Криволинейный интеграл

Введение

    Областью интегрирования определённого интеграла является отрезок на прямой; двойного интеграла – некоторая область в плоскости; тройного – некоторая область в пространстве.

    Однако существуют  интегралы, областью интегрирования  которых является кривая, расположенная  в плоскости или в пространстве. Такие интегралы называются криволинейными  интегралами.

    Аппарат криволинейных  интегралов значительно расширяет  возможности приложений математического  анализа к решению задач из  механики и физики. Особенно большое  значение криволинейные интегралы  имеют в теории поля и в  теории функций комплексной переменной.

    Все важные  математические понятия получены  в связи с исследованием тех  или иных практических проблем.  Практические задачи также привели  к различным криволинейным интегралам.

    Перечислим некоторые  из приложений криволинейных   интегралов: вычисление массы материальной  линии с переменной линейной  плоскостью, работы силового поля, площади плоской фигуры и цилиндрической  поверхности и др.

     Цель работы: исследовать практическое приложение  криволинейных интегралов.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Проработать теоретический материал по теме «Приложения криволинейных интегралов.
2. Рассмотреть примеры приложений криволинейных интегралов  I и II рода.
3. Рассмотреть приложения криволинейных интегралов к решению задач математики, физики, механики.

   

 

1. Криволинейные интегралы первого рода.
1. Основные понятия

     Пусть на плоскости  XOY задана непрерывная кривая АВ (или L) длины l. Рассмотрим непрерывную функцию ƒ(x,y), определённую в точках дуги АВ. Разобьём кривую АВ точками М0 = А, М1, М2 ,…, Mn = B на n произвольных дуг Мi-1, Mi длинами Δ ℓi (i=1,2,…n) (рис. 1)

                 y                                                                              

 

 

                                                                                                                                                    

 

 

              О                                                                                                   x

 

Рис. 1

    Выберем на каждой дуге Mi-1 Mi произвольную точку (xi, yi) и составим сумму .    (1)

    Её называю  интегральной суммой для функции  ƒ(x, y) по кривой АВ.

    Пусть λ = max Δℓi – наибольшая из длин дуг деления. Если при λ→ 0 (тогда

                    1≤i≤n

n → ∞) существует конечный предел интегральных сумм (1), то его называют криволинейным интегралом от функции ƒ(x, y) по длине дуги кривой АВ (или I рода) и обозначают ʃ ƒ(x, y) dℓ ( или ʃ ƒ(x, y) dℓ).

                                                        AB                                     L

Таким образом, по определению,

                                  ʃ ƒ(x, y) dℓ = lim Σ ƒ(xi, yi) Δℓi       (2)

                                                AB                             n→∞

                                                                                 (λ→0)

    Так как курсовая работа посвящена приложениям криволинейных интегралов, то примем без доказательств основные теоретические положения, которые будут использоваться в приложениях.

    Теорема (условие  существования криволинейного интеграла  I рода). Если функция ƒ(x, y) непрерывна в каждой точке гладкой кривой ( в каждой точке (x, y) ϵ L существует касательная к данной кривой и положение её непрерывно меняется при перемещении точки по кривой), то криволинейный интеграл I рода существует и его величина не зависит ни от способа разбиения кривой на части, ни от выбора точек в них.

     Аналогичным  образом вводится понятие криволинейного  интеграла функции ƒ(x, y, z) по пространственной кривой L.

 

2. Основные свойства криволинейного интеграла по длине дуги

(I рода)

1. ʃ ƒ(x, y)dℓ = ʃ ƒ(x, y)dℓ, то есть криволинейный интеграл I рода не

    AB                          BA

    зависит от направления пути интегрирования.

2. ʃ с ƒ(x, y)dℓ = c ʃ ƒ(x,y)dℓ, c=const.

