Методы решения

Введение

Метод  математического  моделирования находит в настоящее  время широкое применение в различных  областях знаний, и именно через  него математика находит все новые  и новые приложения.

Система знаний является и  важной составной частью познавательной деятельности, и ее результатом. Это объясняется тем, что формирование и развитие системы знаний происходит путем постепенного наращивания уже имеющихся знаний в процессе учебной деятельности с помощью общелогических и специальных приемов мышления, а также тех знаний, которые уже получены в предшествующем обучении. На голом месте, без всяких исходных знаний невозможна никакая познавательная деятельность. Это обстоятельство еще раз подтверждает необходимость целесообразного сочетания методов обучения готовым знаниям с методами обучения деятельности по приобретению новых знаний.

Выбор и правильное сочетание  различных методов обучения в  конкретных учебных ситуациях –  сложная педагогическая проблема, решение  которой требует знаний, умений и  педагогического мастерства. Нет и принципиально невозможен универсальный метод обучения, который, если только его строго придерживаться, гарантирует успех независимо от специфики содержания обучения, уровня умственной деятельности учащихся, умений и педагогического мастерства учителя.

Общественная роль задач  в обучении математике и развитии математического мышления учащихся. Усвоение математических знаний и уровень  математического развития учащихся всегда проверялись, проверяются и, по-видимому, будут проверяться с  помощью решения задач. Поэтому проблема методов обучения математике включает  и проблему методов обучения решению задач.

Как научить учащихся решать задачи? Это одна из наиболее сложных  и важных педагогических проблем. Ей посвящена специальная глава. Здесь мы рассмотрим лишь подготовку учащихся к решению разного рода задач. Школьная математика, особенно алгебра, полна разного рода алгоритмов для решения стандартных задач разнообразных классов, от задачи сложения многозначных чисел («в столбик») до задач дифференцирования и интегрирования определенных классов функций. Как изучать эти алгоритмы, оставляющие важную часть учебного материала? Можно, разумеется, разъяснить учащимся эти алгоритмы в готовом виде. Это, однако,  малоэффективная методика.  Методы обучения, ориентированные главным образом на развитие активной познавательной деятельности учащихся, требуют научить учащихся отыскивать и описывать общие методы (алгоритмы) решения классов однотипных задач с помощью анализа и обобщения способов решения частных задач, принадлежащих этим классам.

В школьной математике имеется  и большое разнообразие нестандартных задач (на доказательство, преобразование алгебраических выражений и т. Д.). Нестандартные задачи часто сводятся к некоторым стандартным задачам, и возникает необходимость в использовании соответствующих алгоритмов. Таким образом, знание алгоритмов необходимо для решения не только стандартных, но и нестандартных задач.

Методы обучения используются во взаимной связи. Трудно обнаружить в процессе преподавания (при изучении достаточно содержательного фрагмента  учебного материала) применение одного только метода в чистом виде. Универсального метода обучения не существует, и вряд ли можно жестко регламентировать выбор  того или иного метода  обучения. В основе выбора и сочетания различных  методов обучения лежат как объективные факторы (цели и содержание обучения), так и субъективные (учитель, учащиеся).

Цели и содержание обучения не определяют однозначно методы обучения. Одно и тоже содержание может быть изучено различными методами, причем так, чтобы во всех случаях достигались цели обучения. С другой стороны, одни и те же методы обучения, применяемые разными учителями, могут дать различные результаты, так как преподавание не только наука, но и искусство.

Глава I. Обучение математике через задачи

§1. Образовательное значение математических задач

Обучающая роль математических задач. Обучающую роль математические задачи выполняют при формировании у учащихся системы знаний, умений и навыков по математике и ее конкретным дисциплинам. Следует выделить несколько  видов задач по их обучающей роли.

