Моделі особистого страхування

 

 

МАГІСТЕРСЬКА РОБОТА 
на тему

"МОДЕЛІ ОСОБИСТОГО СТРАХУВАННЯ"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Зміст

1. Вступ 3
2. Постановка задачі 7
3. Статистичні та ймовірнісні характеристики вікових контингентів 8
4. Страхові виплати на випадок смерті 13

4.1 Страхування зі сталими виплатами 14

4.2 Мішане страхування 16

4.3 Відтерміноване страхування 18

4.4 Страхування зі змінною сумою виплат 19

5. Страховівиплативкінці року смерті 24
6. Зв’язок між страхуванням з виплатою на момент смерті і  
   страхуванням з виплатою в кінці року смерті 34
7. Поняття про надбавку надійності. Брутто-премії 36
8. Застосування отриманих результатів 39
9. Інтерфейс програми 40

Висновки 44

Список використаної літератури 46

Додатки 47

 

1. Вступ

Світовий досвід свідчить, що ринок страхових послуг активно  сприяє розвитку економіки і розв’язанню соціальних проблем. Саме особисте страхування в розвинених країнах світу є важливим інструментом соціального захисту населення і могутнім джерелом інвестування національних економік.[7]

Особисте страхування  є поняттямширшим, ніж «класичне» страхування життя, і може бути визначене як угоди, укладені з окремими особами чи групами осіб на користь їх самих чи третіх осіб на випадок настання події, яка їх стосується особисто.

Особистим вважається:

• Страхування життя на випадок дожиття чи на випадок смерті;
• Операції, подібні до страхування життя (нагромадження, фінансові послуги, страхування ренти);
• Страхування на випадок інвалідності;
• Страхування на випадок тимчасової непрацездатності;
• Страхування від нещасних випадків на роботі чи внаслідок інших причин;
• Страхування на випадок хвороби;
• Страхування на випадок утрати роботи;
• Страхування на випадок необхідності в опіці (залежності).

В цій роботі розглядатимемо страхування життя.Страхування життя звичайно здійснюється у двох видах: страхування сум (капіталу) і страхування рент (ануїтетів).  В першому випадку при настанні страхового випадку (смерть, дожиття і т.д.) виплачується одноразово певна сума грошей[5]. В другому – страхова компанія проводить регулярні виплати застрахованому, причому початок виплат і їх тривалість залежать, як і в першому випадку від подій в житті застрахованого.

Ми розглянемо лише найпростіші  види страхових контрактів, проте  принципи розрахунків для них є універсальними і легко переносяться на складніші випадки.

Страхові контракти відносяться  до спеціального виду фінансових контрактів, і являють собою в найпростішому  випадку угоду між двома суб’єктами: страхувальником – особа, яка  страхується і страховиком –  особа, яка страхує страхувальника від певного ризику[3]. В страхуванні життя ризик, що страхується, відноситься до життєдіяльності страхувальника і визначається такими подіями, як смерть, хвороба, інвалідність, дожиття і т.д. В більшості випадків як самі події, так і терміни їх настання є випадковими.

Зауважимо, що, хоча смерть є  достовірною подією, випадковим є  термін її настання.

Фінансовий аспект страхового контракту полягає у взаємних фінансових зобов’язаннях. Зі сторони  страхувальника – це виплата певної суми, яка називається премією, зі сторони страховика – виплата  застрахованої суми чи ренти. Зобов’язаність виплати премії, як правило, безумовне  і відбувається або у вигляді  одноразової виплати при складанні  контракту, або у вигляді серії  виплат (строкові премії). Зі сторони  страховика зобов’язаність виплати  є умовною і пов’язана з  настанням (чи не настанням) певних страхових  подій. Ці страхові події відносяться  до класу випадкових, і терміни  їх настання є випадковими величинами[2]. Оскільки у фінансовій практиці дані суми в різні моменти часу мають різну поточну вартість, то вартість зобов’язань страховика є випадковою величиною, і наперед нічого не можна сказати про її точне значення. Проте страхові випадки в страхуванні життя відносяться до подій, для яких характерна статистична стійкість, тобто частоти їх настання, при великому числі страхових контрактів змінюються в малому діапазоні (закон великих чисел). Це дозволяє використовувати ймовірнісні і статистичні методи для оцінки премій і резервів по великій групі однорідних страхових контрактів. Тому баланс між надходженнями (преміями) і виплатами (страховими сумами) здійснюється не точним його досяганням для кожного окремого контракту, а по всій сукупності контрактів у цілому. Це досягається тим, що розрахунок премій здійснюється виходячи з середньої (очікуваної) величини зобов’язань по контрактах одного типу.

