Определение закона распределения вероятностей

Министерство образования  и науки РФ

ГОУ ВПО Восточно-Сибирский  Государственный Технологический   

Университет

Кафедра СМУК

 

 

Расчетно-пояснительная  записка к курсовой работе по дисциплине Общая теория измерений на тему

Анализ и обработка  статистических данных

Вариант 4

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнила: студентка II курса

группы  2169  Гаськова А.С.

 Проверил: Хамханова Д.Н.

 

 

 

Улан-Удэ, 2012


Содержание

 

Введение

  1. Определение закона распределения вероятностей
  2. Проверка соответствия эмпирического распределения теоретическому распределению
  3. Определение доверительного интервала

Заключение

Список использованных источников

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Введение

В России до перехода к рыночной экономике обеспечение единства измерений осуществлялось и регулировалось государством централизовано с помощью метрологических государственных и ведомственных центров.

В новых экономических  условиях было принято решения о  переходе системы измерений в  России на законодательный принцип  управления. В 1993 г. были приняты Законы Российской Федерации “О стандартизации”, “О сертификации продукции и услуг”, “Об обеспечении единства измерений”.В этих Законах регламентированы организационные принципы метрологического обеспечения и государственного надзора за стандартами и средствами измерений, обязанности Госстандарта, осуществляющего государственное управление деятельностью по обеспечению единства измерений в стране с помощью его должностных лиц – государственных инспекторов.

Общие правила и нормы  обеспечения единства измерений  устанавливают государственные стандарты ГСИ, а также межотраслевые документы метрологического характера: руководящие документы (РД), методические указания Госстандарта (МУ), методики метрологических институтов Госстандарта (МИ), правила по метрологии (ПР), инструкции.

 

 

 

 

 

 


  1. Определение закона распределения вероятностей результатов измерения

Определение закона распределения  вероятностей результата измерений  базируется на применении аналитических (основанных на определении оценок различных показателей формы распределения: асимметрии, эксцесса, контрэксцесса, энтропийного коэффициента и т.д.) и графических (построение на основе массива экспериментальных данных графиков интегральных и дифференциальных функций распределения) методов определения закона распределения вероятностей (ЗРВ).

Основная цель использования методов  математической статистики - изучение свойств неизмеримо большой группы объектов на основании анализа свойств  относительно небольшой их совокупности.

При этом все существующее в природе  множество интересующих нас объектов называется генеральной совокупностью, а относительно небольшое их множество, отобранное нами для изучения - выборочной совокупностью, или выборкой.

В данной работе мы будем  определять закон распределения  вероятности представленной выборки  Х, представляющей собой следующий  массив данных:

Х (155 147 155 152 140 164 147 156 136 138 148 146 140 140 145 149 140 145 146 156 153 149 139 139 159 148 160 149 162 137 164 151 146 148 151 152 135 141 137 163 155 153 147 150 145 142 158 149 151 162 144 150 138 146 152 152 147 156 148 142 134 149 150 148 162 142 141 142 162 152 147 161 148 153 173 156 151 139 143 139 146 152 150 152 140 153 157 152 163 152 157 154 150 151 146 154 136 153 145 149 157 147 143 149 156 144 157 145 145 173 157 154 166 154 160 153 150 139 146 152 141 152 142 145 151 130 151 146 151 158 152 139 161 144 141 143 148 153 130 149 154 142 141 159 150 157 162 149 137 148 152 151 152 153 158 146 154 129 159 146 143 152 147 157 134 157 151 134 144 143 155 146 164 149 150 141 162 140 162 133 148 153 163 144 138 154 154 152 156 156 159 146 154 153 159 155 137 161 157 136 161 147 149 144 151 153 155 146 159 155 158 150 149 153 147 154 158 157 146 165 129 152 150 150 152 167 158 141 147 164 136)


Общая методика содержит следующие  этапы:

  1. Ранжирование значений выборки Х в порядке возрастания и представления в виде вариационного ряда :

С помощью функции «Сортировка» Ms Excel упорядочиваем значения выборки Х по возрастанию для дальнейшего удобства.

