Контрольная работа по "Геометрии"

Введение.

Что же такое  начертательная геометрия?

Начертательная геометрия  относится к числу математических наук. Это одна из ветвей геометрии, которая занимается вопросами исследования геометрических основ построения изображений предметов на плоскости, вопросами решения пространственных геометрических задач при помощи изображений. Для неё характерна та общность методов, которая свойственна каждой математической науке. Методы начертательной геометрии находят самое широкое применение в объектах изучения самой различной природы: в механике, архитектуре и строительстве, химии, геодезии, геологии, кристаллографии и т.д. Но наибольшее значение и применение методы начертательной геометрии нашли в различных областях техники при составлении различного вида технических чертежей: машиностроительных, строительных, различного рода карт и т.д. Начертательная геометрия, таким образом, является звеном, соединяющим математические науки с техническими. И входит в группу общетехнических дисциплин, составляющих основу всякого инженерного образования. Она учит грамотно владеть выразительным техническим языком - языком чертежа, умению составлять и свободно читать чертежи, решать при помощи чертежей различные инженерно-технические задачи. Кроме того, изучение начертательной геометрии способствует развитию пространственных представлений и пространственного воображения - качеств, характеризующих высокий уровень инженерного мышления и необходимых для решения прикладных задач. В процессе изучения начертательной геометрии расширяется общенаучный кругозор, развиваются навыки логического мышления, внимательность, наблюдательность, аккуратность и другие качества, развитие которых является одной из задач обучения и воспитания в высшей технической школе.

Почему начертательную геометрию назвали начертательной?

                                                                                            Разум человеческий вла-

                                                                                            деет тремя ключами,

                                                                                            открывающими всё: 

                                                                                            цифрой, буквой, нотой.

В.Гюго

   Что открывают эти ключи и действительно всё можно открыть ими?

Цифра, буква, нота помогают распахнуть двери в различные  области человеческого общения. С тех пор, как человек стал Человеком Разумным, как его труд стал носить коллективный характер, для него стало жизненной необходимостью обмениваться мыслями с себе подобными, искать и находить взаимопонимание. Такого понимания люди смогли достичь благодаря языку. Язык – это система знаков, передающих информацию.

   Но, продолжая мысль  Гюго, геометрия не может не  добавить: ещё один ключ – линия  и ещё один язык – язык  графики. Этот язык – наиболее  естествен для передачи информации  о форме предмета, его зрительном  образе.

   Язык графики имеет  множество достоинств, но основные из них – это лаконичность и наглядность. Если язык слов разобщает людей различных национальностей, то графический язык без переводчика понятен всем. Эту особенность языка линий подметили давно. Например, в средневековых городах, особенно в портовых или расположенных на перекрёстках торговых путей, вместо названий лавок и мастерских ремесленников у входа прохожих зазывали вывески (рис. 1). Эта информация была без слов понятна любому безграмотному обывателю, любому иностранцу.

Рис. 1

   А во  время, когда один из городов  нашей планеты становится  Олимпийской  столицей, он наполняется множеством  иностранных спортсменов, журналистов,  болельщиков из разных уголков  Земли. Как им помочь ориентироваться  в чужом городе с незнакомым  языком? И вновь на помощь приходит образный лаконичный язык графики (рис. 2).

Рис. 2

Рис. 3

   А дорожные  знаки, регулирующие движение  на улицах городов и шоссейных  дорогах мира? Они понятны любому  водителю, независимо от языка,  на котором он говорит, образования и специальности (рис. 3).

   Пожалуй,  этот язык приобретает особое  значение при обмене технической  информацией между разными странами, недаром чертёж называют международным  языком техники, а начертательную  геометрию – грамматикой этого  языка. Так, что же обозначает само название «начертательная геометрия»?

