Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Нормальная жорданова форма матрицы

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

«УО» БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра прикладной математики и экономической кибернетики

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине: Линейная алгебра и аналитическая геометрия на тему: Нормальная жорданова форма матрицы

МИНСК 2012

РЕФЕРАТ

Курсовая работа: 30 с., 9 рис., 2 табл., 11 источников.

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ КРАТНОСТЬ, ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ КРАТНОСТЬ, ЖОРДАНОВА КЛЕТКА, ПРИСОЕДИНЁННЫЕ ВЕКТОРЫ, ЖОРДАНОВ БЛОК, ЖОРДАНОВА ФОРМА, ЖОРДАНОВ БАЗИС, ЖОРДАНОВА КЛЕТКА, ЖОРДАНОВА ЛЕСТНИЦА, ПРОГНОЗ, ЧИСЛЕННОСТЬ НАСЕЛЕНИЯ

Объект исследования – нормальная жорданова форма матрицы.

Предмет исследования – построение жорданова базиса и жордановой формы матрицы, применение жордановой формы матрицы.

Цель работы: рассмотреть основы теории жордановой формы матрицы, изучить методы её построения, рассмотреть её применение в различных математических моделях.

Методы исследования: математические, анализа, сравнительного анализа, моделирования, обобщения, прогнозирования, синтеза.

Исследования и разработки: изучены методы построения жорданова базиса и жордановой формы матрицы, найдено применение жордановой формы матрицы в математической модели для оптимального прогноза численности населения страны.

Область возможного применения: всевозможные математические модели, связанные с явлениями окружающего мира (включая и общественные).

Значимость: применение жордановой формы к различным математическим моделям позволяет значительно совершенствовать данные методы решения различных задач.

Автор работы подтверждает, что приведённый в неё расчётно-аналитический материал правильно и объективно отражает состояние исследуемого процесса, а все заимствованные из литературных источников и других источников теоретические, методологические и методические положения и концепции сопровождаются ссылками на их автора.

__________________

СОДЕРЖАНИЕ

Введение 4

1. Основы теории жордановой формы матрицы 5

2. Построение жорданова базиса и жордановой формы матрицы 15

3. Приложение жордановой формы матрицы 23

Заключение 29

Список использованных источников 30

ВВЕДЕНИЕ

В математике рассматривается множество различных типов и видов матриц. Таковы, например, единичная, симметричная, кососимметричная, верхнетреугольная (нижнетреугольная) и тому подобные матрицы. Особое значение в теории матриц занимают всевозможные нормальные формы, то есть канонический вид, к которому можно привести матрицу заменой координат. Наиболее важной (в теоретическом значении) и проработанной является теория жордановых нормальных форм, которая и является темой данной работы. Одним из первых жорданова форма была рассмотрена известным французским математиком Жорданом, откуда и получила своё название.

В данной работе мы рассмотрим основные понятие и теоремы, необходимые для построения жордановой формы, а также непосредственно способы построения. Стоит обратить внимание на то, что проделав немалую работу в изучении данной темы, мы наткнулись как минимум на 5 различных способов конструирования жорданова базиса и жордановой формы матрицы, что весьма интересно. Однако в связи с ограничением в объёме, мы постарались выбрать три самых эффективных, интересных и показательных приёмов и изложить в данной работе.

В процессе изучения поставленной задачи, мы смогли убедиться в том, что жорданова форма матрицы важна не только в линейной алгебре, но и в других сферах, например, физике и химии. Но наибольшее значение она приобретает в конструировании математических моделей, необходимых для решения задач, связанных с явлениями окружающего нас мира. Примером такой задачи в данной работе послужил прогноз численности населения страны на 200 лет и оптимальный выбор демографических показателей для стабилизации роста населения.