  1. Определение среднего арифметического значений выборки:

Среднее арифметическое выборки - это один из наиболее употребительных статистических показателей. Среднее арифметическое характеризует положение центра выборки на числовой прямой и является мерой математического ожидания переменной. Находим его по следующей формуле:

                                                    (1)

Среднее арифметическое или выборочную среднюю распределения можно рассматривать как случайную величину.

В Microsoft Excel среднее арифметическое находим по формуле СРЗНАЧ(A2:A232), где А2:А232 диапазон значений выборки Х. Qср = 149,76.

  1. Определение несмещенной оценки дисперсии:

Дисперсия является вторым центральным моментом случайной величины. Выборочная дисперсия в математической статистике — это оценка теоретической дисперсии распределения на основе выборки.

Выборочной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений Х от их выборочной средней:


                                              (2)

Она характеризует рассеяние  наблюдаемых значений выборки вокруг среднего значения. Это рассеяние  может быть значительным, тогда есть риск, что найденная по данным выборки  статистическая оценка, т.е. функция от наблюдаемых случайных величин, будет сильно удалена от среднего значения, и мы допустим систематическую ошибку. Эта возможность будет исключена при малой дисперсии.

В нашем случае, дисперсия  равна 65,51, следовательно рассеянность от среднего значения не слишком велика.

  1. Определение среднего квадратического отклонения результата измерения:

Среднее квадратичное отклонение определяется как обобщающая характеристика размеров вариации признака в совокупности. Находится по формуле:

                                                    (3)

и равно 8,09. Среднеквадратическое отклонение используют при расчете стандартной ошибки среднего арифметического, при построении доверительных интервалов, при статистической проверке гипотез, при измерении линейной взаимосвязи между случайными величинами.

Среднее квадратичное отклонение определяет, насколько в среднем отклоняются конкретные варианты от их среднего значения, и к тому же является абсолютной мерой колеблемости признака и выражается в тех же единицах, что и варианты, и поэтому хорошо интерпретируется. В общем смысле среднеквадратическое отклонение можно считать мерой неопределенности. 


Большое значение среднеквадратического  отклонения показывает большой разброс значений в представленном множестве со средней величиной множества; маленькое значение, соответственно, показывает, что значения во множестве сгруппированы вокруг среднего значений.

Островершинность зависит  от величины среднего квадратического  отклонения: чем меньше его значение, тем ближе к средней располагается основная масса значений признака (или чем больше вероятность появления значений признака, близких к средней значению) в совокупности, следовательно, тем острее вершина кривой.

После того, как проделаем  все вышеперечисленное, заполняем  таблицу:

