Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Матричные игры

Содержание

Введение…………………………………………………………………………2
Основная часть…………………………………………………………………..6

Теоретические основы темы «Матричные игры»……………………...6

2.1.1.Платежная матрица. Нижняя и верхняя цена игры……………...8

2.1.2. Решение матричных игр в смешанных стратегиях…………….11

2.1.3. Геометрическая интерпретация матричной игры 2*2…………14

2.1.4.Приведение матричной игры к задаче линейного

программирования………………………………………………………19

Практические основы темы «Матричные игры»……………………...23

Заключение……………………………………………………………………..31
Список использованной литературы…………………………………………32

Введение

На практике часто приходится сталкиваться с задачами, в которых необходимо принимать решения в условиях неопределённости, т. е. возникают ситуации, в которых две (или более) стороны преследуют различные цели, а результаты любого действия каждой из сторон зависят от мероприятий партнёра. Такие ситуации, возникающие при игре в шахматы, шашки, домино и т. д., относятся к конфликтным: результат каждого хода игрока зависит от ответного хода противника, цель игры – выигрыш одного из партнёров. В экономике конфликтные ситуации встречаются очень часто и имеют многообразный характер. К ним относятся, например, взаимоотношения между поставщиком и потребителем, покупателем и продавцом, банком и клиентом. Во всех этих примерах конфликтная ситуация порождается различием интересов партнёров и стремлением каждого из них принимать оптимальные решения, которые реализуют поставленные цели в наибольшей степени. При этом каждому приходится считаться не только со своими целями, но и с целями партнёра, и учитывать неизвестные заранее решения, которые эти партнёры будут принимать.

Для грамотного решения задач с конфликтными ситуациями необходимы научно обоснованные методы. Такие методы разработаны математической теорией конфликтных ситуаций, которая носит название теория матричных игр.

Для того чтобы решить игру, или найти решение игры, следует для каждого игрока выбрать стратегию, которая удовлетворяет условию оптимальности, т.е. один из игроков должен получать максимальный выигрыш, когда второй придерживается своей стратегии. В то же время второй игрок должен иметь минимальный проигрыш, если первый придерживается своей стратегии. Такие стратегии называются оптимальными. Оптимальные стратегии должны также удовлетворять условию устойчивости, т. е. любому из игроков должно быть невыгодно отказаться от своей стратегии в этой игре.

Если игра повторяется достаточно много раз, то игроков может интересовать не выигрыш и проигрыш в каждой конкретной партии, а средний выигрыш (проигрыш) во всех партиях.

Целью исследуемой мной темы «Матричные игры» является изучение темы, постановка выводов и применение их на практике.

Важнейшее ограничение матричных игр – естественность выигрыша как показателя эффективности, в то время как в большинстве реальных экономических задач имеется более одного показателя эффективности. Кроме того, в экономике, как правило, возникают задачи, в которых интересы партнёров не обязательно антагонистические. Развитие аппарата матричных игр для решения задач со многими участниками, имеющими непротиворечивые интересы, далеко выходят за рамки изучаемой темы.

Тема моего исследования носит актуальный характер в современных условиях. Об этом свидетельствует частое изучение поднятых вопросов.

