Методика изучения геометрических построений в курсе планиметрии

Содержание 
 
 
 

1.Введение 

2.Основная  часть 

§1. Общие методические рекомендации к изучению геометрических построений циркулем и линейкой. 

§2.Классификация  методов решения  задач на построение. 

§3.Использование различных методов при решении задач на построение циркулем и линейкой 

§4.Задачи, неразрешимые циркулем и линейкой 

§5.Планы уроков и методические комментарии к изучению задач на построение 

3.Заключение 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1.Введение 
 

Развитие логического  мышления является одним из важнейших  элементов воспитания личности. Этому служит математика, и в первую очередь – геометрия. Круг задач, рассматриваемых в геометрии, очень широк. Среди них особое место занимают задачи на построение, которые способствуют развитию у учащихся определенности, последовательности, обоснованности мышления. На этих задачах учатся таким методам познания как анализ и синтез. Задачи на построение являются важным средством формирования у учащихся геометрических представлений в целом. В процессе геометрических построений учащиеся в практическом плане знакомятся со свойствами геометрических фигур и отношений, учатся пользоваться чертежными инструментами, приобретают графические навыки. В правильности многих математических утверждений в большинстве случаев школьники убеждаются также в процессе геометрических построений. 

 Задачи на  построение еще в Древней Греции  приобрели важную роль, поскольку  любые математические задачи, будь  то доказательство свойств фигур  или нахождение корней уравнений,  решались геометрическими способами.  К построениям предъявлялись высокие требования точности, простоты и экономности. Считалось, что самой совершенной линией на плоскости является окружность, а самой простой – прямая. Наиболее ценными считались построения, использующие только эти две линии. Поскольку прямую можно провести при помощи линейки (без делений), а окружность построить циркулем, то мы теперь говорим о задачах на построение с помощью циркуля и линейки. Циркуль позволяет не только построить окружность с указанным радиусом, но и отложить отрезок равный данному, и выяснить, какой из имеющихся отрезков длиннее. С помощью линейки можно провести прямую через две данные точки. (Линейка с делениями, которой мы пользуемся, не годится для измерений длин отрезков, она дает приближенный результат – этого античные математики не могли допустить). А в школе Платона при решении задач на построение не разрешалось использовать никакие другие инструменты, кроме циркуля и линейки. Такое ограничение сыграло большую роль в развитии геометрии, а в дальнейшем и в установлении ее связей с алгеброй. 

  Задачи на построение  – это задачи, которые значительно чаще других поражают красотой, оригинальностью и во многих случаях простотой найденного решения, что вызывает к ним повышенный интерес. 

 С другой  стороны, решение задач на построение нередко вызывает трудности у учащихся.  

 Все вышесказанное  говорит об актуальности выбранной  темы.

 Объект исследования: процесс обучения геометрии в  основной школе.

 Предмет исследования: методика обучения решению задач  на построение.

Цель исследования - совершенствование методики обучения решению задач на построение, реализующей  формирование конструктивных умений и  навыков учащихся. 

Основной целью  математического образования в  средней школе является воспитание математической культуры учащихся. Это не просто передача учащимся определенного объема математических знаний и формирование конкретных умений и навыков, а, прежде всего, развитие мышления учащихся, обучение их методам и приемам математической деятельности, воспитание устойчивого интереса к изучению математики, нравственных и эстетических качеств личности. Одним из средств, позволяющих достичь высокого уровня математической подготовки учащихся, является их деятельность по решению математических задач. Особую роль выполняют задачи, обеспечивающие осознанное усвоение содержания конструктивного компонента умственной деятельности в области геометрии. 

В процессе решения  конструктивных задач проявляются  связи между всеми компонентами умственной деятельности: пространственным, логическим, метрическим, интуитивным, конструктивным и символическим, а значит, и соответствующими содержательно-методическими линиями школьного курса геометрии. Их отличительной чертой является возможность широкого выбора методов и способов их решения, разнообразных приложений, а также реализация богатых внутри- и межпредметных связей. В рамках традиционной методики решение конструктивных геометрических задач отождествляют с решением задач на построение, но на самом деле, эти задачи являются подзадачами большинства геометрических задач, в частности, задач на вычисление и на доказательство: без построения или изображения соответствующего геометрического объекта невозможно решить задачу школьного курса планиметрии. 