Qi

Qi-Qcp

(Qi-Qcp)2

(Qi-Qcp)3

(Qi-Qcp)4

129

-20,76

430,88

-8943,96

185654,95

129

-20,76

430,88

-8943,96

185654,95

130

-19,76

390,36

-7712,60

152382,33

130

-19,76

390,36

-7712,60

152382,33

133

-16,76

280,82

-4705,80

78857,82

134

-15,76

248,30

-3912,62

61653,48

134

-15,76

248,30

-3912,62

61653,48

134

-15,76

248,30

-3912,62

61653,48

135

-14,76

217,79

-3213,99

47430,76

136

-13,76

189,27

-2603,91

35823,47

136

-13,76

189,27

-2603,91

35823,47

136

-13,76

189,27

-2603,91

35823,47

136

-13,76

189,27

-2603,91

35823,47

137

-12,76

162,76

-2076,37

26489,43

137

-12,76

162,76

-2076,37

26489,43

137

-12,76

162,76

-2076,37

26489,43

137

-12,76

162,76

-2076,37

26489,43

138

-11,76

138,24

-1625,37

19110,46

138

-11,76

138,24

-1625,37

19110,46

138

-11,76

138,24

-1625,37

19110,46

139

-10,76

115,73

-1244,93

13392,38

139

-10,76

115,73

-1244,93

13392,38

139

-10,76

115,73

-1244,93

13392,38

139

-10,76

115,73

-1244,93

13392,38

139

-10,76

115,73

-1244,93

13392,38

139

-10,76

115,73

-1244,93

13392,38

140

-9,76

95,21

-929,02

9065,00

140

-9,76

95,21

-929,02

9065,00

140

-9,76

95,21

-929,02

9065,00

140

-9,76

95,21

-929,02

9065,00

140

-9,76

95,21

-929,02

9065,00

140

-9,76

95,21

-929,02

9065,00

141

-8,76

76,70

-671,66

5882,14

141

-8,76

76,70

-671,66

5882,14

141

-8,76

76,70

-671,66

5882,14

141

-8,76

76,70

-671,66

5882,14

141

-8,76

76,70

-671,66

5882,14

141

-8,76

76,70

-671,66

5882,14

141

-8,76

76,70

-671,66

5882,14

142

-7,76

60,18

-466,85

3621,63

142

-7,76

60,18

-466,85

3621,63

142

-7,76

60,18

-466,85

3621,63

142

-7,76

60,18

-466,85

3621,63

142

-7,76

60,18

-466,85

3621,63

142

-7,76

60,18

-466,85

3621,63

143

-6,76

45,66

-308,58

2085,28

143

-6,76

45,66

-308,58

2085,28

143

-6,76

45,66

-308,58

2085,28

143

-6,76

45,66

-308,58

2085,28

143

-6,76

45,66

-308,58

2085,28

144

-5,76

33,15

-190,86

1098,90

144

-5,76

33,15

-190,86

1098,90

144

-5,76

33,15

-190,86

1098,90

144

-5,76

33,15

-190,86

1098,90

144

-5,76

33,15

-190,86

1098,90

144

-5,76

33,15

-190,86

1098,90

145

-4,76

22,63

-107,69

512,32

145

-4,76

22,63

-107,69

512,32

145

-4,76

22,63

-107,69

512,32

145

-4,76

22,63

-107,69

512,32

145

-4,76

22,63

-107,69

512,32

145

-4,76

22,63

-107,69

512,32

145

-4,76

22,63

-107,69

512,32

146

-3,76

14,12

-53,05

199,36

146

-3,76

14,12

-53,05

199,36

146

-3,76

14,12

-53,05

199,36

146

-3,76

14,12

-53,05

199,36

146

-3,76

14,12

-53,05

199,36

146

-3,76

14,12

-53,05

199,36

146

-3,76

14,12

-53,05

199,36

146

-3,76

14,12

-53,05

199,36

146

-3,76

14,12

-53,05

199,36

146

-3,76

14,12

-53,05

199,36

146

-3,76

14,12

-53,05

199,36

146

-3,76

14,12

-53,05

199,36

146

-3,76

14,12

-53,05

199,36

146

-3,76

14,12

-53,05

199,36

147

-2,76

7,60

-20,97

57,82

147

-2,76

7,60

-20,97

57,82

147

-2,76

7,60

-20,97

57,82

147

-2,76

7,60

-20,97

57,82

147

-2,76

7,60

-20,97

57,82

147

-2,76

7,60

-20,97

57,82

147

-2,76

7,60

-20,97

57,82

147

-2,76

7,60

-20,97

57,82

147

-2,76

7,60

-20,97

57,82

147

-2,76

7,60

-20,97

57,82

148

-1,76

3,09

-5,43

9,54

148

-1,76

3,09

-5,43

9,54

148

-1,76

3,09

-5,43

9,54

148

-1,76

3,09

-5,43

9,54

148

-1,76

3,09

-5,43

9,54

148

-1,76

3,09

-5,43

9,54

148

-1,76

3,09

-5,43

9,54

148

-1,76

3,09

-5,43

9,54

148

-1,76

3,09

-5,43

9,54

149

-0,76

0,57

-0,43

0,33

149

-0,76

0,57

-0,43

0,33

149

-0,76

0,57

-0,43

0,33

149

-0,76

0,57

-0,43

