Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Нахождение собственных значений и векторов

Министерство образования Российской Федерации

Тульский государственный университет

Кафедра прикладной математики и информатики

Утверждаю

Зав. кафедрой ПМиИ

___________________ В.И. Иванов

«___» _____________ 2008 г.

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

к курсовому проекту по курсу

«ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ»

на тему

________________________________________________________________________

Автор работы __________________ студент гр. _________ _____________________

(дата, подпись) (фамилия и инициалы)

Руководитель работы __________________ _____________ ____________________

(дата, подпись) (должность) (фамилия и инициалы)

Работа защищена ___________________ с оценкой ____________________________

(дата)

Члены комиссии __________________ _______________ ____________________

(дата, подпись) (должность) (фамилия и инициалы)

__________________ _______________ ____________________

(дата, подпись) (должность) (фамилия и инициалы)

__________________ _______________ ____________________

(дата, подпись) (должность) (фамилия и инициалы)

Тула, 2008

Утверждаю

Зав. кафедрой ПМиИ

___________________ В.И. Иванов

«___» _____________ 20___ г.

ЗАДАНИЕ

на курсовой проект по курсу

«ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ»

студенту гр. ____________ ________________________________________________

(фамилия, имя, отчество)

Тема работы _____________________________________________________________

________________________________________________________________________

Входные данные _________________________________________________________

________________________________________________________________________

Задание получил __________________ _____________________

(подпись) (дата)

График выполнения работы ________________________________________________

________________________________________________________________________

Замечания консультанта ___________________________________________________

________________________________________________________________________

К защите. Консультант работы __________________ _____________________

(подпись) (дата)

Министерство образования Российской Федерации

Тульский государственный университет

Кафедра прикладной математики и информатики

РЕЦЕНЗИЯ

на курсовой проект по курсу

«ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ»

студента гр. ____________ ________________________________________________

(фамилия, имя, отчество)

на тему

________________________________________________________________________

Краткая характеристика теоретической части

________________________________________________________________________

Краткая характеристика программной реализации

________________________________________________________________________

Работа с литературой

________________________________________________________________________

Рекомендуемая оценка ____________________________

Рецензент __________________ _______________ ____________________

(дата, подпись) (должность) (фамилия и инициалы)

Содержание

Введение……………………………………………………………………….4

Часть 1 (теоретическая)……………………………………………………….5

Нахождение собственных значений…………………………………….5
Нахождение собственных векторов……………………………………..6

Список литературы……………………………………………………………7

Приложение 1. Программа……………………………………………………8

Приложение 2. Результаты работы программы…………………………….16

Введение.

Метод А. Н. Крылова нахождения собственных значений и векторов является в основном учебным методом, т.к. количество вычислений значительно больше других методов (Данилевского, неопределенных коэффициентов и др.) и соответственно по скорости метод Крылова уступает им. Но из - за своей простоты он остается достаточно популярным учебным методом и может использоваться при решении матриц небольших порядков.

Нахождение собственных значений.

Метод Крылова основан на свойстве квадратной матрицы обращать в нуль свой характеристический многочлен.

Согласно тождеству Гамильтона-Кели, всякая квадратная матрица является корнем своего характеристического многочлена и, следовательно, обращает его в нуль.

Пусть

(1)

характеристический многочлен.

Заменяя в выражении (1) величину на , получим

(2)

Возьмем произвольный ненулевой вектор

(3)

Умножим обе части выражения (2) на :

(4)

Положим

(5)

т.е.

(6)

Учитывая (5), выражение (4) запишем в виде

(7)

или в виде

Решаем систему (7). Если эта система имеет единственное решение, то ее корни являются коэффициентами характеристического многочлена (1).

Нахождение собственных векторов.

Если известны коэффициенты и корни характеристического многочлена, то метод Крылова дает возможность найти соответствующие собственные векторы по следующей формуле:

⁽⁸⁾

Здесь – векторы, использованные при нахождении коэффициентов методом Крылова, а коэффициенты ^{определяются
по схеме Горнера:}

(9)

Список литературы:

Б. П. Демидович, И. А. Марон «Основы вычислительной математики». - Издательство «Лань», 2007 – 672с .
Н. Н. Калиткин «Численные методы».