Задачи для  усвоения математических понятий. Известно, что формирование математических понятий хорошо подходит при условии тщательной и кропотливой работы над понятиями, их определениями и свойствами. Чтобы овладеть понятием, недостаточно выучить его определение, необходимо разобраться в смысле каждого слова в определении, четко знать свойства изучаемого понятия. Такое знание достигается прежде всего при решении задач и выполнении упражнений. Так, для усвоения понятий логарифма большую пользу принесут упражнения в переходе от записей с показательными функциями и их значениями к записям в логарифмической форме, и наоборот, в решении простейших логарифмический уравнений, содержащих переменное как под знаком логарифма, так и в его основании, в формировании определения логарифма для конкретного заданного числа при конкретном же заданном основании, в применении тождества a^log_a^x=x, a>0, а≠1, х>0. Весьма полезны и такие задачи: 1. Является ли корректным определение: «Показатель степени, удовлетворяющий равенству a^x=b, называется логарифмом числа b по основанию a»? Поясните свой ответ.

2. Проанализируйте следующую  формулировку: «Логарифмом данного  числа по данному основанию является показатель степени».Как уточнить эту формулировку, чтобы она явилась определением логарифма?

Задачи для  овладения математической символикой. Одной из целей обучения математике является овладение математическим языком и , следовательно, математической символикой. Простейшая символика вводится еще в начальной школе в IV-V классах (знаки действий, равенства и неравенства, скобки, знаки угла и его величины, параллельности и т.д.). Правильному употреблению изучаемых символов надо обучать, раскрывая при решении задач их роль и назначение. Приведенные далее задачи способствуют пониманию роли скобок и учат их верному употреблению.

3. Прочитайте записанные выражения, вычислите их значения, укажите роль скобок. В каких из выражений скобки не изменяют порядок действий:

 4. Вычислите, поясните порядок действий и роль скобок:

Существенное значение в  овладении изучаемой символикой имеет правильное ее применение при  записи решений задач. Учитель должен внимательно следить за грамотным  применением математических символов в записях. Нельзя признать правильными  такие, например, записи: «p<2 на 3», «Докажем ┴-ность прямых a и b» и др. Следовало бы записать в первом случае: «p меньше, чем 2, на 3» или «2 – p=3», или «p+3=2», или «2-3=p», а во втором: «Докажем, что a┴b».

Задачи для  обучения доказательствам. Обучение доказательствам – одна из важнейших целей обучения математике.

Простейшими задачами, с решения которых практически начинается обучение доказательствам, являются задачи-вопросы и элементарные задачи на исследование. Решение таких задач заключатся в отыскании ответа на вопрос и доказательстве его истинности.

Задачи-вопросы обычно требуют  для своего решения (доказательства истинности ответа) установления одной  импликации, одного логического шага от данных к доказываемому. Доказательство же при решении более сложной задачи или доказательство теоремы представляет собой цепочку шагов-импликаций.

Целью решения задач-вопросов является и осознание, уточнение  и конкретизация изучаемых понятий  и связей между ними. Задачи-вопросы необходимы также для усвоения учащимися вводимой символики и используемого языка. Примеры задач-вопросов:

5.  x>y. Обязательно ли x²>y²?

6. Могут ли две биссектрисы  треугольника быть перпендикулярными?  А две высоты?

Существенную роль в обучении доказательствам играют упражнения в заполнении пропущенных слов, символов и их сочетаний в тексте готового доказательства. Аналогичные упражнения довольно часто применяются при  изучении русского языка, на уроках же математике они встречаются редко, в учебниках и задачниках их нет  вовсе. Начинать надо с достаточно простых  задач. Например:

7. Докажите, что длинна гипотенузы прямоугольного треугольника больше длины его катета.

Рассмотрим прямоугольный  ∆АВС, у которого ∟С=90^о, АС и … его катеты, … - гипотенуза (рис.). Точка С является … точки В на …, так как ВС … СА. По теореме о перпендикуляре и … ВС … … АВ.

Аналогично, точка … является … точки А на прямую ВС, так  как … ┴ … . Поэтому … < … (на основании теоремы … ).

Задачи на доказательство должны предлагаться при изучении всех математических дисциплин и практически  могут решаться во всех ее разделах.

В курсе математики IV – V классов практически не проводятся, но могут быть  предложены простейшие задачи-вопросы, а для отдельных учащихся и задачи на доказательство. Примеры:

8. Пусть a≠0, b≠0. Верно  ли, что a+b≠0

9. Исходя из правил  умножения рациональных чисел  и выполнимости переместительного  закона умножения для положительных  чисел, докажите, что переместительный  закон умножения верен для  произведения любых двух рациональных  чисел.

