Многоугольники на решетках

 

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ           3

1.Правильный треугольник  и квадрат       4

2. Правильные многоугольники        9

3. Полуправильные многоугольники       16

4. Формула Пика          20

5. Приложение Формулы  Пика. Применение Формулы Пика  при выполнении заданий ЕГЭ  – 2011 по математике        30

6. Решение задач           33

Список литературы          40

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

В работе будет изучаться вопрос о том, какие правильные, равноугольные и равносторонние многоугольники можно разместить на плоских решетках. Так же речь пойдет о формуле Пика для вычисления площадей многоугольников, которые расположены на решетках. Рассмотрим вопрос о применении Формулы Пика при выполнении заданий ЕГЭ – 2011 по математике. Будет решен ряд задач по означенным выше вопросам.

Проделанная работа реферативного характера.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.Правильный треугольник и квадрат

 

В этой главе будет изучаться  вопрос о том, какие правильные, равноугольные и равносторонние многоугольники можно разместить на плоских решетках. В дальнейшем мы будем говорить, что некоторый многоугольник расположен на какой-либо решетке, если все его вершины совпадают с узлами этой решетки.

Теорема 1.1[1]. Правильный треугольник нельзя расположить на целочисленной решетке Z².

Доказательство. Предположим, что какой-либо правильный треугольник можно расположить на решетке нужным образом и что начало координат находится в одной из его вершин, а две другие его вершины имеют координаты (a, b) и (c, d). Можно считать, что четыре целых числа a, b, c, d не имеют общих делителей, отличных от ±1. Последнее следует из того, что точки (0, 0), (a/k, b/k), (c/k, d/k) также являются вершинами правильного треугольника, если k —общий делитель всех четырех чисел (рис. 1.1).Так как                                                a² +b² = c² +d² = (a-c)² +(b-d)², то отсюда заключаем, что

a² +b² = c² +d² = 2(ac+bd).

 

                 Рис. 1.1

 

             Рис. 1.2

Следовательно,

а² +b² +c² +d² = 4(ac+bd),

т. е. сумма квадратов четырех  чисел делится на 4. Но тогда или  все четыре числа четные, или все нечетные. Первое невозможно потому, что эти числа, по нашему выбору, взаимно просты. Второе же невозможно потому, что тогда не выполняется соотношение

a² +b² = (a-c)² +(b-d)²,

так как его левая часть не делится на 4, а правая — делится. Полученное противоречие и доказывает сформулированное утверждение. Теорема доказана.

Теорема 1.2[1]. Не существует плоской решетки, содержащей одновременно квадрат и правильный треугольник.

Доказательство. Предположим противное, т. е.что на некоторой решетке L можно одновременно расположить правильный треугольник T = ABC и квадрат K = APQR (можно считать, что они имеют общую вершину A, см. рис. 1.3).

Начиная с квадрата K, построим решетку  L^’. Так как tg 60° = √3—

иррациональное число, то один из лучей [AB) или [AC) не содержит ни одного узла решетки  L₀, отличного от A; пусть это будет луч [AC).

                                           Рис. 1.3

На этом луче находится  бесконечно много узлов C₁, C₂, C₃, . . . решетки  L (рис. 1.3) и, более того, тангенс угла наклона этого луча с любой прямой, параллельной стороне PQ квадрата K, является числом иррациональным.

Обозначим через D_k «левую нижнюю» вершину квадрата решетки L^’, в который попала точка C_k. Для каждого k > 1 рассмотрим параллелограмм      AC_k D_k E_k . По правилу параллелограмма, все полученные таким образом точки E_k , являются узлами решетки L и расположены внутри квадрата APQR. Кроме того, все точки E_k различны, так как если E_k = E_k+m (рис. 1.3), то прямая D_k D_k+m параллельна прямой AC и проходит через узлы решетки L₀. Поэтому тангенс угла наклона прямой D_k D_k+m с прямыми, параллельными стороне PQ квадрата K, является рациональным числом, что невозможно.

Итак, внутри квадрата K находится  бесконечно много различных точек решетки  L, что означает, что найдутся два ее узла, которые находятся на произвольно малом расстоянии друг от друга. На решетках это невозможно и полученное противоречие доказывает теорему 1.2.

Замечание.  На решетке L_T , составленной из ромбов с длиной стороны 1 и с острым углом в 60°, легко можно разместить прямоугольный треугольник (рис. 1.4).

               Рис. 1.4

 

Помимо теоремы 1.2 можно доказать более сильный результат.