Конструктивные  геометрические задачи играют важную роль в формировании и развитии мышления школьников, их логического, пространственного и интуитивного компонентов, в формировании навыков и умений выполнять геометрические построения, в развитии графической культуры. Особое значение они имеют для развития творческого потенциала учащихся. 

Одна из главных  задач обучения геометрии состоит  в усвоении учащимися её теоретических  основ и овладение навыками применения их на практике, в развитии логического  мышления учащихся, способности к  доказательным, аргументированным рассуждениям. При изучении школьного курса геометрии развиваем пространственное воображение и представление учащихся, геометрическое “видение” окружающего мира. 

Все вышесказанное  говорит об актуальности выбранной  темы.

Объект  исследования: процесс обучения геометрии в основной школе.

Предмет исследования: методика обучения решению  задач на построение.

Цель  исследования - совершенствование методики обучения решению задач на построение, реализующей формирование конструктивных умений и навыков учащихся. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2.Основная  часть 
 

§1.Общие методические рекомендации к изучению

геометрических  построений циркулем и линейкой 

Обучение учащихся геометрическим построениям преследует две цели: обучение выполнению собственно геометрических построений и обучение решению задач на построение. 

Естественно, что  каждому из этих вопросов в различных классах должно быть уделено различное внимание. 

В 7 классе основное внимание обращается на обучение учащихся выполнению простейших геометрических построений. К  концу 7 класса учащиеся должны получить уже довольно прочные навыки в решении ряда конструктивных задач, включённых в программу, ценных с практической точки зрения и необходимых для дальнейшего изучения материала. 

К этим построениям относятся: построение отрезка, равного данному; деление отрезка пополам; построение угла, равного данному;  построение параллельных и перпендикулярных прямых. 

Умение фактически выполнять указанные выше построения является совершенно необходимым условием для дальнейшего успешного обучения решению конструктивных задач, так как только при этом условии учащиеся, решая задачи, смогут уделить внимание содержанию и методам их решения, а не только технике выполнения самого построения. 

Кроме того, овладение  рядом построений способствует лучшему усвоению новых понятий. Так, например, для усвоения таких важных понятий как высота треугольника, симметрия относительно прямой и т.д., необходимо, чтобы учащиеся умели строить прямые углы, перпендикулярные прямые и т.д. 

Правильно выполненный  чертёж имеет большое значение для отыскания плана решения задач на вычисление и доказательство, и наоборот, неверно выполненный чертёж часто не позволяет «увидеть» нужные соотношения. Более того, неверный чертёж часто направляет мысль учащихся по неверному пути. 

Все эти соображения  заставляют обратить самое серьёзное  внимание на выполнение учащимися простейших геометрических построений и на закрепление приобретённых ими умений. 

В 8 классе перед  учителем стоят более широкие  задачи по изучению и использованию геометрических построений, в том числе решению задач на построение. Продолжается обучение выполнению некоторых новых построений и проводится систематическое закрепление приобретённых в 7 классе умений; как и ранее, геометрические построения используются при формировании и закреплении геометрических понятий, а так же для доказательства существования некоторых геометрических фигур.  

В 8 классе продолжается формирование умений учащихся выбирать различные построения в зависимости  от условия задачи. 

При решении  с учащимися задач на построение возникают большие методические трудности. Дело в том, что при  этом обычно преследуют две цели: решить данную задачу и вместе с тем научить школьников решать задачи на построение вообще, т.е. познакомить их с общими подходами к решению задач, показать, как путём анализа искомой фигуры, рассуждений, предположений отыскивается решение задачи.

Эта вторая задача значительно сложнее, чем первая, и её реализация требует от учителя  большой кропотливой и систематической работы. Во многих случаях отыскание хода решения новой задачи является для учащихся  небольшим открытием и в то же время исследованием. 