Выбранная тема "Матричные игры " изучается на стыке сразу двух взаимосвязанных дисциплин: математики и экономики. Для современного состояния науки характерен переход к глобальному рассмотрению проблем тематики «Матричные игры». Вопросам исследования посвящено множество работ. В основном материал, изложенный в учебной литературе, носит общий характер, а в многочисленных монографиях по данной тематике рассмотрены более узкие вопросы проблемы "Матричные игры". Однако, требуется учет современных условий при исследовании проблематики обозначенной темы.
Высокая значимость и недостаточная практическая разработанность проблемы "Матричные игры " определяют несомненную новизну данного исследования.
Дальнейшее внимание к вопросу о проблеме "Матричные игры. " необходимо в целях более глубокого и обоснованного разрешения частных актуальных проблем тематики данного исследования.
Актуальность настоящей работы обусловлена, с одной стороны, большим интересом к рассматриваемой мной теме, с другой стороны, ее недостаточной разработанностью. Рассмотрение вопросов связанных с данной тематикой носит как теоретическую, так и практическую значимость.
Результаты могут быть использованы для разработки методики анализа "Матричные игры".
Теоретическое значение изучения проблемы "Матричные игры" заключается в том, что избранная мной для рассмотрения проблематика находится на стыке сразу нескольких научных дисциплин.
Объектом данного исследования является анализ условий «Матричные игры». При этом предметом исследования является рассмотрение отдельных вопросов, сформулированных в качестве задач данного исследования.
Целью исследования является изучение темы с точки зрения теоретических и практических основ. В рамках достижения поставленной цели автором были поставлены и решения следующие задачи:
1. Изучить теоретические аспекты и выявить природу темы «Матричные игры».

2. Сказать об актуальности проблемы "Матричные игры " в современных условиях;
3. Изложить возможности решения тематики "Матричные игры";
4. Обозначить тенденции развития тематики "Матричные игры";
Работа имеет традиционную структуру и включает в себя введение, основную часть, состоящую из 2 глав, заключение и библиографический список.
Во введении обоснована актуальность выбора темы, поставлены цель и задачи исследования и охарактеризованы методы исследования.
Глава первая раскрывает общие вопросы, раскрываются исторические и теоретические аспекты темы "Матричные игры". Определяются основные понятия. В главе второй – практическое применение изучаемой темы. Заключение содержит выводы по исследуемой теме. Список источников литературы отображены в списке литературы.

2. Основная часть.

2.1. Теоретические основы изучаемой темы.

Теория игр – это теория математических моделей принятия оптимальных решений в условиях конфликта или неопределённости. При этом конфликт не обязательно должен быть антагонистическим, в качестве конфликта можно рассматривать любое разногласие.

Рассмотрим следующий экономический пример. Пусть требуется принять решение о выпуске на рынок некоторого товара. Может случиться, что объём спроса на этот товар известен точно; может быть, что известно лишь статистическое распределение возможных значений спроса; наконец, может оказаться, что известны лишь границы, в которых заключен спрос, но ни каких даже вероятностных соображений о его предстоящих значениях нет. Последний случай квалифицируется как неопределённость. Такая неопределённость может возникнуть, когда спрос (например, на сезонные товары) зависит от метеорологических условий (конфликт с природой) или в условиях рынка от деятельности конкурента, уже удовлетворившего неизвестную часть спроса. Приведённые примеры при определённых условиях могут быть приведены к игре.

Всякая теоретико-игровая модель должна отражать, кто и как конфликтует, а также, кто и в какой форме заинтересован в том, или ином исходе конфликта.

Действующие в конфликте стороны называются игроками, а решения, которые способны принимать игроки, стратегии.

Содержание математической теории игр состоит, во-первых, в установлении принципов оптимального поведения игроков в играх, во-вторых, в доказательстве существования ситуации, которые складываются в результате применения этих принципов, и, в-третьих, в разработке методов фактического нахождения таких ситуаций.

Для игр с одной коалицией действия множество всех ситуаций можно принять за множество стратегий этой единственной коалиции действия и далее о стратегиях не упоминать. По этому такие игры называются нестратегическими, важным классом которых являются игры с природой, применяемые для анализа экономических ситуаций, оценки эффективности принимаемых решений и выбора наиболее предпочтительных альтернатив, в которых риск связан с совокупностью неопределённых фактов окружающей среды, именуемых «природа». Поэтому термин «природа» характеризует некоторую объективную действительность, которую не следует понимать буквально, хотя вполне могут встретиться ситуации, в которых игроком действительно может выступить природа (например, обстоятельства, связанные с погодными условиями или с природными стихийными силами).

