общих
Свойство 1. Любая операция склейки сохраняет отсутствие в графах петель, ребер с различными концевыми вершинами и изолированных вершин.
Свойство 2. Операция склейки сохраняет связность графов тогда
и только тогда, когда Ğ ≠ .
Свойство 3. Операция склейки сохраняет отсутствие кратных ребер, если каждой паре несмежных в Ğ вершин соответствует пара несмежных вершин хотя бы в одном из графов и G2.
Подмножество V ' V(G) называется разделяющим множеством вершин графа G, если граф G(V\V') имеет больше компонент связности, чем граф G.
Свойство 4. Если \V(G)\ > max{|V( )|, |V( )|}, TO V(Ğ) является разделяющим множеством вершин связного графа G = ( о )Ğ. Указанное неравенство имеет место при выполнении любой нетривиальной
операции склейки связных графов по подграфу Ğ. Всякое минимальное по включению разделяющее множество вершин называется тупиковым.
Лемма 1. ЕСЛИ V(Ğ) — тупиковое разделяющее множество вершин связного графа G = ( о )Ğ, то каждая вершина из V( )\V( ') и V( )\V( ') соединена с каждой вершиной из V(Ğ) цепью, не содержащей внутренних вершин из V(Ğ).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что найдется такая вершина vi1 € V( )\V( ') (vi2 € V( )\V( ')), которая соединена с некоторой вершиной vio € V(Ğ) лишь цепями, содержащими внутренние вершины из V(Ğ). При этом множество V(Ğ)\{vi0} также будет разделяющим в графе G: одна компонента связности включает вершину vi1(vi2), а другая — вершину vi0, что противоречит условию тупиковости (минимальности по включению) разделяющего множества V(Ğ). Лемма 1 доказана.
Следствие 1. Если V(Ğ) — тупиковое разделяющее множество вершин связного графа G = ( о )Ğ и \V(Ğ)\ ≥ 2, то каждая пара вершин из V(Ğ) соединена в G(E( )\E( ')) и G(E( )\E( ')) цепями Ln, n ≥ 2, внутренние вершины которых не принадлежат V(Ğ).
Следствие 2. Если V(Ğ) — тупиковое разделяющее множество вершин связного графа G = ( о )G и \V(Ğ)\ ≥ 3, то в V( )\V( ') и V( )\V( ') найдутся вершины, соединенные непересекающимися цепями с любыми тремя вершинами из V(Ğ).
Свойство 5. Если V(Ğ) — тупиковое разделяющее множество вершин графа G = ( o )Ğ, то операция склейки сохраняет ацикличность и связность графов тогда и только тогда, когда Ğ — К1.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Необходимость наличия хотя бы одной вершины
в части Ğ следует из свойства 2. Если |V(Ğ)| ≥ 2, то по следствию 1 в графе G должен существовать цикл. Так как и не содержат петель, то из свойства 1 следует, что Ğ = K1.
Достаточность. Нетрудно видеть, что операции склейки по сохраняют ацикличность графов. Связность графа G следует из свойства 2. Свойство 5 доказано.
§ 3. Структура замкнутых
и if-замкнутых классов графов
Теорема 1. Каждый Н-замкнутый класс графов имеет единственный
элементный базис.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим произвольный H-замкнутый класс графов Р. Поставим ему в соответствие ориентированный граф с множеством вершин V( ) =Р. Дуга ( ), V( ), i , содержится тогда и только тогда, когда соответствующий вершине граф является графом-операндом хотя бы одной нетривиальной операции H-склейки, реализующей граф , соответствующий вершине . Так как при проведении дуг в G^ учитываются лишь нетривиальные операции H-склейки, то \V( )\ > |V( )| или (и) \E( )\ > \E( )\.
Из конечности рассматриваемых графов следует, что все пути, ведущие в любую вершину графа , содержат конечное число разных вершин. В графе не может быть контуров, поскольку графы-операнды любой операции склейки изоморфны частям результирующего графа и графы, соответствующие вершинам одного контура, изоморфны друг другу. Таким образом, все пути, ведущие в любую вершину графа , имеют конечную длину. Отсюда следует, что множество вершин графа с нулевыми полу степенями захода не пусто и графы, соответствующие таким вершинам, образуют элементный базис H-замкнутого класса Р,
поскольку ни один из таких графов не может быть выражен в виде Н- суперпозиции других графов из Р. Отсюда же следует и единственность элементного базиса. Теорема 1 доказана.
Из теоремы 1, учитывая замечание 1, получаем
Следствие 3, Каждый замкнутый класс графов имеет единственный базис.
Следующая теорема дает ответ на вопрос о мощности базисов замкнутых
классов.
Теорема 2. Существуют замкнутые классы графов со счетными базисами.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Достаточно выделить бесконечную последовательность графов, каждый из которых нельзя представить суперпозицией других графов последовательности. Ее замыкание образует искомый класс. Пример подобной последовательности графов приведен на рис. 2. Теорема 2 доказана.
