Курсовая  работа

по курсу  теории вероятности

и математической статистике

по теме: «Критерий согласия Пирсона»

Вариант №17 
 
 
 
 

                                                                                                    
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 

Москва 2009

Теоретическая часть.

      1. Основные  непрерывные распределения:  равномерное, экспоненциальное, нормальное.

 

   Функцией  распределения F(x) непрерывной случайной величины X называется вероятность того, что она примет значение меньшее, чем аргумент функции x:

F (x) = P (X≤ x). 

   Непрерывные распределения характеризуются  функцией плотности вероятности f (x), по определению равной f (x) = .

   Одним из основных свойств этой функции  является условие нормировки:

   ,

которое означает, что плотность вероятности есть неотрицательная функция, площадь  под которой всегда равна единице. 
 

   Рассмотрим  основные распределения.  

Равномерное распределение. 

   Равномерное распределение имеет непрерывная случайная величина Х, в некотором интервале [а; b], если ее плотность вероятности постоянна, т.е. если все значения X в этом интервале равновероятны: 

. 

   Числовые  харакьеристики равны: 
 
 
 
 
 
 

   Ниже  приведены графики плотности  и функции равномерного распределения: 
 

 
 

Экспоненциальное  распределение.

 

   Экспоненциальное  распределение с параметром λ (l > 0) имеет непрерывная случайная величина X, принимающая только положительные значения, если ее плотность вероятности и функция распределения равны: 

, 

   Числовые  характеристики равны: 
 
 
 
 

   Ниже  приведены графики плотности  и функции экспоненциального

распределения при l = 1. 
 
 

 
 
 
 

Нормальное  распределение (гауссовское). 

   Нормальное  распределение (распределение Гаусса) с параметрами μ и имеет непрерывная случайная величина Х, т.е. X∼если ее плотность вероятности и функция распределения равны: 
 
 

   Так как  первообразная для в аналитическом виде не существует, то для вычисления значений функции распределения и вероятностей событий,

связанных с  нормальной случайной величиной, используется табулированная

функция Лапласа. При использовании таблицы значений функции Лапласа

следует учитывать, что Ф(-x) = -Ф(x), Ф(0) = 0, Ф(∞) = 0,5. 

- функция Лапласа. 

   Числовые  характеристики нормальной случайной  величины: 

, 

D(x) = . 

   Ниже  приведены графики плотности  и функции нормального распределения при μ = 1, σ = 1.

 

2. Распределение χ-квадрат.

   Пусть U_i, i=1…n, - набор из n независимых случайных величин с распределением N(0,1), тогда случайная величина

имеет распределение хи-квадрат (χ² –распределение) с n степенями свободы, что обозначается как

   Случайная величина имеет следующие моменты:

= n

D(x) = 2n.

   При n → ∞  χ²(n) → N(n,2n). 
 

3. Выборка, вариационный  ряд, выборочная (эмпирическая) функция распределения и гистограмма.

 

      Выборкой  объема называется  n независимых случайных величин, имеющих один и тот же закон распределения F(x).

     Реализацией выборки называется неслучайный вектор, компонентами которого являются реализации случайных величин.

     Выборка является математической моделью  n независимых измерений, проводимых в одинаковых условиях.    

     Вариационным  рядом называется выборка , полученная в

результате расположения значений исходной выборки в порядке  возрастания.

Значения называются вариантами.  

      Эмпирическая  функция распределения (или выборочная функция распределения) случайной величины X равна частоте того, что X примет значение меньшее, чем аргумент функции x

   Эмпирическая  функция распределения является наилучшей оценкой закона распределения (несмещенной, состоятельной, эффективной (см. ниже)).  

   Гистограмма – статистический аналог графика плотности вероятности случайной величины, и она строится по интервальному статистическому ряду.

      Для равноинтервального метода все прямоугольники гистограммы

имеют одинаковую ширину, а для равновероятностного  метода – одинаковую

площадь. Сумма  площадей всех прямоугольников гистограммы  равна 1. 
 

4. Точечные оценки и метод правдоподобия.

 

Точечные  оценки числовых характеристик. 