Материалы электронного ресурса «Жорданова форма матрицы оператора», учебного пособия «Теория матриц» П. Ланкастера и «Теория матриц» Ф.Р. Гантмахера были использованы для написания главы «Основы теории жордановой формы», а также частично были задействованы в остальных главах. Для написания главы «Построение жорданова базиса и жордановой формы матрицы» были использованы практическое пособие «Практический способ построения жордановой формы и жорданова базиса» Уховского М.К ,

учебное пособие «Построение жорданова базиса» Манина Ю.И. Для написания главы «Приложения жордановой формы матрицы» был использован электронный ресурс статья в журнале СПбГМТУ «Математика в ВУЗе» Сушковой М.В. Также был задействован ещё ряд ресурсов для написания работы, которые описаны в списке использованных источников.

1 Основы теории жордановой формы матрицы

1.1 Алгебраическая и геометрическая кратность собственного значения

Пусть линейный оператор A действует в линейном пространстве над числовым полем K. Предположим, что все корни характеристического многочлена принадлежат полю K. Рассмотрим характеристический многочлен оператора:

f ( λ ) = … ,

где ≠ при i ≠ j , i, j = 1,2, ... , p. Здесь

Число называется алгебраической кратностью собственного значения Максимальное значение линейно независимых собственных векторов, соответствующих собственному значению , называется его геометрической кратностью и обозначается .

Теорема. ≤ .

Если , i = 1, 2, … , p , то количество линейно независимых собственных векторов оператора A равно размерности пространства, и из них можно составить базис в пространстве . В этом базисе матрица оператора A имеет диагональный вид:

Рисунок 1.1 – Матрица

Источник: [1, c.2].

Каждое собственное значение встречаются на диагонали этой матрицы столько раз, какова его алгебраическая кратность. Вне диагонали все элементы матрицы равны нулю [1, c. 2].

1.2 Жорданова клетка

Рассмотрим матрицу оператора размера k × k:

(1.1)

Рисунок 1.2 – Матрица оператора

Источник: [2, c. 189].

Её характеристический многочлен имеет корень кратности k. Таким образом, данная матрица имеет собственное значение алгебраической кратности k. Отвечающие ему собственные векторы – это ненулевые решения однородной системы линейных уравнений с матрицей

Рисунок 1.3 – Матрица B

Источник: [1, c. 3].

Так как ранг B= k - 1, так что размерность собственного подпространства равна 1, то существует лишь один линейно независимый собственный вектор. Таким образом, при k ≤ 2 не существует базиса, состоящего из собственных векторов этого оператора, то есть ни в одном базисе матрица оператора не может иметь диагональный вид. Матрица называется жордановой клеткой порядка k, соответствующей собственному значению [7].

Присоединённые векторы

Элемент x называется присоединённым вектором оператора А, отвечающий собственному значению , если для некоторого натурального числа m ≥ 1 выполняется соотношение:

( x ≠ 0, ( x = 0.

При этом число m называется высотой присоединённого вектора x. Иными словами, если x – присоединённый вектор высоты m, то элемент ( является собственным вектором оператора А. Очевидно, собственные векторы – это присоединённые векторы высоты 1(здесь (=I)[3, c. 58].

Рассмотрим последовательность векторов , … , , для которых выполняется соотношение ≠ 0:

А =

А = +

или эквивалентно:

(А = 0 => (А = 0,

(А = => = 0,

…………… …………….

(А = => = 0.

Таким образом, цепочка векторов , … , состоит из собственного вектора и присоединённых векторов … , .

Введём обозначение B=A- I и запишем предыдущие соотношения в виде:

B=0 => B=0,

B= => =0,

…… ……

B= => =0.

Теорема. Векторы , … , линейно независимы.

Отметим, что в случае, когда количество векторов , … , равно размерности пространства, т.е. m=n, эти векторы образуют базис в оператора А в этом базисе имеет вид жордановой клетки порядка n с числом на диагонали (см. (1))[1, c. 4].

Жорданов блок

Жордановым блоком, отвечающим собственному значению называется блочно-диагональная матрица, каждый блок которой представляет собой жорданову клетку вида (1.1):

Рисунок 1.4 – Жорданов блок

Источник: [6, c.5].

На главной диагонали матрицы расположены s жордановых клеток , … , порядков ,… , , где s – геометрическая кратность собственного значения . Сумма порядков этих клеток равна алгебраической кратности собственного значения , т.е.

= m.

