Нормирование метрологических характеристик средств измерений

ВВЕДЕНИЕ.

Нормирование метрологических характеристик средств измерений

Cамой важной задачей метрологии как науки, так и практической деятельности является обеспечение единства измерений, где бы, когда, кем и в каких условиях они не проводились. Если единство измерений нарушается, то, прежде всего, разрушается налаженное взаимодействие всех отраслей народного хозяйства, резко падает качество и конкурентоспособность выпускаемой продукции, а эксплуатация сложных технических объектов может стать неэффективной и даже опасной. Одним из важнейших условий для реализации единства измерений является обеспечение единообразия средств измерений. Под ним понимается состояние средств измерений, когда они проградуированы в узаконенных единицах, и их метрологические характеристики соответствуют установленным нормам. С этой целью метрологические характеристики средств измерений не должны выбираться разработчиками и потребителями средств измерений произвольно, а должны быть нормированы. В последние десятилетия такое нормирование производится согласно положениям ГОСТ 8.009—84 «ГСИ. Нормируемые метрологические характеристики средств измерений». Данный стандарт разработан с учетом рекомендаций международных метрологических организаций и, таким образом, обеспечивает в определенной степени соответствие метрологических характеристик средств измерений, выпускаемых в нашей стране, метрологическим характеристикам средств измерений, выпускаемых за рубежом.

ГОСТ 8.009—84 устанавливает номенклатуру метрологических характеристик, правила  их выбора и отражения для конкретных типов средств измерений в нормативно-технических документах (общие технические условия, общие технические требования и др.). Требования этого стандарта не распространяются на эталоны и поверочные установки. Ниже приводятся основные положения по нормированию метрологических характеристик средств измерений.

 

РАЗДЕЛ 1. НОМЕНКЛАТУРА МЕТРОЛОГИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК.

1.1. Характеристики средств измерений, предназначенные для определения результатов измерений:

- функция преобразования y = f (x)измерительного преобразователя и измерительного прибора, если последний имеет неименованную шкалу или шкалу, отградуированную в единицах, отличных от единиц входной величины;

- значение однозначной или значения многозначной меры;

- цена деления шкалы измерительного прибора или многозначной меры;

- вид выходного кода, число разрядов кода, цена единицы наименьшего разряда кода средств измерений, предназначенных для выдачи результатов в цифровом виде.

1.2. Характеристики погрешностей средств измерений.

 

1. Характеристики систематической составляющей погрешности ()средств измерений:

- значение систематической составляющей

- значение наряду с математическим ожиданием М[Δ_s] и средним квадратическим отклонением σ(Δ_s). При этом систематическая погрешность рассматривается как случайная величина на множестве средств измерений данного типа. Под значением М [Δ_s] следует понимать статистическую оценку.

Характеристики систематической  составляющей погрешности средств  измерений нормируются:

- в виде пределов (положительного  и отрицательного) допускаемой систематической составляющей погрешности или, наряду с ней, в виде математического ожидания М [] и среднего квадратического отклонения σ (Δ_s) систематической составляющей погрешности.

Если пределы допускаемой систематической  составляющей погрешности симметричны, их представляют в виде « ± » (символ p происходит от начальной буквы английского слова permissible — допустимый). Допускается нормирование изменения во времени пределов допускаемой прогрессирующей систематической погрешности.

2. Характеристики случайной составляющей погрешности средств измерений:

- среднее квадратическое отклонение σ ();

- нормализованная автокорреляционная функция r (τ) или функция спектральной плотности S (ω);

- случайная составляющая () погрешности от гистерезиса (вариация H выходного сигнала средства измерений).

Вариацией выходного сигнала называется погрешность средства измерений, представляющая разность показаний, получаемых при  измерениях одного и того же значения измеряемой величины, сначала — приближением к нему со стороны меньших значений, затем — со стороны больших значений шкалы.

Для характеристики случайной составляющей погрешности средств измерений  нормируются:

- в виде предела () допускаемого среднего квадратического отклонения случайной составляющей погрешности или наряду с этой характеристикой также номинальной нормализованной автокорреляционной функции и предела допускаемого отклонения этой функции от номинальной.

Характеристика случайной составляющей () погрешности от гистерезиса нормируется путем установления предела допускаемой вариации выходного сигнала средства измерений данного типа.

 

3. Характеристика погрешности средств измерений в том случае, когда систематическая и случайная составляющие не разделяются (абсолютная погрешность или относительная погрешность).