Теорема 1.3 (М.Кламкин,[1]). Никакой прямоугольный треугольник с целочисленными длинами сторон (пифагоров треугольник) нельзя расположить на решетке .L_Т .

Доказательство. Мы покажем немного больше: если прямоугольный треугольник можно расположить на решетке  L_T , то по крайней мере один из его катетов имеет длину a√3, где a — некоторое рациональное число. Для доказательства заметим, что если a и b — два единичных вектора, задающих решетку  L_Т , то (a, b) = 1/2. Если ABC — прямоугольный треугольник с прямым углом C, то

____

CB =x∙a + y∙b,

____

CA = ua + vb для некоторых  целых чисел x, y, u, v; кроме того,

      ____     ____

( CB, CA) = 0 и, тем самым, x∙(2∙u+v)+y∙(u+2∙v) = 0.

Отсюда следует, что существует рациональное число t такое, что

x = t∙(u+2∙v) и y = -t∙(2∙u+v). Поэтому

    ____

| CB|² = x² +x∙y +y² = t²∙[(u+2∙v)² -(u+2∙v)∙(2∙u+v)+(2∙u+v)²] =

                                                                   ___

= 3∙t²∙(u² +u∙v +v²) = 3∙t²∙| CA|².

Следовательно,CB =√3∙|t|∙CA, что завершает доказательство сформулированного выше утверждения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Правильные  многоугольники

 

 

Правильный пятиугольник, так же как и правильный треугольник, нельзя поместить ни на целочисленную решетку Z² в плоскости, ни на решетку Z³ в пространстве. Чтобы это доказать, заметим, что если провести все диагонали правильного пятиугольника (рис. 2.1), то точки их взаимного пересечения являются, как хорошо известно, вершинами так же правильного пятиугольника, подобного исходному с коэффициентом ((√5 - 1)/2)² < 1.

           Рис. 2.1

Теперь предположим, что  существуют какие-либо правильные пятиугольники, которые можно расположить на Z² и выберем тот из них, который имеет наименьшую сторону. У него проведем все диагонали. Тогда, по правилу параллелограмма, все вершины меньшего пятиугольника также будут являться узлами решетки (рис. 2.1), который имеет длину стороны меньше, чем исходный. А это противоречит выбору исходного пятиугольника. Так как правило параллелограмма выполняется на любой решетке, то мы, в действительности, доказали, что не существует ни одной решетки L куда можно было бы поместить правильный пятиугольник.

Полный ответ о правильных многоугольниках на решетках завершает  следующее утверждение.

Теорема 2.1[1]. Плоский правильный n-угольник при n = 5 и n > 6 нельзя расположить ни на одной решетке на плоскости или в пространстве.

Доказательство. Предположим, что существует решетка L, на которой можно расположить плоский правильный n-многоугольник, n > 6. Выберем из всех таких правильных n-угольников тот, который имеет самую маленькую длину стороны.

 

                         Рис. 2.2

Рассмотрим произвольный узел решетки O и отложим от этой точки векторы, равные векторам, образующим стороны n-угольника (рис. 2.2).Ясно, что концы этих новых векторов являются вершинами правильного n-угольника и (по правилу параллелограмма) все вершины этого нового правильного n-угольника являются узлами решетки  L.

Отношение стороны нового многоугольника к длине старого  легко вычислить, так как новый правильный n-угольник вписан в окружность, радиус которой равен длине стороны исходного n-угольника — это отношение, следовательно, равно 2 sin(π/n). Так как 2∙sin(π/n) < 1 при всех n > 6, то построенный правильный n-угольник имеет сторону меньше, чем исходный. Это противоречит выбору многоугольника, а само противоречие завершает доказательство теоремы 2.1.

Отметим еще одно важное следствие доказанной теоремы, оформив его в виде отдельного утверждения.

Теорема 2.2[2]. 1. При любом натуральном q > 3 число cos(π/q) иррационально.

2. При любом натуральном  q ≥ 3 и q≠ 6 число sin(π/q) иррационально.

Доказательство. Предположим противное, т. е. что

cos π/q = m₁/n₁,

где m₁, n₁ — натуральные числа. Рассмотрим правильный 2q-угольник

A₀ A₁ A₂ . . .A_2q-1 , вписанный в окружность радиуса 1 с центром в начале координат (рис. 2.3), вершина A₀ которого совпадает с точкой (1, 0).

 

 

                     Рис. 2.3

Точка A_k имеет координаты (cos kπ/q, sin kπ/q) , k = 0, 1, 2, . . . , 2q -1.

Так как, по предположению, cos(π/q) является рациональным числом, то все числа вида cos(kπ/q) для указанных значений k также являются рациональными числами. Это следует из простого утверждения о том, что при любом натуральном k существуют многочлены с целыми коэффициентами T_k(x) и     U_k-1(x), степени которых равны k и k – 1 соответственно, и такие, что одновременно выполняются равенства

cos kα = T_k(cos α),

sin kα = sin α · U_k-1(cos α).

Для доказательства этого  утверждения применим индукцию. При k = 1 имеем T₁(x) = x и U₀(x) = 1. Индуктивный переход также не сложен:

cos(k +1)α = cos kα cos α-sin kα sin α = T_k(cos α) cos α-(1-cos² α)U_k-1(cos α),

sin(k +1)α = cos kα sin α-sin kα cos α = T_k(cos a) sin α+sin αU_k-1(cos α) cos α.

Многочлены T_k(x) и U_k(x) называются многочленами Чебышева 1-го и 2-го рода соответственно.

Таким образом,

cos kπ/q = T_k(cos π/q) = m_k/n_k,

 sin kπ/q = sin π/qU_{k-1  (}cos π/q )= r_k/s_k sin π/q, где m_k, n_k, r_k, s_k являются целыми числами.

Итак,

A_k = (m_k/n_k , r_k/s_k sin π/q ), k = 0, 1, . . . , 2q -1.

Приводя все дроби к общему знаменателю, получаем, что

A_k = (M_k/D, R_k/D sin π/q ), k = 0, 1, . . . , 2q -1.

Рассмотрим теперь все  точки на плоскости с координатами (n/D, m/D sin π/q ),

где числа m и n пробегают  все целые значения. Эти точки  образуют решетку, фундаментальным параллелограммом которой является прямоугольник со сторонами 1/D и (1/D) sin(π/q), причем все вершины правильного многоугольника A₀A₁A₂ . . .A _2q-1 являются узлами этой решетки. Так как 2q > 8, то по теореме 2.4 этого быть не может. Значит, предположение о том, что при   q > 3 число cos(π/q) является рациональным, неверно. Полученное противоречие завершает доказательство утверждения 1.

Для доказательства п. 2 можно  воспользоваться п. 1 и простым тригонометрическим тождествам sin π/q = cos_(π/2 –π/q ), рассмотрев сначала случай четного q, а затем—нечетного q. Теорема 2.2 полностью доказана.

Теорема 2.3[1]. Единственным правильным многоугольником на плоскости, все координаты вершин которого рациональны, является квадрат.

Данное утверждение примем без доказательства.

Теорема 2.4[1]. Имеют место следующие возможности.

а) При любом D квадрат  всегда можно расположить на K(D).

б) Если D = 2, то на K(2) можно  расположить только квадрат и правильный восьмиугольник.

в) Если D = 3, то на K(3) можно  расположить только квадрат и правильные треугольник, шестиугольник и двенадцатиугольник.

г) Если D ≠ 2 и D ≠ 3, то никакой правильный многоугольник, за исключением квадрата, на K(D) расположить нельзя.

K(D) = { z: z=a+i∙b; a, b∈Q(√D)},

Где D— натуральное число, свободное от квадратов,

Q(√D)— квадратичное поле, состоящее из чисел вида x+y∙√D, где x, y— рациональные числа.

Доказательство. Ясно, что квадрат можно расположить на K(D) при любом D.

Предположим теперь, что  некоторый правильный n-угольник при n ≠4 можно расположить на K(D). Тогда если a—сторона этого многоугольника и l —самая короткая его диагональ, то из теоремы косинусов (для треугольника, образованного этой диагональю и двумя соседними сторонами многоугольника) заключаем, что

l² = 2a² -2a² cos(π-2π/n) = 2a² +2a² cos 2π/n.

Таким образом, cos(2π/n) ϵ Q(√D). Кроме того, tg(2π/n) ϵ Q(√D). Следовательно, оба числа cos(2π/n) и sin(2π/n) лежат в Q(√D) и их степень не превосходит двух. (Напомним, что корни многочленов с рациональными коэффициентами называются алгебраическими числами. Степенью алгебраического числа a называется наименьшая возможная степень многочлена с рациональными коэффициентами, корнем которого является α. Например, все рациональные

числа имеют степень 1, а  степень корней квадратного уравнения  не превосходит 2.) Так как e^ix = cos x+i sin x, то число e^2πi/n также является алгебраическим и его степень не превосходит 4. C другой стороны, известно , что степень такого алгебраического числа (корня n-й степени из 1) равна φ(n), где φ(n) — функция Эйлера (ее значение равно числу всех взаимно простых с n натуральных чисел, меньших n).

