Кривошипно-ползунный механизм. 2

1. КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

КРИВОШИПНО-ПОЛЗУННОГО МЕХАНИЗМА

Исходные данные: АВ = 2,7 м, ВС = 8 м. Угловая скорость начального звена АВ , угловое ускорение начального звена .

Требуется найти: Линейные скорости точек V_B и V_С, угловую скорость звена ВС, обозначенную на схеме как , и угловое ускорение этого же звена .

 

1.2. ПОРЯДОК КИНЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

 

1. Анализ движения звеньев

 

Первое звено АВ совершает круговое движение.

Второе звено ВС совершает плоскопараллельное движение.

Ползун С совершает поступательное движение.

 

2. Определение линейных скоростей методом планов

 

Линейная скорость точки В

Вектор линейной скорости точки В откладывается из полюса (точки Р) перпендикулярно звену АВ в масштабе.

Затем проводится линия вектора линейной скорости точки С. Длина вектора пока неизвестна, поэтому проводится лишь линия, которая параллельна вектору линейной скорости точки С.

Относительная линейная скорость точки С ненулевая, потому что точка С вращается вокруг точки В. Длина вектора относительной линейной скорости точки С относительно центра вращения точки В неизвестна, однако известно направление этого вектора. Этот вектор перпендикулярен звену ВС и проходит через точку В на плане скоростей. Поскольку этот вектор не является выражением абсолютного движения, его началом и концом являются подвижные точки В и С. Отложим его на плане скоростей.

Линии, проходящие через полюс Р и точку В на плане скоростей пересекаются в точке С. вектор V_C показывает величину линейной скорости точки С, а вектор V_CB показывает величину относительной линейной скорости точки С вокруг В. Измерение длин векторов в масштабе чертежа дает численные значения

V_C = 5,5 м/с, V_СВ = 3 м/с.

 

3. Расчет угловых скоростей

 

Угловая скорость звена ВС

 

4. Определение ускорений

 

Точка В совершает вращательное движение с угловым ускорением, поэтому ее полное ускорение будет складываться из векторной суммы нормального ускорения и тангенциального ускорения. Нормальное ускорение является центростремительным и направлено к центру вращения (точка А), тангенциальное ускорение направлено по касательной к траектории вращения (окружности) и всегда перпендикулярно нормальному ускорению.

Нормальное ускорение точки В

Тангенциальное ускорение точки В

Полное ускорение точки В находится по теореме Пифагора (векторы нормального и тангенциального ускорений перпендикулярны друг другу)

Точка С совершает плоское движение, поэтому ее ускорение линейно. Оно направлено вдоль траектории движения точки С.

Звено ВС совершает плоскопараллельное движение, то есть поступательная составляющая ускорений точек В и С одинакова, а вращательная составляющая разная, поэтому находим нормальное ускорение точки С при вращении ее вокруг точки В

Полное ускорение точки С есть сумма векторов полного ускорения точки В, тангенциального ускорения точки С относительно В и нормального ускорения точки С относительно В.

Теперь очевидно, что тангенциальное ускорение точки С относительно точки В есть величина неизвестная, потому что для ее определения нужно знать угловое ускорение звена ВС.

Для графического определения ускорения точки С строится вектор нормального ускорения точки В в масштабе. Этот вектор параллелен звену АВ. Потом строится вектор тангенциального ускорения точки В в том же масштабе. Этот вектор перпендикулярен вектору нормального ускорения. Затем строится их векторная сумма - вектор полного ускорения точки В.

Вектор нормального ускорения точки С при вращении ее вокруг точки В откладывается из точки В на плане ускорений. Этот вектор параллелен звену ВС и направлен к точке В (на схеме механизма, а на плане ускорений он направлен от точки В). Через его конец проводится линия, перпендикулярная этому вектору. Эта линия показывает направление вектора тангенциального ускорения точки С при ее вращении вокруг точки В.

Однако точка С движется линейно и имеет лишь одно ускорение, которое направлено горизонтально, поэтому горизонтальная линия, проведенная через полюс π дает направление этого вектора.

Пересечение перпендикуляра, который является вектором тангенциального ускорения точки С при ее вращении вокруг точки В с линией ускорения точки С (горизонталь) дает точку С на плане ускорений. Таким образом отсекается вектор ускорения точки С, который есть сумма тангенциального ускорения точки В, нормального ускорения точки В, тангенциального ускорения точки С при ее вращении вокруг точки В и нормального ускорения точки С при ее вращении вокруг точки В.

Остается только достроить все параллелограммы сумм векторов.

Соединение точек В и С вектором ВС дает вектор полного ускорения точки С при ее вращении вокруг точки В.

Измерение построенных векторов в масштабе позволяет определить численные значения.

