Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Методы сортировки массивов

СОДЕРЖАНИЕ:

Введение.

Около трех с половиной десятилетий минуло с тех пор, как в педвузах введено в качестве учебной дисциплины программирование для ЭВМ. При колоссальной скорости изменений в самом предмете, всегда существенно превышавшей скорость центральных издательских механизмов, специально ориентированные на программы педвузов книги выходили не чаще, чем раз в десятилетие – едва ли не соразмерно скорости смены поколений ЭВМ. Сегодня полки книжных магазинов ломятся от изданий по информатике. Однако преподавателю (а более всего студенту) специальные учебные книги, содержание и направленность которых отвечают заданному учебному плану и программе все-таки очень нужны. Сейчас помимо программирования на некоторых специальностях в педвузах введены и другие более сложные спецкурсы, находящиеся на стыке прикладной (дискретной) математики и информатики.

В данной курсовой работе можно познакомится с массивами и узнать о простых и сложных методах их сортировки, а также о том, какие из них наиболее эффективны и в каких случаях.

1. Задачи сортировки.

1.1.Общие положения.

Основная задача – продемонстрировать различные методы сортировки и выделить наиболее эффективные из них. Сортировка – достаточно хороший пример задачи, которую можно решать с помощью многих различных алгоритмов. Каждый из них имеет и свои достоинства, и свои недостатки, и выбирать алгоритм нужно, исходя из конкретной постановки задачи.

В общем сортировку следует понимать как процесс перегруппировки заданного множества объектов в некотором определенном порядке. Цель сортировки – облегчить последующий поиск элементов в таком отсортированном множестве. Это почти универсальная, фундаментальная деятельность. Мы встречаемся с отсортированными объектами в телефонных книгах, в списках подоходных налогов, в оглавлениях книг, в библиотеках, в словарях, на складах – почти везде, где нужно искать хранимые объекты.

Таким образом, разговор о сортировке вполне уместен и важен, если речь идет об обработке данных. Первоначальный интерес к сортировке основывается на том, что при построении алгоритмов мы сталкиваемся со многими весьма фундаментальными приемами. Почти не существует методов, с которыми не приходится встречаться при обсуждении этой задачи. В частности, сортировка – это идеальный объект для демонстрации огромного разнообразия алгоритмов, все они изобретены для одной и той же задачи, многие в некотором смысле оптимальны, большинство имеет свои достоинства. Поэтому это еще и идеальный объект, демонстрирующий необходимость анализа производительности алгоритмов. К тому же на примерах сортировок можно показать, как путем усложнения алгоритма, хотя под рукой и есть уже очевидные методы, можно добиться значительного выигрыша в эффективности.

Выбор алгоритма зависит от структуры обрабатываемых данных – это почти закон, но в случае сортировки такая зависимость столь глубока, что соответствующие методы разбили на два класса – сортировку массивов и сортировку файлов (последовательностей). Иногда их называют внутренней и внешней сортировкой, поскольку массивы хранятся в быстрой, оперативной, внутренней памяти машины со случайным доступом, а файлы обычно размещаются в более медленной, но и более емкой внешней памяти, на устройствах, основанных на механических перемещениях (дисках или лентах).

Прежде чем идти дальше, введем некоторые понятия и обозначения. Если у нас есть элементы а, a, …… , а то сортировка есть перестановка этих элементов в массив аk, ak, …… ,ak где ak <= ak <= ….. <= ak.

Считаем, что тип элемента определен как INTEGER .

Const n=???; //здесь указывается нужная длина массива

Var A: array[1..n] of integer;

Выбор INTEGER до некоторой степени произволен. Можно было взять и

другой тип, на котором определяется общее отношение порядка.

Метод сортировки называют устойчивым, если в процессе сортировки относительное расположение элементов с равными ключами не изменяется. Устойчивость сортировки часто бывает желательной, если речь идет об элементах, уже упорядоченных (отсортированных) по некотором вторичным ключам ( т.е. свойствам ), не влияющим на основной ключ.

1.2. Постановка задачи сортировки массивов.

Основное условие: выбранный метод сортировки массивов должен экономно использовать доступную память. Это предполагает, что перестановки, приводящие элементы в порядок, должны выполняться на том же месте т. е. методы, в которых элементы из массива а передаются в результирующий массив b, представляют существенно меньший интерес. Мы будем сначала классифицировать методы по их экономичности, т. е. по времени их работы. Хорошей мерой эффективности может быть C – число необходимых сравнений ключей и M – число пересылок (перестановок) элементов. Эти числа суть функции от n – числа сортируемых элементов. Хотя хорошие алгоритмы сортировки требуют порядка n*log n сравнений, мы сначала разберем несколько простых и очевидных методов, их называют прямыми, где требуется порядка n2 сравнений ключей. Начинать разбор с прямых методов, не трогая быстрых алгоритмов, нас заставляют такие причины:

Прямые методы особенно удобны для объяснения характерных черт основных принципов большинства сортировок.
Программы этих методов легко понимать, и они коротки.
Усложненные методы требуют большого числа операций, и поэтому для достаточно малых n прямые методы оказываются быстрее, хотя при больших n их использовать, конечно, не следует.

Методы сортировки “ на том же месте “ можно разбить в соответствии с определяющими их принципами на три основные категории:

Сортировки с помощью включения (by insertion).
Сортировки с помощью выделения (by selection).
Сортировка с помощью обменов (by exchange).

Теперь мы исследуем эти принципы и сравним их. Все программы оперируют массивом а.

Const n=<длина массива>

a: array[1..n] of integer;

2. Методы сортировки массивов.

2.1. Простые методы сортировки массивов.

2.1.1. Сортировка с помощью прямого включения.

Такой метод широко используется при игре в карты. Элементы мысленно делятся на уже “готовую” последовательность а, … , а и исходную последовательность. При каждом шаге, начиная с I = 2 и увеличивая i каждый раз на единицу, из исходной последовательности извлекается i- й элементы и перекладывается в готовую последовательность, при этом он вставляется на нужное место.

ПРОГРАММА 2.1. ССОРТИРОВКА С ПОМОЩЬЮ ПРЯМОГО ВКЛЮЧЕНИЯ.

PROGRAM SI;

VAR

I,J,N,X:INTEGER;

A:ARRAY[0..50] OF INTEGER;

BEGIN

WRITELN(‘Введите длину массива’);

READ(N);

WRITELN(‘Введите массив’);

FOR I:=1 TO N DO READ(A[I]);

FOR I:=2 TO N DO

BEGIN

X:=A[I];

A[0]:=X;

J:=I;

WHILE X<A[J-1] DO

BEGIN

A[J]:=A[J-1];

DEC(J)

END;

A[J]:=X

END;

WRITELN('Результат:');

FOR I:=1 TO N DO WRITE(A[I],' ')

END.

Такой типичный случай повторяющегося процесса с двумя условиями

окончания позволяет нам воспользоваться хорошо известным приемом

“барьера” (sentinel).

Анализ метода прямого включения. Число сравнений ключей (Ci) при i- м просеивании самое большее равно i-1, самое меньшее – 1; если предположить, что все перестановки из n ключей равновероятны, то среднее число сравнений – I/2. Число же пересылок Mi равно Ci + 2 (включая барьер). Поэтому общее число сравнений и число пересылок таковы:

Cmin = n-1 (2.1.) Mmin = 3*(n-1) (2.4.)

Cave = (n2+n-2)/4 (2.2.) Mave = (n2+9*n-10)/4 (2.5.)

Cmax = (n2+n-4)/4 (2.3.) Mmax = (n2+3*n-4)/2 (2.6.)

Алгоритм с прямыми включениями можно легко улучшить, если обратить внимание на то, что готовая последовательность, в которую надо вставить новый элемент, сама уже упорядочена. Естественно остановиться на двоичном поиске, при котором делается попытка сравнения с серединой готовой последовательности, а затем процесс деления пополам идет до тех пор, пока не будет найдена точка включения. Такой модифицированный алгоритм сортировки называется методом с двоичным включением ( binary insertion).

ПРОГРАММА 2.2. СОРТИРОВКА МЕТОДОМ ДЕЛЕНИЯ ПОПОЛАМ.

PROGRAM BI;

VAR

I,J,M,L,R,X,N:INTEGER;

A:ARRAY[0..50] OF INTEGER;

BEGIN

WRITELN('Введи длину массива');

READ(N);

WRITELN('Введи массив');

FOR I:=1 TO N DO READ(A[I]);

FOR I:=2 TO N DO

BEGIN

X:=A[I];L:=1;R:=I;

WHILE L<R DO

BEGIN

M:=(L+R) DIV 2;

IF A[M]<=X THEN L:=M+1 ELSE R:=M

END;

FOR J:=I DOWNTO R+1 DO A[J]:=A[J-1];

A[R]:=X

END;

WRITELN('Результат:');

FOR I:=1 TO N DO WRITE(A[I],' ')

END.

Анализ двоичного включения. Место включения обнаружено, если L=R. Таким образом, в конце поиска интервал должен быть единичной длины; значит, деление его пополам происходит I*log I раз. Таким образом:

C = Si: 1<=i<=n: [log I ] (2.7.)

Аппроксимируем эту сумму интегралом

Integral (1:n) log x dx = n*(log n – C) + C (2.8.)

Где C = log e = 1/ln 2 = 1.4426… . (2.9.)

2.1.2.Сортирвка с помощью прямого выбора.

