Определение оптимального плана замены оборудования. 3

Оглавление 

Введение………………...………………………………………………...……….3

Глава 1. Теоретическое описание модели замены оборудования…………..….4

1.1. Характеристика состояния хозяйствующего субъекта и выявление тенденций его развития…………...………………………………..……...4

1.2. Информационно-методическое обеспечение экономического моделирования……………...……...…………………………………...…..4

1.2.1. Методическая база решения модели………………….…………....4

1.2.2. Информационно-методическое обеспечение метода…………..…9

Глава 2. Расчет показателей экономико-математической модели и экономическая интерпретация результатов………………………….………...13

      2.1. Нахождение условного оптимального решение задачи…………...15

      2.2. Составление оптимального плана  замены оборудования…………21

Заключение…………………………………………………………………….....24

Список литературы…………………………………………………………..…..26

Приложения…………………………...………………………………………....27 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение 

     Во  всем мире существует множество предприятий, которые используют для производства своей продукции машинное оборудование. Поэтому при его внедрении  нужно составлять оптимальный план использования и замены оборудования. Задачи по замене оборудования рассматриваются как многоэтаповый процесс, который характерен для динамического программирования.

     Многие  предприятия сохраняют или заменяют оборудование по своей интуиции, не применяя методы динамического программирования. Применять эти методы целесообразно, так как это позволяет наиболее четко максимизировать прибыль или минимизировать затраты.

     Целью данной работы является определение оптимальных сроков замены старого оборудования.

      Задачи этой работы состоят:

• в нахождении условного оптимального решения задачи;

• в составлении оптимального плана замены оборудования.

     Старение  оборудования включает  его физический и моральный износ. В результате чего увеличиваются производственные затраты, растут затраты на обслуживание и ремонт, снижается производительность труда и ликвидная стоимость. Критерием оптимальности является либо прибыль от эксплуатации оборудования, либо суммарные затраты на эксплуатацию в течение планируемого периода.

     Курсовая  содержит 2 главы, 12 таблиц, 1 приложение, 5 рисунков и оформлена на 30 страницах. 
 
 
 
 

Глава 1. Теоретическое описание модели замены оборудования 

1.1. Характеристика состояния хозяйствующего субъекта и выявление тенденций его развития 

     Для осуществления своей эффективной  деятельности производственные объединения  и предприятия должны периодически производить замену используемого  ими оборудования. При этой замене учитывается производительность используемого  оборудования  и затраты, связанные с содержанием и ремонтом оборудования.

     Характерным для динамического программирования является подход к решению задачи по этапам, с каждым из которых ассоциирована  одна управляемая переменная. Набор  рекуррентных вычислительных процедур, связывающих различные этапы, обеспечивает получение допустимого решения задачи в целом при достижении последнего этапа.

 ( )                  (1.1)

1. - принцип оптимальности Беллмана.

                                       (1.2)

где t – возраст оборудования к началу k-го года (k=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10); – управление, реализуемое к началу k-го года; P₀ – стоимость нового оборудования.

2. - функциональное уравнение Беллмана.

1.2. Информационно-методическое обеспечение экономического моделирования 

1.2.1. Методическая база решения модели 

     В задачах динамического программирования экономический процесс зависит  от времени (от нескольких периодов (этапов) времени), поэтому находится ряд  оптимальных решений (последовательно для каждого этапа), обеспечивающих оптимальное развитие всего процесса в целом. Задачи динамического программирования называются многоэтапными или многошаговыми. Динамическое программирование представляет собой математический аппарат, позволяющий осуществлять оптимальное планирование многошаговых управляемых процессов и процессов, зависящих от времени. Экономический процесс называется управляемым, если можно влиять на ход его развития. Управлением называется совокупность решений, принимаемых на каждом этапе для влияния на ход процесса. В экономических процессах управление заключается в распределении и перераспределении средств на каждом этапе. Например, выпуск продукции любым предприятием – управляемый процесс, так как он определяется изменением состава оборудования, объемом поставок сырья, величиной финансирования и т.д. Совокупность решений, принимаемых в начале каждого года планируемого периода по обеспечению предприятия сырьем, замене оборудования, размерам финансирования и т.д., является управлением. Казалось бы, для получения максимального объема выпускаемой продукции проще всего вложить максимально возможное количество средств и использовать на полную мощность оборудование. Но это привело бы к быстрому изнашиванию оборудования и, как следствие, к уменьшению выпуска продукции. Следовательно, выпуск продукции надо спланировать так, чтобы избежать нежелательных эффектов. Необходимо предусмотреть мероприятия, обеспечивающие пополнение оборудования по мере изнашивания, т.е. по периодам времени. Последнее хотя и приводит к уменьшению первоначального объема выпускаемой продукции, но обеспечивает в дальнейшем возможность расширения производства. Таким образом, экономический процесс выпуска продукции можно считать состоящим из нескольких этапов (шагов), на каждом из которых осуществляется влияние на его развитие.

