Обработка результатов прямых многократных неровностей измерений, метрология

Московский  Авиационный Институт

(Государственный  Технический Университет) 
 

Курсовая  работа

По  курсу:

Метрология

На  тему:

Обработка результатов прямых многократных неровностей  измерений 
 
 

                                                              Выполнил студент гр. 02-206

                                                              Астрихинская Евгения

                                                              Руководитель: Е.П. Мышелов

Москва 2011

Содержание: 

1. Цель работы                                                                                               3стр.
2. Описание приборов                                                                                  3стр.
3. Выполнение задания                                                                                4стр.

а) Результаты исследования                                                                    4стр.

б) Обработка результатов отдельных серий прямых многократных равноточных измерений                                                                                                  5стр.

в) Метод  наименьших квадратов                                                            10стр.

г) Доверительный интервал результата                                                  16стр.

     4) Вывод                                                                                                            18ср. 

1. Цель  работы

  Ознакомление с методами и средствами линейных измерений и определение погрешности прямых многократных неравноточных измерений.

  Изучить приборы оптиметр и микрокатор

  Найти функцию распределения по выборкам, методом наименьших квадратов аппроксимировать выборку и найти коэффициент  корреляции. 

2. Описание  приборов

  Оптиметр - (от греч. optos - видимый и ...метр), прибор для особо точных линейных измерений. Преобразовательным элементом служит рычажно-оптический механизм, в котором угол поворота зеркала измеряется с помощью авто коллимации трубки. Точность измерений (цена деления шкалы) 0,2-1 мкм, пределы измерений D25 мм.

  Микрокатор -  (инструмент для измерения малых перемещений) имеет механизм в виде скрученной в средней части ленточной пружины, при растягивании поворачивающейся на определённый угол. Механизм микрокатора используется в малогабаритных пружинных измерительных головках — микаторах, пружинно-рычажных индикаторах — миникаторах, пружинно-оптических измерительных головках — оптикаторах. 
 
 

3. Выполнение  задания

  а) Результаты исследования.

  Поправки на измерения 

Результаты, полученные на оптиметре 

  Результаты, полученные на микрокаторе

  Размер  блока при установке на нуль по аттестату: 
 

  б) Обработка  результатов отдельных серий  прямых многократных равноточных измерений.

  Характеристика  серий измерений

  Математическое  ожидание - мера среднего значения случайной величины в теории вероятностей. Обозначается E[X], M[X] или µ 

  Дисперсия случайной величины - мера разброса данной случайной величины, то есть её отклонения от математического ожидания. Обозначается D[X], varX, ,  

  где n – число измерений, n = 30

  Среднеквадратическое  отклонение - в теории вероятностей и статистике наиболее распространенный показатель рассеивания значений случайной величины относительно её математического ожидания. 
 
 
 

  S – стандарт, стандартное отклонение, несмещенная оценка среднеквадратического отклонения случайно величины X относительно ее математического ожидания.

   –  среднеквадратическое отклонение

    – дисперсия

    – i-ый элемент выборки

    – среднее арифметическое выборки 

  Для первой серии измерений:

  Для второй серии измерений

Построение  гистограмм 

  Первая  серия измерений (оптиметр):

  Проверка  по критерию χ² Пирсона:

  Упорядочили выборку по возрастанию и разбили  общий интервал на 8 под интервалов. Подсчитали частоту попадания в интервал и ее вероятность. Вероятность попадания в интервал определяется P_i()=n_m/n, где n_m - частота попадания в интервал.

  Вычислили статистику критерия χ² Пирсона:

g = 

  a и – оценки параметров распределения

  Ф(x) – функция Лапласа, значение которой взяли из таблицы

  Если  гипотеза H₀ верна и n достаточно велико, то g можно считать реализацией случайной величины Х²(r), имеющий распределение Х² с r=k-2-1 степенями свободы

  По  таблицам квантилей распределения  находим число являющееся решением уравнения P(≥) = α, (то есть -квантиль уровня значимости α распределения ) и формируют критическую область S_α = (), где α – малое положительное число, называемое уровнем значимости критерия (0,01 < α < 0,1)

  Гипотеза  H₀ отвергается, если g не принадлежит S_α и принимается, если g не принадлежит S_α.

  Табличное значение 15,1

  Полученное значение 15,0

  Выборка на оптиметре удовлетворяет нормальному  распределению на 99% 

  Вторая  серия измерений (микрокатор):

  Проверка  по критерию χ² Пирсона:

  Упорядочили выборку по возрастанию и разбили  общий интервал на 6 под интервалов. Подсчитали частоту попадания в интервал и ее вероятность. Вероятность попадания в интервал определяется P_i()=n_m/n, где n_m - частота попадания в интервал.

  Вычислили статистику критерия χ² Пирсона:

g = 

  a и – оценки параметров распределения

  Ф(x) – функция Лапласа, значение которой взяли из таблицы

  Если  гипотеза H₀ верна и n достаточно велико, то g можно считать реализацией случайной величины Х²(r), имеющий распределение Х² с r=k-2-1 степенями свободы

  По  таблицам квантилей распределения  находим число являющееся решением уравнения P(≥) = α, (то есть -квантиль уровня значимости α распределения ) и формируют критическую область S_α = (), где α – малое положительное число, называемое уровнем значимости критерия (0,01 < α < 0,1)

  Гипотеза  H₀ отвергается, если g не принадлежит S_α и принимается, если g не принадлежит S_α.

  Табличное значение 13,8

  Полученное  значение 12,1

  Выборка на микрокаторе удовлетворяет нормальному распределению на 99,9% 

  в) Метод  наименьших квадратов 

  Метод наименьших квадратов - один из методов регрессионного анализа для оценки неизвестных величин по результатам измерений, содержащих случайные ошибки.

  Метод наименьших квадратов применяется  также для приближённого представления  заданной функции другими (более  простыми) функциями и часто оказывается  полезным при обработке наблюдений.

  Когда искомая величина может быть измерена непосредственно, как, например, длина  отрезка или угол, то, для увеличения точности, измерение производится много  раз, и за окончательный результат  берут арифметическое среднее из всех отдельных измерений. Это правило арифметической середины основывается на соображениях теории вероятностей; легко показать, что сумма квадратов уклонений отдельных измерений от арифметической середины будет меньше, чем сумма квадратов уклонений отдельных измерений от какой бы то ни было другой величины. Само правило арифметической середины представляет, следовательно, простейший случай метода наименьших квадратов.

  Обработаем  первую выборку (оптиметр) по методу наименьших квадратов и построим график зависимости результата измерения от номера измерения. Представим зависимость в виде линейной, графиком будет прямая. Функция имеет вид y = ax+b.  Где a = n*∑(Xi*Yi)-(∑Xi*∑Yi))/(n*∑((Xi)^2)-(∑Xi)^2). Xi – номер измерения (от 1 до n), Yi – результат измерения.

  Для помощи в расчете составим таблицу:

  a = -0,00291435

  b = (∑Yi-a*∑Xi)/n = -7,91816

  Y = -0,0029*X – 7,91816

  По  полученным данным составим таблицу:

  Также обработаем вторую выборку (микрометр)

  Составим  таблицу: