СОДЕРЖАНИЕ 
 

 

      

ВВЕДЕНИЕ

       Паскаль − один из наиболее распространенных процедурно-ориентированных языков программирования 80 - 90-х годов, имеет  свою достаточно интересную историю, начало которой положило объявление в 1965 г. конкурса по созданию нового языка программирования - преемника Алгола - 60. Участие в конкурсе принял швейцарский ученый Николаус Вирт, который работал на факультете информатики Стэндфордского университета. Проект, предложенный им, был отвергнут комиссией в 1967 г. Но Вирт не прекратил работу. Вернувшись в Швейцарию, совместно с сотрудниками Швейцарского федерального института технологии в Цюрихе, он уже в 1968 г. разработал новую версию языка Паскаль, названного так в честь великого французского математика и механика Блеза Паскаля, создавшего в 1642 г. первую счетную машину. В 1971 г. Н. Вирт выпустил описание своего языка, а в 1975 г. было разработано руководство для пользователей версии Паскаля, которая практически легла в основу стандарта языка. Но стандарт языка появился только в 1982 г.

       Предназначенный для обучения, язык оказался очень  простым и одновременно строгим. Однако вскоре выяснилось, что он также является достаточно эффективным в самых различных приложениях. Pascal поддерживает самые современные методологии проектирования программ (нисходящее, модульное проектирование, структурное программирование). В связи с этим появились многочисленные реализации языка для разных машинных архитектур и наиболее удачной и популярной оказалась разработка фирмы Borland International для персональных IBM - совместимых ЭВМ. Эта реализация языка получила название Turbo Pascal (Турбо Паскаль) и имеет уже несколько версий.

       Turbo Pascal представляет собой систему  программирования, включающую в себя текстовый редактор, компилятор, компоновщик, загрузчик, отладчик, файловую систему, системную библиотеку, справочную систему. Все эти компоненты объединены в интегрированную среду с многооконным интерфейсом и развитой системой меню, что обеспечивает высокую производительность труда программиста при создании программ производственного, научного и коммерческого назначения.

 

       

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

      Написать  программу на языке программирования Pascal, выполняющую решение нелинейного уравнения. Результат работы программы должен выводиться на экран и в файл.

        В программе реализовать следующее  меню:

1-Ввести данные  из файла

2-Ввести данные  с клавиатуры

3-Отобразить  результат

4-Сохранить  результат в файл

0-Выход

      Отладить  программу на уравнении f(x)=x²-x-6  с точностью 0,001 

 

2. ВЫБОР И ОПИСАНИЕ  МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ

      Процесс нахождения приближенного значения корней уравнения можно подразделить на два этапа 1) отделение корней; 2) уточнение корней до заданной степени точности. Корень ξ считается отделённым на отрезке [a,b], если на этом отрезке уравнение  

      : метод половинного деления, Ньютона

2.1. МЕТОД ПОЛОВИННОГО ДЕЛЕНИЯ

     Пусть дано уравнение f(x) = 0, где f (х) – непрерывная функция. Требуется найти корень этого уравнения ξ с точностью до ε, где е – некоторое положительное достаточно малое число.

     Будем считать, что корень ξ отделен и находится на отрезке [а, b], т. е. имеет место неравенство а ≤ ξ ≤ b. Числа а и b – приближенные значения корня ξ соответственно с недостатком и с избытком. Погрешность этих приближений не превышает длины отрезка b – а. Если b – а ≤ε, то необходимая точность вычислений достигнута, и за приближенное значение корня ξ можно принять либо а, либо b. Но если b – а > ε, то требуемая точность вычислений не достигнута и необходимо сузить интервалов котором находится корень ξ, т. е. подобрать такие числа а и b, чтобы выполнялись неравенства a < ξ < b и . При вычисления следует прекратить и за приближенное значение корня с точностью до ε принять либо а, либо b. Следует отметить, что значение корня будет более точным, когда за приближенное значение корня приняты не концы отрезка а и b, а середина этого отрезка, т.е. . Погрешность в этом случае не превышает величины .