      L                                    L

3. ʃ (ƒ1(x, y) ± ƒ₂(x, y)dℓ = ʃ ƒ₁(x, y) dℓ + ʃ ƒ₂(x, y) dℓ

L                                                       L                                L

4. ʃ ƒ(x, y) dℓ = ʃ ƒ(x, y) dℓ + ʃ ƒ(x, y) dℓ, если путь интегрирования L

L                             L₁                                           L₂

разбит на части L₁ и L₂ такие, что L=L₁ ᴗL₂ и L₁ и L₂ имеют единственную общую точку.

5. Если для точек кривой L выполнено неравенство ƒ₁(x, y) ≤ ƒ₂(x, y), то            ʃ ƒ₁(x, y) dℓ ≤ ʃ ƒ₂(x, y) dℓ

      L                               L

6. ʃ dℓ + lim   Σ Δℓ_i = ℓ, где ℓ - длина кривой АВ.

     АВ           n→∞  i=1

              (λ→0)

Это свойство используется для вычисления длин дуги кривой.

7. Если функция ƒ(x, y) непрерывна на кривой АВ, то на этой кривой  найдётся точка (x_c, y_c) такая, что

ʃ ƒ(x, y) dℓ = ƒ(x_c, y_c)·ℓ (теорема о среднем)

                                  AB

2. Задачи, приводящие к понятию криволинейного интеграла I рода

2.1 Масса кривой

Предположим, что дана материальная кривая L. Если кривая однородна, то отношение её массы к длине называется линейной плотностью кривой. Если кривая неоднородна, то плотность её будет различной в разных точках. Для определения плотности кривой в точке P берут участок кривой, содержащей эту точку. Величина ƍ_ср, равная отношению массы взятого участка кривой к его длине, называется средней плотностью кривой на взятом участке:

ƍ_ср =

Предел этой величины, когда  длина Δℓ стремиться к нулю, называют плотностью кривой L в точке P:

ƍ(P) = lim

       Δℓ→0

    Сформулируем обратную задачу: найти массу спрямляемой кривой L, плотность которой – непрерывная функция точки. Предполагая отсутствие двойных точек кривой (рис. 2), разбиваем её точками

Q_{0 =} A < Q₁ < Q₂ < … <Q_n = B на части. В каждой части [Q_k, Q_k+1] берём произвольную точку P_k и составляем сумму:

Σ ƍ(P_k)Δℓ_k,    (3)

                                               k=o

где Δℓ_k – длина участка кривой [Q_k, Q_k+1].

 

 

 

 

 

                                              

 

 

                                                               y

 

 

 

 

                                                              O                                         x

            

 

 

Рис. 2

Сумма (3) отличается от массы  кривой L, потому что участки кривой неоднородны. Сумма может быть больше массы кривой, если точки P_k выбраны так, что в них функция ƍ(P) принимает самое большое значение на участке

[Q_k, Q_k+1]. Суммы может быть и меньше массы кривой.

    Обозначим через Т – разбиение кривой точками Q_k и через λ(Т) – наибольшее из чисел Δℓ_k. Предел последней суммы при λ(Т) → 0 даст нам массу кривой

m  =     lim  Σ ƍ(P_k)Δℓ_k          (4)

                                                                        λ(T)→0  k=0

Если отвлечься от физического  смысла функции ƍ(P) и заменить её произвольной функцией ƒ(P), то

Σ  ƒ(P_k)·Δℓ_k

                                                                                                                              k=0

является интегральной суммой функции ƒ(Р) по кривой L, а предел её при λ(Т)→0 является криволинейным интегралом I рода

ʃ ƒ(P)dℓ     =     lim     Σ   ƒ(P_k) Δℓ_k    (5)

                                                 L                               λ(T)→0    k=0

Тогда, из равенства (4) следует, что

m = ʃ ƍ(P)dℓ                   (6)

                                                                        L

Докажем существования интеграла (5), а следовательно, и (6) при условии, что функция ƒ(Р) (или ƍ(Р)) непрерывна.

