Обработка многократных измерений

 

Содержание

Введение--------------------------------------------------------------------------------------3

1.Теоретические сведения о методах обработки многократных измерений---4

2. Расчётная часть. Обработка  результатов измерений----------------------------15

ПРИЛОЖЕНИЕ 1--------------------------------------------------------------------------16

ПРИЛОЖЕНИЕ 2--------------------------------------------------------------------------17

Заключение---------------------------------------------------------------------------------18

Список литературы------------------------------------------------------------------------19

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение.

Цель работы - освоение основных приемов статистической обработки  результатов многократных измерений.

Измерения - один из важнейших  путей познания природы человеком. Наука и промышленность не могут  существовать без них, нет практически ни одной сферы деятельности человека, где бы не использовались результаты измерений, испытаний и контроля.

Многократные измерения - измерения, количество которых превышает число измеряемых величин в n/m раз, где n - число измерений каждой величины, m - число измеряемых величин. Обычно для многократных измерений принято n > 4. Многократные измерения проводят с целью уменьшения влияния случайных составляющих погрешностей измерения.

Диапазон измерительных  величин и их количество постоянно  растут и поэтому возрастает и сложность измерений. Они перестают быть одноактным действием и превращаются в сложную процедуру подготовки и проведения измерительного эксперимента и обработки полученной информации.

Другой причиной важности измерений является их значимость. Основа любой формы управления, анализа, прогнозирования, контроля или регулирования - достоверная исходная информация, которая может быть получена лишь путем замера требуемых физических величин, параметров и показателей. Только высокая и гарантированная точность результатов измерений обеспечивает правильность принимаемых решений.

 

 

 

 

 

 

 

1. Теоретические сведения о методах обработки многократных измерний.

Многократные измерения  одной и той же величины встречаются  при аттестации и поверке СИ, информационных измерительных систем, при контроле технологических процессов, при  испытаниях изделий, при необходимости  проведения экспериментального статистического  описания переменных величин, а также  в научно-исследовательских работах.

Обработка результатов многократных прямых измерений регламентируется ГОСТ 8.207-76 «Прямые измерения с  многократными наблюдениями. Методы обработки результатов наблюдений» и включает в себя отбрасывание систематических погрешностей, вычисление среднего арифметического исправленных результатов наблюдений, принимаемое за результат измерения, вычисление среднего квадратического отклонения результата наблюдения, оценки среднего квадратического отклонения результата измерения, проверка гипотезы о том, что результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению, нахождение доверительных границ случайной погрешности (случайной составляющей погрешности) результата измерения, вычисление  доверительной границы погрешности результата измерения.

В существующей НД различают понятия результат наблюдения и результат измерения.

Результат измерения физической величины – это значение величины, полученное путём её измерения. Следует отметить, что в современных международных документах для результата измерения принято обобщающее понятие – результат измерения (испытания, контроля или анализа). Результат наблюдения (отсчет показаний СИ) – фиксация значения величины или числа по показывающему устройству СИ в заданный момент времени.

Под наблюдением при измерениях понимают операции, проводимые при измерении и имеющие целью своевременно и правильно произвести отсчет. Результат наблюдений содержит в себе все виды погрешностей, присущие измерительной процедуре. Применять термин “измерение” вместо термина “наблюдение” РМГ 29-99 не рекомендует.

По метрологическому назначению измерения делят на эталонные  и рабочие.

Эталонные измерения выполняются  с применением эталонов. Они широко применяются в практике поверочных и калибровочных работ, а так же при метрологической аттестации испытательного оборудования и СИ. Они связаны с воспроизведением и передачей размера единицы физической величины.

Эталон - это СИ (или комплекс СИ), предназначенное для воспроизведения и (или) хранения единицы физической величины и передачи ее размера нижестоящим по поверочной схеме СИ и утвержденное в качестве эталона в установленном порядке.

Конструкция эталона, его  свойства и способ воспроизведения  единицы определяются природой данной физической величины и уровнем развития измерительной техники в данной области измерений.

Эталон должен обладать, по крайней мере, тремя тесно связанными друг с другом существенными признаками — неизменностью, воспроизводимостью и сличаемостью. С помощью рабочих эталонов разными методами осуществляется поверка (калибровка) различных СИ.

Рабочие измерения имеют  место в повседневной измерительной практике определения значения измеряемой физической величины и не связаны с передачей размера ее единицы.