Различие в нормировании систематической и случайной составляющих погрешностей средств измерений вызвано тем, что разброс случайных погрешностей различных экземпляров данного типа средства измерений небольшой по сравнению с нормированным значением σ () , а для систематической составляющей погрешности разброс обычно большой. Поэтому, как будет показано ниже, для случайной составляющей погрешности нормируется только предел допускаемых значений среднего квадратического отклонения, а для систематической составляющей погрешности, наряду с этой характеристикой, при необходимости нормируется также оценка математического ожидания систематической составляющей погрешности (для ансамбля средств измерений данного типа).

 

1.3. Характеристики чувствительности средств измерений к влияющим величинам:

 

- функция влияния ψ (ξ), где ξ, — данная влияющая величина;

- изменения значений метрологических характеристик средств измерений, вызванные изменениями влияющих величин (в пределах рабочего диапазона влияющих величин).

Функции влияния нормируются путем  установления номинальной функции  влияния ψ (ξ) и пределов допускаемых отклонений от нее или граничных (верхнего и нижнего) значений функции влияния. Граничные значения функции влияния используют для нормирования в том случае, если разброс значений ψ (ξ) для различных экземпляров средств измерений данного типа большой (в этом случае номинальную функцию влияния не нормируют). Функции влияния нормируют для каждой влияющей величины отдельно.

1.4. Динамические характеристики средств измерений:

Полные динамические характеристики аналоговых средств измерений, которые  можно рассматривать как линейные:

- переходная характеристика h(t);

- импульсная переходная характеристика g (t);

- амплитудно-фазовая характеристика (G (jω);

- амплитудно-частотная характеристика А (ω);

- передаточная функция G (р).

Частные динамические характеристики аналоговых средств измерений:

- время реакции ;

- постоянная времени T;

- коэффициент демпфирования.

Частные динамические характеристики аналого-цифровых преобразователей (АЦП), цифроаналоговых преобразователей (ЦАП), цифровых измерительных приборов:

- время реакции ;

- погрешность датирования отсчета ;

- максимальная частота (скорость) измерений.

Время реакции представляется временем установления выходного сигнала (для показывающих средств измерений — время установления показаний). Погрешность датирования отсчета возникает вследствие неизвестности момента времени (внутри шага дискретизации входного сигнала), при котором значение изменяющейся величины оказывается равным значению выходного цифрового сигнала в соответствующем цикле преобразования.

.Динамические характеристики аналого-цифровых средств измерений, в том числе измерительных каналов измерительных систем, включающих АЦП, время реакции которых больше интервала времени между двумя измерениями;

- полные динамические характеристики аналоговой части этих средств измерений;

- погрешность датирования отсчета;

- максимальная частота (скорость) измерений.

Если время реакции превышает интервал между двумя измерениями более чем в 3 раза, то погрешность датирования не нормируется.

Если время реакции превышает  интервал времени между двумя  измерениями менее чем в 3 раза, то полная динамическая характеристика аналоговой части аналого-цифровых средств измерений не нормируется.

В случае, если АЦП и ЦАП включены в измерительные каналы автоматизированных измерительных систем, в которых передача сигналов управления, синхронизации и измерительной информации осуществляется через интерфейс (например, КОП, КАМАК), динамические характеристики указываются с учетом времени выполнения служебных операций, присущих данному интерфейсу.

Динамические характеристики средств  измерений нормируют путем установления номинальных характеристик и  пределов (положительного и отрицательного) допускаемых отклонений от номинальных.

Формы представления нормированных  метрологических характеристик  традиционны: практически любая  из характеристик может быть выражена формулой, графиком или таблицей в  зависимости от тех данных, которые  получены разработчиком средства измерений  в процессе разработки и пожеланий  потребителей средства измерений.

 

1.5. Характеристики средств измерений, позволяющие учесть их взаимодействие с подключенным к входу или выходу объектом измерений, цифропечатающим устройством и др. (входное и выходное полные сопротивления линейного измерительного преобразователя).

1.6. Значения неинформативных параметров выходного сигнала средств измерений.

К неинформативным параметрам выходного  сигнала относятся параметры, не связанные функционально с измеряемой величиной. Если для генератора высокочастотных (низкочастотных) сигналов частота  сигнала является информативным сигналом, то значение напряжения на соответствующей частоте, — неинформативным параметром. Для вольтметра переменного электрического тока напряжение является информативным, а частота тока, при которой проводятся измерения, — неинформативным параметром.

 

РАЗДЕЛ 2 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОСНОВНОЙ ПОГРЕШНОСТИ СРЕСТВ ИЗМЕРЕНИЙ.