Мова йтиме про розрахунок вартостей страхового полісу(чистих премій або, як ще кажуть,  нетто-премій). Вартості страхового полісу обчислюються виходячи з рівності (балансу) зобов’язань страхувальника і страховика. Реальні чи брутто-премії, що назначаються по даному виду контрактів, містять так зване навантаження (надбавка надійності), ціль якого полягає в компенсації видатків компанії по здійсненню страхової діяльності, утворенню додаткових резервів і т.д. Фінансове забезпечення контрактів по страхуванню життя визначається в основному двома факторами.

Перший зв’язаний з  можливістю виписки прибутку на інвестований капітал, утворений резервами страхової  компанії. Ці резерви утворюються  з премій страхувальників, власного капіталу, нерозподілених прибутків  і т.д. В розрахунках, пов’язаних з преміями і резервами, цей фактор враховується у вигляді так званої технічної (очікуваної) процентної ставки. Реальне її значення пов’язане з  положенням на фінансовому ринку  і піддано коливанням, пов’язаними  зі зміненням кон’юнктури, інфляції і іншими причинами. Як правило, вибране  значення процентної ставки є більш-менш правдоподібною оцінкою майбутньої реальної процентної ставки.

Іншим фактором, що відіграє важливу роль в забезпеченні страхових  контрактів, є статистична оцінка страхових випадків, які в страхуванні  життя відносяться до демографічних  подій. Ця оцінка представлена в основному  в різних типах таблиць смертності. Ці два фактори в реальності завжди діють разом і в актуарних  розрахунках завжди враховуються.

В цій роботі розглядаються  моделі для страхування життя, призначені для того, щоб зменшити фінансові  збитки від настання випадкової події  несвоєчасної смерті. Відповідно до довготермінової  природи цього страхування, величина заробітку від вкладів до часу здійснення виплат становить основний елемент невизначеності. Ця невизначеність має дві причини: невідомий розмір заробітку та невідома тривалість періоду інвестування. Для того, щоб змоделювати невизначеність, яка стосується періоду інвестування, використовується ймовірнісний розподіл. Модель будується в термінах функції від , випадкової величини майбутньої тривалості життя особи, яка застрахувалася.

Всі поняття, які сформульовані  тут для страхування людського  життя, використовуються також у  страхуванні інших об’єктів, таких  як обладнання, машини, позики і ризик  бізнесу. Насправді загальна модель корисна у кожній ситуації, де розмір і час фінансових видатків можуть бути визначені виключно у термінах часу настання випадкової події.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Постановка задачі

Метою роботи є:

Обчислення актуарної  теперішньої вартості різних видів  страхування, використовуючи при цьому  дані із таблиці тривалості життя. Для  цього потрібно встановити зв’язок  між дискретною і неперервною  моделями страхування життя при  різних припущеннях про розподіл смертності між цілими роками.

Обчислення для кожного  виду страхування надбавки надійності при відомій кількості застрахованих  осіб для забезпечення визначеного  рівня надійності. А також зворотнє визначення кількості застрахованих, за фіксованих надбавки надійності та рівня надійності.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Статистичні та ймовірнісні характеристики вікових контингентів

Імовірнісні методи актуарних  розрахунків особистого страхування  спираються на стійкі статистичні закономірності тривалості  життя та настання смерті для зазначених груп населення. Характер цих закономірностей для певної сукупності людей залежить від різних факторів: національних, природно-кліматичних, соціально-економічних, професіональних  тощо. Найбільш сильно впливають такі чинники як вік та стать людини.