     Началом этапа (шага) управляемого процесса считается  момент принятия решения (о величине капитальных вложений, о замене оборудования определенного вида и т.д.). Под  этапом обычно понимают хозяйственный год.

     Динамическое  программирование, используя поэтапное  планирование, позволяет не только упростить решение задачи, но и  решить те из них, к которым нельзя применить методы математического  анализа. Упрощение решения достигается за счет значительного уменьшения количества исследуемых вариантов, так как вместо того, чтобы один раз решать сложную многовариантную задачу, метод поэтапного планирования предполагает многократное решение относительно простых задач.

     Планируя  поэтапный процесс, исходят из интересов всего процесса в целом, т.е. при принятии решения на отдельном этапе всегда необходимо иметь в виду конечную цель.

     Предположим, какая-то система S находится в некотором начальном состоянии S₀ и является управляемой. Таким образом, благодаря осуществлению некоторого управления U указанная система переходит из начального состояния S₀ в конечное состояние S_к. При этом качество каждого из реализуемых управлений U характеризуется соответствующим значением функции W(U). Задача состоит в том, чтобы из множества возможных управлений U найти такое U*, при котором функция W(U) принимает экстремальное (максимальное или минимальное) значение W(U*).

     Задачи  динамического программирования имеют  геометрическую интерпретацию. Состояние  физической системы S можно описать числовыми параметрами, например расходом горючего и скоростью, количеством вложенных средств и т.д. Назовем эти параметры координатами системы; тогда состояние системы можно изобразить точкой S, а переход из одного состояния S₁ в другое S₂ – траекторией точки S. Управление U означает выбор определенной траектории перемещения точки S из S₁ в S₂, т.е. установление определенного закона движения точки S. 

                                               S₀                            S                           S_k

                                0                                                                           x

     Область возможных состояний системы 

Рис. 1.1. Графическое изображение перехода системы S 

     Совокупность  состояний, в которые может переходить система, называется областью возможных состояний. В зависимости от числа параметров,  характеризующих состояние системы, область возможных состояний системы может быть различной. Пусть, например, состояние системы S характеризуется одним параметром, - координатой x. В этом случае изменение координаты, если на нее наложены некоторые ограничения, изобразится перемещением точки S по оси Оx или по ее участку. Следовательно, областью возможных состояний системы является совокупность значений x, а управлением – закон движения точки S из начального состояния S₀ в конечное S_k   по оси Ox или ее части (рис. 1.1).

     Если  состояние системы  S характеризуется двумя параметрами (x₁ и x₂), то областью возможных состояний системы служит плоскость x₁Ox₂ или ее часть, а управление изобразится линией на плоскости, по которой точка S перемещается из S₀ в S_k (рис. 1.2). 
 
 
 
 
 
 

                               х2

                                        S₀

                                                                 S                      S_k

                          0                                                                         х1

Рис. 1.2. Управление системы S в графическом изображении 

     В общем случае, когда состояние  системы описывается n параметрами x_i (i=1,2,…,n), областью возможных состояний служит n-мерное пространство, а уравление изображается перемещением точкиS из какой-то начальной области S₀ в конечную S_k по некоторой “траектории” этого пространства.

     Таким образом, задаче динамического программирования можно дать следующую геометрическую интерпретацию. Из всех траекторий, принадлежащих области возможных состояний системы и соединяющих области S₀ и S_k, необходимо выбрать такую, на которой критерий W принимает оптимальное значение.

     Чтобы рассмотреть общее решение задач  динамического программирования, введем обозначения и сделаем для дальнейших изложений предположения.

     Будем считать, что состояние рассматриваемой  системы S на k-м шаге (k=1,n) определяется совокупностью чисел X^(k) =(x₁ ^(k) , x₂^(k) ,…, x_n^(k)), которые получены в результате реализации управления u_k, обеспечившего переход системы S из состояния X^(k-1) в состояние X^(k). При этом будем предполагать, что состояние X^(k) , в которое перешла система S, зависит от данного состояния X^(k-1) и выбранного управления u_k и не зависит от того, каким образом система S пришла в состояние X^(k-1) .

     Далее будем считать, что если в результате реализации k-го  шага обеспечен определенный доход или выигрыш,  также   зависящий от исходного состояния системы X^(k-1) и выбранного управления u_k и равный W_k(X^(k-1), u_k), то общий доход или выигрыш за n шагов составляет 

                                                (1.3) 

     Таким образом, задача динамического программирования должна удовлетворять два условия. Первое условие обычно называют условием отсутствия последействия, а второе – условием аддитивности целевой функции задачи. 