К рабочим относят и  технические измерения – измерения  параметров технологических процессов, показателей готовой продукции, оборудования и других параметров, несвязанных с передачей размера единицы величины.

Измерение и его обработку  можно считать законченными, если полностью определено не только значение измеряемой величины, но и возможная  степень его отклонения от истинного  значения.

Под погрешностью результата измерения понимают отклонение результата измерения от истинного (действительного) значения измеряемой величины. Истинное значение измеряемой величины неизвестно, его используют только в теоретических  исследованиях. Это модельное значение, которое характеризует идеальным  образом в количественном и качественном отношении свойство объекта или  процесса. На практике используют действительное значение величины Х_Д, под которым понимают значение физической величины, полученное экспериментальным путем и настолько близкое к истинному значению, что в поставленной измерительной задаче может быть использовано вместо него.

Погрешность измерения ΔХ_изм определяется по формуле:

ΔХ_изм = Х_изм – X_Д

где Х_изм – измеренное значение величины.

Синонимом термина погрешность  измерения является «ошибка измерения», применять который РМГ 29-99 не рекомендует.

Как одна из основных характеристик  измерения, погрешность должна быть обязательно оценена. Для различных видов измерений проблема оценки погрешности может решаться по-разному. Погрешность результата измерений можно оценить с разной точностью, на основании различной исходной информации.

Различают измерения с  точной, приближенной и предварительной оценкой погрешностей.

При измерениях с точной оценкой погрешности учитываются индивидуальные метрологические свойства и характеристики каждого из примененных СИ, анализируется метод измерений с целью учета их влияния на результат измерения.

Если измерения ведутся  с приближенной оценкой погрешности, то учитывают лишь нормативные метрологические характеристики СИ и оценивают влияние на их результат только отклонения условий измерения от нормальных. Измерения с предварительной оценкой погрешности выполняются по типовым методикам, регламентированным НД, в которых указываются методы и условия измерений, типы и погрешности используемых СИ. На основе этих данных заранее оценивается возможная погрешность результата.

Под достоверностью измерений  следует понимать степень доверия  к получаемому результату измерений. Они, в свою очередь, определяются принятой доверительной вероятностью и заданными доверительными границами, в пределах которых ожидается получить результат измерения.

Единство измерений является важной составляющей характеристикой качества измерений. Такое состояние измерений характеризуется тем, что их результаты выражены в узаконенных единицах, размеры которых в установленных пределах равны размерам единиц, воспроизводимых первичными эталонами, а погрешности результатов измерений известны и с заданной вероятностью не выходят за установленные пределы.

Виды погрешностей:

Абсолютной погрешностью ( Δ ), выражаемой в единицах измеряемой величины, называется отклонение результата измерения от истинного или действительного значения.

Абсолютная погрешность  характеризует величину и знак погрешности, но не определяет качество самого проведенного измерения.

Понятие погрешности характеризует  как бы несовершенство измерения. Характеристикой качества измерения является используемое в метрологии понятие точности измерений, отражающее меру близости результатов измерений к истинному значению измеряемой физической величины. Точность и погрешность связаны между собой обратной зависимостью. Чтобы иметь возможность сравнить качество измерений, введено понятие относительной погрешности.

Относительной погрешностью (δ) называется отношение абсолютной погрешности измерения к истинному значению измеряемой величины. Она вычисляется по формуле:

 

Систематические погрешности (Δ_С) - составляющие погрешности измерений, остающиеся постоянными или закономерно изменяющиеся при многократных (повторных) измерениях одной и той же величины в одних и тех же условиях. Из всех видов погрешностей, именно систематические, является наиболее опасными и трудно устранимыми. Это объяснимо по ряду причин:

Во-первых, она постоянно  искажает действительное значение полученного результата измерения в сторону его увеличения или уменьшения. Причем, заранее направление такого искажения трудно определить.

Во-вторых, величина систематической  погрешности не может быть найдена методами математической обработки полученных результатов измерения. Она не может быть уменьшена при многократном измерении одними и теми же измерительными средствами.

В-четвертых, на результат  измерений влияют несколько факторов, каждый из которых вызывает свою систематическую погрешность в зависимости от условий измерения. Причем, каждый новый метод измерения может дать свои, заранее неизвестные систематические погрешности и надо искать приемы и способы исключения влияния этой погрешности в процессе измерения.