Все элементы матрицы вне жордановых клеток равны нулю. Порядок расположения жордановых клеток в матрице А( определён неоднозначно [5].

Утверждение. Алгебраическая кратность собственного значения равна сумме жордановых клеток с этим собственным значением. А геометрическая кратность собственного значения равна числу жордановых клеток с собственным значением или числу линейно независимых собственных векторов, соответствующих собственному значению [6, c. 5].

Рассмотрим простой случай, когда характеристический многочлен матрицы имеет вид

f (λ) =

и геометрическая кратность собственного значения равна s.

Пример 1. Пусть m=2, s=1. Тогда:

А() =

Пример 2. Пусть m=3, s=2. Тогда имеем жорданов блок, состоящий из двух жордановых клеток порядков 1 и 2:

А() = либо А() = .

Пример 3. Пусть m=4, s=1. В данном случае имеется одна жорданова клетка:

А()=.

Пример 4. Пусть m=4, s=2. В этой ситуации жорданов блок состоит из двух клеток, но порядки этих клеток однозначно не определяются: либо имеем две клетки порядка 2 каждая, либо две клетки, одна из которых имеет порядок 1, а вторая – 3:

А()= либо А()=[4, c. 297].

Теорема о жордановой форме матрицы оператора

Пусть линейный оператор А действует в линейном пространстве над полем комплексных чисел размерности n и его характеристический многочлен имеет вид:

f ( λ ) = … ,

где ≠ при j ≠ k,

Тогда в этом пространстве существует базис, состоящий из собственных и присоединённых векторов оператора А, в котором матрица оператора имеет блочно-диагональную форму (называется жордановой формой)

Рисунок 1.5 – Блочно-диагональная матрица

Источник: [5].

где А( – жорданов блок, соответствующий собственному значению . Указанный базис называется жордановым.

Сформулированная теорема верна и в случае, когда линейный оператор действует в линейном пространстве над произвольным полем, но все корни характеристического многочлена принадлежат этому полю [7].

Рассмотрим несколько примеров. Обозначим через n размерность пространства, и – алгебраическую и геометрическую кратности собственного значения соответственно.

Пример 1. Пусть n=2, ≠ . Тогда матрица оператора может быть приведена к диагональному виду:

Пример 2. Пусть n=4 и оператор имеет два различных собственных значения (= 1) и (= 1). Тогда:

= .

Пример 3. Пусть n=4 и оператор имеет два различных собственных значения (= 2) и (= 2). Тогда:

= .

Пример 4. Пусть n=4 и оператор имеет два различных собственных значения (= 1) и (= 2). Тогда:

= [1, с. 7].

1.6 Первый способ построения жорданова базиса и жордановой формы матрицы

Пусть λ – собственное значение оператора, m и s алгебраическая и геометрическая кратности числа λ. Опишем построение линейно независимой совокупности из m собственных и присоединённых векторов, отвечающих данному λ. Этой совокупности векторов в жордановой матрице будет соответствовать жорданов блок А(( см. рис. 1.4.)

Обозначим:

B=A- λI, =, = ker, = dim , = rang .

Ясно, что + = n, Для удобства считаем, что = I, так что = n, = 0.

Поскольку ранг имеем так что:

….

Теорема. Существует такое натуральное число q, что:

т.е. все ядра с номером, большим, чем q, совпадают с ядром . При этом

Построим часть жорданова базиса, соответствующую данному собственному значению λ, следующим образом:

Возводя матрицу B в последовательные натуральные степени, найдём показатель q, начиная с которого ранг степеней матрицы B перестаёт уменьшаться.
Рассмотрим ядра Пусть векторы , … достраивают произвольный базис пространства до базиса пространства Их количество равно Эти векторы являются присоединёнными векторами высоты q, и каждый из них порождает цепочку, состоящую из q векторов, которые войдут в состав жорданова базиса. Каждой такой цепочке будет соответствовать жорданова клетка порядка q; Таким образом, в состав жордановой формы матрицы оператора A войдёт жордановых клеток порядка q.
Рассмотрим ядра векторы B Их количество равно:

К этим векторам добавим векторы из пространства так, чтобы система векторов

дополняла произвольный базис ядра до базиса . Векторы , … являются присоединёнными векторами высоты q-1, и каждому из них будет соответствовать, во-первых, цепочка векторов жорданова базиса, и во-вторых, жорданова клетка порядка q-1. Количество добавляемых векторов равно:

Таким же будет количество жордановых клеток порядка q-1.