1.2.2. Информационно-методическое обеспечение метода 

     Выполнение  для задачи динамического программирования первого условия позволяет сформулировать для нее принцип оптимальности Беллмана. Прежде чем сделать это, надо дать определение оптимальной стратегии управления. Под такой стратегией понимается совокупность управлений U*=(u₁*, u₂*, …, u_n*), в результате реализации которых система S за n шагов переходит из начального состояния X⁽⁰⁾ в конечное X^(k) и при этом функция (1.3)  принимает наибольшее значение.

     Принцип оптимальности: какое бы не было состояние  системы перед очередным шагом, надо выбрать управление на этом шаге так, чтобы выигрыш на данном шаге плюс оптимальный выигрыш на всех последующих шагах был максимальным.

     Отсюда  следует, что оптимальную стратегию  управления можно получить, если сначала  найти оптимальную стратегию  управления на n-м шаге, затем на двух последних шагах, затем на трех последних шагах и т.д., вплоть до первого шага.  Таким образом, решение рассматриваемой задачи динамического программирования целесообразно начинать с определения оптимального решения на последнем, n-м шаге. Для того чтобы найти это решение, очевидно, нужно сделать различные предположения о том, как мог окончиться предпоследний шаг, и с учетом этого выбрать управление u_n⁰ , обеспечивающее максимальное значение функции W_n(X^(n-1), u_n). Такое управление u_n⁰ выбранное при определенных предположениях о том, как окончился предыдущий шаг, называется условно оптимальным управлением. Следовательно, принцип оптимальности требует находить на каждом шаге условно оптимальное управление для любого из возможных исходов предшествующего шага.

     Чтобы это можно было осуществить практически, необходимо дать математическую формулировку принципа оптимальности. Для этого введем некоторые дополнительные обозначения. Обозначим через F_n(X⁰)  максимальный доход, получаемый за n шагов при переходе системы S из начального состояния X⁽⁰⁾ в конечное состояние X^(k) при реализации оптимальной стратегии управления U=(u₁, u₂, …, u_n), а через F_n-k(X^(k)) –максимальный доход, получаемый при переходе из любого состояния X^(k) в конечное состояние X⁽ⁿ⁾ при оптимальной стратегии управления на оставшихся n-k шагах. Тогда: 

;                           (1.4)

  ( ).                  (1.5) 

     Последнее выражение представляет собой математическую запись принципа оптимальности и  носит название основного функционального  уравнения Беллмана или рекуррентного соотношения. Используя данное уравнение можно найти решение задачи динамического программирования.

     Полагая k=n-1 в рекуррентном соотношении (1.5), получим следующее функциональное уравнение:  

                                (1.6) 

     В этом уравнении F₀(X⁽ⁿ⁾) будем считать известным. Используя теперь уравнение (1.6) и рассматривая всевозможные допустимые состояния системы S на (n-1)-м шаге X₁^(n-1), X₂^(n-1), …, X_m^(n-1), …, находим условные оптимальные решения

     и соответствующие значения функции (1.6) 

     Таким образом, на n-м шаге находим условно оптимальное управление при любом допустимом состоянии системы S после (n-1)-го шага. То есть, в каком бы состоянии система ни оказалась после (n-1)-го шага, будет известно, какое следует принять решение на n-м шаге. Известно также и соответствующее значение функции (1.6). Рассмотрим функциональное уравнение при k=n-2: 

                             (1.7) 

     Для того чтобы найти значения F₂  для всех допустимых значений X^(n-2), необходимо знать W_n-1(X^(n-2), u_n-1) и F₁(X^(n-1)). Что касается значений F₁(X^(n-1)), то они уже определены. Поэтому нужно произвести вычисления для W_n-1(X^(n-2),    u_n-1)  при некотором отборе допустимых значений X^(n-2) и соответствующих управлений u_n-1. Эти вычисления позволят определить условно оптимальное управление u⁰_n-1 для каждого X^(n-2). Каждое из таких управлений совместно с уже выбранным управлением на последнем шаге обеспечивает максимальное значение дохода на двух последних шагах.

     Последовательно осуществляя описанный выше итерационный процесс, дойдем до первого шага. На этом шаге известно, в каком состоянии  может находиться система. Поэтому  уже не требуется делать предположений о допустимых состояниях системы, а остается лишь только выбрать управление, которое является наилучшим с учетом условно оптимальных управлений, уже принятых на всех последующих шагах.

     Таким образом, в результате последовательного  прохождения всех этапов от конца к началу определяется максимальное значение выигрыша за n шагов и для каждого из них находим условно оптимальное управление.