Трудность усугубляется ещё и тем, что часто поиск  решения задачи представляет собой  весьма сложный процесс, требующий от учащихся большого внимания. Для того чтобы эта работа протекала успешно, необходимо, чтобы учащиеся заинтересовались решением задач, чтобы они поняли, насколько интересна эта работа. Поэтому всегда следует поощрять проявление учащимися изобретательности, инициативы, самостоятельности в отыскании решения.

С первых уроков геометрии, подводя учащихся к решению задач на построение, надо обеспечивать им некоторую самостоятельность, а тогда, когда это необходимо, направить их мысль на желаемый путь. Иногда, может быть, даже следует создать у учащихся иллюзию самостоятельности с тем, чтобы придать им уверенность, заинтересовать их решением задач.

Мера самостоятельности  в работе, выполняемой учащимися, должна определяться учителем, исходя из их возраста, подготовки, сложности решаемой задачи. 

Как же проходит обучение учащихся решению задач  на построение?

Прежде всего, рассмотрим, как возрастают трудности  при выполнении отдельных этапов решения задач на построение. 

В начале изучения курса геометрии содержание задачи на построение весьма просто. Решение этих задач имеет целью способствовать формированию у учащихся умений и навыков в выполнении элементарных построений. 

Позже уже необходимо уделять внимание анализу задачи с предварительным выполнением чертежа – наброска искомой фигуры и его использованием для нахождения плана решения. 

Построение и  доказательство правильности решения  задач проводятся обычными способами. 

И позже учащиеся начинают проводить исследование. 

Не всегда в  курсе геометрии предполагается ознакомление учащихся с различными методами решения задач на построение. Но учитель, зная эти методы, должен познакомить с ними учащихся на факультативных и индивидуально – групповых занятиях. В частности должно быть уделено определённое внимание методу геометрических мест, методу спрямления, методу подобия, методу движения, алгебраическому методу решения задач на построение. 

При решении  задач на построение важно научить школьников правильно понимать условие задачи, составлять план решения, осмысливать результат решения, уметь использовать результат или способ решения одной задачи при решении других задач. 

При обучении учащихся решению задач на построение не следует заниматься подробными письменными описаниями хода решения. Вместо этого следует уделить внимание устным объяснениям и фактическому выполнению построений. В тетрадях должна быть дана лишь краткая запись условия, приведено само построение и могут быть даны краткие замечания о построении, доказательстве, исследовании решения.

Затронутые здесь вопросы мы раскроем ниже на конкретных примерах решения задач. 

§2.Классификация методов решения задач на построение. 

Как известно, в  школьных программах рассматриваются метод геометрических мест, метод преобразования фигур (метод подобия, параллельный перенос, поворот, симметрия). Но нигде не упоминается метод спрямления , который применяется при решении задач, связанных со спрямлением ломанных линий, в частности задач, содержащих в качестве данных сумму или разность звеньев ломанной.  

Правильное осмысление решение задач на построение состоит из четырех частей:

1.Анализ.

2.Построение.

3.Доказательство (синтез).

4.Исследование. 

1. Анализ. Составляется план решения. Для этого поступают так: предполагают задачу решенной и делают от руки примерный чертеж искомой фигуры (не обязательно соответствующий построению размерам). Нужно найти такую зависимость между данным и искомыми величинами, которая позволила бы определить положение искомой точки, или отрезка, или угла, на нахождение которых нацелено решение задачи.  

При этом приходится проводить различные вспомогательные  прямые, окружности, нередко даже наудачу, не зная заранее, принесет ли проведенная  линия пользу или нет. Когда при  помощи различных рассуждений и  догадок зависимость между данными  и искомыми величинами определена, переходят ко второй части решения – построению. 

2. Построение – механическое выполнение тех приемов, которые были выведены из плана решения задачи, т.е. анализа. 

3. Доказательство. Когда искомая фигура построена, необходимо доказать, что она удовлетворяет всем требованиям задачи. При этом ход рассуждений будет обратный тому, который применялся при анализе. Поэтому иногда доказательство называют синтезом. 