   Существительное  в этом словосочетании указывает  на исторические корни науки,  на то, что она является одной  из ветвей геометрии. Геометрия  возникла в глубокой древности  из практических нужд измерения земельных участков. Греки внесли в геометрию логику, но для этого нужна была связь между лаконичным чертежом и словом. Поэтому на чертеже появились буквы: у вершин квадрата, в точке пересечения диагоналей, на концах отрезков. Так же, метод координат, введённый Рене Декартом, связал алгебру и геометрию, а это в свою очередь позволило сопоставить каждой точке пространства систему упорядоченных чисел, однозначно определяющую её в заданной системе координат. Буквы, обозначающие различные величины, сведённые в стройные ряды формул, на некоторое время потеснили чертёж. Но чертёж жил – в практике строителей, корабелов, резчиков камней. Новую жизнь в искусство составлять чертежи вдохнула начертательная геометрия, подведя научный фундамент под древнее умение отображать трёхмерный мир на плоскости.

   Прилагательное  в названии рассматриваемой науки  указывает её отличие от других  ветвей геометрии, на то, что  она говорит о геометрических  фигурах языком самих этих  фигур, языком линий.

   Хотя  при изложении основ начертательной геометрии, как вспомогательное качество используется привычный живой язык слов, и там, где это облегчает понимание, обобщает мысль, экономит время и бумагу, - компактный язык символов.

Итог…

   Язык  – система знаков, позволяющая  передавать и хранить информацию.

   Основной  язык начертательной геометрии  – графический, его символы  – точки и линии.

   При изложении  основ начертательной геометрии  в качестве вспомогательного  используется привычный живой  язык слов, и там, где это  облегчает понимание, обобщает мысль, экономит время и бумагу, - компактный язык символов.

Метод проекций.

                                                                                         Прямая линия в матема-

                                                                                      тике так же, как и в мо-

                                                                                  рали, - самый короткий

                                                    путь.

Л. Эджворт

   Какое слово чаще всего встречается в книгах по начертательной геометрии? Слово «проекция»  и все производные от него: проекция точки и фигуры, проецирующая прямая, плоскость проекций и т.д. Почему? Объяснение просто: в основе начертательной геометрии лежит метод проекций.

   С понятием  проекции мы, не замечая этого,  встречаемся постоянно в нашей  повседневной жизни. Тень, отброшенная  нами на асфальт светом уличного  фонаря или на морской песок  лучами летнего солнца, - это проекция  нашей фигуры. Фотография, запечатлевшая  улыбку ребёнка, - это проекция на лист фотобумаги изображения с кадра фотоплёнки, который в свою очередь был проекцией зафиксированного мгновения реального мира. Мерцающие созвездия на куполе планетария – проекция искусно сделанной модели звёздного неба.

   Всякая проекция – отображение, и потому для её определения следует ввести три понятия:

   ЧТО проецируют (объёмы проецирования)?

   НА ЧТО  проецируют (поверхности проецирования)?

   КАК проецируют (способ проецирования)?

   В рассмотренных  или других примерах реального физического проецирования в качестве объектов могут выступать любые предметы окружающего нас мира.

   В качестве  поверхностей проецирования может  быть взята любая удобная поверхность:

• плоская (лист фотобумаги);
• цилиндрическая (экран круговой кинопанорамы);
• сферическая (купол планетария).

   Направление  проецирования может задаваться  реальными физическими лучами: параллельными  от далёких светил или расходящимися  – от лампы, но в реальной  жизни практически всегда прямолинейными.

  Чем занимается всё это в нашем математическом, абстрагированном мире геометрических фигур?

   Выберем  в качестве основных элементов  аппарата проецирования три простейшие  геометрические фигуры: ТОЧКУ, ПРЯМУЮ, ПЛОСКОСТЬ.

Пусть точка А трёхмерного пространства проецируется прямой s, проходящей через некоторый центр S, в некоторую точку А’ плоскости π1. (Точку S называют центром проецирования, плоскость π1- плоскостью проекций, прямую s- проецирующей прямой (рис.4). Точка А’ пересечения проецирующего луча с плоскостью проекций называется проекцией точки А.     

                                      Рис.4                                        Рис.5

   Очевидно, каждой точке пространства будет  однозначно соответствовать своя  собственная проекция. Если точка  принадлежит плоскости проекций, то её проекция совпадает с самой точкой (точка В). А бывает еще, например (рис.5): здесь точка пересечения общей проецирующей прямой является, как проекцией точки А, так и точки С.