Джерелом даних для  актуарних моделей особистого страхування  є відомості демографічної статистики втілені у так званих таблицях смертності, що будуються на базі даних  про смертність та тривалість життя  однорідних груп населення (відносно вказаних вище факторів) по віку й статі. Стандартна таблиця смертності є набором  стовпчиків, що відповідають різним демографічним  показникам [3]. Рядки таблиці відповідають віковим контингентам, так що кожний рядок дає значення показників для певного віку , вираженого у роках. В повних таблицях показники подаються по віковим контингентам з інтервалом в один рік, у неповних - з інтервалом в 5 років. Фрагменти типової таблиці смертності наведені далі в таблиці 1. В першому стовпчику фігурує числа людей що дожили до віку з початкової популяції народжених. називається коренем таблиці смертності, найчастіше , але може бути іншим. Останній рядок таблиці відповідає граничному вікові тобто припускається, що .

Наступний стовпчик таблиці  дає число померлих у віці , . Третій стовпчик є значенням ймовірності вмерти протягом року людині у віці ;

 

 

 

Таблиця 1. Фрагменти таблиці  смертності.

Вік
X
0	100000	984	0,009840
1	99016	71	0,000717
2	98945	45	0,000455
3	98900	31	0,000313
4	98869	25	0,000253
5	98844	22	0,000223
…	…	…	…
10	98746	18	0,000182
…	…	…	…
15	98653	25	0,000253
…	…	…	…
20	98497	35	0,000355
…	…	…	…
40	97346	123	0,001264

 

Поряд з цими параметрами  вікових контингентів часто використовуються інші параметри. До них відносяться  ймовірність дожиття до віку людини у віці .

Звичайно для скорочення позначень замість пишуть , де , а також ймовірність померти людині у віці протягом наступних років:

_n , очевидно, що ₁

В актуарній теорії та розрахунках необхідно користуватися параметрами , , для довільного віку (дрібних віків). Для практичного одержання відповідних даних застосовують методи інтерполяції даних таблиці смертності ( що відносяться до цілих ). Найбільш просте ( і тому поширене) наближення одержується при припущенні про рівномірний розподіл смертей протягом року. Тоді число померлих і ймовірність смерті у віці протягом частини року пропорційні :

, _{u. Звідси u}

Окрім наведених статистичних характеристик вікових контингентів, в актуарній математиці використовуються наступні їхні імовірнісні характеристики:

1. Функція розподілу  протяжності життя для новонародженого (однакова для всіх новонароджених) де випадкова величина є віком на момент смерті;
2. Функція виживання ;
3. Залишкове життя людини віку (тоді ).

Функція монотонно зростає по (інакше в певних інтервалах часу смерть буде неможливою) та є неперервною (інакше будуть моменти часу, де смерть відбувається з додатною ймовірністю).

Очевидно, що для віків  будемо мати:

_t

І за визначенням умовної  ймовірності

Позначимо через  кількість тих, що дожили до моменту . Тоді це випадкова величина, що має сподіване значення (середнє) .

Легко перевірити наступні співвідношення:

,

,

 

Силою смертності для віку називається границя

.

Для спрощення розрахунків  іноді використовують наближені  аналітичні закони для  типу закону Гомперця або закону Мекхейма.

Знайдемо щільність розподілу залишкового часу життя . Маємо

 

Звідси випливає, що

_t.

Тому для  маємо таке диференціальне рівняння

,

Звідки

_t.

Отримані вирази для _tі _tвикористовуються у розрахунках премій в стандартних контрактах страхування життя.