 

2.1 Математическая модель основной погрешности, в соответствии с которой нормируются характеристики погрешности средств измерений, является упрощенной. В частности случайный процесс изменения погрешности измерений (ее систематической и случайной составляющих) предполагается стационарным случайным процессом. Этому процессу, свойственно постоянство таких характеристик, как математическое ожидание, дисперсия, автокорреляционная функция, не зависящих от выбора начала отсчета времени. Это возможно в случае, когда плотности распределения случайных величин вида X (t'), т. е. сечениях случайного процесса как одномерные, так и совместные не зависят от времени. При этом автокорреляционная функция является функцией не двух аргументов , а только одного τ = , т. е. . При обработке результатов измерений нередко приходится встречаться с частным случаем стационарных случайных процессов — эргодическим случайным процессом. Эргодический процесс обладает следующим свойством: практически почти каждая отдельная реализация процесса обладает такими же характеристиками, какие получаются для всего ансамбля.

 

Рис.2.1.Представление вида нестационарного случайного процесса

Если хотя бы одна из характеристик случайного процесса изменяется во времени, то такой процесс называется нестационарным случайным процессом (рис. 2.1).

Случайная составляющая основной погрешности  измерений во многих случаях обладает характеристиками стационарного случайного процесса. Характеристики систематической составляющей погрешности (главным образом за счет инструментальной погрешности средства измерений) за большой промежуток времени претерпевают изменения. За счет старения комплектующих элементов узлов средства измерений через некоторое время эксплуатации обычно возрастает математическое ожидание систематической погрешности, увеличивается дисперсия погрешности. Таким образом, для более точной математической модели основной погрешности средств измерений целесообразно учитывать нестационарный характер случайного процесса изменения систематической составляющей погрешности. При определении систематической погрешности говорилось, что при повторных измерениях ее значения остаются постоянными или изменяются закономерно. В случае конкретного экземпляра средства измерений обычно не говорят о систематической погрешности как о случайной величине. Но когда нормируется значение погрешности, то оно распространяется на все экземпляры данного типа средства измерений. Маловероятно, что для большой партии средств измерений данного типа систематические погрешности будут одинаковы для всех экземпляров партии. Поэтому систематические погрешности нормируются с помощью характеристик случайных величин (случайных процессов).

Если пользоваться при нормировании погрешностей основных систематических  составляющих погрешностей характеристиками, учитывающими нестационарность случайного процесса изменения этих погрешностей, то математическая модель погрешности существенно усложнится. Соответственно усложнится и задача нормирования основной погрешности средства измерений, а также процесс проведения испытаний для подтверждения нормируемой основной погрешности: он должен составлять большой промежуток времени.

 

2.2 Динамические характеристики средств измерений. При измерении величин, изменяющихся во времени, погрешность измерений обычно превышает погрешность измерений в статическом режиме, когда измеряемая величина в процессе измерений неизменна. Вместе с тем, динамический режим возникает не только при измерении изменяющихся во времени величин: при измерении постоянной величины, например, постоянного электрического напряжения, в момент включения прибора возникает переходный процесс — динамический режим, продолжающийся до тех пор, пока выходной сигнал не примет установившегося значения. Следовательно, в случае измерения постоянной величины в течение переходного процесса будет возникать динамическая погрешность.

Динамической погрешностью А_с1 средства измерений называется разность погрешностей средств измерений в динамическом и статическом режимах 

;     (2.1)

где — погрешность в динамическом режиме;

 — погрешность в статическом режиме (статическая погрешность).

Если  , то статическую погрешность принимают равной нулю.

Главной причиной динамических погрешностей является инерционность средств измерений: наличие переходных процессов в узлах средства измерений вызывает «отставание» значений сигнала на выходе от входного сигнала и его искажение (рис. 2.2). Динамические погрешности, таким образом, определяются динамическими свойствами средств измерений. В зависимости от свойств средств измерений и параметров измеряемых (входных) сигналов динамические характеристики имеют различные формы и содержание. Поэтому для нормирования динамических характеристик выбираются те из них, которые соответствуют лучшему воспроизведению входных сигналов на выходе средства измерений и, кроме того, которые могут быть более удобными для экспериментального определения (измерений). Например, если входной сигнал является гармоническим, то удобной для определения является амплитудно-фазовая характеристика; если же на вход поступают однотипные импульсные сигналы достаточно большой длительности и с большим периодом повторения, то лучшей формой будет переходная характеристика. Вначале рассмотрим полные динамические характеристики средств измерений.

Рис. 2.2. Искажение выходного сигнала

Передаточная функция. Взаимосвязь сигналов (измеряемых величин) на входе и выходе средства измерений определяется с помощью передаточной функции, под которой понимается отношение между выходным и входным сигналами, выраженное с помощью преобразования Лапласа.