   Статистической оценкой параметра Q распределения называется приближенное значение параметра, вычисленное по результатам эксперимента (по выборке). Статистические оценки делятся на точечные и интервальные.

   Точечной называется оценка, определяемая одним числом. Точечная

оценка  параметра Q случайной величины X в общем случае равна , где x_i – значения выборки.

   Очевидно, что оценка - это случайная величина, так как она является

функцией от n-мерной случайной величины (X₁, X₂, …, X_n), где Х_i – значение

величины Х в i-м опыте, и значения будут изменяться от выборки к выборке случайным образом.

   Свойства  оценок:

      1. Оценка называется состоятельной, если при увеличении объема

выборки n она сходится по вероятности к значению параметра Q: 
 
 

    Состоятельность – это минимальное требование к оценкам.

      2. Оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание точно равно параметру Q для любого объема выборки: 
 

   Несмещенная оценка является состоятельной, если

     3. Оценка называется эффективной, если она имеет (при заданном объеме выборки n) наименьшую возможную дисперсию. 

     Так же у любого распределения моментные  характеристики, если они существуют, выражаются через основные его параметры. Поэтому можно искать и оценки моментных характеристик, это будут  косвенные оценки параметров распределения.

     Стандартные выборочные оценки математического  ожидания и дисперсии определяются по формулам: 
 
 
 
 

Метод максимального правдоподобия. 

   При известном  виде распределения случайной величины, зависящем от

Q =( Q₁, ..., Q_n), оценки этого параметра можно находить различными способами. Так, при определенных условиях удобно использовать метод максимального правдоподобия. Этот метод использует функцию правдоподобия , которая в случае непрерывной наблюдаемой случайной величины X – плотность распределения 

где - плотность распределения случайной величины X, а в случае дискретной наблюдаемой случайной величины X – произведение вероятностей 

где - вероятность события .

   Оценка  наибольшего правдоподобия является аргументом, соответствующим максимуму  той функции.

   Поскольку функцию правдоподобия и ее логарифм ln достигают максимума при одних и тех же значениях Q, то часто вместо рассматривают логарифмическую функцию правдоподобия ln : 
 
 
 
 
 

Найденные корни  выбранной системы уравнений  являются оценками неизвестных параметров Q₁, ..., Q_n.. 
 

5. Проверка статистической гипотезы о законе распределения по критерию χ -квадрат Пирсона. 

1. Построить  интервальный статистический ряд  и гистограмму.

2. По виду  гистограммы выдвинуть гипотезу:

H₀ – величина X распределена по такому-то закону: ,

H₁ – величина X не распределена по такому-то закону: ,

где , – плотность и функция гипотетического закона распределения.

3. Используя  метод максимального правдоподобия, определить оценки неизвестных параметров гипотетического закона распределения.

4. Вычислить  значение критерия по формуле: 

При этом область  значений вариационного ряда разбита  на n интервалов. - частота попадания значений выборки в i-ый интервал, - теоретическая вероятность этого события при условии, что гипотеза H₀ верна.

 

Практическая  часть.

 

1. Дана  выборка измерений случайной величины Х:

 

2. Построим  вариационный ряд:

 

Выборочные  характеристики:

 

1. Выборочное  среднее - оценка математического ожидания M[X].
2. Выборочная дисперсия  - оценка дисперсии D[X].

 

    Вычислив, получаем: = 52,136,

                           =84,691.

                           Среднее квадратическое отклонение σ = 9,203.  
 

3. Построение  гистограммы и  выборочной функции  распределения.

 

Построение  гистограммы. 

Найдём максимальный и минимальный элементы выборки:  
 

Xmin = 33 

Xmax = 79,3 
 

Для построения гистограммы разобьем отрезок на К= 7. Длину каждого интервала можно рассчитать по формуле 

d = 6.61429 
 

Для расчёта  длины интервала достаточно прибавить d к концу предыдущего. В итоге интервалы будут иметь следующий вид: 

1. [33; 39.61429)
2. [39.61429; 46.22857)
3. [46.22857; 52.84286)
4. [52.84286; 59.45714)
5. [59.45714; 66.07143)
6. [66.07143; 72.68571)
7. [72.68571; 79.3]

 
 

Вычислим N-вектор, компоненты которого равны количеству попаданий элементов выборки в каждый из интервалов: 

N = (6  6  16  9  11  1   1). 