Итак,  φ(n) ≤4.

На основе формулы f(n) = n

получаем: n ϵ {3, 4, 5, 6, 8, 10, 12}.

Тот факт, что ни при каком D правильные пятиугольник и десятиугольник нельзя расположить на K(D), следует  из того, что числа

tg 2π/5 = √(10+2√5)/(√5-1) , tg 2π/10 = tg π/5 = √(10-2√5)/(√5+1) не содержатся в Q(√D), так как они являются алгебраическими числами степени 4 .

Так как cos(π/4) = √2/2 ϵ Q(√D), то это возможно только при D = 2, т. е. правильный восьмиугольник можно расположить лишь на K(2). Тем самым доказан пункт г).

Аналогично , из равенств tg 2π/3 = - √3, tg π/3 = √3, tg π/ 6 = √3/3 следует, что если tg(π/6), tg(π/3) или tg(2π/3) лежит в Q(√D), то D = 3.

Другими словами, если на K(D) можно расположить (правильные) треугольник, или шестиугольник, или двенадцатиугольник, то с необходимостью D = 3.

Чтобы закончить доказательство теоремы, осталось заметить, что, рассмотрев окружность радиуса 1 c центром в начале координат и вписав в нее в одном случае восьмиугольник, а в другом случае — двенадцатиугольник (у которых одна вершина совпадает с точкой (1, 0)), мы завершим доказательства утверждений б) и в). Теорема 2.4 доказана.

Замечания. 1. Из правила параллелограмма на K(3) следует, что если это множество содержит только правильный треугольник, то оно обязательно содержит и правильные шестиугольник и двенадцатиугольник. Более того, если на K(3) можно расположить любой из этих трех многоугольников, то там содержатся и два других.

2.( И. Седошкин и Е.Мычка) : На каждой из правильных плоских мозаик (паркете), т. е. покрытии плоскости при помощи правильных многоугольников (быть может, разных типов), можно расположить только такие правильные многоугольники, которые «видны невооруженным глазом», т. е.составляющие мозаику многоугольники и их простейшие комбинации.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Полуправильные  многоугольники

 

 

Расширим класс рассматриваемых  многоугольников, а именно рассмотрим множество равноугольных (равносторонних) многоугольников — таких, у которых  все внутренние углы (все стороны) равны, но стороны (внутренние углы) могут  и отличаться друг от друга; пересечение  этих множеств составляет множество  правильных многоугольников. Подчеркнем, что в этих определениях ничего не говорится о выпуклости этих многоугольников. Примерами равноугольных многоугольников, расположенных на решетке, служат квадрат  и восьмиугольник (рис. 3.1 а). Частные случаи равносторонних многоугольников

изображены на рис. 3.1 б.

Для этих двух классов также  удается полностью изучить вопрос об их расположении на решетке Z².

Рис. 3.1

 

 

Теорема 3.1[1]. 1. Из всех возможных равноугольных многоугольников на решетке Z² можно расположить только прямоугольник и восьмиугольник.

2. Среди всех равносторонних  многоугольников на решетке Z² можно расположить многоугольник с любым четным числом сторон и нельзя расположить ни одного многоугольника с нечетным числом сторон.

Доказательство. 1. Будем считать, что n > 4, так как случай правильного треугольника уже подробно рассматривался ранее. То, что квадрат и равноугольный восьмиугольник можно расположить на решетке, видно из   рис. 3.1 a. Пусть теперь n > 4 и равноугольный n-угольник можно разместить на решетке Z². Тогда векторы, которые формируют его стороны, имеют целочисленные координаты (рис. 3.2) и угол между любыми двумя соседними векторами равен 2π/n.

Рис. 3.2

 

Будем считать точку O началом  координат; тогда угол между лучами [OP) и [OQ) равен 2π/n и tg(2π/n), как мы видели выше (указанные лучи проходят через узлы решетки), должен быть при n > 4 рациональным числом. А это, возможно только в том случае, когда n = 8; этим доказательство п. 1 теоремы заканчивается.