Этот прием основан на следующих принципах:

Выбирается элемент с наименьшим ключом
Он меняется местами с первым элементом а1.
Затем этот процесс повторяется с оставшимися n-1 элементами, n-2 элементами и т.д. до тех пор, пока не останется один, самый большой элемент.

ПРОГРАММА 2.3. СОРТИРВКА С ПОМОЩЬЮ ПРЯМОГО ВЫБОРА.

PROGRAM SS;

VAR

I,J,R,X,N:INTEGER;

A:ARRAY[0..50] OF INTEGER;

BEGIN

WRITELN('Введи длину массива');

READ(N);

WRITELN('Введи массив');

FOR I:=1 TO N DO READ(A[I]);

FOR I:=1 TO N-1 DO

BEGIN

R:=I;

X:=A[I];

FOR J:=I+1 TO N DO IF A[J]<X THEN

BEGIN

R:=J;

X:=A[R]

END;

A[R]:=A[I];

A[I]:=X

END;

WRITELN('Результат:');

FOR I:=1 TO N DO WRITE(A[I],' ')

END.

Анализ прямого выбора. Число сравнений ключей (С), очевидно не зависит от начального порядка ключей. Для С мы имеем C = (n2 – n)/2 (2.10.).

Число перестановок минимально: Mmin = 3*(n-1) (2.11.).

В случае изначально упорядоченных ключей и максимально Mmax = n2/4 + 3*(n-1) (2.12.)

Определим Мavg . Для достаточно больших n мы можем игнорировать дробные составляющие и поэтому аппроксимировать среднее число присваиваний на i-м просмотре выражением Fi = ln i + g + 1 (2.13.), где g = 0.577216… - константа Эйлера.

Среднее число пересылок Mavg в сортировке с выбором есть сумма Fi с i от 1 до n

Mavg = n*(g + 1) + (Si: 1<=i<=n: ln i) (2.14.)

Вновь аппроксимируя эту сумму дискретных членов интегралом

Integral (1:n) ln x dx = x*(ln x – 1) = n*ln (n) – n + 1 (2.15.)

Получаем приблизительное значение

Mavg = n*(ln (n) + g) . (2.16.)

2.1.3. Сортировка с помощью прямого обмена.

Как и в методе прямого выбора, мы повторяем проходы по массиву, сдвигая каждый раз наименьший элемент оставшейся последовательности к левому концу массива. Если мы будем рассматривать как вертикальные, а не горизонтальные построения, то элементы можно интерпретировать как пузырьки в чане с водой, причем вес каждого соответствует его ключу.

ПРОГРАММА 2.4. ПУЗЫРЬКОВАЯ СОРТИРОВКА.

PROGRAM BS;

VAR

I,J,X,N:INTEGER;

A:ARRAY[0..50] OF INTEGER;

BEGIN

WRITELN('Введи длину массива');

READ(N);

WRITELN('Введи массив');

FOR I:=1 TO N DO READ(A[I]);

FOR I:=2 TO N DO

FOR J:=N DOWNTO I DO

IF A[J-1]>A[J] THEN

BEGIN

X:=A[J-1];

A[J-1]:=A[J];

A[J]:=X

END;

WRITELN('Результат:');

FOR I:=1 TO N DO

WRITE(A[I],' ')

END.

Улучшения этого алгоритма напрашиваются сами собой:

Запоминать, были или не были перестановки в процессе

некоторого прохода.

Запоминать не только сам факт, что обмен имел место, но и

положение (индекс) последнего обмена.

Чередовать направление последовательных просмотров.

Получающийся при этом алгоритм мы назовем “шейкерной” сортировкой (ShakerSoft).

Анализ пузырьковой и шейкерной сортировок. Число сравнений в строго обменном алгоритме C = (n2 – n)/2, (2.17.), а минимальное, среднее и максимальное число перемещений элементов (присваиваний) равно соответственно M = 0, Mavg = 3*(n2 – n)/2, Mmax = 3*(n2 – n)/4 (2.18.)

Анализ же улучшенных методов, особенно шейкерной сортировки довольно сложен. Минимальное число сравнений Cmin = n – 1. Кнут считает, что улучшенной пузырьковой сортировки среднее число проходов пропорционально n – k1n1/2, а среднее число сравнений пропорционально ½(n2 – n(k2 +ln n)).

ПРОГРАММА 2.5. ШЕЙКЕРНАЯ СОРТИРОВКА.

