Содержание 
 
 

 

Введение

     Многочисленные  задачи математики, математической  физики, механики, техники приводят к необходимости исследовать интегралы вида:

                                                                                               

при  больших  значениях параметра  .

     Можно по пальцам пересчитать те случаи, когда такие интегралы явно вычисляются. С другой стороны, при больших значениях параметра вычисление значений таких интегралов  не под силу даже самым современным ЭВМ. Единственное, что остается – это попытаться воспользоваться асимптотическими методами.

     Существует  множество различных асимптотических  методов: метод Лапласа, асимптотические сравнения и асимптотическая эквивалентность функций, метод стационарной фазы, метод возмущений, метод Караматы, принцип идеализации, метод перевала и другие.

     В курсовой работе мы рассмотрим метод Лапласа. Для интегралов разберем случаи, когда максимум S(x) достигается на концах и внутри интервала интегрирования. С помощью рассматриваемого метода построим асимптотику для интегралов Лапласа, эталонных интегралов, гамма-функций, полинома Лежандра.

     Асимптотические методы, к сожалению, также имеют свои границы. Не следует думать, что  асимптотику любого интеграла вышеприведенного вида можно вычислить. Но в ряде случаев получающиеся асимптотические формулы настолько просты, что сомневаться в применении именно этих методов не приходится. Асимптотические формулы приближенно связывают некоторую (сложную) функцию с более простой функцией при больших (или малых) значениях аргумента.

     При написании курсовой работы были поставлены цели: изучить основные понятия асимптотического анализа, суть метода Лапласа и лемму Ватсона. Продемонстрировать возможности этого метода на примерах специальных функций.  
 
 
 
 
 
 

                         

1. Суть  метода

 

         Интегралами Лапласа называются интегралы вида

                               ,                                                  (1.1)                                                

где  -вещественнозначная функция, -большой положительный параметр. Функция может принимать комплексные значения. Будем считать для простоты, что -конечный отрезок и что -достаточно гладкие при функции, т.е. имеют производную в каждой точке локального экстремума. Тривиальный случай не рассматривается.

   
   рис.1 

         Пусть и достигается только в точке . Тогда функция имеет  максимум в точке , который тем резче, чем больше (рис.1). Интеграл можно приближенно заменить интегралом по малой окрестности точки максимума , и это приближение будет тем точнее, чем больше . В этой окрестности функции можно приближенно заменить по формуле Тейлора, и мы получим интеграл, асимптотика которого легко вычисляется. Этот метод был предложен Лапласом.

       Пусть .Тогда ; пусть для простоты .Тогда

                                            ,

где  - малое фиксированное число, и

                ,      .

     Следовательно,

                          .

     Поскольку точка максимума, то . Сделаем замену переменной в последнем интеграле

     

где  при

     Учитывая  значения интеграла Пуассона

                       ,

находим главный  член асимптотики интеграла Лапласа 

                       ( ).                                  (1.2)                          

Пример 1. Вычислим интеграл

                              .                   ( ).    

Здесь функция    на отрезке  [-1,1]  имеет максимум в точке   ; также . Все вышеперечисленные условия выполняются, следовательно, можно использовать формулу (1.2).

                                       .

Получили формулу:

                                   .                     ( ).

        Пусть теперь совпадает с одним из концов отрезка, например, , и пусть для простоты .Заменяя интегралом по отрезку и заменяя приближенно  на этом отрезке функции

                             ,                                                  получаем, что

                      

Заметим, что . Вычисляя последний интеграл, получаем

                             ,             ( )                                   (1.3)                                  

Пример 2. Вычислим интеграл

Здесь функция    на отрезке [0,2]  имеет максимум в точке   ; также Следовательно, можно применить формулу (1.3):

Получили формулу:

                                     

         По существу, формулы (1.2) и (1.3) являются основными асимптотическими формулами для интегралов  Лапласа.  

