Основные понятия: свойства, упорядочивание последовательности

Введение

 

Древняя история богата выдающимися математиками. Многие достижения древней математической науки до сих пор вызывают восхищение остротой ума их авторов, а имена Евклида, Архимеда, Герона известны каждому  образованному человеку. Иначе обстоит  дело с математикой средневековья. Математика в эту эпоху развивалась чрезвычайно медленно, и крупных математиков тогда было очень мало. Тем больший интерес представляет для нас сочинение “Liber abacci” (“Книга об абаке”), написанная знаменитым итальянским математиком Леонардо из Пизы (ок. 1170-после 1228), более известный под прозвищем Фибоначчи, который был, безусловно, самым значительным математиком средневековья. Роль его книг в развитии математики и распространении в Европе математических знаний трудно переоценить.

В курсовой работе рассматриваются числа последовательности Фибоначчи, их свойства, а также, тесно связанный с этой темой, феномен золотого сечения, в котором большинство ученых видят одно из наиболее ярких, давно уже замеченных человеком проявлений гармонии природы. Феномен золотого сечения рассмотрен в работе в общей картине исторического становления архитектуры, на формах живой природы и за пределами предметного мира, в области гармонии и математических абстракций. Он рассмотрен и как объективная характеристика объектов искусства, экономики и т. д.

Цель курсовой работы – показать новые пути исследования природы гармонии: пути различные, основанные на рассмотрении разных объектов искусства и естествознания, но приводящие к взаимосвязанным выводам, хорошо согласованным с реальностью.

 

 

1. Основные понятия: свойства, упорядочивание последовательности

 

1.1. Свойства последовательности

 

Построим последовательность, и  назовём её трёхмерной последовательностью Фибоначчи. Эта последовательность будет состоять из множеств М₁, М₂, … и так далее. Множество М₁ состоит всего из одной аддитивной тройки (2,1,1). Далее строим последовательность следующим образом: Если аддитивная тройка Т содержится в М_i, то её производная первым способом содержится в М_i+1, а производная вторым способом содержится в М_i+2. Кроме этого, множество М₂ дополняется простейшей тройкой (1,2,1), а множество М₃ – соответственно простейшей тройкой (1,1,2).

Понятно, что при этом аддитивные тройки 1 рода лежат в  множествах М₁, М₄, М₇, …, М_3k+1, …, аддитивные тройки 2 рода соответственно лежат в множествах М₂, М₅, М₈, …, М_3k+2, …, и, наконец тройки 3 рода – соответственно в множествах М₃, М₆, М₉, …, М_3k, …

Ниже представлено схематическое  изображение этой последовательности, в виде таблицы:

Таблица 1

Схематическое изображение последовательности

Мн-во	Тройки												|Mi|
M1	(2,1,1)												1
M2	(2, 3, 1)						(1, 2, 1)						2
M3	(2, 3, 5)			(2, 1, 3)			(1, 2, 3)			(1, 1, 2)			4
M4	(8,3,5)	(4,3,1)			(4,1,3)		(3,2,1)		(5,2,3)			(3,1,2)	6
M5	(8,13,5)		(4,5,1)			(4,7,3)		(5,8,3)			(3,5,2)		10
	(2,7,5)		(2,5,3)			(3,4,1)		(1,4,3)			(1,3,2)
…	…												16

 

Заметим, что начиная с n=3, количество элементов во множестве M_i равняется i-тому числу из последовательности Фибоначчи, умноженному на 2. (|M_i|=2F_i).

Действительно, каждое множество  состоит из производных троек предыдущего множества, и предыдущего за ним. Поэтому его мощность равняется сумме мощностей двух предыдущих множеств. Для n³3 |M_i|=|M_i-1|+|M_i-2| (Под последовательностью Фибоначчи здесь понимается последовательность F_n, где F₁=F₂=1, F_i+2=F_i+1+F_i, i>1)

Номер той компоненты тройки, которая равняется сумме  двух других, соответствует остатку  при делении числа q на 3, где q – номер множества, в котором содержится данная тройка.

Свойства трёхмерной последовательности Фибоначчи

Докажем следующие две теоремы:

1. Все числа аддитивной тройки попарно взаимно просты.
2. Любая аддитивная тройка со взаимно простыми компонентами входит в трёхмерную последовательность Фибоначчи, причём ровно один раз.

Доказательство (Теорема 1). Посчитаем наибольший общий делитель любых двух чисел в такой тройке. По алгоритму Евклида, он равен наибольшему общему делителю в предыдущей аддитивной тройке, из которой была образована данная. Так как все такие тройки, в конечном итоге, образуются из простейших троек, в которых любые два числа взаимно просты, то в любой тройке все числа попарно взаимно просты. Теорема доказана.