Зауважимо, що в страхових  розрахунках замість  більш зручно використовувати цілочисельну випадкову величину , що відображує ціле число прожитих років з віку ([.]- тут показує цілу частину числа). приймає значення з множини і має розподіл

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Страхові виплати на випадок смерті

В цій роботі сума і час  платежів на страхування життя залежить тільки від довжини періоду з  часу купівлі полісу до смерті застрахованого. Модель розглядається з використанням  функції винагороди і функції дисконту . - це процентний дисконтний фактор з часу виплати назад до часу видачі полісу. - це довжина періоду від видачі полісу до здійснення виплати. Якщо мова йтиме про змішане страхування , то може бути більше або рівне довжині інтервалу часу від видачі полісу до моменту виплати.

При такій функції дисконту ми припускаємо, що відповідна інтенсивність  нарахування відсотків є визначеною. Це означає, що модель не передбачає ймовірнісного розподілу для інтенсивності нарахування відсотків. Ми будемо виписувати прості формули, які випливають з припущення про те, що інтенсивність нарахування відсотків не тільки визначена, але і стала.

Визначимо функцію теперішньої  вартості страхування  , таким чином

(1)

Таким чином - це теперішня ціна, в час видачі полісу, страхової виплати. Час, що минув з моменту видачі полісу до смерті застрахованого- випадкова величина майбутньої тривалості його життя Ця випадкова величина позначається через . Тому теперішня ціна в час видачі полісу страхових виплат є випадковою величиною . Якщо ситуація не вимагає введеня більш складних позначень, то ми позначаємо її через . Модель страхування базується на рівнянні

                                                   (2)

Випадкова величина - приклад випадкової величини, що описує страхові виплати.

Перший крок у аналізі  страхування життя полягає у  визначенні і . Наступний крок полягає у встановленні деяких характеристик ймовірнісного розподілу , що слідують з припущеного розподілу . Розглянемо кілька традиційних типів страхування.

В актуарній практиці прийнято страхову суму приймати за 1. Тоді обчислена  премія буде вказувати відносну долю, яку вона складає у страховій  сумі.

4.1 Страхування зі сталими виплатами

Страхування на випадок смерті на термін років передбачає виплати лише, якщо застрахований помирає протягом річного періоду з моменту видачі поліса. Якщо на випадок смерті виплачується одиниця, то

 

 

 

В цих рівняннях використовуються три твердження. По-перше, оскільки довжина життя невід ’ємна  величина, то , і визначені тільки на множині невід’ємних чисел. По-друге, для значення , при якому функція рівна нулю, значення не є суттєвим. Для таких ми задаємо значення з погляду зручності. По-третє, якщо не вказано протилежного, то інтенсивність нарахування відсотків припускається сталою величиною.

Математичне сподівання випадкової величини , що позначає теперішню вартість , називається актуарною теперішньою вартістю страхування позначаємо . Вік застрахованого на момент обчислення вказується в індексі. Актуарна теперішня вартість -річного страхування з виплатою 1 на випадок смерті , , позначається . Її можна обчислити, розглянувши як функцію від . Тоді використаємо розподіл , і отримаємо

                     (3)

-ий момент розподілуможна обчислити так

                         (4)

Другий інтеграл показує, що -ий момент дорівнює актуарній теперішній вартості - річного страхування з виплатою 1 на випадок смерті , обчисленій (виходячи з інтенсивності нарахування процентів, що рівна заданій інтенсивності нарахування процентів, домножена на ) з процентною ставкою , де -дана процентна ставка. Ця властивість називається правилом моментів. На додаток до існування моментів достатньою умовою для виконання правила моментів є відношення , для всіх , тобто для кожного величина виплати рівна 0 чи 1.З правила моментів слідує, що

                                 (5)

Де²- актуарна теперішня вартість - річного страхування з виплатою 1,обчисленій з процентною ставкою, рівною .

Пожиттєве страхування передбачає виплати на випадок смерті застрахованого в будь-який час в майбутньому. Якщо має виплачуватися 1 на випадок  смерті , то

,

 

 

 

Актуарна теперішня вартість

                              (6)

Для людини, що пройшла селекцію у віці , вік якої в даний момент дорівнює  
,актуарна теперішня вартість має вигляд

.                                            (7)

Пожиттєве страхування на випадок смерті являється граничним  випадком для страхування на випадок  смерті на термін років при .