Для доказательства второго  утверждения будем поочередно делать две операции: добавлять к построенному многоугольнику квадрат и заменять квадрат на шестиугольник, равный исходному. Будем считать, что все дополнительные многоугольники пристраиваются с одной стороны (рис. 3.3 а). С каждым шагом общее число сторон увеличивается на 2, поэтому будут получены многоугольники с любым четным числом сторон.

 

Рис. 3.3

Теперь предположим, что  равносторонний многоугольник с  нечетным числом сторон n можно расположить  на решетке Z², и пусть v_k, k = 1, 2, . . . , n, — векторы, которые составляют этот многоугольник. Тогда все эти векторы имеют целые декартовы координаты, которые мы обозначим соответственно через    (x_k, y_k). Так как эти векторы образуют многоугольник и имеют равные длины, то выполняются следующие равенства

x₁ +x₂ +. . .+x_n = 0,

y₁ +y₂ +. . .+y_n = 0,

x²₁ +y²₁ = x²₂ +y²₂ = . . . = x²_n +y²_n = a², где через a обозначена длина стороны многоугольника (напомним, что a² —натуральное число). Можно считать, что a имеет наименьшее возможное значение среди всех равносторонних n-угольников, которые можно поместить на решетку (если это было не так, то мы выберем n-угольник именно таким; ).

Возводя каждое из первых равенств в квадрат, а затем складывая полученные результаты (с учетом последующих n равенств), получаем соотношение

na² = -2_.

Так как n нечетно, то a² —четное число. Предположим сначала, что a² делится на 4. Тогда из равенств x²_i+ y²_i = a² (i = 1, 2, . . . , n) следует, что все x_i и y_i четные. Значит, на решетке можно нарисовать новый равносторонний n-угольник, сторонами которого будут векторы v_i/2 длины a/2. Но это противоречит минимальности a.

Пусть теперь a² делится на 2, но не делится на 4. Тогда все числа x_i и y_i — нечетные, так как они удовлетворяют уравнению x²_i+ y²_i = a² . Таким образом, сумма _. является четным числом и поэтому a² делится на 4, что, как мы уже знаем, невозможно.

Теорема полностью доказана.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Формула Пика

 

В этой главе речь пойдет о формуле Пика для вычисления площадей многоугольников, которые расположены на решетках.

Теорема 4.1[1] (Г.Пик, [1] ). Для площади [P ] любого простого многоугольника P на решетке L имеет место формула:

[P ] =(N_i + 1/2N_e −1)S(L),

где N_i — число узлов решетки, расположенных строго внутри многоугольника, Ne — число узлов решетки, расположенных на его границе

(включая и вершины), и  S(L) — площадь фундаментального параллелограмма решетки.

Доказательство.

Рис. 4.1

 В теореме рассматриваются  только простые многоугольники, т. е. такие, у которых границей  является простая замкнутая несамопересекающаяся  ломаная, и к каждой вершине  примыкает ровно две стороны. 

Приступая к доказательству теоремы отметим, что любой простой  многоугольник имеет по крайней  мере одну диагональ, которая целиком  расположена внутри многоугольника. Отсюда и из принципа математической индукции следует, что простой многоугольник (не обязательно расположенный на решетке) можно разбить на (n−2) треугольника, все вершины которых являются вершинами исходного многоугольника; тем самым, если многоугольник находится на решетке, то все вершины полученных треугольников являются узлами решетки. Простым следствием этого является то, что сумма всех внутренних углов простого многоугольника равна (n − 2).

Вторым шагом в рассуждении  является доказательство того, что  любой простой многоугольник  на решетке можно разбить на примитивные  треугольники, т. е. на такие, которые  на своей границе и внутри себя не содержат узлов решетки, отличных от своих вершин. Чтобы это показать, воспользуемся принципом математической индукции.

Если треугольник является примитивным, то доказывать нечего. Если внутри треугольника ABC нет точек  решетки, но имеются узлы решетки  на его сторонах, то, выбрав любую  вершину, например A, соединим ее со всеми  узлами решетки, которые имеются  на противоположной этой вершине  стороне треугольника (рис. 4.2).

Рис. 4.2

 

Тогда все треугольники, кроме ABP и AQC, окажутся примитивными, а  у этих двух крайних треугольников  имеется по две стороны, которые  не содержат узлов решетки (рис. 4.2). Соединив точки P и Q с узлами решетки, находящимися соответственно на сторонах AB и AC, мы разобьем треугольники ABP и AQC на примитивные треугольники. Поэтому любой треугольник на решетке, не содержащий внутри себя узлов решетки, можно разбить на примитивные треугольники.