     Метод проб. Пусть дано уравнение f(x) = 0 [f(x) – непрерывная функция] и корень ε отделен на отрезке [а, b], т. е. f(а) ∙ f(b) < 0, причем b – а > ε. Требуется найти значение корня ξ с точностью до ε (рис. 2.1)

 

     

Рис. 2.1

Принцип решения уравнения типа y=f(x) методом проб

     Рис. 2.2

     Принцип решения уравнения типа y=f(x) методом половинного деления 

 

      На отрезке [a, b] выберем произвольным образом точку a₁, которая разделит его на два отрезка [a, a₁] и [a₁,b]. Из этих двух отрезков следует выбрать тот, на концах которого функция принимает значения, противоположные по знаку. В нашем примере f(а) ∙ f(a₁) > 0, f(a₁) ∙ f(b) < 0; поэтому следует выбрать отрезок [a₁,b]. Затем на этом суженом отрезке опять произвольным образом возьмем точку а₂ и найдем знаки произведений f(a₁) ∙ f(a₂) и f(a₂) ∙ f(b). Так как f(a₂)× f(b) < 0, то выбираем отрезок [a₂, b]. Этот процесс продолжаем до тех пор, пока длина отрезка, на котором находится корень, не станет меньше ε. Корень ξ получим как среднее арифметическое концов найденного отрезка, причем погрешность корня не превышает ε/2.

     Метод проб в таком виде на ЭВМ не применяется. Для составления программ и расчетов на ЭВM метод проб применяется в виде так называемого метода половинного деления.

     Пусть корень ξ уравнения f(х) = 0 отделен и находится на отрезке [a, b], т.е. f(a) ∙ f(b) < 0, причем b – а > ε [здесь f(х) – непрерывная функция]. Как и ранее, возьмем на отрезке [a, b] промежуточную точку, однако не произвольным образом, а так, чтобы она являлась серединой отрезка [a, b], т. е. с = (а + b)/2. Тогда отрезок [a, b] точкой с разделится на два равных отрезка [а, с] и [с, b], длина которых равна (b – а)/2 (рис. 2.2). Если f(с) = 0, то с – точный корень уравнения f(х) = 0. Если же f(с) ≠ 0, то из двух образовавшихся отрезков [a, с] и [с, b] выберем тот, на концах которого функция f(х) принимает значения противоположных знаков; обозначим его [a_l, b₁]. Затем отрезок [a_l, b₁] также делим пополам и проводим те же рассуждения. Получим отрезок [а₂, b₂], длина которого равна (b – а)/2². Процесс деления отрезка пополам производим до тех пор, когда на каком-то n-м этапе либо середина отрезка будет корнем уравнения (случай, весьма редко встречающийся на практике), либо будет получен отрезок [a_n, b_n] такой, что b_n – а_n = (b – а)/2ⁿ ≤ ε и а_n ≤ ξ ≤ b_n (число n указывает на количество проведенных делений). Числа а_n и b_n – корни уравнения f(х) = 0 с точностью до ε. За приближенное значение корня, как указывалось, выше, следует взять ξ = (a_n + b_n)/2, причем погрешность не превышает (b – а)/2ⁿ⁺¹.

2.2. МЕТОД ХОРД

      Метод хорд является одним из распространенных методов решения алгебраических и трансцендентных уравнений. В литературе он также встречается под названиями «метода ложного положения» (regula falsi), «метода линейного интерполирования» и «метода пропорциональных частей».

      Пусть дано уравнение f(х) = 0, где f (х) – непрерывная функция, имеющая в интервале [а, b] производные первого и второго порядков. Корень считается отделенным и находится на отрезке [а, b], т.е. f(a)-f (b) < 0.

      Идея  метода хорд состоит в том, что  на достаточно малом промежутке [а, b] дуга кривой у = f (x) заменяется стягивающей ее хордой. В качестве приближенного значения корня принимается точка пересечения хорды с осью Ох.

      Ранее мы рассмотрели четыре случая расположения дуги кривой, учитывая значения первой и второй производных.

      Рассмотрим  случаи, когда первая и вторая производные  имеют одинаковые знаки, т. е, f'(х) ∙ f'' (х) > 0.