Процесс измерений включает ряд операций преобразования, передачи и отображения сигналов. Операции передачи сигналов зависят от формы входных сигналов и передаточных свойств динамических звеньев средства измерений. При этом рассматриваются звенья блок-схемы средства измерений не по функциональному предназначению (усиление, детектирование и др.), а по функциональной связи между входным и выходным сигналами в каждом звене. Эта связь и характеризуется передаточными свойствами звеньев.

Динамические звенья, вообще говоря, могут быть линейными и нелинейными. В большинстве случаев удается на практике рассматривать средства измерений и их узлы как линейные системы (звенья). Линейными называются такие динамические звенья, для которых справедлив принцип суперпозиции: выходной сигнал при поступлении на вход звена совокупности отдельных сигналов равен сумме сигналов на выходе, полученных в результате действия каждой из составляющих входного сигнала.

Математически передаточные свойства линейных динамических систем (звеньев) описываются линейными дифференциальными уравнениями, форму записи которых и представляет передаточная функция.

Выходной сигнал у (t) и входной сигнал x (t) с учетом сказанного связаны дифференциальным уравнением 

 

 

;    (2.2)

 

Где , m

Использование преобразования Лапласа облегчает математическое описание и решение задачи изучения процесса передачи сигналов. Для этого каждой функции времени t, входящей в дифференциальное уравнение, с помощью преобразования сопоставляется функция другого переменного (оператора) р = σ + jω, где σ — вещественная часть, jω — мнимая часть. При этом функцию времени (обозначим ее для общности через f(t)) называют оригиналом, вторую (обозначим ее F (p)) — изображением. Соответствие изображения F(р) своему оригиналу обозначается символом (), т. е

F(t) F(p)

Принято изображение обозначать прописной буквой, используемой в обозначении оригинала как строчная. Например, если оригинал х (t), то изображение обозначается через X (р).

Преобразование Лапласа осуществляется с помощью зависимости

F(p) = L(f(t)) = ;    (2.3)

где L — символ преобразования Лапласа.

Если оригинал f (t) подвергнуть дифференцированию, то изображение производной оригинала получим, взяв по частям интеграл (2.3), в котором f(t) заменим на df(t) / dt

 

;   (2.4)

 

Первый член суммы в (2.4) при конечном значении величины а обращается при верхнем пределе в нуль, и в случае, когда при измерении отсутствует погрешность нуля, при нижнем пределе f (t) = 0.Тогда

 

df (t) / dt ;      (2.5)

 

Таким образом, дифференцирование  оригинала соответствует умножению изображения на величину р (при условии отсутствия аддитивной погрешности).

Если имеется аддитивная погрешность, то с учетом (2.3)

 

df (t) / dt ;      (2.6)

 

Если произведем ту же операцию для  второй производной , получим

Аналогичным путем нетрудно показать, что интегрированию оригинала соответствует деление изображения на величину р 

 

 ;       (2,7)

 

Рассмотрим простейший случай динамического звена первого порядка, описываемого дифференциальным уравнением вида

 

dy (t) / dt + ay (t) =  ;      (2.8)

где — коэффициент преобразования.

Применив преобразование Лапласа  в левой и правой частях уравнения, получим

 

Или

 

;     (2.9)

 

Отсюда

 

;     (2.10)

 

Обращаясь к таблицам преобразования Лапласа, находим оригинал функции у (t)

 

;    (2.11)

 

Уравнение (2.11) запишем в виде

 

В соответствии с определением передаточная функция

 

G(p) = = =  ;  (2.12)

 

Следовательно, передаточная функция представляется отношением изображений входного и выходного сигналов. Иногда эту функцию называют передаточной функцией в операторной форме.

Нетрудно получить формулу для нахождения предельных значений (2.13)

 

f(0) = ;  f() =    (2.13)

 

Передаточная функция является комплексной величиной, она относится  к полным динамическим характеристикам, однозначно определяет характер изменения выходного сигнала от входного.

 

L (y(t)) = G (p) L (x (t)),  или Y (p) = G (p) X (p) ; (2.14)

 

 

2.3 Переходная характеристика. Переходная характеристика h(t), относящаяся к полным динамическим характеристикам, представляет зависимость выходной величины линейного динамического преобразователя от времени при условии, что на вход преобразователя в момент t = 0 подается ступенчатый сигнал х (t) = 1 (t) единичной амплитуды (рис. 2.3 а ). В соответствии с этим определением можно записать, что h (t) (p).