Общий случай сводится к  предыдущему. Пусть внутри данного  треугольника имеются узлы решетки. Выбрав один из них, соединим его отрезками  с вершинами исходного треугольника ABC (рис. 4.3). Проведенные отрезки разобьют ABC на три треугольника, которые внутри себя содержат меньше внутренних узлов решетки, чем их имел треугольник ABC. Поэтому, поступая аналогично с внутренними узлами решетки для каждого из полученных трех треугольников, мы разобьем каждый из них на треугольники с еще меньшим числом узлов решетки, которые находились в их «внутренностях». Так как мы имеем дело с конечным числом узлов решетки, то в какой-то  момент мы разобьем треугольник ABC на треугольники, каждый из которых внутри себя не содержит узлов решетки. Дальнейшее разбиение на примитивные треугольники теперь можно закончить, используя описанный выше процесс (рис. 4.2)

Рис. 4.3

 

Следующий шаг доказательства является центральным. Предположим, что  многоугольник P имеет k вершин (по условию — узлов решетки). Тогда на его границе имеется N_e−k узлов решетки, не являющихся вершинами многоугольника P; через N обозначим число примитивных треугольников в каком-либо его разбиении на такие треугольники многоугольника P. Мы покажем, что число N не зависит от способа разбиения (а они могут быть разными).

Каждый из узлов решетки, находящихся внутри P, участвует в разбиении на примитивные треугольники и сумма углов всех примитивных треугольников при каждом таком узле равна360° (см. рис. 4.4а). Поэтому сумма всех углов всех примитивных треугольников c вершинами во внутренних узлах решетки равна360°∙ N_i .

Каждый из узлов решетки, который находится на границе многоугольника P, но не является его вершиной, также участвует в разбиении и является вершиной некоторых примитивных треугольников (рис. 4.4б); сумма всех углов всех примитивных треугольников при таких вершинах равна

180°∙ (N_e−k).

Рис. 4.4

 

Наконец, сами вершины многоугольника также являются вершинами некоторых примитивных треугольников разбиения (рис. 4.4в). Сумма всех углов всех примитивных треугольников при таких вершинах равна сумме внутренних углов многоугольника P и, тем самым, равна180°∙ (k−2).

Таким образом, для суммы  всех углов всех примитивных треугольников, которая, с одной стороны, равна180°∙N, получаем равенство

180°∙N= 360°∙N_i + 180°∙(N_e−k) + 180°∙(k−2) и, следовательно, N= 2N_i +N_e−2.

В правой части этого равенства (которое является одним из вариантов формулы Эйлера) стоит число, которое не зависит от способа разбиения многоугольника P на примитивные треугольники, что и утверждалось.

Более того, это соотношение  завершает доказательство формулы Пика. Для этого достаточно заметить, что любой примитивный треугольник на решетке является половиной ее фундаментального параллелограмма и, тем самым, площадь любого примитивного треугольника на решетке L равна S(L)/2. Теорема полностью доказана.

Следующий результат «расширяет»  теорему Пика.

Теорема 4.2.[1] Следующие утверждения эквивалентны:

1. Для любого простого  многоугольника M на решетке L имеет место формула Пика:

S(M) = (N_i +1/2∙N_e−1)∙S(L).

2.Площадь примитивного  треугольника на решетке L равна S(L)/2.

3. В любом разбиении  простого многоугольника на примитивные треугольники для их числа N выполняется равенство:

N= 2N_i +N_e−2.

Доказательство. Докажем сначала, что из п. 3 следует п. 2. Чтобы

это установить, заметим  сначала, что площадь любого треугольника на

решетке L (а тем самым и любого многоугольника на ней) выражается

числом вида n ∙S( L)/2. Параллелограмм, расположенный на решетке L , стороны которого параллельны линиям решетки, очевидно, имеет площадь кратную S. Значит, площадь треугольника, который является половиной такого параллелограмма, имеет вид n∙S/2. То же самое можно сказать и про любой треугольник с вершинами в узлах решетки, поскольку он всегда может быть получен из параллелограмма отрезанием нескольких треугольников площади n∙S/2(см. рис. 4.5).

Отсюда, в частности, следует, что площадь любого треугольника не меньше S( L)/2.

Пусть T— любой примитивный треугольник и P— описанный около него минимальный параллелограмм.

Рис. 4.5

Из правила параллелограмма для решеток следует, что для примитивного треугольника T могут иметь место только две последних возможности из