    Если x = φ(ℓ), y = Ψ(ℓ) – уравнение кривой (параметр ℓ - длина кривой), то интегральная сумма записывается в виде:

 

Σ  ƒ(φ(C_k), Ψ(C_k))Δℓ_k,

                                                                     k=0

где ℓ_k ≤ С_k ≤ ℓ_k+1 и φ(C_k) и Ψ(С_k) – координаты точки P_k плоской кривой L. Тогда правая часть равенства (5) есть интегральная сумма функции

 ƒ(φ(ℓ), Ψ(ℓ)) по отрезку [0, ℓ]. Так как функция ƒ(Р) непрерывна на отрезке, то предел интегральных сумм существует и равен .

Значит, существует предел и  правой части равенства (5) и при  этом

 

ʃ ƒ(x, y)dℓ =       (7)

                                                  L

Таким образом, криволинейный  интеграл непрерывной функции по спрямляемой кривой существует.

    Вычисление криволинейных  интегралов I рода иногда бывает затруднительным. Если перейти к параметрическому заданию кривой

 

x = φ(t),

y = Ψ(t),       α < t < β, то

 

интеграл (7) записывается в виде

 

ʃ ƒ(x, y)dℓ =        (8)

                      L

Если уравнение кривой задано в явном виде, то интеграл (7) запишется в виде

 

ʃ ƒ(x, y)dℓ = dx      (9)

                                   L

 

Пример 1.

Найти массу дуги АВ кривой y = ln x, если в каждой её точке линейная плотность пропорциональна квадрату абсциссы точки: X_A = 1, X_B = 3.

 

Решение.

Применим формулу (6)

m = ʃ ƍ(P)dℓ

                                                                                         AB

Так как уравнение кривой задано в явном виде, то преобразуем  данный криволинейный интеграл в обыкновенный с переменной x.

 

dℓ =   dx; y΄ = (ln x)΄ = ,

ƍ = kx²

m = ʃ ƍ dℓ = ·  dx = k · dx = k ^½ dx =

        AB

Введём замену

1+x² = t

d(1+x²) = dt; 2xdx = dt, xdx = dt

 

m = · k dt = k· · ·(1 + x²)^3/2 |  = ((1+ 3²)^3/2 – (1 + 1)^3/2)=

 

= (10^3/2 – 2^3/2) = (10 - 2) = (5 - 1).

 

Ответ: m =   (5 - 1)

 

 

 

 

2.2. Координаты центра тяжести системы материальных точек

    Пусть L – материальная кривая и ƍ(x, y) – её плотность в точке (x, y). Разобьём кривую на части [Q_k, Q_k+1]. Будем предполагать, что части однородны и плотность их равна плотности в точке P_k(a_k, b_k). Сосредоточив массу участка [Q_k, Q_k+1] в точке P_k, получим систему материальных точек P_k с массами

ƍ(a_k, b_k)·Δℓ_k. Координаты центра тяжести системы материальных точек вычисляются по формулам:

 

                               x_c⁽ⁿ⁾ = ,                      

                              (10)

 

                                y_c⁽ⁿ⁾ = .

Чтобы получить формулы для  нахождения координаты центра тяжести  кривой, надо в равенствах (10) перейти  к пределу при λ(Т)→0.

xt-align:justify">    В итоге получим:

 

x_c = =  ;

                                                                         (11)

y_c = =

 

Если кривая пространственная, то формулы примут вид:

 

x_c = или x_c = ;

                                                                         (12)

y_c =   или y_c =

 

z_c =   или z_c =

 

Пример 2.

Найти координаты центра тяжести  полуокружности x² + y² = r², y ≥ 0, если плотность ƍ(x, y) = y

Решение.

                                                  y

                                                x² + y² = r²

 

                                                      О                  x

 

                                                        Рис. 3

Так как полуокружность симметрична  относительно оси Oy, то x_c = 0, y_c вычислим по формуле (11)

y_c =   , ƍ(x, y) = y

y_c =                                                       (13)

 

Для вычисления криволинейных  интегралов перейдём к полярным координатам.

    Положим x = r cos t,  y = r sin t, 0 ≤ t ≤ π

Тогда dℓ = dt = d = dt=

= dt = r dt

Подставим параметрические  данные в формулу (13)

 

y_c  = = = r · = -r =

 

= - r ·  = - r · = r.