Приложение 1. Программа.

Unit1.h

#ifndef Unit1H

#define Unit1H

//---------------------------------------------------------------------------

#include <Classes.hpp>

#include <Controls.hpp>

#include <StdCtrls.hpp>

#include <Forms.hpp>

#include <Grids.hpp>

#include "math.hpp"

#include <ExtCtrls.hpp>

//---------------------------------------------------------------------------

class TForm1 : public TForm

{

__published: // IDE-managed Components

TMemo *Memo1;

TButton *Button1;

TStringGrid *StringGrid1;

TGroupBox *GroupBox1;

TLabel *Label1;

TLabel *Label2;

TGroupBox *GroupBox2;

TButton *Button2;

TStringGrid *StringGrid2;

TStringGrid *StringGrid3;

TButton *Button3;

TButton *Button4;

TLabel *Label3;

TEdit *Edit1;

TLabel *Label4;

TLabel *Label5;

TLabel *Label6;

TLabel *Label7;

TStringGrid *StringGrid4;

TCheckBox *CheckBox1;

TLabel *Label8;

TLabel *Label9;

TLabel *Label10;

TButton *Button5;

TButton *Button6;

TLabel *Label11;

TMemo *Memo2;

TLabel *Label12;

void __fastcall Button1Click(TObject *Sender);

void __fastcall Button2Click(TObject *Sender);

void __fastcall Button3Click(TObject *Sender);

void __fastcall Button4Click(TObject *Sender);

double __fastcall Polinom(double x);

void __fastcall Dix(double a,double b);

void __fastcall CheckBox1Click(TObject *Sender);

void __fastcall Button5Click(TObject *Sender);

void __fastcall Button6Click(TObject *Sender);

void __fastcall FormDestroy(TObject *Sender);

private:

public:

double * *matrix;

double * *vektori;

double * *vektorg;

double * *vek;

double *L,*koef,*q;

double buf;

int i,j,k,dlstr,step;

__fastcall TForm1(TComponent* Owner);

};

//---------------------------------------------------------------------------

extern PACKAGE TForm1 *Form1;

//---------------------------------------------------------------------------

#endif

Unit1.cpp

#include <vcl.h>

#pragma hdrstop

#include "Unit1.h"

//---------------------------------------------------------------------------

#pragma package(smart_init)

#pragma resource "*.dfm"

TForm1 *Form1;

//---------------------------------------------------------------------------

__fastcall TForm1::TForm1(TComponent* Owner)

: TForm(Owner)

{

}

//---------------------------------------------------------------------------

void __fastcall TForm1::Button1Click(TObject *Sender)

{

char bufb;

String bufs;

Memo1->Lines->LoadFromFile(Edit1->Text);

Label4->Visible=false;

Label5->Visible=true;

Button2->Visible=true;

Button5->Visible=false;

Button1->Visible=false;

Memo2->Visible=false;

Memo2->Text="";

step=Memo1->Lines->Count;

matrix = new double *[step];

for (i=0;i<step;i++)

matrix[i] = new double[step];

vektori = new double *[step+1];

for (i=0;i<step+1;i++)

vektori[i] = new double[step];

vektorg = new double *[step+1];

for (i=0;i<step+1;i++)

vektorg[i] = new double[step];

vek = new double *[step];

for (i=0;i<step+1;i++)

vek[i] = new double[step];

q = new double [step+1];

koef = new double [step];

L = new double [step];

StringGrid2->ColCount=step;

StringGrid2->RowCount=step+1;

StringGrid2->Width=step*121+20;

StringGrid3->ColCount=step;

StringGrid3->Width=step*121+3;

StringGrid4->ColCount=step;

StringGrid4->Width=step*101+3;

StringGrid1->ColCount=step;

StringGrid1->Width=step*51+3;

StringGrid1->Visible=true;

StringGrid1->Cells[0][0]="1";

for (i=1;i<step;i++)