0,33

149

-0,76

0,57

-0,43

0,33

149

-0,76

0,57

-0,43

0,33

149

-0,76

0,57

-0,43

0,33

149

-0,76

0,57

-0,43

0,33

149

-0,76

0,57

-0,43

0,33

149

-0,76

0,57

-0,43

0,33

149

-0,76

0,57

-0,43

0,33

149

-0,76

0,57

-0,43

0,33

150

0,24

0,06

0,01

0,00

150

0,24

0,06

0,01

0,00

150

0,24

0,06

0,01

0,00

150

0,24

0,06

0,01

0,00

150

0,24

0,06

0,01

0,00

150

0,24

0,06

0,01

0,00

150

0,24

0,06

0,01

0,00

150

0,24

0,06

0,01

0,00

150

0,24

0,06

0,01

0,00

150

0,24

0,06

0,01

0,00

150

0,24

0,06

0,01

0,00

151

1,24

1,54

1,92

2,38

151

1,24

1,54

1,92

2,38

151

1,24

1,54

1,92

2,38

151

1,24

1,54

1,92

2,38

151

1,24

1,54

1,92

2,38

151

1,24

1,54

1,92

2,38

151

1,24

1,54

1,92

2,38

151

1,24

1,54

1,92

2,38

151

1,24

1,54

1,92

2,38

151

1,24

1,54

1,92

2,38

151

1,24

1,54

1,92

2,38

152

2,24

5,03

11,28

25,29

152

2,24

5,03

11,28

25,29

152

2,24

5,03

11,28

25,29

152

2,24

5,03

11,28

25,29

152

2,24

5,03

11,28

25,29

152

2,24

5,03

11,28

25,29

152

2,24

5,03

11,28

25,29

152

2,24

5,03

11,28

25,29

152

2,24

5,03

11,28

25,29

152

2,24

5,03

11,28

25,29

152

2,24

5,03

11,28

25,29

152

2,24

5,03

11,28

25,29

152

2,24

5,03

11,28

25,29

152

2,24

5,03

11,28

25,29

152

2,24

5,03

11,28

25,29

152

2,24

5,03

11,28

25,29

152

2,24

5,03

11,28

25,29

152

2,24

5,03

11,28

25,29

153

3,24

10,51

34,09

110,53

153

3,24

10,51

34,09

110,53

153

3,24

10,51

34,09

110,53

153

3,24

10,51

34,09

110,53

153

3,24

10,51

34,09

110,53

153

3,24

10,51

34,09

110,53

153

3,24

10,51

34,09

110,53

153

3,24

10,51

34,09

110,53

153

3,24

10,51

34,09

110,53

153

3,24

10,51

34,09

110,53

153

3,24

10,51

34,09

110,53

153

3,24

10,51

34,09

110,53

154

4,24

18,00

76,36

323,93

154

4,24

18,00

76,36

323,93

154

4,24

18,00

76,36

323,93

154

4,24

18,00

76,36

323,93

154

4,24

18,00

76,36

323,93

154

4,24

18,00

76,36

323,93

154

4,24

18,00

76,36

323,93

154

4,24

18,00

76,36

323,93

154

4,24

18,00

76,36

323,93

154

4,24

18,00

76,36

323,93

155

5,24

27,48

144,08

755,32

155

5,24

27,48

144,08

755,32

155

5,24

27,48

144,08

755,32

155

5,24

27,48

144,08

755,32

155

5,24

27,48

144,08

755,32

155

5,24

27,48

144,08

755,32

155

5,24

27,48

144,08

755,32

156

6,24

38,97

243,25

1518,49

156

6,24

38,97

243,25

1518,49

156

6,24

38,97

243,25

1518,49

156

6,24

38,97

243,25

1518,49

156

6,24

38,97

243,25

1518,49

156

6,24

38,97

243,25

1518,49

156

6,24

38,97

243,25

1518,49

157

7,24

52,45

379,88

2751,29

157

7,24

52,45

379,88

2751,29

157

7,24

52,45

379,88

2751,29

157

7,24

52,45

379,88

2751,29

157

7,24

52,45

379,88

2751,29

157

7,24

52,45

379,88

2751,29

157

7,24

52,45

379,88

2751,29

157

7,24

52,45

379,88

2751,29

157

7,24

52,45

379,88

2751,29

157

7,24

52,45

379,88

2751,29

158

8,24

67,94

559,97

4615,51

158

8,24

67,94

559,97

4615,51

158

8,24

67,94

559,97

4615,51

158

8,24

67,94

559,97

4615,51

158

8,24

67,94

559,97

4615,51

158

8,24

67,94

559,97

4615,51

159

9,24

85,42

789,51

7296,99

159

9,24

85,42

789,51

7296,99

159

9,24

85,42

789,51

7296,99

159

9,24

85,42

789,51

7296,99

159

9,24

85,42

789,51

7296,99

159

9,24

85,42

789,51

7296,99

160

10,24

104,91

1074,50

11005,53

160

10,24

104,91

1074,50

11005,53

161

11,24

126,39

1420,95

15974,96

161

11,24

126,39

1420,95

15974,96

161

11,24

126,39

1420,95

15974,96

161

11,24

126,39

1420,95

15974,96

162

12,24

149,88

1834,86