4.2 Мішане страхування

- річне страхування на  дожиття передбачає виплату в  кінці - річного періоду лише в тому випадку, якщо застрахований прожив щонайменше - років з часу видачі йому полісу. Якщо сума виплат 1, то

 

 

 

Єдина невизначеність у страхуванні  полягає в тому, настане чи не настане страхова подія. Розмір і  час виплат, якщо страхова подія  настане, є визначеним. Актуарна теперішня  вартість такого страхування

                              (8)

                        (9)

- річне мішане страхування  передбачає виплату страхової  суми або після смерті застрахованого, або у випадку його дожиття  до кінця - річного періоду, залежно від того, що станеться швидше. Якщо страхова сума дорівнює 1, то маємо

 

 

 

Актуарна теперішня вартість позначається через . Оскільки для мішаного страхування , то

                             (10)

Це страхування можна  розглядати як комбінацію - річного страхування та - річного страхування на дожиття –в кожному випадку з страховою сумою 1. Нехай , , - випадкові величини , що означають теперішню вартість термінового страхового полісу, страхування на дожиття і мішаного страхування відповідно,в кожному з яких страхова виплата настає в момент смерті людини . Отже ми отримали, що

 

 

 

Звідси слідує, що

                                               (11)

Візьмемо математичне  сподівання з обох частин, і отримаємо

                                      (12)

За допомогою рівності (11) ми також можемо знайти :

                  (13)

Скориставшись формулою

                          (14)

І замітивши, що для всіх , ми отримаємо

                    (15)

Підстановка формул  (5), (9) і (15) в (13) призведе до формули для  в термінах актуарної теперішньої вартості для страхування на випадок смерті на термін років і для страхування на дожиття.

Оскільки актуарні теперішні вартості є додатні, то величина- від’ємна. Це можна було збагнути швидше, оскільки одна величина із пари завжди нульова, а друга додатня. З іншої сторони, коефіцієнт кореляції між випадковими величинами не є рівним -1, оскільки ці величини не зв’язані лінійною залежністю.

4.3 Відтерміноване страхування

-річне відтерміноване  страхування передбачає виплату  страхової суми або після смерті  застрахованого тільки в тому  випадку, коли застрахований помре  щонайменше через  років після видачі страхового поліса. Виплати і термін страхування можуть бути будь-яким з тих, які вже розглядалися. Наприклад для -річного відтермінованого по життєвого страхування з страховою сумою 1 ми маємо

 

 

 

Актуарна теперішня вартість такого страхування позначається через _m

_m                                       (16)

 

4.4 Страхування зі змінною сумою виплат

Загальну модель (1) можна  використати при аналізі страхування, за якого рівень виплат на випадок  смерті або зростає, або спадає за арифметичною прогресією протягом всього або частини періоду страхування. Такий страховий продукт часто  пропонується в якості додаткового  покриття, коли основний страховий договір забезпечує повернення періодично виплачуваних премій в момент смерті чи коли ануїтет містить гарантію того, що виплати будуть відповідати вказаній в ньому початковій премії. [6]

Пожиттєве страхування життя  зі щорічно зростаючими виплатами, яке передбачає виплату 1 у випадку  смерті застрахованого протягом першого  року, 2- у випадку смерті протягом 2-го року і т. д., характеризується наступними функціями

 

 

 

Де [ ] означає цілу частину числа.

Актуарна теперішня вартість такого страхування визначається наступним  чином

 

 

На відміну від страхування  з страховими виплатами , рівними 0 і 1, при відкорегованій інтенсивності нарахування відсотків, моменти вищого порядку не рівні актуарній теперішній вартості. Ці моменти можуть бути обчислені безпосередньо з допомогою їх визначень.