      Пусть, например, f(a) < 0, f(b) > 0, f'(х) > 0, f''(х) > 0 (рис. 3.18, а). График функции проходит через точки А₀ (a; f(a)), В(b; f(b))- Искомый корень уравнения f(х) = 0 есть абсцисса точки пересечения графика функции у = f(х) с осью Ох. Эта точка нам неизвестна, но вместо нее мы возьмем точку x₁ пересечения хорды А и В с осью Ох. Это и будет приближенное значение корня.

      Уравнение хорды, проходящей через точки А₀ и В, имеет вид

      

      Найдем  значение х = х₁, для которого у = 0:

      

      Эта формула носит название формулы  метода хорд. Теперь корень ξ находится внутри отрезка [x₁, b]. Если значение корня х₁ нас не устраивает, то его можно уточнить, применяя метод хорд к отрезку [х₁, b].

Рис

 

       Соединим точку А₁ (x₁; f (x₁) с точкой В (b; f (b)) и найдем х₂ – точку пересечения хорды А₁В с осью Ох:

      

      Продолжая этот процесс, находим

      

      и вообще

      

      Процесс продолжается до тех пор, пока мы не получим приближенный корень с заданной степенью точности.

      По  приведенным выше формулам вычисляются корни и для случая, когда f(а) > 0, f(b) < 0, f'(x) < 0, f''(x) < 0 (рис. 3.18, б).

      Теперь  рассмотрим случаи, когда первая и  вторая производные имею разные знаки, т.е. f'(x) ∙ f'(x) < 0.

      Пусть, например, f(a) > 0, f(b) < 0, f'(х) < 0, f''(х) > 0 (рис. 3.19, а). Соединим точки A (a; f (а)) и В₀ (b; f (b)) и запишем уравнение хорды, проходящей через А и B₀:

      

      Найдем  х₁, как точку пересечения хорды с осью Ох, полагая у = 0:

      

      Корень  ξ теперь заключен внутри отрезка [a, x₁]. Применяя меч од хорд к отрезку [а, x₁], получим

      

      и вообще

      

      По  этим же формулам находится приближенное значение корня и для случая, когда f(а) < 0, f(b)>0, f'(х) > 0, f''(х) < 0 (рис. 3.19, б).

      Итак, если f'(х) ∙ f"(х) > 0, то приближенный корень вычисляется по формулам (1) и (2); если же f(х) ∙ f"(x) < 0, то – по формулам (3) и (4).

      Однако  выбор тех или иных формул можно  осуществить, пользуясь простым правилом: неподвижным концом отрезка является тот, для которого знак функции совпадает со знаком второй производной.

      Если  f(b) ∙ f'' (х) > 0, то неподвижен конец b, а все приближения к корню ξ лежат со стороны конца а [формулы (1) и (2)]. Если f(а)×f''(x) > 0. то неподвижен конец а, а все приближения к корню ξ лежат со стороны конца b [формулы (3) и (4).

2.3. МЕТОД НЬЮТОНА (МЕТОД КАСАТЕЛЬНЫХ)

     Пусть корень уравнения f (х) = 0 отделен на отрезке [а, b], причем f'(х) и f"(x) непрерывны и сохраняют постоянные знаки на всем отрезке [а, b].

     Геометрический  смысл метода Ньютона состоит в том, что дуга кривой у = f(х) заменяется касательной к этой кривой (отсюда и второе название: метод касательных).

     Первый  случай. Пусть f(a) < 0, f(b) > 0, f’(х) > 0, f”(х) > 0 (рис. 1, а) или f(а) > 0, f(b) < 0, f’(х) < 0, f ''(х) < 0 (рис. 1, б). Проведем касательную к кривой у = f(x) в точке B₀(b; f(b)) и найдем абсциссу точки пересечения касательной с осью Oх. Известно, что уравнение касательной в точке В₀(b; f(b)) имеет вид

     

Полагая у = 0, х = х1, получим

           (1)

Теперь корень уравнения находится на отрезке [а, х₁]. Применяя снова метод Ньютона, проведем касательную к кривой в точке B₁ (x₁; f(x₁)) и полечим

     

и вообще

            (2)

Получаем последовательность приближенных значений x₁, х₂, …, x_n, …, каждый последующий член которой ближе к корню ξ, чем предыдущий. Однако все х_n, остаются больше истинного корня ξ, т.е. х_n – приближенное значение корня ξ с избытком.