или же аналитически по теореме Пифагора

Отсюда угловое ускорение звена ВС

Кинематический анализ закончен.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. ДИНАМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

КРИВОШИПНО-ПОЛЗУННОГО МЕХАНИЗМА

 

Исходные данные для динамического анализа.

Массы звеньев: звено АВ m₁ = 2 кг, звено ВС m₂ = 4 кг, звено С (ползун) m₃ = 1 кг

Центры тяжести звеньев - посередине, обозначены как S₁, S₂, S₃.

Исходными данными являются результаты кинематического анализа: угловые и линейные скорости, угловые ускорения.

 

Требуется найти: кинетическую энергию механизма и его отдельных звеньев, приведенный к первому звену момент от сил тяжести всех звеньев механизма, приведенный к первому звену момент инерции механизма, силы инерции и моменты сил инерции для всех звеньев механизма.

 

 

2.2. ПОРЯДОК ДИНАМИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

 

Момент инерции звена относительно оси, проходящей через центр тяжести этого звена, определяется по формуле

где m и l соответственно масса и длина звена.

 

1. Определение инерционных характеристик звеньев

 

Момент инерции первого звена АВ

Момент инерции второго звена ВС

Ползун не совершает вращательного движения, поэтому не имеет момента инерции.

 

2. Определение кинетической энергии механизма

 

Первое звено совершает вращательное движение, поэтому его кинетическая энергия рассчитывается по формуле

Для дальнейшего расчета необходимо провести дополнительные построения на планах скоростей и ускорений: необходимо построить векторы скоростей центров тяжестей звеньев и векторы их полных ускорений. Ввиду того, что центры тяжести лежат посередине звеньев, это несложно.

В результате построений получили

V_S1 = 2,7 м/с (половина линейной скорости точки В),

V_S2 = 5,2 м/с (из плана скоростей),

V_S3 = 5,5 м/с (линейная скорость точки С),

Второе звено совершает плоскопараллельное движение, то есть это звено вращается вокруг некоторой оси и одновременно движется поступательно, поэтому кинетическая энергия для этого звена есть сумма двух энергий

Кинетическая энергия третьего звена (поступательное движение)

Полная кинетическая энергия механизма

 

3. Определение приведенного момента от сил тяжести звеньев

 

Для этого необходимо построить векторы полных ускорений центров тяжестей звеньев на плане ускорений и измерить их величину и угол от вертикали.

Получили: длина вектора полного ускорения точки S₂ равна 6 м/с² исходя из построения, а длина вектора полного ускорения точки S₁ равна 5,55 м/с² (половина полного ускорения точки В), длина вектора полного ускорения точки S₃ равна 1,9 м/с² (ускорение точки С).

Соответствующие углы равны φ₁ = 17^о, φ₂ = 26^о, φ₃ = 90^о из плана ускорений.

Приведенный момент от сил тяжести первого звена

где g = 9,81 м/с² - ускорение свободного падения,

Приведенный момент от сил тяжести второго звена

Приведенный момент от сил тяжести третьего звена

Приведенный момент от сил тяжести всех звеньев механизма

Момент получился положительный, то есть он движущий, его величина совпадает с угловой скоростью первого звена.

 

4. Определение приведенного момента инерции

 

Приведенный момент инерции первого звена

Приведенный момент инерции второго звена

Приведенный момент инерции третьего звена

Приведенный момент инерции всего механизма

 

5. Определение сил инерции

 

Момент сил инерции первого звена

Момент сил инерции второго звена

Момент сил инерции третьего звена нулевой, потому что звено движется поступательно.

Сила инерции первого звена

Сила инерции второго звена

Сила инерции третьего звена

Плечи приведения сил и моментов инерции к одной силе

Силы инерции наносятся на плане механизма в виде векторов, параллельных полным ускорениям центров тяжести звеньев. Векторы направлены в противоположные стороны действия ускорений и строятся в масштабе.

Векторы сил инерции переносятся согласно плечам приведения, которые также откладываются в масштабе (см. рисунок).

Плечо силы h₁ ввиду его малости на чертеже не обозначено.

Сила Ф₃ на чертеже показана не в масштабе.

 

Динамический анализ закончен.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. СТРУКТУРНЫЙ АНАЛИЗ МЕХАНИЗМА

 

Представлен кривошипно-ползунный механизм.

Число степеней исследуемого механизма определим по формуле Чебышева:

 

(1)

 

где n - число подвижных звеньев в составе исследуемой кинематической цепи; p₄ и p₅ - соответственно число пар четвертого и пятого класса.

Для определения величины коэффициента n проанализируем структурную схему механизма (рисунок 1):

 

Рисунок 1 - Структурная схема механизма

 

Структурная схема механизма состоит из четырех звеньев:

1 - кривошип,

2 - шатун АВ,

3 - ползун В,

0 - стойка,

при этом звенья 1 - 3 являются подвижными звеньями, а стойка 0 - неподвижным звеном. Она представлена в составе структурной схемы двумя шарнирно-неподвижными опорами и направляющей ползуна 3.