В отличие от нестратегических игр, все остальные игры с двумя или более коалициями действия называются стратегическими. В практических ситуациях часто появляется необходимость согласования действий компании, объединений, министерств и других участников проектов в случаях, когда их интересы не совпадают. В подобных ситуациях теория стратегических игр позволяет найти оптимальное решение для поведения всех участников проекта, обязанных согласовывать свои действия при столкновении интересов.

Далее будут рассмотрены матричные игры. Под матричной игрой понимается такая игра двух игроков, при которой каждый игрок имеет конечное число возможных ходов – чистых стратегий. При этом выигрыш одного игрока и проигрыш другого при применении ими определённых чистых стратегий выражается числом. Перечисленные условия позволяют записать стратегии в матрицу

(1.1)

где – равен выигрышу первого (будем обозначать его А) и проигрышу второго (игрока В) при применении ими i-й и j-й чистых стратегий соответственно.

Задачей теории игр является определение оптимальных стратегий игроков. В матричной игре оптимальной для игрока А называется стратегия, которая при многократном повторении игры обеспечивает максимально возможный средний выигрыш, а для игрока В под оптимальной понимается стратегия, обеспечивающая ему минимальный средний проигрыш. При этом предполагается, что противник является по меньшей мере таким же разумным и делает всё для того, чтобы помешать нам добиться своей цели.

2.1.1. Платёжная матрица

Нижняя и верхняя цена игры

Рассмотрим парную конечную игру. Пусть игрок А располагает m личными стратегиями, которые обозначим А₁, А₂, …, А_m . Пусть у игрока В имеется n личных стратегий, обозначим их B₁, B₂, …, В_n. Говорят, что игра имеет размерность m×n. В результате выбора игроками любой пары стратегий

А_i и В_j (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n)

однозначно определяется исход игры, т.е. выигрыш а_ij игрока А (положительный или отрицательный) и проигрыш (-а_ij) игрока В. Предположим, что значения а_ij известны для любой пары стратегий (А_i, B_j). Матрица Р = (а_ij), i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n, элементами которой являются выигрыши, соответствующие стратегиям А_i и В_j, называется платёжной матрицей или матрицей игры. Общий вид такой матрицы представлен в табл. 1

Таблица 1

B_i А_j	В₁	В₂	…	В_n
А₁	а₁₁	а₁₂	…	а_1n
А₂	а₂₁	а₂₂	…	а_2n
…	…	…	…	…
А_m	а_m1	а_m2	…	а_mn

Строки этой таблицы соответствуют стратегиям игрока А, а столбцы – стратегиям игрока В.

Рассмотрим игру m×n с матрицей Р = (а_ij), i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, … ,n и определим наилучшую среди стратегий А₁, А₂, …, А_m. Выбирая стратегию А_i, игрок А должен рассчитывать, что игрок В ответит на неё той из стратегий В_j, для которой выигрыш для игрока А минимален (игрок В стремится “навредить” игроку А).

Обозначим через a_i наименьший выигрыш игрока А при выборе им стратегии А_i для всех возможных стратегий игрока В (наименьшее число в i-й строчке платёжной матрицы), т.е.

Среди всех чисел a_i (i = 1, 2, …,m) выберем наибольшее:.

Назовём a нижней ценой игры, или максимальным выигрышем (максимином). Это гарантированный выигрыш игрока А при любой стратегии игрока В. Следовательно,

Стратегия, соответствующая максимину, называется максиминной стратегией. Игрок В заинтересован в том, чтобы уменьшить выигрыш игрока А; выбирая стратегию В_j, он учитывает максимально возможный при этом выигрыш для А. Обозначим

Среди всех чисел b_j выберем наименьшее и назовём b верхней ценой игры или минимаксным выигрышем (минимаксом). Это гарантированный проигрыш игрока В. Следовательно,

Стратегия, соответствующая минимаксу, называется минимаксной стратегией.