Доказательство (Теорема 2). Разобьём теорему на два утверждения. Первое утверждение: «Никакая тройка в последовательности не встретится дважды». Второе утверждение: «Любая аддитивная тройка со взаимно простыми компонентами входит в трёхмерную последовательность Фибоначчи».

Обозначим за отношение между двумя числами, сумма которых образует третье число аддитивной тройки (для удобства отношения можно брать циклически, например, если сумма стоит на втором месте в тройке, то берётся отношение третьего числа к первому; а если сумма стоит на первом месте, то рассматривается отношение второго числа к третьему). Так как числа аддитивной тройки попарно взаимно просты, то λ можно считать несократимой дробью. Для конкретной тройки M_a[b] известен номер множества, в котором она содержится, значит, можно сказать, на каком месте в тройке стоит сумма. Следовательно (так как числа взаимно просты), из несократимой дроби можно восстановить исходную тройку. Поэтому далее вместо аддитивных троек мы для удобства доказательства будем писать лишь число λ. Ясно, что если было выписано число λ, то в более нижних рядах будут выписаны числа и . Теперь докажем исходные утверждения. Понятно, что производная «первым способом», то есть f(λ) даёт тройку ( ), а вторым способом, то есть g(λ), даёт тройку ( ). Зная такое число, можно определить (с учётом приведенных неравенств), с помощью какой производной оно было образовано. Действительно, если λ<1, то она образована с помощью первой производной, если λ>1, то с помощью второй. Если λ=1, то эта тройка – простейшая. Итак, для каждой аддитивной тройки мы однозначно восстанавливаем её первообразные вплоть до простейшей тройки. Если бы встретились две одинаковые тройки, то они, с учётом приведенных рассуждений, были бы образованы от одной простейшей, и стояли бы в одном множестве, а значит, совпадали. Поэтому такое невозможно. Первое утверждение доказано. С другой стороны, чтобы доказать второе утверждение, достаточно рассмотреть произвольную дробь и показать, что с помощью приведенных выше преобразований можно получить эту дробь из единицы. Это нетрудно сделать, используя алгоритм Евклида. Если дробь больше единицы,  отнимем от неё единицу. Если меньше, то разделим единицу на эту дробь. Так как числа в дроби взаимно просты, то бесконечно такие преобразования выполнять нельзя, поэтому рано или поздно мы придём к единице, а значит, такое число будет содержаться в 3-х мерной последовательности Фибоначчи.

 

1.2. Упорядочивание, вычисление элементов последовательности

 

Упорядочим элементы каждого множества следующим  образом:

Для начала, i-тый элемент множества M_k будем обозначать М_k[i].

В первом множестве находится  единственная аддитивная тройка: М₁[1]= =(2,1,1).

f(М_a[b]) = M_a+1[b] (Первая производная от аддитивной тройки М_a[b] лежит в следующем множестве, но индекс аддитивной тройки сохраняется.)

g(M_a[b]) = M_a+2[b+|M_a+1|] (Вторая производная от аддитивной тройки лежит в множестве «через одно», индекс увеличивается на количество элементов в множестве М_a+1.)

Изобразим это схематически (каждая аддитивная тройка обозначена точкой).

 

 

 

 

 

 

 

 

Итак, мы упорядочили  элементы каждого множества М_i. Определим для всех a и b, для которых определена аддитивная тройка М_a[b], все три её элемента.

Для начала найдём все  тройки вида M_a[1] (тройки первого столбца). Вычисляя результаты первых троек, замечаем общую закономерность и вычисляем общий вид.

Таблица 2

 

M1[1] = (2, 1, 1) = (F3, F1, F2)	M3k+1[1] = (F3k+3, F3k+1, F3k+2)
M2[1] = (2, 3, 1) = (F3, F4, F2)	M3k+2[1] = (F3k+3, F3k+4, F3k+2)
M3[1] = (2, 3, 5) = (F3, F4, F5)	M3k[1] = (F3k, F3k+1, F3k+2)

 

Заметим, что если требуется  вычислить некоторое число из обычной последовательности Фибоначчи, возможно, с изменёнными первыми  членами, то для этого идеально подходит характеристический многочлен. Таким  образом, все аддитивные тройки первого столбца можно вычислить в общем виде.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.Числа Фибоначчи

 

2.1. Теория чисел Фибоначчи: история и современность

 

Жизнь и научная карьера  Леонардо Пизанского (Фибоначчи –  сокращение от filius Bonacci – сын добродушного) теснейшим образом связана с развитием европейской культуры и науки.