Следовательно, n=3.

Для определения значений коэффициентов p₄ и p₅ найдем все кинематические пары, входящие в состав рассматриваемой кинематической цепи. Результаты исследования заносим в таблицу 1.

 

Таблица 1 - Кинематические пары

№		Кинематическая пара (КП)		Схема кинема- тической пары		Класс кинема- тической пары		Степень подвиж- ности
1		0 - 1				5 вращательная		1
2		1 - 2				5 вращательная		1
3		2 - 3				5 вращательная		1
4	3 - 0				5 вращательная		1

 

Из анализа данных таблицы 1 следует, что исследуемый механизм ДВС с увеличенным ходом поршня состоит из семи пар пятого класса и образует замкнутую кинематическую цепь. Следовательно, p₅=4, а p₄=0.

Подставив найденные значения коэффициентов n, p₅ и p₄ в выражение (1), получим:

 

(1)

 

Для выявления структурного состава механизма разбиваем рассматриваемую схему на структурные группы Ассура.

Первая группа звеньев 0-3-2 (рисунок 2).

 

Рисунок 2 - Структурная группа Ассура

 

Данная группа состоит из двух подвижных звеньев:

шатун 2 и ползун 3;

двух поводков:

кривошип 1 и направляющая (стойка) 0;

и трех кинематических пар:

1-2 - вращательная пара пятого класса;

2-3 - вращательная пара пятого класса;

3-0 - поступательная пара пятого класса;

тогда n=2; p₅=3, a p₄=0. 

Подставив выявленные значения коэффициентов в выражение (1),

получим:

 

 

Следовательно, группа звеньев 4-5 является структурной группой Ассура 2 класса 2 порядка 2 вида.

Вторая группа звеньев 0-1 (рисунок 3).

Рисунок 3 - Первичный механизм

 

Данная группа звеньев состоит из подвижного звена - кривошипа 1, стойки 0 и одной кинематической пары:

0 - 1 - вращательная пара пятого класса;

тогда n=1; p₅=1, a p₄=0.

Подставив найденные значения в выражение (1), получим:

 

 

Следовательно, группа звеньев 1 - 2 действительно является первичным механизмом с подвижностью 1.

Структурная формула механизма

 

МЕХАНИЗМ=ПМ(W=1) + СГА(2 класс, 2 порядок, 2 вид)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. СИНТЕЗ КИНЕМАТИЧЕСКОЙ СХЕМЫ

 

Для синтеза кинематической схемы сперва необходимо установить масштабный коэффициент длин μ_ℓ. Для нахождения μ_ℓ необходимо взять натуральный размер кривошипа OС и разделить его на размер отрезка произвольной длины │OС│:

После этого, с помощью масштабного коэффициента длин, переводим все натуральные размеры звеньев в отрезки, с помощью которых мы будем строить кинематическую схему:

После вычисления размеров приступаем к построению одного положения механизма (рисунок 4) с помощью метода засечек.

Для этого сперва вычерчиваем стойку 0 на которой закреплен кривошип. Затем проводим через центр окружности, которая была начерчена для построения стойки, горизонтальную прямую ХХ. Она необходима для последующего нахождения центра ползуна 3. Далее из центра этой же окружности проводим две другие радиусом и . Затем от туда же строим чертим отрезок длиной под углом к горизонтальной прямой ХХ. Точки пересечения этого отрезка с построенными окружностями будут точками А и С соответственно. Затем из точки А строим окружность радиусом .

Точка пересечения этой окружности с прямой ХХ будет являться точкой В. Вычерчиваем направляющую для ползуна, которая будет совпадать с прямой ХХ. Строим ползун и все остальные необходимы детали чертежа. Обозначаем все точки. Синтез кинематической схемы завершен.

 

5. КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПЛОСКОГО МЕХАНИЗМА

 

Приступаем к построению плана скоростей для положения механизма. Для упрощения расчетов следует рассчитать скорости и направления для всех точек положения механизма, а затем строить план скоростей.

 

Рисунок 4 - Одно из положений механизма

 

Проанализируем схему кривошипно-ползунного механизма: точка О и О₁ являются неподвижными точками, следовательно, модули скоростей этих точек равны нулю ( ).

Вектор скорости точки А представляет собой геометрическую сумму вектора скорости точки О и скорости относительного вращательного движения точки А вокруг точки О:

. (2)

Линия действия вектора скорости является перпендикуляром к оси кривошипа 1, а направление действия этого вектора совпадает с направлением вращения кривошипа.

Модуль скорости точка А:

 

, (3)

 

где - угловая скорость звена ОА; - длина OС.