   Следовательно такое  отображение не является взаимно  однозначным, т. е. по образу нельзя точно распознать прообраз, или, другими словами , судить о положении точек в пространстве по одной проекции невозможно. А именно это и является одной из важнейших инженерных задач, одним из требований, которое ставиться перед чертежом – точное определение пространственного объекта по его изображению, по его проекции. Где же искать выход?

   Вот один из  них (рис.6): спроецировать одну точку дважды – из двух центров S1 и S2. Тогда обратная задача решается легко, по заданным проекциям А1’ и А2’ и заданным направлениям проецирования – к центрам S1 и S2  мы легко обнаружим точку А в пространстве (рис.7).

Рис.6                                   Рис.7

   А вот ещё вопрос: где проекция точки D (рис.8)?

   Где встретиться  прямая s с плоскостью проекций π1, если точка D расположена так, что s‌‌‌‌ ‌‌׀׀ π1? Согласно канонам евклидова пространства, прямая s не имеет с плоскостью π1 общей точки, т. е. не пересекается с ней.  Поэтому нужно постепенно подойти к этой особой, казалось бы, точке D. Возьмём непрерывный ряд точек на некоторой прямой а и спроецируем их на плоскость π1 (рис.9).

Луч [SB) пересечёт плоскость π1 в её собственной точке B’.

Луч [SA) пересечёт плоскость π1 в её более далёкой точке A’.

Луч [SC) пересечёт плоскость π1 в очень далёкой, или, как говорят, недоступной точке, уже лежащей за пределами чертежа в намеченном отсеке плоскости π1.

Рис.8                                    Рис.9

Продолжая рассуждения, можно сказать, что прямая s пересечёт плоскость π1     в бесконечно далёкой точке D∞ или так называемой несобственной точке прямой а. 

   Понятие  несобственной точки было введено  в геометрию французским математиком  и архитектором Жираром Дезаргом  и является ныне одним из  важнейших понятий проективной  геометрии. Понятие несобственной точки чисто условно, но оно удобно, так как уравнивает по своим свойствам все точки пространства. Действительно, теперь любые две прямые плоскости пересекаются: в собственной (если они были пересекающимися по Евклиду) или в несобственной (если они были параллельными по Евклиду) точке. Каждая прямая имеет одну несобственную точку. Каждая плоскость имеет одну несобственную прямую, по которой пересекутся все плоскости, параллельные данной.

  Но многие  возразят, что ведь понятие о  параллельных как о непересекающихся прямых было осознано, исходя из практических наблюдений, ещё вавилонянами и канонизировано постулатом Евклида в III веке до н. э. И благодарное человечество в течении двух тысячелетий с успехом пользовалось этим понятием и не испытывало каких-либо неудобств на практике. Да, это так. Но Дезарг и не оспаривал Евклида, он лишь дополнил его пространство несобственными элементами, что сразу устранило существенные недостатки евклидовой геометрии в тех случаях, когда речь идёт о проекционной связи между фигурами.

И всё же трудно представить, что параллельные пересекаются.

   Далее  о методе проецирования. Дополним  прямую бесконечно удалённой  точки S∞ и предположим, что центр проецирования совпадёт с ней. Следовательно, проецирующие прямые, проходящие через эту точку, будут параллельными, как, например, параллельными мы считаем лучи Солнца. Это так называемое параллельное проецирование. Причём лучи, исходящие из бесконечного далёка, могут быть наклонены под любым углом к плоскости проекций. В частности, и под прямым. В этом случае проецирование называют прямоугольным или ортогональным.

   Ему, как частному случаю, присущи все общие закономерности центрального и параллельного проецирования, в частности, и то, что оно не является взаимооднозначным. Но при этом виде проецирования вопрос о взаимной однозначности нельзя решать заданием второго центра проецирования (конечного или бесконечно удалённого), так как направление в принятом методе обусловлено одно – перпендикулярное к плоскости проекций. Как быть? А если взять не одну, а две плоскости проекции и ортогонально к ним спроецировать точку? Мы имеем две, единственным образом полученные проекции. По этим проекциям можно решить обратную задачу – восстановить положение точки в пространстве. Именно этот принцип отображения встречается в самых древних изображениях, созданных человеком: в наскальных рисунках, нанесённых краской или резцом на каменной стене или на планах египетских сооружений.