     Второй  случай. Пусть f(а) < 0, f (b) > 0, f '(х) > 0, f ''(х) < 0 (рис. 2, а) или f(а)> 0, f(b) < 0, f '(х) < 0, f ''(x) > 0 (рис. 2, б). Если снова провести касательную к кривой у= f (x) в точке В, то она пересечет ось абсцисс в точке, не принадлежащей отрезку [a, b]. Поэтому проведем касательную в точке A₀(a; f(а)) и запишем ее уравнение для данного случая:

     

Полагая у = 0, x = x1 находим

           (3)

Корень ξ находится теперь на отрезке [х₁, b]. Применяя снова метод Ньютона, проведем касательную в точке A₁ (x₁; f(x₁)) и получим

     

и вообще 

            (4)

Получаем последовательность приближенных значений х₁, х₂, … ,х_n,…, каждый последующий член которой ближе к истинному корню ξ, чем предыдущий, т.е. х_n – приближенное значение корня ξ с недостатком.

     Сравнивая эти формулы с ранее выведенными, замечаем, что они отличаются друг от друга только выбором начального приближения: в первом случае за х₀ принимался конец b отрезка, во втором – конец а.

     При выборе начального приближения корня  необходимо руководствоваться следующим правилом: за исходную точку следует выбирать тот конец отрезка [а, b], в котором знак функции совпадает со знаком второй производной. В первом случае f(b) ∙ f ''(х) > 0 и начальная точка b = x₀, во втором f(a) ∙ f "(x) > 0 и в качестве начального приближения берем а = х₀. 
 

 

      

3 .СООТВЕТСТВИЕ МЕЖДУ ПЕРЕМЕННЫМИ, ПРИНЯТЫМИ ПРИ ОПИСАНИИ ЗАДАЧИ И В ПРОГРАМЕ

      Соответствие  между переменными, используемыми в блок-схеме и в программном коде главной программы приведено в Таблице 1.

      Соответствие  между переменными, используемыми  в блок-схеме и в программном коде процедуры Save приведено в Таблице 2.

 

Таблица 1 

      Соответствие  между переменными, используемыми  в блок-схеме и в программном коде главной программы

 

 

Таблица 2 

      Соответствие  между переменными, принятыми при описании задачи и в процедуре Save

 

 

      

4. СТРУКТУРНАЯ СХЕМА ПРОГРАММ И ЕЕ ОПИСАНИЕ

 

      Структурная схема главной программы приведена  на рис. 4.1.

1. ввод клавиши выбора пункта меню;
2. если выполняется условие Key=’1’ то выполнить блок, 3 иначе выполнить блок 4;
3. обращение к процедуре ввода исходных данных Vvod;
4. если выполняется условие Key=’2’ то выполнить блок 5, иначе выполнить блок 6;
5. обращение к процедуре поиска корня и вывода его на экран VivRez;
6. если выполняется условие Key=’3’ то выполнить блок 7, иначе выполнить блок 8;
7. обращение к процедуре поиска корня и сохранения его в файл;
8. если выполняется условие Key=’0’ то выйти из программы, иначе вернуться к блоку 1.

 

      Структурная схема подпрограммы функции f изображена на Рис. 4.2.

1. присваивание заголовку функции заданного варианта.

 

      Структурная схема подпрограммы процедуры PolDel изображена на Рис. 4.3.

1. вычисление начального значения х;
2. если значение функции в точке х отстоит от 0 на величину превышающую заданную точность е то выполнить цикл уточнения – перейти к блоку 3, иначе выйти из подпрограммы;
3. если функция в точке а и в точке х имеет одинаковый знак то выполнить блок 4, иначе выполнить блок 5;
4. левая граница перемещается в точку х;
5. правая граница перемещается в точку х;
6. вычисление нового значения х.

 

      Структурная схема подпрограммы процедуры Vvod изображена на Рис. 4.4.