4. Исследование имеет целью выяснить, всегда ли задача разрешима, сколько решений допускается (одно или несколько). Необходимо рассмотреть всевозможные частные случаи, причем нужно выяснить, меняется ли ход решения в этих случаях и как именно. 
 
 
 
 
 

§3.Использование различных методов при решении задач на построение циркулем и линейкой 

3.1.Метод спрямления при решении задач на построение 

Рассмотрим несколько  задач, решаемых методом спрямления. 

Задача 1. Построить треугольник по данной стороне, углу, к ней прилежащему, и сумме двух других сторон. 

     Решение.

Рис.1.

1. Анализ. Пусть DАВС – искомый (рис.1).  Продолжим сторону ВА и на ее продолжении отложим АD=СА. Соединим точки C и D.

В DСВD имеем: BD=b+c, BC =a, ÐСВD=ÐB.

Треугольник ВСD можно построить по двум сторонам и углу между ними.

Треугольник САD – равнобедренный, в котором АН – высота и медиана. Проведя серединный перпендикуляр (АН ^СD), определим вершину А. 

2. Построение.

1) DСВD, где ВС=а; ÐВ и ВD=b+c;

2) НА^СD и СН=НD.

3. Доказательство. DАВС – искомый, так как он удовлетворяет всем требованиям задачи: ВС=а; ВС+АС=b+c; ÐВ равен данному. 

4. Исследование. Условие, необходимое для решения задачи, b+c>а. Докажем, что это условие и достаточно, т.е. если оно выполнено, то задача разрешима. 

Если b+c>a, то в DВСD ÐС<ÐD, а поэтому возможно провести прямую линию АС по ÐАСD к стороне СD, чтобы ÐАСD=ÐАDC, что позволяет восстановить серединный перпендикуляр к СD.

Задача разрешима  при b+с>a и имеет одно решение. 
 

Задача 2. Построить треугольник по разности сторон а и b, стороне с и ÐВ. 

Рис.2. 

 Анализ. Пусть DАВС построен (рис.2). Отложим на стороне ВС отрезок СВ =АС, тогда В В=а-b. 

DАВ В возможно построить по двум сторонам и углу между ними: АВ=с, В В=а-b и ÐВ. 

Для определения  вершины С необходимо восстановить серединный перпендикуляр к стороне АВ (DАСВ - равнобедренный) до пересечения с продолжением стороны ВВ (луч ВВ ). 

Задача 3. Построить треугольник по двум углам и периметру. 

Рис.3. 

 Анализ. Пусть DАВС – искомый (рис.3). На продолжении стороны АВ в обоих направлениях отложим отрезки DA=AC и ВЕ=СВ и соединим D с С и Е с С, получим DDСЕ, в котором DЕ=Р. 

Треугольники  DАС и ВЕС – равнобедренные, и АК^DС, где DK=KC и ВF ^ СЕ, и СF=FЕ, что позволит определить вершины А и В. ÐD= ÐА, ÐЕ= ÐВ (свойство внешнего угли треугольника). Значит задача сводится к построению DDCE по стороне Р и двум углам: ÐD и ÐЕ. Здесь произведено спрямление сторон АС и СВ со стороной АВ. 

Задача 4. Построить треугольник по данной стороне, углу, ей противолежащему, и разности двух других сторон. 

Рис.4. 

Анализ. Пусть DАВС построен (рис.4). На АС отложим АВ и получим точку D. DВАD – равнобедренный. 

В DВDС известны две стороны: ВС=а и DC=b-c. Определим ÐВDС. Он внешний по отношению к DВАD и равен сумме двух внутренних углов, с ним не смежных, т.е. ÐВDС=ÐА+ÐDВА.

Но ÐDВА=ÐАDВ=(180° - ÐА):2.

Таким образом, ÐВDC=ÐА+ÐАВD=ÐА+ .