Такие погрешности могут  быть выявлены только путём детального анализа возможных их источников и уменьшены (применением более точных приборов, калибровкой приборов с помощью рабочих мер и пр.). Однако полностью их устранить нельзя.

Случайные погрешности () - составляющие погрешности измерений, изменяющиеся случайным образом при повторных (многократных) измерениях одной и той же величины в одних и тех же условиях. В появлении таких погрешностей нет какой-либо закономерности, они проявляются при повторных измерениях одной и той же величины в виде некоторого разброса получаемых результатов. Практически случайные погрешности неизбежны, неустранимы и всегда имеют место в результате измерения.

Грубые погрешности (промахи) – погрешности, существенно превышающие ожидаемые при данных условиях измерения. Такие погрешности возникают из-за ошибок оператора или неучтенных внешних воздействий. Их выявляют при обработке результатов измерений и исключают из рассмотрения, пользуясь определенными критериями (Шовине, Райта, Диксона, Романовского и т.д.). Так как не существует чётких границ определения грубой погрешности, рекомендуют выполнять проверку сразу по нескольким критериям.

Обязательными компонентами любого измерения являются СИ (прибор, измерительная установка, измерительная система), метод измерения и человек, проводящий измерение. Несовершенство каждого из этих компонентов приводит к появлению своей составляющей погрешности результата измерения.

Инструментальные (аппаратурные, приборные) погрешности возникают из-за несовершенства СИ, т. е. от погрешностей СИ. Источниками инструментальных погрешностей могут быть, например, неточная градуировка прибора и смещение нуля, вариация показаний прибора в процессе эксплуатации и т. д.

Точность СИ является характеристикой  качества СИ и отражает близость его погрешности к нулю. Считается, что чем меньше погрешность, тем точнее СИ.

Обобщенной характеристикой  данного типа СИ является его класс точности. Класс точности СИ, как правило, отражает уровень их точности и выражается пределами допускаемых основной и дополнительных погрешностей.

Кроме этого различают  статистические оценки характеристик погрешностей измерений (или, кратко, статистические оценки погрешностей измерений), отражающие близость отдельного, экспериментально уже полученного результата измерения к истинному значению измеряемой величины. При массовых технических измерениях, выполняемых при технологической подготовке производства, в процессах разработки, испытаний, производства, контроля и эксплуатации (потребления) продукции, при товарообмене, торговле и др., применяются, в основном, нормы погрешностей измерений, а также приписанные характеристики погрешности измерений. Они представляют собой вероятностные характеристики (характеристики генеральной совокупности) случайной величины — погрешности измерений. К ним относятся выборочное среднее квадратическое отклонение погрешности измерений или границы, в пределах которых погрешность измерений находится с заданной вероятностью (чаще с вероятностями Р=0,95, P=0,99).

Следует также отметить, что вместо термина среднее квадратическое отклонение РМГ 29-99 рекомендует применять термин средняя квадратическая погрешность результатов единичных измерений в ряду измерений (или кратко, средняя квадратическая погрешность измерений). Это есть оценка рассеяния единичных (однократных) результатов измерений в ряду равноточных измерений одной и той же физической величины около среднего их значения, вычисляемая по формуле:

 

Погрешность результата измерений  всегда известна с некоторой доверительной вероятностью и существуют ее доверительные границы. Под которыми понимают наибольшее и наименьшее значения погрешности измерений, ограничивающие интервал, внутри которого с заданной вероятностью находится искомое (истинное) значение погрешности результата измерений.

Доверительные границы в  случае нормального закона распределения вычисляются как x = ± t S, гдеS - средние квадратические погрешности, соответственно, единичного и среднего арифметического результатов измерений; t – коэффициент Стьюдента, зависящий от доверительной вероятности Р и числа измерений n.

Результат измерений записывается в виде x=x_cptS (P=…%). Результат измерений нецелесообразно записывать большим количеством цифр, причём он должен содержать такое же количество знаков, что и погрешность – это позволяет ориентировочно судить о точности измерения.

Исключительно важную роль при обработке результатов наблюдений играет проверка нормальности распределения  – она позволяет наиболее полно  оценить их сходимость. Это частный случай подбора статистической функции распределения.

Совокупность наблюдаемых значений величины представляет собой первичный статистический материал, подлежащий обработке, осмыслению и научному анализу. Такая совокупность называется «простой статистической совокупностью» или «простым статистическим рядом». Простой статистический ряд представляет собой первичную форму записи статистического материала и может быть обработан различными способами. Одним из способов такой обработки является построение статистической функции распределения случайной величины.