22463,10

162

12,24

149,88

1834,86

22463,10

162

12,24

149,88

1834,86

22463,10

162

12,24

149,88

1834,86

22463,10

162

12,24

149,88

1834,86

22463,10

162

12,24

149,88

1834,86

22463,10

162

12,24

149,88

1834,86

22463,10

163

13,24

175,36

2322,22

30751,76

163

13,24

175,36

2322,22

30751,76

163

13,24

175,36

2322,22

30751,76

164

14,24

202,85

2889,03

41146,76

164

14,24

202,85

2889,03

41146,76

164

14,24

202,85

2889,03

41146,76

164

14,24

202,85

2889,03

41146,76

165

15,24

232,33

3541,30

53977,92

166

16,24

263,82

4285,02

69599,06

167

17,24

297,30

5126,19

88388,00

173

23,24

540,21

12555,80

291827,15

173

23,24

540,21

12555,80

291827,15

Сумма

34594

0,00

15066,42

-8295,31

2931186,59


Таблица 1. Выборка

  1. Определение четвертого центрального момента:

 Четвертый центральный момент контролирует, насколько ярко выражена вершина распределения в окрестности среднего. 

Центральный момент четвертого порядка при данной дисперсии может служить характеристикой удельного веса больших отклонений от математического ожидания, а это в свою очередь используется для оценки плосковершинности и островершинности кривой распределения с помощью коэффициента эксцесса.

В результате расчетов вычислили, что . Столь большое число означает, что кривая распределения достаточно плосковершинная.

  1. Определение контрэксцесса:

Определяется по формуле:

                                                             (4)

В данной курсовой работе контрэксцесс = 0,000000407.


  1. Исключение из выборки промахов:

В соответствии с правилом трех сигм, которое гласит: если случайная  величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического  ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения, исключаем промахи, т.е. из данного массива исключаем все значения Х, отличные от среднего более чем на 3σ=24,27.

В результате исключения промахов не оказалось, следовательно, делаем вывод  о нормальности закона распределения.

  1. Определение оценки центра распределения:

 В зависимости от  типа распределения в качестве оценки центра распределения выбирают одну из следующих оценок:

Мода – это варианта, которая имеет наибольшую частоту (точка максимума дифференциальной функции). Сложность в том, что редкая совокупность имеет единственную моду. Если же все значения в группе встречаются одинаково часто, считают, что у данной группы моды нет. Когда два соседних значения имеют одинаковую частоту и эти частоты больше любых других частот в группе, то модой считают среднее от этих двух значений. Если два несмежных значения имеют равную и наибольшую в данной группе частоту, то у этой группе есть две моды, такая группа называется бимодальной. Бимодальной называется группа и в том случае, если эти две черты не совсем равны. В таких случаях различают большую и малую моду и всей группе, наряду с одной большой модой может несколько меньших мод.


Медиана - это такая варианта, которая делит выборку на две равные части. Она является наиболее эффективной оценкой для симметричных экспоненциальных распределений (0 <х < 0,45).

Усеченная средняя - получают путем отбрасывания по k=n*β крайних членов слева и справа в упорядоченной выборке, а затем усредняются остальные члены. Используют ее для класса распределения близких к нормальному (0,45 <χ< 0,67).

Центр размаха варьирования используется для распределений близких к равномерному и к аркосинуидальному (0,67 <χ<1).

Так как χ=0,000000407, то есть попадает в интервал (0;0,45), следовательно в качестве наиболее эффективной оценки центра распределения используем медиану. Чтобы найти значение медианы необходимо сначала определить медианный номер – NМе.