В курсе алгебры VI – VIII классов часто применяются задачи на доказательство тождеств и неравенств, на доказательство некоторых свойств функций и т. д. Например:

10. 1) Дано: BD┴АС, АВ=ВС. Доказать: АD=DС (рис.).

2) Дано: ВD┴АС, АD=DС. Доказать: АВ=ВС.

Предлагаются задачи на доказательство геометрических тождеств и неравенств и, конечно, задачи на доказательство –  внепрограммные теоремы. Немало задач  на доказательство решают учащиеся при  изучении стереометрии.

В курсе математики IX – X классов задачи на доказательство следовало бы решать при изучении всех его разделов. Примеры:

11. Докажите, что среди рациональных чисел не существует такого, квадрат которого равен: 1) 3; 2) 5; 3) 6; 4) 7; 5) 101.

Обучающую   роль играют и задачи,   предваряющие изучение новых математических фактов, концентрирующие  внимание учащихся на вновь изучаемых  идеях, понятиях и методах математики, задачи, с помощью которых вводятся новые понятия и методы, задачи, создающие проблемную ситуацию с целью приобретения учащимися новых знаний. Здесь же следует рассмотреть и задачи, с помощью которых подготавливается  сложное для  учащихся  доказательство теоремы.

Созданию проблемной ситуации для введения и изучения способов решения квадратных уравнений послужит задача, приводящая к такому   уравнению.   Например:

12.  Теплоход прошел  по течению реки 48 км и вернулся  обратно, затратив на весь путь 5 ч. Скорость течения реки 4 км/ч.  Вычислите собственную скорость  теплохода.

Если обозначить собственную  скорость теплохода v км/ч, то для решения задачи можно составить уравнение которое сводится к квадратному уравнению

Так возникает проблема изучения способов решения квадратных уравнений.

К изучению показательной  функции можно подойти при  решении следующей задачи:

13.   Вычислите  стоимость   оборудования   по   истечении   4-летней эксплуатации, если первоначальная  стоимость 10 000 р., а ежегодное  уменьшение стоимости (амортизация)  составляет 5%.

Решение задачи приводит к  формуле

и при заданном   значении

Формула (1) задает показательную  функцию. Решение задачи служит хорошей  мотивировкой к детальному изучению показательной функции.

Полезно вспомнить, что решение  конкретных задач (например, о мгновенной скорости, о касательной, о плотности  стержня) приводит к понятию производной, а задачи о площади криволинейной трапеции, о работе переменной силы, действующей вдоль прямой, — к понятию интеграла.

Для подготовки к изучению более или менее сложных теорем, играющих серьезную роль в курсе  математики, могут быть предложены задачи, приводящие к формулировке теоремы, задачи на доказательство одного из промежуточных фактов в доказательстве теоремы и т. д. Так, перед доказательством теоремы Фалеса иногда полезно решить задачу:

16. Д а н о:    АВ = ВС, Доказать:

(рис. 28).

Решение этой задачи облегчит семиклассникам доказательство Довольно сложной для них теоремы Фалеса.

§2. Развивающее значение математических задач

1). Мыслительные умения, восприятие и память при решении задач. Решение математических задач требует применения многочисленных мыслительных умений: анализировать заданную ситуацию, сопоставлять данные и искомые, решаемую задачу с решенными ранее, выявляя скрытые свойства заданной ситуации; конструировать простейшие математические модели, осуществляя мысленный эксперимент; синтезировать, отбирая полезную для решения задачи информацию, систематизируя ее; кратко и четко, в виде текста, символически, графически и т. д. оформлять свои мысли; объективно оценивать полученные при решении задачи результаты, обобщать или специализировать результаты решения задачи, исследовать особые проявления заданной ситуации. Сказанное говорит о необходимости учитывать при обучении решению математических задач современные достижения психологической науки.