Принцип, диктующий игрокам выбор наиболее «осторожных» минимаксной и максиминной стратегий, называется принципом минимакса. Этот принцип следует из разумного предположения, что каждый игрок стремится достичь цели, противоположной цели противника.

Любая стратегия игрока В является минимаксной. Дополнив таблицу 1 строкой b_j и столбцом a_i, получим таблицу 2. На пересечении дополнительных строки и столбца будем записывать верхнюю и нижнюю цены игр.

Таблица 2

B_i A_j	B₁	B₂	a_i
A₁	- 1	1	- 1
A₂	1	- 1	- 1
b_j	1	1	a = -1 b = 1

Если верхняя и нижняя цены игры совпадают, то общее значение верхней и нижней цены игры a = b = n называется чистой ценой игры, или ценой игры. Минимаксные стратегии, соответствующие цене игры, являются оптимальными стратегиями, а их совокупность – оптимальным решением, или решением игры. В этом случае игрок А получает максимальный гарантированный (не зависящий от поведения игрока В) выигрыш n, а игрок В добивается минимального гарантированного (вне зависимости от поведения игрока А) проигрыша n. Говорят, что решение игры обладает устойчивостью, т.е. если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то для другого не может быть выгодным отклоняться от своей оптимальной стратегии.

Пара чистых стратегии A_i и B_j даёт оптимальное решение игры тогда и только тогда, когда соответствующий ей элемент a_ij является одновременно наибольшим в своём столбце и наименьшим в своей строке. Такая ситуация, если она существует, называется седловой точкой (по аналогии с поверхностью седла, которая искривляется вверх в одном направлении и вниз – в другом).

Обозначим А^* и В^* - пару чистых стратегий, на которых достигается решение игры в задаче с седловой точкой. Введём функцию выигрыша первого игрока на каждой паре стратегий: P(A_i, B_j) = a_ij. Тогда из условия оптимальности в седловой точке выполняется двойное неравенство: P(A_i, B^*) £ P(A^*, B^*)£ P(A^*, B_j), которое справедливо для всех i = 1,…,m; j = 1, …, n. Действительно, выбор стратегии А^* первым игроком при оптимальной стратегии В^* второго игрока максимизирует минимальный возможный выигрыш: P(A^*, B^*) ³ P(A_i, B^*), а выбор стратегии В^* вторым игроком при оптимальной стратегии первого минимизирует максимальный проигрыш: P(A^*, B^*) £ P(A^*, B).

2.1.2. Решение игр в смешанных стратегиях

Если игра не имеет седловой точки, то применение чистых стратегий не даёт оптимального решения игры. Так в задаче 1 a ¹ b, седловая точка отсутствует. В таком случае можно получить оптимальное решение, случайным образом чередуя чистые стратегии.

Смешанной стратегией S_a игрока А называется применение чистых стратегий A₁, A₂, …, A_i, …, A_m с вероятностями p₁, p₂, …, p_i, …, p_m, причём

сумма вероятностей равна 1: . Смешанные стратегии игрока А записываются в виде матрицы

или в виде строки S_A = (p₁, p₂, …, p_i, …, p_m). Аналогично смешанные стратегии игрока В обозначаются:

, или S_B= (q₁, q₂, …, q_j, …, q_n),

где сумма вероятностей появления стратегий равна 1: .

Чистые стратегии можно считать частным случаем смешанных и задавать строкой, в которой 1 соответствует чистой стратегии. На основании принципа минимакса определяется оптимальное решение (или решение) игры: это пара оптимальных стратегии S_A^*, S_B^* в общем случае смешанных, обладающих следующим свойством: если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то другому не может быть выгодно отступать от своей. Выигрыш, соответствующий оптимальному решению, называется ценой игры n. Цена игры удовлетворяет неравенству:

a £ n £ b,

где a и b - нижняя и верхняя цена игры.

Справедлива следующая основная теорема теории игр – теорема Неймана. Каждая конечная игра имеет по крайней мере одно оптимальное решение, возможно, среди смешанных стратегий.