Збільшення страхової  виплати, про що сказано в страховому полісі, може відбуватися частіше або рідше, ніж один раз в рік. Для по життєвого страхування на випадок смерті зі страховою виплатою, що збільшується - раз в рік, виплати складають в момент смерті протягом першого з інтервалів, на які розбитий рік, в момент смерті протягом другого такого інтервалу і т. д., збільшуючись на   на кожному наступному інтервалі. Для такого страхування життя

 

 

 

Актуарна теперішня вартість це

 

Граничний випадок при  для по життєвого страхування на випадок смерті зі страховою виплатою, що збільшується  раз в рік, являється страхуванням з виплатою суми в момент смерті . Відповідні функції мають вигляд

 

 

 

В цьому випадку актуарна теперішня вартість позначається через .

Таке пожиттєве страхування на випадок смерті з неперервним збільшенням розміру виплат еквівалентне множині договорів по життєвого відтермінованого страхування на випадок смерті зі сталими виплатами. Ця еквівалентність показана графічно на малюнку 1, де область між прямою і віссю зображає страхові поліси протягом всього життя. Якщо об’єднати інфінітезимальні області (області «нескінченно малої»ширини) по вертикалі для фіксованого , то отримаємо виплату в момент  . Якщо об’єднати їх по горизонталі для фіксованого , то отримаємо пожиттєве страхування на випадок смерті, відтерміноване на років, при розмірі виплати .

Малюнок 1.

З цієї рівності випливає, що актуарні теперішні вартості для вказаних видів страхування рівні. Їх рівність може бути доведена також наступним чином.

За означенням

 

Інтерпретуючи  під знаком інтеграла як інтеграл від нуля до  на малюнку 1, ми маємо

.

Якщо змінити порядок  інтегрування і для кожного значення  про інтегруємо по від до , то згідно формулі (16) ми отримаємо,

.

Якщо за таким полісом  зі збільшенням розміру виплати  раз в рік виплата на випадок смерті відбувається тільки у випадку, коли смерть наступила не пізніше, ніж через років з моменту складання договору, то цей поліс називається полісом страхування на випадок смерті на термін років зі страховою виплатою, що збільшується разів у рік.[8]

Крім -річного страхування зі щорічно зростаючими виплатами є річне страхування зі щорічно спадними виплатами, яке передбачає виплату у випадку, якщо застрахований помре протягом першого року, у випадку смерті протягом другого року і т.д. Таке страхування характеризують наступні функції

 

 

 

Актуарна теперішня вартість цього страхування

 

 

Цей поліс є протилежним  до полісу страхування на випадок  смерті терміном на років з щоденно зростаючою виплатою в тому розумінні, що сума їх функцій виплат є постійною, і рівною для терміну років.

В додатку 1 наводиться узагальнення результатів нашого пункту

В першому стовпці міститься  назва страхового поліса, далі даються  функції виплат і дисконтування, які визначаються в термінах тривалості майбутнього життя застрахованого на момент укладання договору. Потім вказується функція теперішньої вартості , яка завжди отримується як композиція двох попередніх функцій. В п’ятому стовпці представлено позначення для актуарної теперішньої вартості, прийняте в Міжнародній системі актуарних позначень. Символ в останньому стовпці, в якому знаходиться посилання , вказує чи можна використовувати провило моментів для вирахування моментів вищих порядків.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Страхові виплати вкінці року смерті

В попередньому пункті розглянуті моделі для страхування життя  зі страховою виплатою на момент смерті. На практиці більшість премій розглядаються  як виплата на момент смерті і додатково  дохід від процентів до часу, поки здійснюється виплата. Моделі будувалися в термінах , майбутньої тривалості життя застрахованого з моменту видачі поліса[10]. Але у більшості випадків, найкраща інформація про розподіл , подана у формі дискретних таблиць тривалості життя. Це розподіл, усіченої майбутньої тривалості життя застрахованого з моменту видачі поліса, тобто це інформація про випадкову величину . Моделі страхування життя, в яких розмір і час виплат залежать тільки від кількості повних років, прожитих застрахованим, називають страхуванням з виплатою в кінці року смерті.