Исследованиями советских  психологов установлено, что уже  восприятие задачи различно у различных учащихся данного класса. Способный к математике ученик воспринимает и единичные элементы задачи, и комплексы ее взаимосвязанных элементов, и роль каждого элемента в комплексе. Средний ученик воспринимает лишь отдельные элементы задачи. Поэтому при обучении решению задач необходимо специально анализировать с учащимися связь и отношения элементов задачи. Так облегчится выбор приемов переработки условия задачи. При решении задач часто приходится обращаться к памяти. Индивидуальная память способного к математике ученика сохраняет не всю информацию, а преимущественно «обобщенные и свернутые структуры». Сохранение такой информации не загружает мозг избыточной информацией, а запоминаемую позволяет дольше хранить и легче использовать. Обучение обобщениям при решении задач развивает, таким образом, не только мышление, но и память, формирует «обобщенные ассоциации». При непосредственном решении математических задач и обучении их решению необходимо все это учитывать. 2) Обучение мышлению. Эффективность математических задач и упражнений в значительной мере зависит от степени творческой активности учеников при их решении.

Собственно, одно из основных назначений задач и упражнений и  заключается в том, чтобы активизировать мыслительную деятельность учеников на уроке.

Математические задачи должны прежде всего будить мысль учеников, заставлять ее работать, развиваться, совершенствоваться. Говоря об активизации мышления учеников, нельзя забывать, что при решении математических задач учащиеся не только выполняют построения, преобразования и запоминают формулировки, но и обучаются четкому мышлению, умению рассуждать, сопоставлять и противопоставлять факты, находить в них общее и различное, делать правильные умозаключения.

Правильно организованное обучение решению задач приучает к полноценной  аргументации со ссылкой в соответствующих  случаях на аксиомы, введенные определения  и ранее доказанные теоремы. С  целью приучения к достаточно полной и точной аргументации полезно время от времени предлагать учащимся записывать решение задач в два столбца: слева — утверждения, выкладки, вычисления, справа — аргументы, т. е. предложения, подтверждающие правильность высказанных утверждений, выполняемых выкладок и вычислений.

Задачи, активизирующие мыслительную деятельность учащихся. Эффективность учебной деятельности по развитию мышления во многом зависит от степени творческой активности учащихся при решении математических задач. Следовательно, необходимы математические задачи и упражнения, которые бы активизировали мыслительную деятельность школьников. А. Ф. Эсаулов [26] подразделяет задачи на следующие виды:   задачи, рассчитанные на воспроизведение (при их решении опираются на память и внимание); задачи, решение которых приводит к новой, неизвестной до этого мысли, идее; творческие задачи. Активизирует и развивает мышление учащихся решение задач двух последних видов. Рассмотрим некоторые из них.

а)  Задачи   и   упражнения,     включающие   элементы   исследования.    Простейшие исследования  при решении задач следует предлагать уже с первых уроков алгебры и геометрии и даже на уроках математики в IV—V классах. Например:

1.  Существуют ли  числа,  обратные самим себе?  Сколько  таких чисел? Назовите их.

2.При каких значениях  а и b верны: а) равенства б) неравенства

3.   Установите вид  треугольника (классифицируя по  углам), если один из его внутренних  углов: 1) равен сумме двух других; 2) больше ее; 3) меньше ее.

В последующих классах  следует предлагать не только задачи с элементами исследований, но и  задачи, включающие исследование в  качестве обязательной составной части. Такие исследования необходимо включаются в решение многих геометрических задач на построение (как в планиметрии, так и в стереометрии), уравнений и неравенств (особенно тригонометрических, показательных и логарифмических с параметрами) и др. Задачи и упражнения с выполнением некоторых исследований могут найти свое место во всех разделах школьного курса математики, например при изучении действительных чисел в IX классе.

4.   Все десятичные  приближения по недостатку к  действительному числу начиная с некоторого, совпадают. Рациональным или иррациональным является число

И конечно же, исследования находят широкое применение при  изучении функций и их свойств  в курсе алгебры и начал  анализа.

б)  Задачи   на доказательство  (см.   3).) доказывают существенное влияние на развитие мышления учащихся. Именно при выполнении  доказательств  оттачивается  логическое  мышление учеников, разрабатываются логические схемы решения задач, возникает потребность учащихся в обосновании математических фактов.