StringGrid1->Cells[i][0]="0";

for (i=0;i<step;i++)

{

dlstr=Memo1->Lines->Strings[i].Length();

k=0;

bufs="";

for (j=0;j<dlstr;j++)

{

bufb=Memo1->Lines->Strings[i][j+1];

if (bufb!=' ') bufs+=bufb;

if (bufb==' ') { matrix[i][k] = StrToFloat(bufs); k++; bufs="";}

}

matrix[i][k] = StrToFloat(bufs); k++; bufs="";

}

//---------------------------------------------------------------------------

void __fastcall TForm1::Button2Click(TObject *Sender)

{

for (i=0;i<step;i++)

vektori[0][i]=StrToFloat(StringGrid1->Cells[i][0]);

Label5->Visible=false;

Label6->Visible=true;

Button2->Visible=false;

Button3->Visible=true;

for (k=1;k<step+1;k++)

for (i=0;i<step;i++)

{

vektori[k][i]=0;

for (j=0;j<step;j++)

vektori[k][i]+=matrix[i][j]*vektori[k-1][j];

}

for (j=0;j<step;j++)

for (i=0;i<step+1;i++)

vektorg[i][j]=vektori[i][j];

for (j=0;j<step;j++)

for (i=0;i<step+1;i++)

StringGrid2->Cells[j][i]=FloatToStr(vektori[i][j]);

}

//---------------------------------------------------------------------------

void __fastcall TForm1::Button3Click(TObject *Sender)

{

double a;

Label6->Visible=false;

Label7->Visible=true;

Button4->Visible=true;

Button3->Visible=false;

for (k=1;k<step;k++)

for (j=k+1;j<step+1;j++)

{

a=vektorg[step-k][j-1]/vektorg[step-k][k-1];

for (i=k;i<step+1;i++)

vektorg[step-i][j-1]-=vektorg[step-i][k-1]*a;

vektorg[step][j-1]-=vektorg[step][k-1]*a;

}

for (i=0;i<step;i++)

koef[i]=0;

for (i=step-1;i>=0;i--)

{

buf=-vektorg[step][i];

for (j=0;j<step;j++)

buf-=koef[j]*vektorg[step-1-j][i];

koef[i]=RoundTo(buf/vektorg[step-i-1][i],-10);

}

for (i=0;i<step;i++)

StringGrid3->Cells[i][0]=koef[i];

for (j=0;j<step;j++)

for (i=0;i<step+1;i++)

StringGrid2->Cells[j][i]=FloatToStr(vektorg[i][j]);

}

//---------------------------------------------------------------------------

void __fastcall TForm1::Button4Click(TObject *Sender)

{

double c;

int vg,ng;

bool chnch;

Label7->Visible=false;

Label11->Visible=true;

Label8->Visible=false;

Label10->Visible=true;

StringGrid4->Visible=true;

Button6->Visible=true;

Button4->Visible=false;

for (i=0;i<step;i++)

L[i]=0;

for (j=0;;j++)

{

k=0;

q[0]=1;

for (i=1;i<=step;i++)

{

q[i]=koef[i-1]+q[i-1]*j;

if (q[i]>0) k++;

}

if (k==step) {vg=j; break; }

}

for (j=0;;j++)

{

k=0;

q[0]=1;

chnch=true;

for (i=1;i<=step;i++)

{

if (chnch) {q[i]=-koef[i-1]+q[i-1]*j; chnch=false; }

else { q[i]=koef[i-1]+q[i-1]*j; chnch=true; }

if (q[i]>0) k++;

}

if (k==step) {ng=-j; break; }

}

j=0;

for (c=ng;c<=vg;c+=0.001)

if (Polinom(c)*Polinom(c+0.001)<0)

Dix(c,c+0.001);

for (i=0;i<step;i++)

StringGrid4->Cells[i][0]=L[i];

}

//---------------------------------------------------------------------------

double __fastcall TForm1::Polinom(double x)

{

double stx;

stx=1;

buf=0;

buf+=koef[step-1];

for (i=1;i<step;i++)

{

stx=stx*x;

buf+=koef[step-i-1]*stx;