,                                                   (5)

где n – число вариант в вариационном ряду, то есть:

.                                (6)

На основании этого делаем вывод, что распределение симметрично.

 

 

  1. Определение оценок третьего центрального момента:

= -35,91                                     (7)

Центральный момент третьего порядка при симметричном распределении равен нулю, поэтому его используют для расчета коэффициента асимметрии. Так как в нашем случае он отрицателен и не стремится к нулю, делаем вывод о несимметричности распределения.


  1.  Определение коэффициента асимметрии:

Асимметрия - это свойство распределения частот.

Коэффициент асимметрии (асимметричность) характеризует смещение распределения относительно математического ожидания. Знак показателя асимметрии также имеет собственную аналитическую нагрузку:

- если рассчитанный коэффициент  положительный, то кривая распределения будет иметь правостороннюю асимметрию и между показателями центра распределения имеется соотношение  ;

- если рассчитанный коэффициент  отрицательный, следовательно, кривая распределения имеет левостороннюю асимметрию, тогда между показателями центра распределения соотношение будет  .

                                                                                              (8)

 

Результат определения коэффициента асимметрии отрицателен, кривая распределения  слегка асимметрична в левой части.

  1. Определение стандартного отклонения коэффициента асимметрии:

 

Стандартное отклонение коэффициента асимметрии равно:

,                                (9)

  1. Определение оценки симметричности распределения в соответствии с условием.


Распределение можно считать  симметричным, если выполняется условие . В Microsoft Excel определяем симметричность, используя формулу ЕСЛИ(H20<=1,5*H21; "распределение симметрично"; "распределение несимметрично"), в результате чего получаем результат «распределение симметрично».

  1. Определение эксцесса:

Эксцесс – отклонение вершины кривой распределения по вертикали относительно кривой нормального распределения

                                                 (10)

  1. Определение коэффициента эксцесса:

На практике обычно определяют показатель эксцесса (Ех) с применением центрального момента четвертого порядка. Положительный показатель эксцесса определяет островершинное распределение, а отрицательный показатель эксцесса – плосковершинное.

                                                       (11)

Показатель эксцесса, определенный в Ms Excel H5/(СТЕПЕНЬ(H4;4)-3) = -0,043, что означает плосковершинное распределение.

 

  1. Определение показателя формы.

Показатель формы распределения  связан с эксцессом функциональной зависимостью:

,                                                   (12)

 

  1. Определение числа интервалов m:


Число интервалов выборки  в Ms Excel определяется следующей функцией:

1+3,3*LOG(H1),                                                (13)

В результате вычислений мы выяснили, что имеем 9 интервалов.

  1. Определение ширины интервалов

Ширина интервалов определяется по формуле:

,                                               (14)

В Ms Excel данная формула выглядит как «=(J232-J2)/H25». Ширина интервалов по результатам вычислений равна пяти.

  1. Определение суммы частостей:

Частоты - это численности отдельных вариантов или каждой группы вариационного ряда, т.е. те или иные варианты в ряду распределения. Сумму всех частот определяет численность всей совокупности, ее объем.

Частоты, выраженные в долях  единицы или в процентах к  итогу, называются частостями. Сумма частостей равна 1 или 100%.

Сумма частостей определяется по формуле:

 

 

 

 ni

ni/n

5

0,021645022

15

0,064935065

30

0,12987013

46

0,199134199

64

0,277056277

40

0,173160173

22

0,095238095

7

0,03030303

2

0,008658009

Сумма

1


 

Таблица 2. Определение суммы частостей в MS Excel

 

  1. Определение энтропийного коэффициента

Энтропией случайной величины называется функция, заданная формулой:

H(Y) = - ∑Pj·log Pj ,                                             (16)

и характеризующая стандартное отклонение симметричного распределения. Если эта величина близка к 0, то распределение симметрично.

Энтропия может  использоваться при оценке степени  разброса значений номинального признака, однако выступать в качестве меры разброса она не может. Для того чтобы использование было правомерным, значение энтропии необходимо нормировать, т.е. поделить на величину максимальной энтропии. Обычно именно так и поступают, в качестве меры разброса используя энтропийный коэффициент.