PROGRAM SS;

VAR

J,L,K,R,X,N,I:INTEGER;

A:ARRAY[0..50] OF INTEGER;

BEGIN

WRITELN('Введи длину массива’);

READ(N);

WRITELN('Введи массив');

FOR I:=1 TO N DO

READ(A[I]);

L:=2;

R:=N;

K:=N;

REPEAT

FOR J:=R DOWNTO L DO

IF A[J-1]>A[J] THEN

BEGIN

X:=A[J-1];

A[J-1]:=A[J];

A[J]:=X;

K:=J

END;

L:=K+1;

FOR J:=L TO R DO

IF A[J-1]>A[J] THEN

BEGIN

X:=A[J-1];

A[J-1]:=A[J];

A[J]:=X;

K:=J

END;

R:=K-1

UNTIL L>R;

WRITELN('Результат:');

FOR I:=1 TO N DO

WRITE(A[I],' ')

END.

Фактически в пузырьковой сортировке нет ничего ценного, кроме ее привлекательного названия. Шейкерная же сортировка широко используется в тех случаях, когда известно, что элементы почти упорядочены – на практике это бывает весьма редко.

2.2. Улучшенные методы сортировки массивов.

2.2.1.Метод Шелла.

В 1959 году Д. Шеллом было предложено усовершенствование сортировки с помощью прямого включения. Сначала отдельно сортируются и группируются элементы, отстоящие друг от друга на расстояние 4. Такой процесс называется четверной сортировкой. В нашем примере восемь элементов и каждая группа состоит из двух элементов. После первого прохода элементы перегруппировываются – теперь каждый элемент группы отстоит от другого на две позиции – и вновь сортируются. Это называется двойной сортировкой. На третьем подходе идет обычная или одинарная сортировка. На каждом этапе либо сортируется относительно мало элементов, либо элементы уже довольно хорошо упорядочены и требуют сравнительно немного перестановок.

ПРОГРАММА 2.6. СОРТИРОВКА ШЕЛЛА..

PROGRAM SHELLS;

CONST T=4;

H: ARRAY[1..4] OF INTEGER = (15,7,3,1);

VAR

I,J,K,S,X,N,M:INTEGER;

A:ARRAY[-16..50] OF INTEGER;

BEGIN

WRITELN('Введи длину массива');

READ(N);

WRITELN('Введи массив');

FOR I:=1 TO N DO

READ(A[I]);

FOR M:=1 TO T DO

BEGIN

K:=H[M];

S:=-K;

FOR I:=K+1 TO N DO

BEGIN

X:=A[I];

J:=I-K;

IF S=0 THEN S:=-K;

INC(S);

A[S]:=X;

WHILE X<A[J] DO

BEGIN

A[J+K]:=A[J];

J:=J-K

END;

A[J+K]:=X;

END;

WRITELN('Результат:');

FOR I:=1 TO N DO

WRITE(A[I],' ')

END.

Анализ сортировки Шелла. Нам не известно, какие расстояния дают наилучший результат. Но они не должны быть множителями один другого. Справедлива такая теорема: если k-отсортированную последовательность i-отсортировать, то она остается k-отсортированной. Кнут показывает, что имеет смысл использовать такую последовательность, в которой hk-1 = 3hk + 1, ht = 1 и t = [log2 n] – 1. (2.19.)

2.2.2.Сортировка с помощью дерева.

Метод сортировки с помощью прямого выбора основан на повторяющихся поисках наименьшего ключа среди n элементов, среди n-1 оставшихся элементов и т. д. Как же усовершенствовать упомянутый метод сортировки? Этого можно добиться, действуя согласно следующим этапам сортировки:

1. Оставлять после каждого прохода больше информации, чем просто идентификация единственного минимального элемента. Проделав n-1 сравнений, мы можем построить дерево выбора вроде представленного на рисунке 2.1.

44 12 18 06

44 55 12 42 94 18 06 67

РИСУНОК 2.1. ПОВТОРЯЮЩИЙСЯ ВЫБОР СРЕДИ ДВУХ КЛЮЧЕЙ.

2. Спуск вдоль пути, отмеченного наименьшим элементом, и исключение его из дерева путем замены либо на пустой элемент в самом низу, либо на элемент из соседний ветви в промежуточных вершинах (см. рисунки 2.2 и 2.3.).

Д. Уилльямсом был изобретен метод Heapsort, в котором было получено существенное улучшение традиционных сортировок с помощью деревьев. Пирамида определяется как последовательность ключей a[L], a[L+1], … , a[R], такая, что a[i] <= a[2i] и a[i] <= a[2i+1] для i=L…R/2.

Р. Флойдом был предложен некий “лаконичный” способ построения пирамиды на ”том же месте”. Здесь a[1] … a[n] – некий массив, причем a[m]…a[n] (m = [n DIV 2] + 1 ) уже образуют пирамиду, поскольку индексов i и j, удовлетворяющих соотношению j = 2i (или j = 2i + 1), просто не существует.

44 12 18

44 55 12 42 94 18 67

РИСУНОК 2.2.ВЫБОР НАИМЕНЬШЕГО КЛЮЧА.

Методы сортировки массивов 📙 Курсовая → 🆔 129129