}

buf+=stx*x;

return buf;

}

void __fastcall TForm1::Dix(double a,double b)

{

if ((b-a>0.0000000000001)&(Polinom(a)*Polinom((a+b)/2)<0)) Dix(a,(a+b)/2);

if ((b-a>0.0000000000001)&(Polinom((a+b)/2)*Polinom(b)<0)) Dix((a+b)/2,b);

if (b-a<0.0000000000001) {L[j]=(a+b)/2; j++; }

}

void __fastcall TForm1::CheckBox1Click(TObject *Sender)

{

if (CheckBox1->Checked)

{

Label8->Visible=true;

Label9->Visible=true;

StringGrid2->Visible=true;

StringGrid3->Visible=true;

} else

{

Label8->Visible=false;

Label9->Visible=false;

StringGrid2->Visible=false;

StringGrid3->Visible=false;

}

//---------------------------------------------------------------------------

void __fastcall TForm1::Button5Click(TObject *Sender)

{

Button1->Click();

Button2->Click();

Button3->Click();

Button4->Click();

Button6->Click();

}

//---------------------------------------------------------------------------

void __fastcall TForm1::Button6Click(TObject *Sender)

{

String bufs;

Memo2->Visible=true;

Memo2->Width=130*step+120;

Label11->Visible=false;

Button6->Visible=false;

Button1->Visible=true;

Button5->Visible=true;

for (k=0;k<step;k++)

{

q[0]=1;

vek[0][k]=0;

for (i=1;i<step;i++)

{

q[i]=L[k]*q[i-1]+koef[i-1];

vek[i][k]=0;

}

for (i=0;i<step;i++)

for (j=0;j<step;j++)

vek[j][k]+=q[i]*vektori[step-i-1][j];

}

bufs="";

for (i=0;i<step;i++)

bufs+=StringGrid4->Cells[i][0]+" | ";

Memo2->Lines->Add(bufs+"-собственные значения");

Memo2->Lines->Add("Собственные вектора:");

for (j=0;j<step;j++)

{

bufs="";

for (i=0;i<step;i++)

bufs+=FloatToStr(vek[j][i])+" | ";

Memo2->Lines->Add(bufs);

}

//---------------------------------------------------------------------------

void __fastcall TForm1::FormDestroy(TObject *Sender)

{

Memo2->Lines->SaveToFile("LastSolve.txt");

}

Приложение 2. Результаты работы программы.

Матрица:

1 2 3 4

2 1 2 3

3 2 1 2

4 3 2 1

-3,41421356237312 | -1,09901951359278 | -0,585786437626896 | 9,09901951359279 | -собственные значения

Собственные вектора:

-34,9705627484782 | 2,43529751065973 | -1,02943725152294 | 369,564702489341 |

-14,4852813742386 | -2,97058540778349 | 2,48528137423868 | 302,970585407784 |

14,485281374239 | -2,97058540778355 | -2,48528137423854 | 302,970585407784 |

34,9705627484778 | 2,43529751065972 | 1,02943725152286 | 369,564702489341 |

Матрица:

1 2 3 4 5

2 1 2 3 4

3 2 1 2 3

4 3 2 1 2

5 4 3 2 1

-5,23606797749978 | -1,63523773004179 | -0,763932022500214 | -0,55629491531239 | 13,1915326453542 | - собственные значения

Собственные вектора:

502,439613479969 | -10,7459767724548 | 1,56038652002362 | -0,441664995324075 | 13380,1876417679 |

310,524758424984 | 5,9790301978571 | -2,52475842498563 | 1,29343742571871 | 10948,7275323764 |

8,66862137627322E-13 | 15,391302037353 | -1,70530256582424E-13 | -1,62164619706542 | 10177,2303441597 |

-310,524758424983 | 5,97903019785804 | 2,52475842498507 | 1,29343742571916 | 10948,7275323765 |

-502,439613479972 | -10,7459767724548 | -1,560386520024 | -0,441664995324999 | 13380,1876417678 |

Нахождение собственных значений и векторов 📙 Курсовая → 🆔 140739