 

  1. Определение срединных значений интервалов, построение гистограммы


Удобнее всего ряды распределения  анализировать при помощи их графического изображения, позволяющего также судить о форме распределения. Наглядное представление о характере изменения частот вариационного ряда дают полигон и гистограмма.

Гистограмма применяется для изображения интервального ряда. На оси абсцисс откладывают интервалы ряда, высота которых равна частотам, отложенным на оси ординат. Над осью абсцисс строятся прямоугольники, площадь которых соответствует величинам произведений интервалов на их частоты.

Гистограмма является эмпирическим аналогом графика дифференциальной функции распределения.

 

Рисунок 1. Гистограмма

  1. Подбор функции для эмпирического распределения:

Выдвигаем гипотезу о нормальном законе распределения.

 

 

 


  1. Проверка соответствия эмпирического распределения теоретическому

Критерий согласия Пирсона (χ2) применяют для проверки гипотезы о соответствии эмпирического распределения предполагаемому теоретическому распределению F(x) при большом объеме выборки (n ≥ 100). Критерий применим для любых видов функции F(x), даже при неизвестных значениях их параметров, что обычно имеет место при анализе результатов механических испытаний. В этом заключается его универсальность.

Статистикой критерия Пирсона  служит величина

 
,                                              (17)

 
где pj - вероятность попадания изучаемой случайной величины в j-и интервал, вычисляемая в соответствии с гипотетическим законом распределением F(x).

При вычислении вероятности  pj нужно иметь в виду, что левая граница первого интервала и правая последнего должны совпадать с границами области возможных значений случайной величины. Например, при нормальном распределении первый интервал простирается до -∞, а последний - до +∞.


Нулевую гипотезу о соответствии выборочного  распределения теоретическому закону F(x) проверяют путем сравнения вычисленной по формуле . величины с критическим значением χ2α, найденным по таблице Лапласа для уровня значимости α и числа степеней свободы k = e1 - m - 1. Здесь e1 - число интервалов после объединения; m - число параметров, оцениваемых по рассматриваемой выборке. Если выполняется неравенство χ2 ≤χ2α,  
то нулевую гипотезу не отвергают. При несоблюдении указанного неравенства принимают альтернативную гипотезу о принадлежности выборки неизвестному распределению.

Недостатком критерия согласия Пирсона  является потеря части первоначальной информации, связанная с необходимостью группировки результатов наблюдений в интервалы и объединения отдельных интервалов с малым числом наблюдений. В связи с этим рекомендуется дополнять проверку соответствия распределений по критерию χ2 другими критериями. Особенно это необходимо при сравнительно малом объеме выборки (n ≈ 100).        

 Приведем схему применения  критерия для сопоставления двух эмпирических распределений:

 

Рисунок 2. Схема применения критерия Пирсона


Проделав необходимые  вычисления в Ms Excel составили следующую таблицу:

Qi

Qi+1

Zi

Zi+1

Ф(zi)

Ф(zi+1)

Pi

nPi

ni-nPi

(ni-nPi)^2/nPi

129

134

-2,56469

-1,94692

-0,49477

-0,47381

0,02096

4,84176

0,15824

0,005171652

134

139

-1,94692

-1,32915

-0,47381

-0,40824

0,06557

15,14667

-0,14667

0,001420252

139

144

-1,32915

-0,71137

-0,40824

-0,26115

0,14709

33,97779

-8,97779

2,372158792

144

149

-0,71137

-0,0936

-0,26115

-0,03586

0,22529

52,04199

-6,04199

0,701465166

149

154

-0,0936

0,524171

-0,03586

0,19847

0,23433

54,13023

9,86977

1,799592572

154

159

0,524171

1,141944

0,19847

0,37286

0,17439

40,28409

-0,28409

0,002003449

159

164

1,141944

1,759717

0,37286

0,4608

0,08794

20,31414

-1,31414

0,085012899

164

169

1,759717

2,377489

0,4608

0,49134

0,03054

7,05474

-0,05474

0,000424745

169

173

2,377489

2,871708

0,49134

0,49801

0,00667

1,54077

0,45923

0,136874545

Определение закона распределения вероятностей 📙 Курсовая → 🆔 149444

Определение закона распределения вероятностей 📙 Курсовая → 🆔 149444

Определение закона распределения вероятностей