Пусть S_A^* = (p₁^*, p₂^*,…,р_m^*) и S_B^* = (q₁^*, q₂^*, … q_n^*) – пара оптимальных стратегий. Если чистая стратегия входит в оптимальную смешанную стратегию с отличной от нуля вероятностью, то она называется активной.

Справедлива теорема об активных стратегиях: если один из игроков придерживается своей оптимальной смешанной стратегии, то выигрыш остаётся неизменным и равным цене игры n, если второй игрок не входит за пределы своих активных стратегий.

Эта теорема имеет большое практическое значение – она даёт конкретные модели нахождения оптимальных стратегий при отсутствии седловой точки.

Рассмотрим игру размера 2×2, которая является простейшим случаем конечной игры. Если такая игра имеет седловую точку, то оптимальное решение – это пара чистых стратегий, соответствующих этой точке.

Игра, в которой отсутствует седловая точка, в соответствии с основной теоремой теории игр оптимальное решение существует и определяется парой смешанных стратегий S_A^* = (p₁^*, p₂^*) и S_B^* = (q₁^*, q₂^*).

Для того чтобы их найти, воспользуемся теоремой об активных стратегиях. Если игрок А придерживается своей оптимальной стратегии S_A^*, то его средний выигрыш будет равен цене игры n, какой бы активной стратегией ни пользовался игрок В. Для игры 2×2 любая чистая стратегия противника является активной, если отсутствует седловая точка. Выигрыш игрока А (проигрыш игрока В) – случайная величина, математическое ожидание (среднее значение) которой является ценой игры. Поэтому средний выигрыш игрока А (оптимальная стратегия) будет равна n и для 1-й, и для 2-й стратегии противника.

Пусть игра задана платёжной матрицей

Средний выигрыш игрока А, если он использует оптимальную смешанную стратегию , а игрок В – чистую стратегию В₁ (это соответствует 1-му столбцу платёжной матрицы Р), равен цене игры n:

a₁₁p₁^* = a₂₁p₂^* =n.

Тот же выигрыш получает игрок А, если 2-й игрок применяет стратегию В₂, т.е. а₁₂р₁^* = а₂₂р₂^* = n. Учитывая, что р₁^* + р₂^* = 1, получаем систему уравнений для определения оптимальной стратегии S_A^* и цены игры n:

(1)

Решая эту систему, получим оптимальную стратегию

и цену игры

Применяя теорему об активных стратегиях при отыскании S_B^* -оптимальной стратегии игрока В, получаем, что при любой чистой стратегии игрока А (А₁ или А₂) средний проигрыш игрока В равен цене игры n, т.е.

(2)

тогда оптимальная стратегия S_B^*(q₁^*,q₂^*) определяется формулами:

2.1.3. Геометрическая интерпретация игры 2´2

Решение игры 2´2 допускает наглядную геометрическую интерпретацию. Пусть игра задана платёжной матрицей P=(), где i, j = 1, 2. По оси абсцисс (рис.1) отложим единичный отрезок ; точка (х=0) изображает стратегию , а все промежуточные точки этого отрезка – смешанные стратегии первого игрока, причём расстояние от до правого конца отрезка – это вероятность стратегии , расстояние до левого конца – вероятность стратегии . На перпендикулярных осях I–I и II–II откладываем выигрыши при стратегиях и соответственно. Если второй игрок примет стратегию B1, то она даёт выигрыши и на осях I–I и II–II , соответствующие стратегиям и . Обозначим эти точки на осях I–I и II–II буквой . Средний выигрыш n₁, соответствующий смешанной стратегии , определяется по формуле математического ожидания n₁=и равен ординате точки , которая лежит на отрезке и имеет абсциссу (рис. 1).