 

Ответ: x_c = 0, y_c = r

 

Пример 3.

Найти координаты центра тяжести  дуги АВ винтовой линии x = a cos t,

y = a sin t, z = bt, если в каждой её точке линейная плотность пропорциональна аппликате этой точки, т.е. ƍ (x, y, z) = kbt, t_A = 0, t_B = π.

 

Решение.

Для нахождения координаты центра тяжести применим формулы (12). Вычислим криволинейные интегралы, содержащиеся в этих формулах, преобразуя их в обыкновенные интегралы с  переменной t.

 

x΄_t = (a cost)_t΄ = - a sin t,

y΄_t = (a sin t)_t΄ = a cos t,

z΄_t = (bt)΄ = b

dℓ = dt = dt =

 

=  dt = dt.

 

1. I΄₁ = = dt =

 

= kab =

Вычислим  методом интегрирования по частям:

 

= uv | -

 

Положим

u=t,

dv = cos t dt

Тогда du = dt,   
v = ʃcos t dt = sin t

=t · sin t | - = (π· sin π – 0 · sin 0) + cos t |  =

 

= 0 + (cos π – cos 0) = - 1 -1 = -2

Имеем I΄₁ = -2kab .

 

2. I΄₂ = = dt =

 

= kab .

 

Вычислим  , применяя метод интегрирования по частям.

Положим u=t, dv = sin t dt.

Тогда  du = dt, v = ʃ sin t dt = - cos t.

  + = - π cos π - 0·cos 0) + sin t |  =

 

= - (π · (-1) – 0) + (sin π  – sin 0) = π

I΄₂ = π kab .

 

3. I΄₃ = = dt =

 

= kb² = kb² ·   | =

 

= kb² · (π³ kb² .

 

I΄₃ = kb² · (π³ kb²

 

4. I΄₄ = = dt =

 

= kb = kb ·   | =

 

=  kb · (π² - 0²) =  π² kb ·

 

I΄₄ = kb · (π² - 0²) =  π² kb · .

 

Подставляя значения интегралов İ₁, İ₂, İ₃, İ₄ в формулы (12), получим

 

x_c = = = - ,

 

y_c = = = ,

 

          z_c =  = = .

 

Ответ: x_{c =} - ; y_c = ;  z_c =

 

2.3. Момент инерции материальной кривой

    По определению момент инерции материальной точки относительно точки равен произведению массы этой точки на квадрат расстояния между точками, а момент инерции точки относительно прямой (плоскости) равен произведению массы точки на квадрат расстояния от точки до прямой (плоскости). Момент инерции системы материальных точек относительно точки, прямой или плоскости равен сумме моментов инерции всех точек системы.

    Метод получения  формул для вычисления моментов  инерции материальной кривой  аналогичен методу получения  формул для вычисления координат  центра тяжести.

  Разбиваем кривую L точками Q_k на части, делаем предположение об однородности таких частей, выбираем на частях точки и в них сосредоточиваем всю массу соответствующих частей. В результате получим систему материальных точек P_k с массами ƍ(a_k, b_k) ·Δℓ_k.

     Например, если кривая плоская, то момент инерции кривой относительно оси ох равен сумме моментов инерции относительно этой оси найденной системы материальных точек, т.е.

İ_x⁽ⁿ⁾ = .            (14)

     Правая часть равенства (14) представляет собой интегральную сумму непрерывной функции f(x,y)=y²·ƍ(x,y)  на кривой L. Предел этой суммы называют моментом кривой относительно оси ОХ, т.е.

İ_x =                    (15)

 Аналогичным образом  получается формула, выражающая  момент кривой относительно оси  ОУ, т.е.

İ_y = dℓ                  (16)

 

      Момент  инерции этой же кривой относительно  точки М(p,q) находится по формуле

İ_M =       (17)

      Момент инерции этой же кривой относительно начала координат находится по формуле

İ₀ = (x² + y²)·ƍ(x, y)dℓ                     (18)

  Аналогичные формулы  имеют место и для пространственной  кривой.