     Чтобы найти оптимальную стратегию  управления, то есть определить искомое  решение задачи, нужно теперь пройти всю последовательность шагов, только на этот раз от начала к концу. А именно: на первом шаге в качестве оптимального управления u₁* возьмем найденное условно оптимальное управление u₁⁰. На втором шаге найдем состояние X₁*, в которое переводит систему управление u₁*. Это состояние определяет найденное условно оптимальное u₂⁰ , которое теперь считается оптимальным. Зная u₂*, находим X₂*, а значит, определяем u₃* и т.д. В результате этого найдется решение задачи, то есть максимально возможный доход и оптимальную стратегию управления U*, включающую оптимальные управления на отдельных шагах: U*= (u₁*, u₂*,…, u_n*).

Глава 2. Расчет показателей экономико-математической модели и экономическая интерпретация результатов 

     К началу планируемого периода на предприятии  установлено новое оборудование, позволяющее за каждый год восьмилетнего периода выпустить готовой продукции на сумму соответственно 25, 24, 24, 23, 23, 23, 22, 21, 20, 20, 20 тыс.д.ед. Ежегодные затраты предприятий, связанные с содержанием и ремонтом используемого аналогичного оборудования за тот же период времени представлены в приложении 1. Затраты, связанные с приобретением и установкой нового оборудования, идентично с установленным, составляют 10 д. ед., использованное оборудование списывается.

     На  основе  статистической обработки, результаты которой сведены в таблицу 2.1,  можно построить графическую зависимость затрат на содержание и ремонт оборудования в планируемом периоде.

     Таблица 2.1

Зависимость затрат на содержание и ремонт оборудования в планируемом периоде.  

Рис.2.1. Зависимость затрат на содержание и ремонт оборудования в планируемом периоде. 

     Из  графика видно, что затраты на содержание и ремонт оборудования в  планируемом периоде с каждым годом растут, потому что оборудование стареет.

     Данная  задача относится к задачам динамического программирования, потому что выполняются два условия это: аддитивность целевой функции; отсутствие последствия, которое строится на принципе оптимальности Беллмана.

     В этой задаче  в качестве системы  S выступает оборудование. Состояние этой системы определяются фактическим временем использования оборудования (его возрастом) t, то есть описываются единственным параметром t.

     В качестве управлений выступают решения  о замене и сохранении оборудования, принимаемые в начале каждого  года. Обозначим через X^c решение о сохранении оборудования, а через X^з – решение о замене оборудования. Тогда задача состоит в нахождении такой стратегии управления, определяемой решениями, принимаемыми к началу каждого года, при которой общая прибыль предприятия за восемь лет является максимальной.

     Эта задача обладает свойствами аддитивности и отсутствия последействия. Следовательно, ее решение можно найти с помощью  алгоритма, реализуемого в два этапа. На первом этапе при движении от начала 10-го года периода к началу 1-го года для каждого допустимого состояния оборудования найдем условное оптимальное управление (решение), а на втором этапе при движении от начала 1-го года периода к началу 10-года из условных оптимальных решений для каждого года составим оптимальный план замены оборудования на десять лет.

     Для определения условных оптимальных  решений сначала необходимо составить  функциональное уравнение Беллмана. Так как было предположено, что  к началу k-го года (k=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) может приниматься только одно из двух решений – заменять или не заменять оборудование. 

2.1. Нахождение условного  оптимального решение  задачи 

     Используя теперь уравнение (1.2) , находим решение исходной задачи. Это решение начинается с определения условно оптимального управления (решения) для последнего (10-го) года периода, в связи с чем находим множество допустимых состояний оборудования к началу данного года. Так как к началу периода имеется новое оборудование (t =0), то возраст оборудования к началу 10-го года может составлять 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 лет. Для каждого из этих состояний найдем условно оптимальное решение и соответствующее значение функции Z^*₁₀(t).

       X^c 

       X^c 

       X^c 

       X^c 

       X^c 

       X^c 

       X^c 

       X^c 

       X^c 

     Полученные  результаты сведены в таблицу 2.2.

     Таблица 2.2

Возможное состояние оборудование к началу 10-го года периода 

     Рассмотрим  возможное состояние оборудование к началу 9-го года периода и найдем соответствующие значения функции Z^*₉(t).

     Полученные  результаты записаны в таблице 2.3.

     Таблица 2.3

Возможное состояние оборудование к началу 9-го года периода 

     Определим условно оптимальное решение  для каждого из допустимых состояний  оборудования к началу 8-го года периода.

     Полученные  результаты сведены в таблицу 2.4

     Таблица 2.4

Возможное состояние оборудование к началу 8-го года периода