Итак, задача свелась  к построению DВDC по двум сторонам а и b-с и ÐВDС. Построение ЕА ^ ВD, причем ВЕ=ЕD, до пересечения луча СD с ЕА дает положение вершины А. 

3.2.Решение задач на построение с использованием свойств движения

Тема «Движение», представленная в учебниках по геометрии для основной школы, содержит немного задач на применение преобразований фигур. Однако по данной теме можно найти интересные геометрические задачи. Они могут быть разнообразны и по уровню сложности, и по учебному материалу, необходимому для решения. Это разнообразие можно с успехом использовать в ходе повторения темы «Движение». Опишем один урок повторения. Он начинается с того, что учащиеся повторяют определения и построения, относящиеся к центральной симметрии, осевой симметрии, повороту, параллельному переносу. Для этого предлагаются следующие задания; которые выполняются у доски:

1)Построить отрезок, симметричный относительно прямой; точки.

2)Выполнить параллельный перенос треугольника на заданный вектор.

3)Построить прямую, которая получается из заданной прямой поворотом вокруг точки О на угол 80º по часовой стрелке. 

Задача. Построить параллелограмм по двум противоположным вершинам, лежащим на сторонах данного четырехугольника, причем остальные вершины параллелограмма также должны принадлежать сторонам данного четырехугольника. 

Решение. 

1.Анализ.

Пусть искомый  параллелограмм построен. На рис.5,а - это параллелограмм АВСD, который вписан в данный четырехугольник LMNK, точки В и D – данные. 

Рис.5. 

Проанализируем, что можно предпринять, чтобы  стала видна возможность построения. Пока видно только одно: можно провести диагонали. Проводим диагонали BD и СА ( рис.5,б) и тут же замечаем, что точка О их пересечения является центром симметрии параллелограмма. А это значит, что она лежит на пересечении отрезка ML с образом отрезка KN при симметрии относительно точки О. Таким образом, мы нашли способ построения третьей вершины искомого параллелограмма. А четвертую его вершину можно найти, исходя из свойств этой фигуры. 

2. Построение. Проведем отрезок BD и разделим его пополам точкой О.

Строим точки  K и N , симметричные относительно О точкам K и N соответственно.  

Обозначим через  А точку пересечения отрезков ML и K N . Строим точку С, симметричную относительно О точке А. Искомая фигура – АВСD (рис.6). 

3. Доказательство. Точки А и С, В и D – симметричны относительно точки О по построению. А это значит, что диагонали BD и АС четырехугольника АВСD пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Отсюда следует (по определению), что построенный четырехугольник - параллелограмм.  

4. Исследование. Успех построения зависит от возможности найти точку А. 

Рис.6 

Если прямые KN и LM пересекаются, то пересекаются и прямые K N , LM. Тогда задача имеет единственное решение. Это значит, что данный четырехугольник не должен быть ни параллелограммом, ни трапецией с основаниями KN и ML. 

Есть и еще  одно ограничение. Стороны KN и ML должны быть такими, чтобы пересекались отрезки K N и ML. Иначе пересечение прямых ML и K N вне отрезка ML привело бы к видоизменению задачи. 

Если KN÷ïLM, то задача имеет либо множество решений (когда прямые MN и K N оказываются параллельными). 

Задача. Точки А и В лежат по разные стороны от прямой d. Постройте на ней такую точку Х, чтобы биссектриса угла АХВ лежала на прямой d. 

Решение. 

1. Анализ. Предположим, что точка Х найдена (рис.7). Тогда ÐАХЕ=ÐЕХВ. А это значит, что лучи АХ и ВХ симметричны относительно луча ХЕ. Проведем перпендикуляры к прямой d из точек А и В. они пересекут лучи угла АХВ в точках А и В соответственно. Причем точки А и А , В и В симметричны друг другу относительно прямой d. 

2. Построение. Строим точку А , симметричную точке А относительно прямой d. Строим точку В , симметричную точке В относительно прямой d.

Точки А и В (А , В) оказались в одной полуплоскости, а прямые В А и ВА пересекаются в искомой точке Х.

Рис.7.