Статистической функцией распределения случайной величины X_i называется частота события Хх в данном статистическом материале:

F* (x) = P* (X x)

Для того чтобы найти значение статистической функции распределения  при данном x, достаточно подсчитать число опытов, в которых величина X приняла значение, меньшее чем x, и разделить на общее число n произведенных опытов.

Статистическая функция  распределения любой случайной  величины представляет собой прерывную  ступенчатую функцию, скачки которой  соответствуют наблюдаемым значениям случайной величины и по величине равны частотам этих значений. Если каждое отдельное значение случайной величины было наблюдено только один раз, скачок статистической функции распределения в каждом наблюденном значении равен , где n - число наблюдений.

     рис. 1

Пример графика статистической функции распределения представлен на рис. 1.

При увеличении числа опытов n, согласно теореме Бернулли, при любом x частота события X приближается (сходится по вероятности) к вероятности этого события. Следовательно, при увеличении n статистическая  функция распределения F*(x) приближается (сходится по вероятности) к подлинной функции распределения F(x) случайной величины X.

Если X - непрерывная случайная величина, то при увеличении числа наблюдений n число скачков функции F*(x) увеличивается, сами скачки уменьшаются и график функции F*(x) неограниченно приближается к плавной кривой F(x) - функции распределения величины X.

Построение статистической функции распределения решает задачу описания экспериментального материала. Однако при большом числе опытов n построение F*(x) описанным выше способом весьма трудоемко. Кроме того, часто бывает удобно - в смысле наглядности - пользоваться другими характеристиками статистических распределений, аналогичными не функции распределения, а плотности.

При большом числе наблюдений (порядка сотен) простая статистическая совокупность перестает быть удобной  формой записи статистического материала - она становится слишком громоздкой и мало наглядной. Для придания ему  большей компактности и наглядности  статистический материал должен быть подвергнут дополнительной обработке - строится так называемый «статистический  ряд».

Предположим, что в нашем  распоряжении результаты наблюдений над  непрерывной случайной величиной  X, оформленные в виде простой статистической совокупности. Разделим весь диапазон значений на интервалы или «разряды» и подсчитаем количество значений m_i, приходящееся на каждый i-й разряд. Это число разделим на общее число наблюдений и найдем частоту, соответствующую данному разряду:

 

Сумма частот всех разрядов, очевидно, должна быть равна единице.

Построим таблицу, в которой  приведены разряды в порядке  их расположения вдоль оси абсцисс  и соответствующие частоты. Эта  таблица называется статистическим рядом.

Статистический ряд часто  оформляется графически в виде так  называемой гистограммы. Гистограмма  строится следующим образом. По оси  абсцисс откладываются разряды, и на каждом из разрядов как их основании  строится прямоугольник, площадь которого равна частоте данного разряда. Для построения гистограммы нужно  частоту каждого разряда разделить  на его длину и полученное число  взять в качестве высоты прямоугольника. В случае равных по длине разрядов высоты прямоугольников пропорциональны соответствующим частотам. Из способа построения гистограммы следует, что полная площадь ее равна единице.

рис. 2

Пример гистограммы изображён на рис. 2.

Пользуясь данными статистического  ряда, можно приближенно построить  и статистическую функцию распределения  величины X. Построение точной статистической функции распределения с несколькими сотнями скачков во всех значениях измерений слишком трудоемко и себя не оправдывает. Для практики достаточно построить статистическую функцию распределения по нескольким точкам. В качестве этих точек удобно взять границы x₁, x₂,.. разрядов, которые фигурируют в статистическом ряду. Тогда

 

Соединяя полученные точки  плавной кривой, получим приближенный график статистической функции распределения (рис. 3).

рис. 3

2. Расчётная часть. Обработка результатов измерений.

2.1 Нахождение среднего арифметического х_ср результатов измерений X_i:

х_ср == 90,526

2.2 Оценка среднего квадратического отклонения:

  == 0,2205 (Приложение 1)

2.3 Оценка среднего квадратического отклонения результата измерений:

S_R =

2.4 Проверка нормальности распределения результатов измерений (Приложение 1 и 2)

По формуле F_n (X_к) = , где k = 1, 2, 3,…,19 - так как количество повторений результатов измерений равно 3, а n = 22. Находим значения F_n, сопоставляем по Табл. П1.1 с Z_к (список литературы, п.6).

