Методы Пространственных состояний

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Курсовая  работа по курсу

 Методы Пространственных состояний 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

   
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Оглавление:

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Задание.

Требуется определить:

     1. Область параметрической управляемости;

     2. Область параметрической наблюдаемости;

     3. Область параметрической управляемости и наблюдаемости;

     4. Для выбранного в п.3 параметра синтезировать:

а) регулятор, обеспечивающий собственные значения и

   

б) наблюдатель полного порядка  с полюсами:

    ;

      5. Построить переходные процессы при произвольных

          ненулевых начальных условиях;

6. Построить переходные процессы наблюдателя при произвольных                              начальных условиях;

7. Построить переходные процессы системы с наблюдателем и  регулятором;

8.Привести  и описать практический пример  модели линейной, желательно стационарной, системы, имеющей аналогичную модель. 
 

Описание системы:

 

где:         
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Область параметрической управляемости 

     Для нахождения параметра  , обеспечивающего управляемость и наблюдаемость системы необходимо привести систему к каноническому виду. Переход этот осуществляется следующим образом:

                               

                         

     Запись  означает переход к новому базису. Подставляя это выражения в и , получим выражения для матриц , и :

                         ,  и (1)

     В соответствии с (1) для этого необходимо определить матрицу перехода Известно, что:

                                                            (2)

где: - матрица управляемости.                  (3) 

       - матрица, имеющая следующий вид:

     , где  - коэффициенты   характеристического уравнения матрицы :

     Найдем матрицу . В соответствии с уравнением (3) в среде MathCAD получим: 

     Далее найдем матрицу . В MathCAD-e получим характеристическое уравнение для :

и по определению  запишем:

     Перемножим (в соответствии с уравнением (2) ) полученные матрицы и и получим матрицу : 

 

Далее определим матрицу :  

 

     То  есть управляемость системы от параметра не зависит. 

     Проверим  результат, применив критерий Калмана:

для того, чтобы  система была полностью  управляема необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы управляемости был равен .

     Поскольку в данном случае матрица  квадратная  и ( ) то для выполнения условия достаточно выполнения условия :

 

     Найдем  дискриминант это квадратного уравнения:

     Это уравнение не имеет решений на области действительных чисел ( ), что подтверждает результат. 
 
 

Область параметрической наблюдаемости. 

Найдем каноническую форму матрицы :

 

     По  критерию Калмана:

для того, чтобы система  была полностью  наблюдаемой необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы наблюдаемости был равен .

       Поскольку в данном случае матрица квадратная  и ( ) то для выполнения условия достаточно выполнения условия . Матрица определяется из следующего соотношения:

     Вычислим  в MathCAD определитель этой матрицы:

     Данное  уравнение имеет всего один корень на области действительных чисел: α = 0,2567. Тогда система будет полностью наблюдаема на . 
 
 

Область параметрической управляемости  и наблюдаемости. 

     Решение получим на множестве:

     Выберем из этой области значение . Известно, что матрица , приведенная к канонической форме имеет вид:  

где - коэффициенты характеристического уравнения матрицы .

     Получим аналитическое выражение для  матрицы  :

                                                                                        (4)

     Для этого перемножим матрицы по формуле (4) в среде MathCAD.

                   (5)

     Выберем значение . Данное значение удовлетворяет условию . 

     Теперь  подставим значение в выражение (5) и получим матрицу :

     Матрицы , и при примут следующий вид: 

 

            
 

     Матрицы в канонической форме: 

        

 
 
 
 
 

Синтез  регулятора и наблюдателя.

     a) Синтез регулятора, обеспечивающего собственные значения и   .

     Регулятор будем искать в линейном виде: . Подставляя это выражение в уравнение системы , получим:

, где  
 

     Подставим значения и и получим:

 

 

     Запишем характеристический многочлен желаемой замкнутой системы:

     Откуда  выписываем коэффициенты для желаемой системы:

                     (6)

     Для того, чтобы обеспечить требуемые собственные значения необходимо, чтобы  коэффициенты характеристического уравнения реальной и желаемой систем были равны (уравнения эквивалентны).

     Из  этого утверждения определим  и :

       

     Следовательно:

     

     И тогда матрица  регулятора:

     

     б) Синтез наблюдателя наблюдателя полного порядка с полюсами: .

     Система описывается в каноническом виде:

                                                   (7)

                                                   

       Наблюдателя представим в виде:

                                  (8)

где - вектор наблюдения, - вектор состояния.

     Вычитая из уравнения (7) уравнение (8) и учитывая, что ( ),  получим:

                              

                                 

и тогда  уравнение наблюдателя запишется:

                        

     Введем  ошибку (рассогласование векторов наблюдения и состояния) :                                       

     

     Тогда разность уравнений (7) и (8) примет вид:

                                         

                         

     Собственные значения  матрицы и называются полюсами наблюдателя. Их необходимо обеспечить такими, чтобы система была асимптотически устойчивой ( ) или же любыми наперед заданными, как в данном случае. Выбор полюсов наблюдателя происходит за счет выбора матрицы .

     Матрицы - матрица столбец:

     

     Найдем  в среде MathCAD выражение для матрицы :

        

     Получим:

     

                    

      Характеристическое  уравнение:

        (9) 

     Выпишем коэффициенты:  

     

     

       

     Теперь  запишем характеристическое уравнение (11) через известные полюса:

     Теперь  для получения элементов матрицы  необходимо решить систему линейных алгебраических уравнений: 

  или    

     Перепишем эту систему в удобном для  решения виде: 

 

     В матричном виде:  

      

Или:

        

     Очевидно, что решения можно определить из следующего соотношения:

                                      

     Окончательно  получаем матрицу  :

     И матрицу наблюдателя:

                           
 
 

Построение  переходных процессов 

системы при произвольных начальных ненулевых условиях 

     Смоделируем систему в среде Simulink MatLab и получим с ее помощью переходные процессы. Составим структурную схему системы:

     Начальные условия для системы выберем следующие: 

     

     Тогда получим следующие переходные характеристики. Для х₁(t):

 

Для x₂(t):

 

Для x₃(t):

 
 

Построение  переходных процессов наблюдателя  при произвольных начальных ненулевых условиях

Для :

Для :

Для :

     Как видно из графиков переходных процессов  системы и наблюдателя, сигнал на наблюдателе отстает по фазе от сигнала  системы, также на начальном этапе амплитуда сигнала на наблюдателе несколько больше, чем в системе.

Построение  переходных процессов системы с наблюдателем и 
регулятором

Для получения  переходных процессов системы с  наблюдателем и регулятором немного преобразуем схему. Система примет следующий вид:

Переходные  процессы системы. Для :

 
 

Для :

Для :

 

Пример  системы 

      Двухзвенный манипулятор. Состоит из двух абсолютно твердых тел, которые скреплены друг с другом и с неподвижным основанием с помощью шарниров. Оси шарниров параллельны. Манипулятор может двигаться в плоскости, перпендикулярной осям шарниров.

     Матрицы А и В этой системы иеют вид:

     

     Матрица управляемости К системы:

     

. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Список  литературы:

Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления: Учеб. Пособие для втузов.–М.: Высш. шк., 1989.