   Почему  избран именно этот способ? Вероятно, в силу ряда удобных свойств ортогонального проецирования, понятых ещё древним человеком на основе практического опыта, накопленного веками. Каких свойств? О них речь впереди. А пока остановимся и поразмыслим о нашем прямоугольном мире…

В наших комнатах стены и пол взаимно перпендикулярны, перпендикулярны  к полу ножки столов и стульев. Если выйдем на улицу, то увидим, что современные дома стоят под прямым углом,  выстроились вдоль дорог перпендикуляры уличных фонарей. Но, может это лишь предметы урбанизации?

   Выберемся за город, в сосновый лес, на берег тихого озера. Капли в безветренную погоду падают тяжело и отвесно ей землю. Отвесно к земле падают шишки с сосен, а сами деревья тянуться к солнцу, как по отвесу столяра. Стоп!

   А может  быть, мы уже и ответили на  вопрос – почему наш мир столь прямоуголен? Недаром в описаниях невольно столько раз возникло слово «отвесно». Сила гравитации – могучая невидимка, властно притягивающая к Земле всё земное, - возможно, именно это первая причина понятия перпендикулярности.

   Увидеть, понять, сделать, вот ступень творческой деятельности человека. Многое «подсмотрел» человек у природы. Увидел он и прямой угол между поверхностью земли и перпендикулярно падающей каплей. Очень давно научилось человечество воспроизводить прямой угол. Прямым углом оперировали ещё греческие геометры. Изображение  прямоугольно трапеции встречается в первом дошедшем до нас египетском математическом трактате – папирусе, написанном учёным писарем Ахмесом, жившим во времена фараона Рауса в XVII в. до н. э. Изображения на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций мы встречаем уже в конце I в. до н. э. в капитальном труде «10 книг по архитектуре» римского военного инженера и архитектора Марка Поллиона Витрувия. Он назвал их так: «ихрография» или «следоописание» («ихнос» - след) – ортогональная проекция на горизонтальную плоскость; «ортография» («ортос» - прямой) – ортогональная поверхность на вертикальную плоскость. Причём важно, что оба эти изображения были даны им, как мы бы сказали теперь, в проекционной связи.

   Вот они, начала начертательное геометрии, той её ветви, которая называется начертательной геометрией в ортогональных проекциях. Возможно, что уже тогда, на стыке тысячелетий, стала бы и дальше развиваться эта наука, если бы не многовековой перерыв в развитии цивилизации, когда волны кочевников – завоевателей захлестнули античный мир и когда лишь со второго тысячелетия нашей эры начали возрождаться искусство, наука, техника.

   Но древнее  искусство отображения мира не  угасло. Оно было необходимо живописцам, мореплавателям, строителям, каменотёсам. Там, где требовалась передача эмоциональной стороны зрительного образа, применялась перспектива, т. е. не что иное, как центральная проекция на плоскость. Там, где более важна была задача точного измерения по чертежу расстояний и углов, интуитивно использовались законы ортогонального проецирования – иногда на горизонтальную, иногда на фронтальную плоскость, в зависимости от того, какую сторону предмета важнее было отобразить. Иногда применялось проецирование на две взаимно перпендикулярные плоскости, как, например, у французского архитектора Фрезье. В его обширном и прекрасно иллюстрированном трактате «Теория и практика разрезки камней», изданном в Страсбурге в 1738г., много примеров построения таких проекций.

  Казалось  бы, что ещё? Вот и вся наука.  Смотри на пример и делай  так же. Но наука – это не  свод рецептов, не набор примеров. Сумма знаний в некоторой области  становится наукой, когда вырабатываются  определённые правила, теоретический  фундамент, объясняющий известные факторы и позволяющий предвидеть ещё непознанные.