 

Рис. 2.3. Отклики на входной сигнал в виде единичной функции и единичного импульса

Единичная функция может быть записана в виде

x(t) = 1(t) =  

Найдем изображение единичной  функции

 

x(p) = ;   (2.15)

 

Используя (2.15), найдем

= G(p)*(1/p) ;h(t) ; 

Оригинал переходной характеристики получим с помощью обратного преобразования Лапласа

h(t) = ,    (2.16)

где —символ обратного преобразования Лапласа.

Рассмотрим интегрирующий преобразователь (рис. 2.3 в). В соответствии с законом Ома и обозначениями на рис. 2.3, в можно записать

  или, найдя отсюда значение электрического тока,

i = ( - )/r

Вместе с тем, выходное напряжение (на конденсаторе емкостью С)

= (1/C)

Обозначив rC = Т — постоянной времени и продифференцировав последнее уравнение, получим

d

 

Для получения общего уравнения  обозначим  = у, — х, запишем уравнение для динамического звена первого порядка в виде

T + y =

Представим это уравнение  в операторной форме

pTY (p) + Y (p) =

Отсюда передаточная функция  звена

G(p) =

В соответствии с (2.16)запишем

h(t) =

Запишем выражение для переходной характеристики

h(t) =

На рис. 2.3, а пунктирной линией показана графическая зависимость переходной характеристики интегрирующего звена.

Подача на вход средства измерений  ступенчатого сигнала, в N раз большего или меньшего единицы, приведет только к изменению масштаба переходного процесса, полностью сохранив его характер.

 

2.4 Импульсная переходная характеристика. Эта характеристика (g (t)) представляет реакцию линейного динамического преобразователя при подаче на его вход в момент t = 0 сигнала в виде δ-функции. Если переходная характеристика является откликом на единичный скачок сигнала, то импульсная переходная характеристика является откликом на единичный импульсный сигнал.

Для определения δ-функции рассмотрим сигнал в виде единичного прямоугольного импульса (рис. 2.3, б) с площадью S = (1/ τ) τ = 1. Прямоугольный импульс может быть представлен в виде разности единичной функции 1 (t) с амплитудой 1 / τ и сдвинутой на величину длительности импульса τ единичной функции 1(t- τ) с той же амплитудой:

 

x(t) =      (2.17)

 

В соответствии с (2.15) изображение единичной функции

1(t), а в соответствии «со свойством запаздывания» преобразования Лапласа

1(t- τ)

Тогда изображение оригинала (2.17) будет иметь вид

 

x(t) = .  (2.18)

 

Переходя к пределу при τ = 0, получим δ-функцию, называемую также функцией Дирака

 

 δ (t) =   (2.19)

Заменив предел оригинала на производную и раскрыв неопределенность при τ 0 в пределе изображения (по правилу Лопиталя), приходим к следующему выводу

δ (t) =

По определению импульсной переходной характеристики g(t) . Таким образом, g (t) или

 

g(t) = .      (2.20)

 

Отсюда следует, что импульсная переходная функция при входном  единичном импульсном сигнале () определяется оригиналом передаточной функции измерительного прибора или датчика.

Поскольку

 

g(t) = , то h(t ) =      (2.21)

 

Передаточная функция (G (р) связана с импульсной переходной характеристикой g (t) преобразованием Лапласа

G(p) =       (2.22)

Обратное преобразование Лапласа, устанавливающее соответствие между  изображением F(p) и оригиналом f(t),

f(t) = F(p)dp.   (2.23)

Используя (2.23), можно записать

g(t)  (p)dp     (2.24)

Для примера рассмотрим аналоговые измерительные приборы, в состав которых входят инерционные механизмы (например, подвижные части, имеющие большую или меньшую массу), ограничивающие частотный диапазон измеряемого сигнала. Как ранее говорилось, динамические характеристики большинства измерительных звеньев (преобразователей), и не только механических, но и электрических, описываются линейными дифференциальными уравнениями не выше второго порядка

 

 (2.25)

 

где , , , — коэффициенты, зависящие от параметров конструкции электромеханического (электрического) звена.

Передаточная функция указанных  средств измерений с учетом (2.22) будет

 

G(p) = = .    (2.26)

 

где = / , = / , = /

Отношение ,/ = β называется степенью успокоения (демпфирования) измерительного инерционного звена, а отношение 1/ Т₂ = — собственной частотой его колебаний. С применением принятых обозначений формулу (3.45) нетрудно привести к соотношению (прибавив и отняв в знаменателе величину )

G(p) = .     (2.27)

 

Для определения импульсной переходной и переходной характеристик воспользуемся формулами (2.20), (2.24), (2.27) и таблицами обратного преобразования Лапласа. Получим:

 

g(t) = .   (2.28)