Проверка: _. 

Вычислим -вектор частот попадания в каждый интервал по формуле

 =n_i /n, где i=1,2,…,K. 

= (0.12  0.12  0.32  0.18  0.22  0.02  0.02). 
 

Вычислим вектор высот столбцов в гистограмме  по формуле h=/d=: 

h = (0.018  0.018  0.048  0.027  0.033  0.003  0.003). 

Сумма площадей равна 1).

Доказательство: = 1.

 

 
 

Построение  выборочной функции  распределения. 

Выборочная функция  распределения имеет ступенчатый  вид и представляет собой отрезки  прямых на каждом из интервалов. длинны отрезков зависят от расстояния между  элементами вариационного ряда. Скачок  рассчитывается в зависимости от количества элементов выборки: l=1/n. В нашем случае получается 0,002.  Сумма скачков равна единице. 

4. Формулировка  гипотезы о теоретическом  законе распределения  и нахождение оценок параметров выбранного закона распределения.

 
 

Исходя из вида гистограммы, следует предположить нормальный (гауссовский) закон распределения  случайной величины с параметрами :

. 

Тогда математическое ожидание и дисперсия будут иметь вид: 

М(Х)= μ

D(Х)= σ² 

То есть μ = 52,136 и σ²=84,691. 

X~N(μ; σ² ). 

5. Проверка  гипотезы о соответствии выбранного закона распределения  с помощью критерия Пирсона.

 

Так как распределение  – гауссовское, значения для формулы  хи-квадрата можно вычислить по таблицам значений функции Лапласа. Функция распределения нормальной величины выражается через функцию Лапласа следующим образом:

. 

Получаем вектор вероятностей: 

p = (0,07  0,17  0,27  0,26  0,15  0,05  0,01) 

∑p_i  = 0,98. 

Сравним с вектором частот, являющимся оценкой вектора  вероятностей: 

= (0.12  0.12  0.32  0.18  0.22  0.02  0.02) 

∑_i  = 1. 

Построим статистику :   
 
 

G = 7,49. 

Число интервалов разбиения K=7, число оценённых параметров 2, поэтому величина G имеет распределение χ²(К-2+1) = χ²(6). Заданные уровни значимости 0,05 и 0,1. По таблицам распределения χ² (таблица квантилей) находим G критическое: 
 

Для уровня значимости 0,05 =12.59. Так как G<G_крит, то гипотезу Н₀: X~N(m; σ² ) можно принять для уровня значимости 0.05 

Для уровня значимости 0.1 =10.64. Так как G<G_крит, то гипотезу Н₀: X~N(m; σ² ) можно принять для уровня значимости 0.1. 

 

 
 

Список  используемой литературы 

      1.Конспект лекций преподавателя Панкова Алексея Ростиславовича

      2. Болдин М. В. и др. Теория вероятностей и математическая статистика. Лабораторные работы. М.: МАИ, 1992.

      3. Ивченко Г. И., Медведев Ю. И. Математическая статистика. М.: Высшая школа, 1992.

      4. Кибзун А.И., Наумов А.В. Лекции по теории вероятностей. М.: МАИ, 2000. 

 

Содержание:

Теоретическая часть 2

1. Основные непрерывные распределения: равномерное, экспоненциальное, нормальное. 2

2. Распределение ХИ-квадрат. 5

3. Выборка , вариационный ряд,выборочная (эмпирическая) функция распределения и гистограмма. 5

4.Точечные оценки и метод максимального правдоподобия 6

5. Проверка статистической гипотезы о законе распределения по критерию хи-квадрат Пирсона. 8

Практическая часть. 9

1. Исходные данные  9

2. Вариационный ряд (выборочные характеристики) 10

3. Построение гистограммы и выборочной функции распределения. 10

4. Формулировка гипотезы о теоретическом законе распределения и нахождение оценок параметров выбранного закона распределения. 12

5. Проверка гипотезы о соответствии выбранного закона распределения с помощью критерия Пирсона. 13

Список литературы 16