   С каких  же пор начертательная геометрия  числится, как наука в мировой  истории наук?

   Официальная  дата её рождения – 1795 год.

   Место  рождения – г.Париж.

   Отец  – французский учёный Гаспар Монж.

В чём же заслуга  Гаспара Монжа? В чём суть его  подхода к теории отображения на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций?

   Гениальное  всегда просто!

   Это сейчас  нам кажется, что совершенно  естественно изображение Земли  в виде глобуса, что не могло быть другим представление о строении Солнечной системы, что именно такой, как периодическая, и могла быть таблица системы элементов.

   Но за  каждой из таких ясных и  прозрачных решений стояли долгие  годы наблюдений и раздумий.

   Интересно  было бы проследить за ходом  мыслей Монжа, подтверждающих  рациональность отображения, благо  он оставил нам следы раздумий  на страницах книги «Начертательная   геометрия», опубликованной в Париже  в 1799 г. Это был первый учебник  новой науки.

   Точка трёхмерного пространства, рассуждал Монж, задаётся тремя числами, тремя координатами. Каждое из этих трёх чисел может быть рассмотрено как расстояние от какой-либо опоры. Чисел – три, значит, и система опор должна содержать три элемента. Монж последовательно рассматривает три системы, состоящие из трёх точек, трёх прямых и трёх плоскостей.

   Пусть даны три фиксированные точки А, В, С и три числа – координаты x, y, z искомые точки. Если точка находится на некотором расстоянии от первой точки А, то, следовательно, она находится на поверхности сферы, центром которой является точка А, а радиусом – заданное расстояние х (рис. 10). Если, кроме того, искомая точка находится на расстоянии у от точки В, то множество таких точек будет сфера с центром В и радиусом у. Следовательно, точка принадлежит линии пересе -                    Рис.10

чения двух сфер, т. е. окружности. Вводя таким же образом  третью сферу с центром С и радиусом z, Монж приходит к определению точек пересечения полученной окружности с третьей сферой. Таких точек в общем случае будет две. Поэтому для однозначного задания точки потребуются некоторые дополнительные условия.

   А если взять  в качестве элементов такой  опорной системы отсчёта три  прямые а, b и c? Тогда искомая точка будет лежать на пресечении трёх круговых цилиндрических поверхностей, осями которых будут прямые а, b и c, а радиусы равны соответственно трём заданным расстояниям  x, y, z (рис.11). Два цилиндра

          Рис.11          пересекаются по линии двоякой кривизны, а третий

цилиндр в   пересечении с нею в общем  случае даёт восемь точек. Искомая точка может быть одной из восьми. Следовательно, для точного её определения в пространстве нужно положить какие-либо дополнительные условия, что также неудобно.

   Далее Монж переходит к рассмотрению трёх опорных плоскостей (рис.12). Множеством точек, удалённых от плоскости на заданное расстояние, как известно, является параллельная ей плоскость (вернее, с учётом знака – две плоскости). Искомая точка однозначно  (с учётом знака коорди -                       Рис.12

наты) определяется  как точка пересечения трёх вспомогательных  плоскостей. Таким образом, рассуждения  подводят нас к выводу, что три  плоскости – наиболее простой  вид задания опорных элементов.

   Тем более,  что этим способом, напоминает Монж, пользуются при применении алгебры и геометрии.

   Поясним  эту идею Монжа, пользуясь уже  нашими современными обозначениями.  Кстати, три предыдущих рисунка  – это лишь реконструкция текста  по Гаспару. В его книге,  несмотря на то, что она была задумана как популяризация языка чертежа и его грамматики, очень мало чертежей.

   За три  опорных элемента отсчёта примем  три плоскости (рис.13):

Рис.13

   π1 – горизонтальную плоскость проекций;

   π2 – фронтальную плоскость проекций;

   π3 – профильную плоскость проекций;

   x, y, z – оси проекций;

   О – начало координат.