Рассмотрим ядра и векторы , К этим векторам (если их не хватает) добавим векторы из пространства так, чтобы совокупность векторов

, , … ∊

дополняла произвольный базис пространства до базиса пространства . Количество добавляемых векторов

Таким же будет количество жордановых клеток порядка q-2.

Процесс продолжаем аналогично. Наконец, рассмотрим ядро и векторы:

Рисунок 1.6 – Система векторов, принадлежащих

Источник: [9, с.25].

Если эта система не образует базис пространства , то добавим собственные векторы так, чтобы пополненная система являлась базисом в [9, с. 25].

Итак, мы описали процесс построения жорданова базиса и выяснили, что количество жордановых клеток порядка k, входящих в состав жордановой формы матрицы оператора, может быть найдено по формуле:

. (1.2)

Построенную часть жорданова базиса, состоящую из m векторов, соответствующих данному λ (m – алгебраическая кратность этого собственного значения), запишем лестницу («жорданова лестница»).

Рисунок 1.7 – Жорданова лестница

Источник: [8].

Все векторы таблицы линейно независимы, и их число равно m (алгебраической кратности собственного значения λ). Каждому столбцу этой таблицы соответствует одна жорданова клетка, порядок которой равен высоте столбца. Количество столбцов жордановой лестницы, т.е. полное количество жордановых клеток в блоке, соответствующем собственному значению λ, равно геометрической кратности s этого собственного значения.

Будем нумеровать векторы построенной части базиса по столбцам жордановой лестницы: внутри каждого столбца снизу вверх, а сами столбцы в произвольном порядке.

Например, пусть , … , – векторы первого столбца жордановой лестницы. Тогда:

Рисунок 1.8

Источник: [10, c.223].

Этой группе векторов (собственный вектор и присоединённые к нему векторы , … , жорданова базиса соответствуют первые q столбцов матрицы , которые имеют вид:

где – жорданова клетка порядка q с числом λ на главной диагонали.

В следующих столбцах q столбцах матрицы , определённых векторами второго столбца жордановой лестницы, расположена жорданова клетка так, что числа λ стоят на главной диагонали матрицы , а элементы вне клетки равны нулю. Подобным образом для данного λ получаем m столбцов матрицы На этих m столбцах находится жорданов блок A(λ).

Для других значений эта схема повторяется, в результате чего получим жорданову матрицу и соответствующий жорданов базис [10, c. 223].

1.7 Второй способ построения жорданова базиса и жордановой формы матрицы

Можно строить жорданов базис, начиная с собственных векторов, решая систему

(1.3)

для нахождения собственных векторов, систему

. (1.4)

для нахождения присоединённых векторов высоты 1 и т.д. Трудность заключается в том, что система (4) может оказаться разрешимой не при любом собственном векторе X (если собственное подпространство не одномерно), так что приходится заботиться о надлежащем выборе этого собственного вектора, что приводит к решению систем линейных уравнений с параметром. Это трудность усугубляется в случае, когда собственному вектору отвечает длинная цепочка присоединённых векторов [8, c. 21].

1.8 Третий способ построения жордановой формы матрицы

В некоторых случаях не требуется построения жорданова базиса, а нужно лишь определить жорданову форму матрицы. Тогда можно сократить объём вычислений. Для этого по каждому характеристическому корню матрицы А необходимо выполнить следующие действия:

Составить матрицу и возводить её последовательно в степени до тех пор, пока не получится равенство

, (1.5)

, n – порядок матрицы А, – кратность характеристического корня матрицы А. Наименьшее натуральное число m, при котором выполняется равенство (5), даст максимальный порядок жордановых клеток по в матрице J.

По формуле

, (1.6)

или по формуле

, (1.7)

определить число жордановых клеток по порядка h, , i=1,2, … , s. Здесь жордановых клеток порядка h в жордановой форме матрицы А, =0, – дефект оператора с матрицей, ранг матрицы .