  Момент инерции пространственной  кривой относительно осей координат  находится по формулам

İ_x = ,               (19)

İ_y = ,                (20)

İ_z =                  (21)

   Момент инерции пространственной кривой относительно начала координат находится по формуле

İ₀ =           (22)

Пример 4.

Вычислить момент инерции  относительно аппликаты одного витка  однородной винтовой линии заданной параметрически

x=r cos ωt, y=r sin ωt, z=vt, где 0≤ t ≤ 2π   и  ƍ (x, y, z)=ƍ

Решение.

Воспользуемся формулой (21)

İ_z =

x² + y² = r²cos²ωt + r²sin²ωt = r²(cos²ωt + sin²ωt) = r².

dℓ = dt

x΄_t = (r cos ωt)΄_t = - rω sin ωt,

y΄_t = rω cos ωt, z΄_t = v.

dℓ = √r²ω²sin²ωt + r²ω²cos²ωt + v²dt = √r²ω²(sin²ωt + cos²ωt) + ν²d t=√r²ω² + ν²dt =

= dt =  dt.

Имеем:

İ_z = dt = r²·ƍ· =

 

= r²ƍ·  ·t (2π -0) = r²ƍ · · (2π -0) =

= 2πr²ƍ·.

Ответ: İ_z = 2πr²ƍ·.

2.4. Длина кривой.

     Непосредственно из определения криволинейного интеграла I рода следует, что длина l кривой АВ плоской или пространственной линии вычисляется по формуле       ℓ =                               (23)

  Пример 5.

Найти длину кордиоиды x = 2a cos t – a cos 2t, y = 2a sin – a sin 2t.

 

 

 

 

 Решение.

                              y

 

 

                                                              O                                         x

 

 

                                                                  Рис.4

 

x= 2a cos t – a cos 2t,

y= 2a sin – a sin 2t.

  Для вычисления длины кaрдиоиды воспользуемся формулой (23). Так как кривая задана параметрически, то

ℓ = = dt

x΄_t = (2a cos t – a cos 2t)΄_t  = - 2a sin t + 2a sin 2t = 2a (sin 2t – sin t)

y΄_t = (2a sin t – a sin 2t)´_t = 2a cos t – 2a cos 2t = 2a(cos t – cos 2t)

(x´_t)² +  (y´_t)² = (2a(sin 2t – sin t))² + (2a (cost – cos 2t))²= 4a²(sin²2t – 2sin2t·sint + sin²t + cos²t – 2costcos2t + cos²2t) = 4a²(2 – 2(sin2tsint + cos2tcost)) = 4a²·2(1 – cos(2t - t)) = 4a²·2sin²

= 2²  a sin

 

Имеем

ℓ =   a sin dt = 2 dt = 2a(-2cos ) |   =

=  -4 a (cos     - cos ) = -4 a (cosπ- cos0) = -4a(-1-1) = 8 a.

Ответ: ℓ = 8 a

 

2.5. Площадь цилиндрической поверхности

   Если направляющей цилиндрической поверхности является кривая АВ, лежащая в плоскости  ХOY, а образующая параллельна оси OZ (рис. 5), то площадь поверхности, задаваемой функцией z=ƒ(x,y) находится по формуле

S =  (24)

 z

 

 

 

y

 

x

 

Рис. 5

 Пример 6.

 Вычислить площадь  цилиндрической поверхности над  плоскостью XOY, срезанной сверху поверхностью z= x+y, если образующая параллельна оси oz, а направляющей является участок прямой y = 3x + 1 от точки A(1,4) до точки B(2; 6).

  Решение.

  Воспользуемся формулой (24).

  S = ∫ ƒ(x,y)dℓ,  dℓ =dx = dx =dx =

= dx

 

S = ∫(x+y)· dx =   dx= dx =

 ·(  + x)  | = (2x²+x) | = ((2·2²+2)-(2·1²+1)) =

= (10-3)=7

  Ответ: S = 7

3. Криволинейные  интегралы второго рода

3.1. Основные понятия

     Криволинейный интеграл II рода определяется по аналогии с криволинейным интегралом I рода.