     Нам удалось получить простые асимптотические формулы по двум следующим причинам:

 1) Подынтегральная функция имеет при больших резкий максимум (т.е. интеграл по отрезку  I можно приближенно заменить интегралом по малой окрестности точки максимума).

 2) В окрестности точки максимума подынтегральную функцию можно заменить более простой (например, такой, что интеграл от нее берется или его асимптотика легко вычисляется).  

                                             

2. Лемма Ватсона

 

     Сформулируем  теорему, позволяющую находить главный член асимптотики интеграла Лапласа в наиболее встречающихся на практике ситуациях.

Теорема 1. Пусть в интеграле (1.1) функции непрерывны, а промежуток интегрирования содержит только одну точку , в которой функция S достигает своего максимума. Предположим также, что в окрестности точки функция S принадлежит классу гладкости , а функция при , где

Тогда :

1. если  и (т.е. , то

 при  ;

2. если и (т.е. , то

 при ;

3. если и и (т.е. , то

 при .

Доказательство (см. Романов А.С., «Элементарные асимптотические методы»)

     Для получения асимптотических оценок интегралов Лапласа (1.1) вычисление сводится к вычислению асимптотики эталонных  интегралов

                                                                            (1.4)

где вместо S - степенная функция, .

     Получим асимптотические оценки для  при , , где - сектор.

  Лемма 1.1. (Ватсона). Пусть .Тогда при , справедливо асимптотическое  разложение

                                                                     (1.5)

     Это разложение можно дифференцировать по λ любое число раз.             

     Выпишем главный член асимптотики

                                                              (1.5´)                  

Доказательство (см. Федорюк М.В. «Метод перевала») 

Пример 3. Вычислим интеграл

                                        ( )    

Здесь , функция непрерывна на [0, ] .Применим формулу   (1.5´):

Получили формулу:

                                 ( )  

Лемма 1.2. Если функция непрерывна при и , то при , где - сектор, справедлива асимптотическая формула (1.5´).     

Доказательство (см. Федорюк М.В. «Метод перевала») 

Пример 4. Найти асимптотическое разложение преобразования Лапласа функции при  

      

     Разложение  найденного в явном виде преобразования Лапласа дает тот же самый ряд

 

     

3. Вклад от граничной точки  максимума

        Рассмотрим интеграл Лапласа   .

  Теорема 1. Пусть - конечный отрезок и выполнены условия:

   1º. достигается только в точке .

   2º. .

   3º. при ,близких к ,и .

 Тогда при   , справедливо разложение

                                                                                     (1.6)

     Коэффициенты  имеет вид

                   ,                                                  (1.7)

     Это разложение можно дифференцировать по λ любое число раз.       

   Доказательство. Выберем такое, что при , и положим , где - интеграл по отрезку . В силу простейшей оценки  интеграл экспоненциально мал по сравнению с . Интегрируя по частям, получаем

Интегрируя точно  так же по частям еще N-2 раза, получаем

,        (1.6.1)

где М – оператор из (1.7), - единичный оператор. Внеинтегральная подстановка в (1.6.1) при дает N слагаемых ряда (1.6),  а подстановка при экспоненциально мала по сравнению с . Последний интеграл в (1.7) есть , т.е. по крайней мере того же порядка, что и последнее слагаемое в сумме (1.6.1)  . Это очень грубая оценка, но ее достаточно:

                                                                    и (1.6) следует из того, что N произвольно.

     Дифференцирование по приводит к интегралу того же вида. Главный член асимптотики имеет вид

                            ,             ( ).

Рассмотрим  интеграл   ( ).

     Пусть при  имеем и функция достигает  максимума только в точке .Тогда при справедлива формула

                                   .     (1.8)

Пример 5. Вычислим интеграл  

Функция положительна для любого ;  и достигает

максимума  на этом отрезке в точке 0.Применяя формулу  (1.8), получим

                                    

Пусть [a,b]- конечный отрезок и пусть функция достигает максимума  только в точке .Тогда для интеграла

                         ( ).