в)  Задачи    и   упражнения   в   отыскании   ошибок также играют значительную роль в развитии   математического мышления учащихся. Такие задачи приучают обращать внимание на особо тонкие места в логических рассуждениях, помогают различать во многом сходные понятия, приучают к точности суждений и математической строгости и т. д. Первые упражнения в отысканий ошибок должны быть несложными, например:

5. Ученик выполнил  сокращение  дроби  так:   перечеркнул в числителе а в знаменателе _у, написав над букву у затем перечеркнул — 4 и 2, записав над — 4 число — 2.

Правильно ли выполнено сокращение? Объясните.

Задачи в отыскании  ошибок следует постепенно усложнять. К числу таких задач относится и отыскание ошибок, допущенных в известных математических софизмах. Разбор софизмов прививает навыки правильного мышления. Обнаружить ошибку в софизме —значит осознать ее, а осознание ошибки предупреждает от ее повторения в других рассуждениях. Разбор софизмов развивает наблюдательность, вдумчивое и критическое отношение к изучаемому, воспитывает у учащихся критичность мышления. Математические софизмы приучают тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записей и чертежей при решении задач, за допустимостью обобщений и т. д.   К тому же разбор софизмов увлекателен. Примеры софизмов:

6.Имеем верное числовое  равенство 16 — 36 = 25 — 45, отсюда

 или

. В чем заключается ошибка?

§3.  Воспитательная роль математических задач.

Процесс обучения теснейшим образом связан с воспитанием учащихся. В советской школе обучение не мыслится в отрыве от воспитания. Обучая решению математических задач, учитель математики в то же время воспитывает учащихся, формирует у них качества, присущие советскому общественному строю.

Но воспитательное воздействие  на учащихся оказывают и сами математические задачи. В п. 1.4 говорилось о воспитательном воздействии фабулы, сюжета задачи. Воспитанию советского патриотизма существенно помогает решение задач, составленных по материалам наших пятилетних планов, сводок и сообщений ЦСУ СССР о выполнении планов развития народного хозяйства.  Такие задачи может составлять и учитель математики.

Возбуждению и развитию интереса к изучению математики способствует решение задач, предваряющих изучение новых математических сведений, создающих проблемную ситуацию. Но интерес к математике поддерживается и с помощью решения увлекательных и занимательных задач, старинных задач и т. д., так что и в проявлении интереса учащихся к математике, в воспитании увлеченных математикой учеников не  последнюю роль   играют математические задачи.

Правильно организованное решение  задач воспитывает у учащихся трудолюбие, особенно при самостоятельном решении задач. При решении задач формируются некоторые навыки умственного труда учащихся: усидчивость, внимательность, сосредоточенность. Решение трудных задач требует от учащихся проявления настойчивости в преодолении трудностей, упорства в достижении целей. При этом воспитывается и развивается чувство долга и ответственности учащегося за приобретение математических знаний, умений и навыков. Решения задач учащиеся записывают в тетради, учитель показывает различные формы записей решения, воспитывая тем самым у ' учащихся аккуратность. Поиск рационального пути решения приучает к аккуратности и лаконичности записей в тетрадях по математике. Этому способствует и по возможности точное выполнение чертежей с помощью различных чертежных инструментов.

2.3. Воспитательная роль  математических задач. Процесс  обучения теснейшим образом связан с воспитанием учащихся. В советской школе обучение не мыслится в отрыве от воспитания. Обучая решению математических задач, учитель математики в то же время воспитывает учащихся, формирует у них качества, присущие советскому общественному строю.

Но воспитательное воздействие  на учащихся оказывают и сами математические задачи. В п. 1.4 говорилось о воспитательном воздействии фабулы, сюжета задачи. Воспитанию советского патриотизма существенно помогает решение задач, составленных по материалам наших пятилетних планов, сводок и сообщений ЦСУ СССР о выполнении планов развития народного хозяйства.  Такие задачи может составлять и учитель математики.

Возбуждению и развитию интереса к изучению математики способствует решение задач, предваряющих изучение новых математических сведений, создающих проблемную ситуацию (см. 2.1). Но интерес к математике поддерживается и с помощью решения увлекательных и занимательных задач, старинных задач и т. д., так что и в проявлении интереса учащихся к математике, в воспитании увлеченных математикой учеников не  последнюю роль   играют математические

задачи.