    Пусть в плоскости хочу задана непрерывная кривая АВ (или l)  и функции Р(х, у), определенная в каждой точке кривой. Разобьем кривую АВ точками М_{0 =}А, М_1,М_2, …, М_n=В·в направлении от точки А к точке В на n дуг М_i-1М_i с длинами Δl_i (i=1,2,…n).

    На каждой «элементарной дуге» M_i-1M_i возьмем точку (x_i, y_i) и составим сумму вида

Σ P (x_i,y_i)·Δx_i,                           (25)

где Δx_i = x_i - x_i-1 – проекция дуги M_{i- 1}M_i на ось OX (рис.4).

 y

 

 

 

 

 O x

 

                                                  Рис. 6

  Сумму (25) называют  интегральной суммой для функции  P(x,y) по переменной x. Таких сумм можно составить бесчисленное множество.

  Если при  λ = max Δℓ_i→0  интегральная сумма (23) имеет конечный предел,

                                    1 ≤ i ≤ n

не зависящий ни от способа  разбиения кривой АВ, ни от выбора точек (х_i,y_i), то его называют криволинейным интегралом по координате х (или II рода) от функции P(x,y) по кривой АВ и обозначают

 или           (26)

Таким образом

 lim (x_i, y_i) Δx_i        (27)

                                                                                 n→∞

                                                                                (λ→0)

    Аналогично вводится криволинейный интеграл от функции Q(x,y) по координате y:

= lim (x_i, y_i) Δy_i ,       (28)

                                                                              n→∞

                                                                            (λ→0)

  где Δy_i – проекция дуги M_i-1M_i на ось OY.

  Криволинейный интеграл  II рода общего вида

∫ P(x,y)dx + Q(x,y)dy

                                                 AB

определяется равенством.

  ∫ P(x,y)dx + Q(x,y)dy=∫P(x,y)dx + ∫Q(x,y)dy                      (29)

АВ                                                           АВ                          АВ

 

 Криволинейный интеграл

 ∫ P(x, y, z)dx+ Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz по пространственной кривой L

 L

 определяется аналогично.

    Если кривая L задана параметрически: x=φ(t), y=ψ(t), α ≤ t ≤ β, то

∫ P(x,y)dx = (φ(t)), ψ(t)), φ´(t)) dt                                  (30)

L

  Из равенства (30) следует,  что вычисление криволинейного  интеграла II рода сводится к вычислению интеграла по отрезку.

   Теорема (условные  существования криволинейного интеграла  II рода). Если  кривая АВ гладкая, а функция P(x,y) и Q(x,y) непрерывны на кривой АВ, то криволинейный интеграл II рода существует.

 

3.2. Свойства криволинейных  интегралов II рода

 

1. При изменении направления пути интегрирования криволинейный интеграл II рода изменяет свой знак на противоположный, т.е.

 

= -

2. Если кривая АВ точкой С разбита на две части АС и СВ, то интеграл по всей кривой равен сумме интегралов по её частям, т.е.

 

+

 

3. Если кривая АВ лежит в плоскости, перпендикулярной оси ОХ, то

 

 

= 0,

Аналогично для кривой, лежащей в плоскости, перпендикулярной оси OY:

 

= 0.

4. Криволинейный интеграл по замкнутой кривой (обозначается ∮) не зависит от выбора начальной точки (зависит только от направления обхода кривой).

 

4.Применение криволинейных  интегралов II рода к решению задач

4.1. Вычисление  работы силы кривой

 

    Будем считать,  что кривая плоская (для простоты  дальнейших вычислений). Из курса  физики известно, что работа постоянной  силы вдоль прямолинейного участка  пути равна произведению величины  силы на длину пути и на  косинус угла между направлением  силы и направлением пути 

(рис. 7).

A = |F| ·|b|·cos φ                                      (31)

                                                       y 

 

 

                                                        O                                        x