По найденным числам , для всех матрицы А составить матрицу J.[10, c. 236]

Таким образом, в данной главе мы рассмотрели основные понятия, необходимые для построения жорданова базиса и жордановой формы матрицы: алгебраическая и геометрическая кратность собственного значения, жорданова клетка, жорданов блок, присоединённые векторы, теорема о жордановой форме матрицы оператора. А также описали три способа построения жордановой формы матрицы.

2 Построение жорданова базиса и жордановой формы матрицы

Дана матрица A линейного оператора в некотором базисе. Требуется найти жорданов базис и жорданову форму матрицы оператора в этом базисе. Рассмотрим примеры решения такой задачи методом, описанным в пункте 1.6

Пример 1.

A = .

Характеристический многочлен det имеет корень λ = 2 кратности 3, т.е. m = 3. Матрица

B = .

Легко проверить, что = rang B = 1,

Находим собственные векторы, решив однородную систему линейных уравнений фундаментальная совокупность решений состоит из двух векторов, например:

. (2.1)

Количество этих векторов (т.е. геометрическая кратность собственного значения) равно двум, s = 2, так что для построения жорданова базиса требуется ещё один присоединённый вектор.

Так как , то ядро оператора совпадает со всеми пространствами, т.е. , и при этом

Дополним базис ядра , т.е. набор векторов (1), до базиса ядра , например, вектором

∈ .

тогда

∈ .

Дополним вектор до базиса пространства вектором

Построим жорданову лестницу:

Жорданов базис:

Соответствует жорданова клетка порядка 2 =>

Соответствует жорданова клетка порядка 1 =>

При этом

т.е. – собственный вектор, , .

В жордановом базисе

матрица оператора имеет вид:

Пример 2.

Характеристический многочлен det имеет корень λ = 1 кратности 3, т.е. m = 3. Матрица равна

и мы имеем

Фундаментальная совокупность решений системы состоит из одного вектора, например

∈

Следовательно, геометрическая кратность равна 1. Далее матрица равна:

Для неё имеем и базис ядра из двух векторов, например:

Поскольку , так что , то ядро оператора совпадает со всем пространством, т.е. .

Вектором дополним базис ядра до базиса пространства . Вектор дополняет базис ядра до базиса ядра Вектор образует базис пространства Жорданова лестница имеет вид:

Жорданов базис:

Здесь – собственный вектор,

Матрица оператора имеет вид жордановой клетки:

Теперь построим жорданов базис и жорданову форму матрицу способом, описанным в пункте 1.7.

Пример 3.

Характеристическое уравнение:

Имеет корень кратности m = 3. Система принимает вид:

Отсюда Значит, собственные векторы имеют вид:

(2.2)

где – произвольные числа, не равные нулю одновременно. Линейно независимых собственных векторов два, так что геометрическая кратность данного собственного значения равна 2. Остаётся найти присоединённый вектор. Он должен удовлетворять уравнению . Подставляя в него λ = 3 и найденный X из (1), получим систему:

. (2.3)

Эта система совместна, если выполнены условия теоремы Кронекера-Капелли:

rang = rang .

Откуда . Достаточно найти одно из решений системы (2.3), например:

Это и будет вектор, присоединённый к собственному вектору

Выберем Жорданов базис будет состоять из собственного вектора , присоединённого к нему вектора и ещё одного собственного вектора, линейно независимого с .

В этом базисе матрица оператора имеет жорданову форму:

Жорданова клетка:

соответствует собственному вектору и присоединённому к нему вектору , жорданова клетка

соответствует собственному вектору .

Пример 4.

Характеристическое уравнение имеет корни кратности кратности Собственному значению отвечают собственные векторы

т.е. геометрическая кратность собственного значения равна 1. Присоединённый к вектор находится из системы которая совместна при всех Например,

Удобно положить

Корню отвечают собственные векторы

Т.е. геометрическая кратность собственного значения равна 1. Присоединённый к вектор находится из системы совместной при всех Например,

Нормальная жорданова форма матрицы 📙 Курсовая → 🆔 143149