справедлива   формула

                        

где  , если ; , если совпадает с одним из концов отрезка.

Пример 6. Найдем асимптотику при   полинома Лежандра

                               

где  .

 В данном  случае   . Функция достигает максимума при и По последней формуле находим, что

                       

Пример 7. Покажем, что при 

                         

Здесь , =1.Применяя последнюю формулу, получим 

                

 

5. Вклад от внутренней невырожденной  точки максимума

 

Теорема 2. Пусть - конечный отрезок и выполнены условия:

   1º. достигается только в точке .

   2º. .

   3º. при ,близких к ,и .

 Тогда при   , справедливо разложение

                                        (1.9)

Коэффициенты  имеет вид

                                               (1.10)

Главный член асимптотики (1.9) имеет вид

                                             ( ).      

Это разложение можно дифференцировать любое число  раз.

Доказательство (см. Федорюк М.В. «Метод перевала»)

Точно также  доказывается Теорема 3.

Теорема 3. Пусть все условия теоремы 2 выполнены, за исключением одного: . Тогда при , справедливо разложение

                                                                               (1.11)

Главный член асимптотики  имеет вид

                                                                               (1.12)

(т.е. правая  часть (1.12) отличается от правой  части формулы (1.2) множителем 1/2). 
 

Пример 8. Покажем, что при 

                            . 

Имеем , так что интеграл имеет вид интеграла Лапласа (1.1),

где  Функция достигает максимума при , причем

             

Интеграл вычисляется  по формуле (1.12):

               

Получили формулу:

                                             
 
 
 
 
 
 

 

7. Вклад от точки максимума (общий  случай)

 

Теорема 3. Пусть - конечный отрезок, и

достигается только в одной точке .

Пусть при х, близких к . Тогда:

   1º. Если  a <  < b и

         ,  1 ,   ,

где m 1, то при , ,

                     ,

,

                     .

   2º. Пусть и

                 ,       ,

тогда при  , ,

                      ,

,

.

     Главный член асимптотики в случаях 1º, 2º, соответственно, имеет вид (при )

,

.

     Эти разложения можно дифференцировать по любое число раз.

     Доказательство. В случае 1º основной вклад в асимптотику дает малая окрестность точки . Делая в этой окрестности замену переменной такую, что

     

     (см. Лемму 1.2), получаем эталонный  интеграл вида (1.4). Точно также  исследуется случай 2º. 
 

 

Заключение

 

     В курсовой работе были изучены основные понятия асимптотического анализа, лемма Ватсона и метод Лапласа, который широко используется как для интегралов вида , так и для интегралов Лапласа, содержащих дополнительные параметры. Также были рассмотрены все случаи, когда функция, стоящая под знаком экспоненты в интеграле Лапласа имеет единственный максимум. Рассмотрели примеры построения асимптотических формул и выделение главного члена асимптотик. Каждый случай подтверждается примером.

     Вычислив  интеграл (с. 5), при , получили формулу , которая является одной из основных асимптотических формул для интеграла Лапласа. При вычислении эталонного интеграла (с. 9) получим формулу Для полинома Лежандра (с. 12) высчитали Нашли приближенные значения для интегралов Лапласа (с. 11, с.14)    , при . 
 
 
 

 

Литература

1. Федорюк, М.В. Метод перевалов / М.В. Федорюк - М.:Наука, 1977. -     366 с.
2. Федорюк, М.В. Асимптотика: интегралы и ряды/ М.В. Федорюк - М.:Наука, 1977. – 546 с.
3. Риенкстыш, Э.Я. Асимптотические разложения интегралов Т.2./         З.Я. Риенкстыш - М.:Рига, 1977.- 463 с.
4. Романов, А.С. Элементарные асимптотические методы: Учебное пособие/ А.С. Романов - Новосибирск: НГУ, 2003.- 57 с.