Строим график зависимости  Z_к от Х_к – линия на графике доказательство нормальности распределения результатов измерений. (Приложение 2)

2.5 Проверка на промах.

Так как число измерений  n больше 20, используем критерий 3. Абсолютная разница по значению между среднеарифметическим х_ср и результатом измерений Х_i должна быть больше утроенного значения среднего квадратического отклонения . В ходе проверки выявлен промах Х_i=90,149.

2.6 Определение доверительной  погрешности:

=t_xSR, где S_R – ср.кв. результата измерений, t_x – коэффициент Стьюдента, табличное значение, равен 2,8 при вероятности =0,99.

2.7 Запись окончательного  результата измерений в виде:

X = x_cptxSR  (P=100-, %)

X=90,5262,80,047  (P=99,01%) или

90,526-2,80,047 Х 90,526+2,80,047 (Р=99,01%)

 

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

i	Xi	Случайные отклонения результатов измерений (Xi-xср)	Квадраты случайных отклонений (Хi-xcp)2	Вариационный ряд Хк	Статистическая функция распределения Fn(Xк)	Zк
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22	90,470 90,480 90,490 90,500 90,450 90,520 90,510 90,530 90,460 90,540 90,550 90,710 91,148 90,149 90,350 90,450 90,520 90,501 91,030 90,460 90,154 90,600	-0,056 -0,046 -0,036 -0,026 -0,076 -0,006 -0,016 0,004 -0,066 0,014 0,024 0,184 0,622 -0,377 -0,176 -0,076 -0,006 -0,025 0,504 -0,066 -0,372 0,074	0,003136 0,002116 0,001296 0,000676 0,005776 0,000036 0,000256 0,000016 0,004356 0,000196 0,000576 0,033856 0,386884 0,142129 0,030976 0,005776 0,000036 0,000625 0,254016 0,004356 0,138384 0,005476	90,149 90,154 90,350 90,450 90,460 90,470 90,480 90,490 90,500 90,501 90,510 90,520 90,530 90,540 90,550 90,600 90,710 91,030 91,148	0,04348 0,08700 0,13043 0,17391 0,21739 0,26087 0,30435 0,34783 0,39130 0,43478 0,47826 0,52174 0,56522 0,60870 0,65217 0,69565 0,73913 0,78260 0,82609	-1,71 -1,69 -0,80 -0,34 -0,30 -0,25 -0,21 -0,16 -0,12 -0,11 -0,07 -0,03 0,02 0,06 0,11 0,34 0,83 2,29 2,82
			1,02095

Х_ср=90,526   =0,2205   S_R=0,047   =0,131623

 

 

 

 

 

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение.

Курсовая работа позволила получить навыки статистической обработки результатов наблюдений, выявления погрешностей в результатах наблюдений, представления результатов измерений, оценки формы и вида законов экспериментальных распределений физических величин, записи результатов измерений. Выполнение курсовой работы также позволило овладеть практическими навыками в работе с нормативно-технической литературой и стандартами (паспортами СИ, таблицами характеристик распределения случайных величин, таблицами критериальных значений параметров распределения и др.).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы:

1. Кузнецов В.А., Ялунина Г.В. Метрология (теоретические, прикладные и законодательные основы): Учебное пособие – М.: ИПК Изд-во стандартов, 1998. – 336 с.

2. Третьяк Л.Н. Обработка прямых измерений с многократными наблюдениями: Учебное пособие – Оренбург: ИПК ОГУ, 2002. – 60 с.

3. РМГ 29–99. Рекомендации по межгосударственной стандартизации ГСИ. Метрология. Основные термины и определения (взамен ГОСТ 16263–70) – М.: ИПК Изд-во стандартов, 2000. – 46 с.

4. ГОСТ 8.207-76 ГСИ. Прямые измерения с многократными наблюдениями. Методы обработки результатов наблюдений. Основные положения - М.: Изд-во стандартов, 2006. – 10 с.

5. Радкевич Я.М., Схиртладзе А.Г., Локтионов Б.И. Метрология, стандартизация и сертификация – М.: Высш.школа, 2004. – 767 с.

6. Макаренко В.Г. Учебно-методическая  разработка к курсовой работе  «Оценка результатов измерений» - Новочеркасск: ЮРГТУ (НПИ), 2012. – 19 с.