Правильно организованное решение  задач воспитывает у учащихся трудолюбие, особенно при самостоятельном решении задач. При решении задач формируются некоторые навыки умственного труда учащихся: усидчивость, внимательность, сосредоточенность. Решение трудных задач требует от учащихся проявления настойчивости в преодолении трудностей, упорства в достижении целей. При этом воспитывается и развивается чувство долга и ответственности учащегося за приобретение математических знаний, умений и навыков. Решения задач учащиеся записывают в тетради, учитель показывает различные формы записей решения, воспитывая тем самым у ' учащихся аккуратность. Поиск рационального пути решения приучает к аккуратности и лаконичности записей в тетрадях по математике. Этому способствует и по возможности точное выполнение чертежей с помощью различных чертежных инструментов.

Решение математических задач у  учащихся воспитывает особый математический стиль мышления. По А. Я- Хинчину [24], такой стиль характеризуется  соблюдением формально-логической схемы рассуждений (построение импликаций при доказательстве с использованием правил вывода, соблюдение схемы «анализ—построение — доказательство — исследование» при решении геометрических задач на построение и т. д.), лаконичным выражением мыслей как в словах, так и в записях (чему в немалой степени способствует применение математической символики), четким расчленением хода мышления (уже начиная с решения арифметических задач «по действиям»), точностью применяемой символики. Такой стиль мышления также приучает к аккуратности.

Большую роль играют математические задачи в осуществлении политехнического воспитания. С помощью задач, решаемых на уроках математики, учащиеся знакомятся с ролью математики в других науках. Но нельзя забывать и значение других наук для математики. Задачи других наук, приводящие к новым математическим понятиям, приемам и методам решения, тоже имеют немаловажное значение для политехнического воспитания учащихся.

Политехническому воспитанию способствуют практические задачи, например, такие:

1.  Арка моста имеет  форму дуги параболы (рис. 32). Высота  арки 2 м, а длина стягивающей  ее хорды 24 м. Арка имеет  5 вертикальных стоек, укрепленных  в точках хорды и делящих  эту хорду на части равной  длины. Вычислите длины стоек.

2.   На прямолинейной  железной дороге надо построить  платформу для остановки поездов  так, чтобы сумма расстояний  от платформы до двух населенных  пунктов А и В была наименьшей. Решите задачу с помощью циркуля  и линейки.

Математические задачи имеют  значение и в воспитании диалектико-материалистического  мировоззрения учащихся. Ф. Энгельс  в «Анти-Дюринге» писал: «...математика переменных величин, самый значительный отдел, который составляет исчисление бесконечно малых, есть по своей сущности не что иное, как применение диалектики к математическим отношениям». Таким образом, в воспитании диалектико-материалистического мировоззрения учащихся положительную роль играют некоторые задачи начал анализа, приложений начал анализа в геометрии, физике, астрономии. Задачи о радиоактивном распаде вещества, о росте населения страны приводят к дифференциальному уравнению показательного роста или убывания у'= ky. Это уравнение, являющееся математической моделью явления, схематизирует его. Поэтому модель дает правильные результаты лишь в некоторых пределах, в частности при решении задачи о росте населения лишь при большой численности населения и не слишком малых промежутках времени. За этими пределами, пишет в [81 А. Н. Колмогоров, «...математическая модель теряет реальный смысл и при ее бездумном применении приводит к ошибочным или бессмысленным результатам». В [8] рассматривается и более простой пример о движении подброшенного вверх мяча. В вопросах взаимоотношений «теории и действительности, математической модели и реального мира, — пишет А. Н. Колмогоров, — проявляется глубокая диалектическая взаимосвязь теории и практики». Учитель должен подчеркивать, что математические модели решаемых задач, модели действительности дают нам возможность получать вполне реальное знание о самой действительности, если действовать в пределах применимости модели.

Воспитывающий характер обучения математике

Воспитание «через обучение» - важный компонент воспитания

Глава II. Роль геометрических задач в процессе обучения