Угловую скорость найдем по формуле, подставив заданное значение n:

 

. (4)

 

Подставив заданные значения в выражение (5), получим:

 

. (5)

 

Далее рассчитаем масштабный коэффициент плана скоростей :

 

, (6)

 

где - модуль скорости точки А; - произвольно выбранный отрезок, изображающий на плане скоростей вектор скорости точки А. Примем , тогда по выражению (6) получим:

 

. (7)

 

Отрезок, изображающий вектор скорости точки С, найдем, воспользовавшись теоремой подобия:

 

 (8)

откуда

. (9) 

 

Отложив отрезок на плане скоростей найдем положение точки с. Этот отрезок будет являться вектором скорости точки С.

Вектор скорости точки В, принадлежащей шатуну 2, представляет собой геометрическую сумму вектора скорости точки А и вектора скорости относительного вращательного движения точки В вокруг точки А:

 

 (10)

 

В то же время точка В принадлежит и ползуну 3. Ползун 3 совершает только прямолинейное возвратно-поступательное движение вдоль направляющей XX, следовательно, линия действия вектора скорости точки В проходит параллельно XX:

 

. (11)

 

Разрешив графически векторные уравнения (9, 10, 11), построим план скоростей (рисунок 5).

Замерив для каждого плана скоростей длину векторов и с помощью масштабного коэффициента скоростей, найдем числовые значения по формулам

 

 

 (12)

 

Так же рассчитаем угловые скорости для звеньев, совершающих вращательное движение:

 

 (13)

 

Для упрощения расчетов построим таблицу (таблица 2), внося найденные значения по уравнениям (12) и (13) линейных и угловых скоростей, соответственно:

 

Таблица 2 - Линейные, угловые скорости положения механизма

Положение	Линейные скорости (м/с)					Угловые скорости (с-1)
1	29,3	29,3	11,1	22,7	9,77	36,63	8,53

 

Рисунок 5 - План скоростей

 

Для построения плана ускорений составим векторные уравнения. Вектор ускорения точки А представляет собой геометрическую сумму вектора ускорения точки О, вектора нормального ускорения и вектора тангенциального ускорения относительного вращательного движения точки А вокруг точки О:

 

 (14)

 

В уравнении (17) первое слагаемое равно нулю ( ), так как точка О является неподвижной, а третье слагаемое равно нулю, так как угловая скорость звена ОА постоянна ( ). Тогда уравнение (14 примет следующий вид:

 

 

Модуль ускорения точки А:

 

 (15)

 

Теперь подберем масштабный коэффициент ускорений:

 

 (16)

 

где - модуль ускорения точки А; - произвольно выбранный отрезок, изображающий на плане ускорений вектор ускорения точки А. Примем , тогда с учетом равенства (16)получим:

 

 

Длину отрезка, изображающего на плане ускорений вектор ускорения точки С, найдем, воспользовавшись теоремой подобия:

 

. (17)

 

Вектор ускорения точки В принадлежащей шатуну 2 представляет геометрическую сумму вектора ускорения точки А, вектора нормального ускорения и вектора тангенциального ускорения относительного вращательного движения точки В вокруг точки А:

 

 (18)

 

Модуль вектора найдем по выражению:

 

 

Длина отрезка, изображающего в составе плана ускорений вектор :

 

 (19)

 

В то же время точка В принадлежит и ползуну 3. Ползун 3 совершает только прямолинейное возвратно-поступательное движение вдоль направляющей ХХ, следовательно, линия действия вектора ускорения точки D проходит параллельно прямой ХХ:

 

 

Разрешив графически векторные уравнения (17,18,19), построим планы ускорений для всех найденных положений. После построения замерим для каждого плана длины отрезков

Используя найденные значения отрезков, определим модули соответствующих ускорений:

 

 (20)

 

Так же, для расчетов, необходимо определить ускорения центров масс представленных звеньев. Центры масс шатунов 2, 4 и коромысла 3 считаем расположенными по середине этих звеньев. Соединив на планах ускорений точки и a, а и b; и определив середины этих отрезков мы получим центры масс звеньев s₁, s₂. Проведя от точки вектора к вышеуказанным точкам мы получим соответствующие вектора ускорений центров масс. Измеряя длину этих отрезков мы сможем определить модули этих отрезков:

 

 (21)

 

Определим угловые ускорения звеньев:

 

 (22)

 

Угловая скорость кривошипа 1 является постоянной величиной, следовательно, угловое ускорение этого звена равно нулю, т.е. . Ползун 3 совершает только поступательные движения, следовательно, угловое ускорение этого звена тоже равно нулю, т.е. .

 

Таблица 3 - Нормальные составляющие ускорений

Положение		м/с2	м/с2
1	1073	94,8	1076	752	753	827

 

Кинематический анализ успешно проведен.

 

Рисунок 6 - План ускорении