Следствием теоремы 2 является
Теорема 3. Мощность множества, всех замкнутых классов графов континуальна.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Число замкнутых классов
Далее, множество замкнутых классов, базисами которых являются все подмножества бесконечной последовательности графов, изображенных на рис. 2, континуально. Теорема 3 доказана. Так как каждый замкнутый класс является и H-замкнутым классом, то из теорем 2 и 3 имеем
Следствие 4. Существуют Н-замкнутые классы графов со счетными элементными базисами.
Следствие 5. Мощность множества всех Н-замкнутых классов графов континуальна.
§ 4. Базисы классов всех графов,
мультиграфов и обыкновенных графов
Множество всех графов является, очевидно, замкнутым классом.
Теорема 4. Графы , и образуют базис В замкнутого класса всех графов.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Учитывая свойство 1 операции склейки, имеем { , , } В. Далее согласно следствию 3 для доказательства обратного включения достаточно показать, что любой граф G представим в виде суперпозиции графов из { , , }. Это можно сделать, например, так:
1) построить пустой |V(G)|-вершинный граф с помощью (|V(G)| —
1) операций склейки по , реализующих графы вида (g o ) , где g— результирующий граф предыдущей операции склейки (g = при выполнении первой операции);
2) затем пустой граф дополнить ребрами до графа G, использовав |E(G)| операций склейки, реализующих графы вида (g о К2) и (или) (g о ) .
Теорема 4 доказана. Из теоремы 4 получаем
Следствие 6. Замкнутый класс всех графов имеет элементный базис Вэ = { , , } и операционный базис — { , , }.
Для доказательства следствия 6 достаточно установить минимальность числа типов операций, включенных в множество В0. Без операций склейки по К0 нельзя реализовать несвязные графы (свойство 2). Графы (.. .( о )Ki о • • • о ) невозможно построить без использования операций склейки по . Графы (.. .( о ) о • • • о ) нельзя построить без использования операций склейки по .
На основе подмножеств базисов и можно строить другие Н- замкнутые классы графов. Из следствия 6 получаем
Следствие 7. Замкнутый класс мультиграфов имеет элементный базис = { , } и операционный базис = { , }. При переходе к операциям склейки, сохраняющим отсутствие кратных ребер, получаем
Следствие 8. < Н >-замкнутый класс обыкновенных графов имеет элементный базис = { , } и операционный базис = { , }.
Множество всех графов является Н-замкнутым классом при любом Н. В связи с этим представляет интерес оценка числа конечных описаний.
Теорема 5, Существует счетное множество конечных описаний замкнутого класса всех графов. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Счетные множества конечных элементных и операционных базисов для класса Р всех графов можно получить следующим образом.
Из множества Н операций склейки всех типов последовательно удаляются
операции склейки по ( о ) , (( о ) о ) и т. д. Получающиеся при этом подмножества операций склейки обозначаются через , i = 1,2,... Для каждого замыкания класса Р по и строятся множества графов и операций (см. таблицу).
Для каждого множества имеем = Р. Возможность построения всех одновершинных графов, допускающих ребра-петли, следует из способа построения э и определения . Объединяя эти графы операциями склейки по И добавляя ребра с помощью операций, реализующих графы вида (g о ) , где g — результирующий граф предыдущей операции склейки, получаем любой граф G. Минимальность по включению множеств э следует из ограничений на множества и теоремы 4. Минимальность по включению множеств 0 устанавливается следующим образом: без операций склейки по не реализуются несвязные графы (свойство 2 операции склейки); без операций склейки по нельзя построить граф , так как каждое не содержит операций склейки по Ki\ по этой же причине необходимы операции склейки по , ( o ) и т. д. для реализации соответственно графов (( о ) о , ((( о ) о ) о ) и т. д. Теорема 5 доказана.
ЗАМЕЧАНИЕ 2. Задания графов, соответствующие различным базисам,
различаются величиной избыточности, возрастающей при переходе от к , i = 1,2,...
При рассмотрении операций склейки по подграфам описание класса всех графов становится бесконечным. Более того, справедлива
Теорема 6. < Н > -замкнутый класс обыкновенных графов имеет счетные элементный и операционный базисы.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Бесконечность элементного
Действительно, если это возможно, то, учитывая свойство 4 операций склейки, множество V(Ğ) должно быть разделяющим в графе G и его связность Ϟ (G) n — 2. С другой стороны, полный граф имеет связность Ϟ( ) = п — 1. Таким образом, элементный базис должен содержать в своем составе счетное множество полных графов.
Покажем бесконечность операционного базиса. Рассмотрим счетную последовательность графов вида ( о ) _i, n = 2 , 3 , . . . Каждый граф этой последовательности имеет связность, равную п — 1, и не может быть результатом операции склейки с по i < n — 1, так как при этом связность графа будет меньше п — 1. Следовательно,в операционный базис входит счетное множество операций склейки по Ğ, где Ğ = , n= 1,2,... Теорема 6 доказана.