1. вывод запроса на ввод левой границы интервала;
2. ввод а – левой границы интервала;
3. вывод запроса на ввод правой границы интервала;
4. ввод b – правой границы интервала;
5. вывод запроса на ввод точности вычисления корня уравнения;
6. ввод е – точности вычисления корня уравнения.

 

      Структурная схема подпрограммы процедуры Vivrez изображена на Рис. 4.5.

1. обращение к процедуре вычисления корня уравнения PolDel;
2. вывод найденного корня.

 

      Структурная схема подпрограммы процедуры Save изображена на Рис. 4.6.

1. вывод запроса названия файла;
2. ввод названия файла;
3. обращение к процедуре подключения файла с введённым именем;
4. обращение к процедуре открытия файла для записи;
5. обращение к процедуре вычисления корня уравнения PolDel;
6. вывод в файл полученного значения корня;
7. обращение к процедуре закрытия файла.

 

 

 

 

 

 

 

5. ЛИСТИНГ ПРОГРАМЫ

      Листинг программы находится в приложении А.

 

      

6. КОНТРОЛЬНЫЙ ПРИМЕР И АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТА

      Для контрольного примера найдём значение корня на интервале от 0 до 5. Найдём этот корень графически с использованием программы Microsoft Excel (см. табл 6.1., рис. 6.1).

      Найдём  этот корень при помощи программы (см. рис 6.2.-6.3). Полученное при помощи программы значение корня соответствует расчётному. 

 

       Таблица. 6.1

      Расчетные точки графика функции f(x)=x²-x-6, полученные при помощи программы Microsoft Excel

        
 

 

       

      Рис. 6.1.

 

      

      Рис. 6.1.

 

 

      Рис. 6.2.

 

      

7. ИНСТРУКЦИЯ ПОЛЬЗОВАТЕЛЯ

      Для работы с программой нужно запустить  программу POLDEL.EXE, находящийся на дискете в приложении D, занимающий 20 кБ.

      После запуска программы на экране появляется меню программы в котором содержатся следующие пункты (см. Прил. Б).

1. 1-Ввести данные
2. 2-Отобразить результат
3. 3-Сохранить результат в файл
4. 0-Выход

      Для ввода исходных данных необходимо в меню нажать 1 ввести по очереди значение левой границы интервала, затем правой, затем точности вычисления.

      Для просмотра результата вычисления необходимо в меню нажать 2. По окончанию просмотра нажмите любую клавишу.

      Для сохранения результата необходимо нажать в главном меню 3 и после появления запроса ввести имя файла, в который следует записать результат.

      Для выхода из программы необходимо в меню нажать 0.

 

      

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

      В данной курсовой работе была разработана  программа, решающая нелинейное уравнение. Для его решения был выбран метод половинного деления.

 

      

СПИСОК  ЛИТЕРАТУРЫ

1. Кетков  Ю.Л., Кетков А.Ю. Практика программирования: Бейсик, Си, Паскаль. Самоучитель. – СПб.: БХВ-Петербург, 2001. 408 с.: ил.
2. Любиев О.Н., Филиппенко Л.Н., Филиппенко Г.Г. Методические указания к выполнению курсовой работы по дисциплинам «Программирование на ЯВУ, Информатика», Новочеркасск, ЮРГТУ, 2003г. – 256 с.
3. Фаронов В.В. «Турбо Паскаль 7.0» Начальный курс. Учебное пособие. Издание 7-е, переработанное. – М.: «Нлидж», издатель Молчалева С.В., 2001.-576 с. с ил.
4. Абрамов В.Г., Трифонов Н.П. Введение в язык Паскаль. – М. :Наука, 1988.-320 с.

 

 

      

ПРИЛОЖЕНИЯ

 
 

 

      

ПРИЛОЖЕНИЕ А

 

ЛИСТИНГ ПРОГРАМЫ 

Program PolD;

Uses

  CRT;

Var

  a,b,e,x:real;

Function F(var x:real):real;

begin

  f:=sqr(x)-x-6;

end;

{================================}

Procedure PolDel(a,b,e:real; var x:real);

begin

    x:=(a+b)/2;

    while abs(F(x))>e do

        begin

    if F(a)*F(x)>0 then  a:=x

                                  else b:=x;

    x:=(a+b)/2;

        end;