   Точка в пространстве  определяется тремя числами, тремя  координатами, тремя расстояниями  до названных плоскостей:

   х –расстояние до плоскости π3: х=׀А, π3׀;

   у –расстояние до плоскости π2: у=׀А, π2׀;

   z –расстояние до плоскости π1: z=׀А, π1׀.

   Спроецируем ортогонально точку на эти взаимно перпендикулярные плоскости. Обозначим:

   А’ – горизонтальная проекция точки;

   А” – фронтальная проекция;

   А”’ – профильная проекция.

   Проведём  перпендикуляры из точек А’, А”, А”’ к осям проекций. Опустим элементарное доказательство того, что образовавшийся параллелепипед будет прямоугольным. Скажем, как древние индийские  математики: «Смотри!»

   А теперь  возьмём ножницы, разрежем трёхгранник  плоскостей по оси у и отогнём плоскость π3 вправо, а плоскость π1 – вниз до общей плоскости чертежа (рис.13,б).

   Из чертежа  видно, что:

   А’ и А” лежат на одном перпендикуляре (одной линии связи) к оси х;

   А” и А”’ лежат на одном перпендикуляре (одной линии связи) к оси z;

   А’ и А”’ лежат на одном перпендикуляре (одной линии связи) к оси у.

   Правда, в последнем случае линия связи как бы распадается на два отрезка, так как на два луча распалась, «раздвоилась» и сама ось у.

   Посмотрим,  не потеряли ли мы информацию о положении точки в пространстве, можно ли по чертежу определить её координаты x, y, z? Нет, в какой бы комбинации мы ни взяли попарно эти проекции, там будут присутствовать все три координаты.

   Следовательно,  для однозначного определения  точки в пространстве необходимо и достаточно на чертеже задать какие-либо две её проекции (т. е. эпюр Монжа).

Проецирование точки, прямой, плоскости и основные теоремы.

Кто совсем свободно знает

                                                                                прямую и плоскость, тот

                                                                                 не встретит затруднений

                                                                                  в начертательной геомет-

                                             рии.

Г. Монж

   Главное  – проецирование точки, этого  атома в мире фигут, этого  кирпичика в здании геометрии. 

   На рис.14, а показаны различные взаимные положения точек А, В, С, D относительно плоскостей проекций π1 и π2.

                                                          Рис.14

  На рис.14,б даны горизонтальные и фронтальные проекции этих точек. Приведённые чертежи служат, согласно школьной терминологии, своеобразной «таблицей умножения» для проецирования точек. Это основа. А теперь, пользуясь этой основой, покажем изображение на чертеже прямой и плоскости.

   Поскольку,  согласно законам стереометрии, прямая в пространстве может  быть определена двумя нетождественными  точками, то на чертеже она  может быть задана проекциями этих точек. Но чаще, согласно свойству проецирования прямой, её задают проекциями:  а’ – горизонтальной и а” – фронтальной (рис.15). Прямую а назвают прямой общего положения. Она произвольно расположена по отношению к плоскостям проекций. Если продолжить прямую до пересечения с плоскостями проекций, то получим две точки частного положени на прямой – её следы:

  На – горизонтальный след прмой;

  Fа – фронтальный след прямой.

 Прямые h и f (рис.16) – прямые    частного положения. Они параллельны

                          Рис.15                  соответственно   горизонтальной    и фронтальной плоскостям проекции. Ввиду особой важности этих прямых за ними закреплены    имена    собственные: h называют горизонталью, f – фронталью.

                          Рис.16                         Умея  задавать на чертеже точки и прямую, мы без труда перейдём к заданию плоскости.

   Известно, что в пространстве плоскости днозначно определется тремя различными не принадлежащими доной прмой точками. Поэтому на чертеже она может быть задана либо проекцими этих точек, либо точкой и прямой, проходщей через две другие точки, либо двумя параллельными или пресекающимися прямыми. В частности, эти пересекающиеся прямые могут быть горизонталью и фронталью. Ещё в более частном случае эти горизонталь и фронталь могут лежать в плоскостях проекций, т. е. являться следами плоскости.

   На рис.17 показана  плоскость общего положения α. Эта плоскость произвольно расположена по отношению к плоскостям проекций.