Следствие 9. Мощность множества всех < Н >-замкнутых классов обыкновенных графов континуальна.
Для получения конечных описаний обыкновенных графов в рамках < Н >-замыканий в дальнейшем будем рассматривать их подмножества с операциями склейки, сохраняющими соответствующие свойства графов.
§5. Условия наследования
триангулированности графов
При рассмотрении условий наследования свойств графов здесь и в дальнейшем ограничимся нетривиальными операциями склейки, поскольку
если G и (или) G , т о происходит наследование всех свойств графов-операндов.
Часть графа называется полной, если каждая пара ее вершин соединена хотя бы одним ребром. Любая часть, содержащая одну вершину, также считается полной.
Лемма 2. Если отождествляемые части графов-операндов являются полными, то операция склейки сохраняет хордальность графов.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Поскольку графы-операнды и хордальны, цикл , n ≥ 4, без хорды должен содержать вершины из V( )\V( ) и V( )\ V( ), где V( )и V( ) — вершины отождествляемых частей графов и . При этом вершины множества V(Ğ) образуют разделяющее множество в результирующем графе (свойство 4). Так как — простой цикл, то получаем две несмежные вершины в (5, что
невозможно, так как отождествлялись полные части графов-операндов. Таким образом, цикл , n ≥ 4, содержит хорду. Лемма 2 доказана.
Лемма 3. Если V(Ğ) — тупиковое разделяющее множество вершин хордального графа G — ( о )Ğ, то Ğ — его полная часть.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. При |V(Ğ)| = 1 утверждение леммы следует из определения полной части графа. Если |V(Ğ)| ≥ 2 и Ğ не является полной частью графа G, то по следствию 1 получаем цикл , n ≥ 4, без хорды, что противоречит условию. Лемма 3 доказана.
Из лемм 2 и 3 следует
Теорема 7, Если V(Ğ) — тупиковое разделяющее множество вершин графа G = ( о )Ğ, то операция склейки сохраняет хордальность графов тогда и только тогда, когда Ğ — полная часть графа G. Обозначим через , 1 i , результирующий граф операции склейки, использовавшейся на i-м шаге построения графа G; — отождествленная часть графа = ( о )
Лемма 4. Если V — разделяющее множество вершин графа ,
i — 1, я все части , i < j , являются полными, то V является
разделяющим множеством вершин графа G.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что V не является разделяющим множеством в G. Это означает, что в графе G содержится ребро (v1,v2) такое, что вершина v1 принадлежит V( )\V( ), в то время как вершина v2 принадлежит множеству V( )\V( ). Однако такого ребра в G не может быть, ибо ребро (v1, v2) отсутствовало в графе и не могло появиться позднее при выполнении операций склейки по полным частям. Лемма 4 доказана.
ЗАМЕЧАНИЕ 3. Из теоремы 7 и леммы 4 следует структурная харак- теризация хордальных графов [10].
§6. Условия наследования
планарности графов
Выделим в плоском графе G некоторую грань Г, имеющую связную границу. Окружность, все точки которой принадлежат грани Г или ее границе, называется вписанной в грань Г.
Лемма 5. Каждый планарный граф G допускает плоскую укладку, в которой все вершины произвольной грани Г со связной границей расположены вдоль вписанной в нее окружности в порядке кругового обхода грани Г.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Связную часть плоского графа G, являющуюся границей грани Г, обозначим через . Нетрудно видеть, что граф представим в виде { -суперпозиции простых циклов и максимальных (по включению) деревьев. Проведем доказательство индукцией по m — числу циклов и деревьев, используемых при построении графа . Базис индукции для m = 1. Если является деревом, то произведем линейное размещение его вершин в соответствии с круговым обходом грани Г (в любом из двух возможных направлений), начиная с произвольной вершины. При этом допустима одностраничная плоская укладка ребер дерева, поскольку отрезки прямой, заключенные между концевыми вершинами произвольной пары ребердерева, либо не пересекаются, либо один из них содержится в другом. Заменяя отрезок прямой, содержащий все вершины дерева, на дугу окружности с сохранением односторонней плоской укладки ребер дерева, получаем искомую плоскую укладку графа G. Если — простой цикл, то существование искомой плоской укладки графа G очевидно.
- Конструктивное разнообразие и естественные механические характеристики электрического двигателя постоянного тока
- Конструктивное разрешение конфликта на примере Банка «Первое О.В.К.»
- Конструктивное решение частей гражданского здания
- Конструктивное решение частей гражданского здания
- Конструктивное решение частей гражданского здания
- Конструктивное решение частей гражданского здания
- Конструктивное решение частей гражданского здания на примере жилого двухэтажного дома
- Конструирование ЭМ-1 Бортовой ЭВМ четвертого поколения
- Конструирования логического (комбинационного) блока
- Конструктивная позиция менеджера по персоналу в отношении организационных конфликтов
- Конструктивная разработка шагающих балок
- Конструктивное моделирование
- Конструктивное моделирование одежды
- Конструктивное моделирование одежды