Аналогично строим отрезок , соответствующий применению вторым игроком стратегии(рис. 2). При этом средний выигрыш n₂= – ордината точки.В соответствии с принципом минимакса оптимальная стратегия такова, что минимальный выигрыш игрока А (при наихудшем поведении игрока В) обращается в максимум. Ординаты точек, лежащих на ломаной (рис. 3), показывают минимальный выигрыш игрока А при использовании им любой смешанной стратегии (на участке N – против стратегии , на участке – против стратегии ). Оптимальную стратегию определяет точка N, в которой минимальный выигрыш достигает максимума; её ордината равна цене игры ν. На рис. 3 обозначены также верхняя и нижняя цены игры и .

Применим геометрический метод для решения следующей задачи.

► Задача. Решить графически игру, заданную платёжной матрицей

Р е ш е н и е. Откладываем по оси абсцисс (рис. 4) единичный отрезок . На вертикальной оси I–I откладываем отрезки: 1.5, соответствующий стратегии , и = 3, соответствующий стратегии . На вертикальной оси II – II отрезок = 2 соответствует стратегии , отрезок = 2 соответствует стратегии (см. рис. 4). Нижняя цена игры ==1.5. Верхняя граница игры ==2, седловая точка отсутствует. Из рис. 4 видно, что абсцисса точки N определяет оптимальную стратегию , а ордината – цену игры ν. Точка N является точкой пересечения прямых и . Уравнение прямой , проходящей через точки (0;1.5) и (1;2):

или

Уравнение прямой , проходящей через точки (0; 3) и (1; 1):

или

Точка пересечения прямых является решением системы

Или x=0.6; y=1,8, т.е.

Таким образом, =0,6, =1-0,6=0,4; оптимальная стратегия =(0,6;0,4), цена игры ν = 1,8.

Геометрически можно также определить оптимальную стратегию игрока B, если поменять местами игроков А и В и вместо максимума нижней границы в соответствии с принципом минимакса (рис. 5) рассмотреть минимум верхней границы.

Абсцисса точки M определяет в оптимальной стратегии игрока B, ордината этой точки – цена игры. Прямая , проходящая через точки (0;1.5) и (1; 3), удовлетворяет уравнению

y = 1,5x + 1,5.

Прямая , проходящая через точки (0; 2) и (1; 1), удовлетворяет уравнению y = -x +2.

Координаты их точек пересечения М – это решение системы уравнений:

откуда x = 0,2; y = 1,8, т.е. = 0,2, = 1- = 0,8, x = y = 1,8, = (0.8; 0.2).

Оптимальное решение найдено.

Из решения этой задачи следует, что геометрически можно определять оптимальную стратегию как игрока А, так и игрока В; в обоих случаях используется принцип минимакса, но во втором случае строится не нижняя, а верхняя граница выигрыша и на ней определяется не максимум, а минимум. Если платёжная матрица содержит отрицательные числа, то для графического решения задачи лучше перейти к новой матрице с неотрицательными элементами; для этого к элементам исходной матрицы достаточно добавить соответствующее положительное число. Решение игры при этом не изменится, а цена игры увеличится на это число. В данной задаче платёжная матрица не имела седловой точки (_).

При наличии седловой точки графическое решение даёт варианты, изображённые на рис. 6 и 7. На рис. 6 наибольшей ординатой на ломаной обладает точка , поэтому оптимальной является чистая стратегия для игрока А ( – для игрока В), т.е. оптимальное решение: = (0; 1), = (0; 1). Игра имеет седловую точку = ν.

Чистая стратегия (рис. 7) не выгодна для игрока В, поскольку при любой стратегии игрока А она даёт последнему больший выигрыш, чем чистая стратегия . На основании принципа минимакса выделим прямую и на ней точку с наибольшей ординатой на оси I – I. Чистая стратегия является оптимальной для игрока А, а чистая стратегия – для игрока В. Оптимальное решение: = (0; 1), = (1; 0), цена игры ν = , т.е. имеется седловая точка.

Матричные игры 📙 Курсовая → 🆔 121561