В век Фибоначчи возрождение  было еще далеко, однако история  даровала Италии краткий промежуток времени, который вполне можно было назвать репетицией надвигающейся  эпохи Ренессанса. Этой репетицией руководил Фридрих II, император “Священной Римской империи Германской Нации”. Воспитанный в традициях южной Италии Фридрих II был внутренне глубоко далек от европейского христианского рыцарства. Поэтому к преподаванию в основанном им Неаполитанском университете, наряду с христианскими учеными, он привлек арабов и евреев.

Столь любимые его  дедом рыцарские турниры, на которых  сражающиеся калечили друг друга  на потеху публике, Фридрих II совсем не признавал. Вместо этого он культивировал  гораздо менее кровавые математические соревнования, на которых противники обменивались не ударами, а задачами.

На таких турнирах и заблистал талант Леонарда Фибоначчи. Этому способствовало хорошее образование, которое дал сыну купец Боначчи, взявший его с собой на Восток и приставивший к нему арабских учителей.

Впоследствии Фибоначчи  пользовался неизменным покровительством Фридриха II. Это покровительство  стимулировало выпуск научных трактатов  Фибоначчи: обширнейшей “Книге абака”, написанной в 1202 году, но дошедшей до нас  во втором своем варианте, который относится к 1228 г.; “Практики геометрии”(1220 г.); “Книги квадратов”(1225 г.).

В “Практике геометрии” Фибоначчи применил к решению  геометрических задач алгебраические методы. В “Книге квадрата” он решил  некоторые задачи на неопределенные квадратные уравнения.

Наибольший интерес  представляет для нас сочинение  “Книга абака”. Эта книга представляет собой объемный труд, содержащий почти  все арифметические и алгебраические сведения того времени и сыгравший  значительную роль в развитии математики в Западной Европе в течение нескольких следующих столетий.

Сообщаемый в “Книге абака” материал поясняется на большом  числе задач, составляющих значительную часть этого тракта. Рассмотрим одну из них: “Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течение года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет др. пару, а рожают кролики со второго месяца после своего рождения”.

Ясно, что если считать пару кроликов новорожденными, то на 2-й месяц мы будем по прежнему иметь одну пару; на 3-й месяц – 1+1=2; на 4-й – 2+1=3 пары; на 5-й месяц – 3+2=5 пар (лишь два родившиеся на 3-й месяц пары дадут потомство на пятый месяц); на 6-й месяц – 5+3=8 пар (ибо потомство дадут только те пары, которые родились на 4-м месяце) и т. д.

Таким образом, если обозначить число пар кроликов, имеющихся  на n-месяце через F_k, F₁=1, F₂=1, F₃=2, F₄=3, F₅=5, F₆=8, F₇=13, F₈=21 и т. д. причем образование этих чисел регулируется общим законом:

 

Fn=Fn-₁+Fn-₂

 

При всех n>2, ведь число  пар кроликов на n-м месяце равно  числу Fn-₁ пар кроликов на предшествующем месяце плюс число вновь родившихся пар, которое совпадает с числом Fn-2 пар кроликов, родившихся на (n-2) – ом месяце.

Числа Fn, образующие последовательность 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …называются  числами Фибоначчи, а сама последовательность – последовательностью Фибоначчи.

Суть последовательности Фибоначчи заключается в том, что, после двух первых членов 1,1 каждое следующее число, получается сложением двух предыдущих.

Данная последовательность асимптотически стремится к некоторому постоянному соотношению. Однако это  соотношение представляет собой  число с бесконечной, непредсказуемой  последовательностью десятичных цифр в дробной части. Его невозможно выразить точно десятичной дробью.

Если какой-либо член последовательности Фибоначчи разделить  на предшествующий ему (например, 13:8), результатом  будет величина, колеблющаяся около  иррационального значения 1.61803398875… и через раз то превосходящая, то не достигающая его. Но даже затратив на это Вечность, невозможно узнать соотношение точно, до последней десятичной цифры. Кратко мы будем записывать его в виде 1.618

Специальные названия этому  соотношению начали давать еще до того, как Лука Пачоли, средневековый математик, назвал его Божественной пропорцией. Среди его современных названий есть такие, как Золотое сечение, Золотое среднее и отношение вертящихся квадратов. Кеплер назвал это соотношение одним из “сокровищ геометрии”. В алгебре общепринято его обозначение греческой буквой фи: Φ=1.618

Асимптотическое поведение  последовательности, затухающие колебания  ее соотношения около иррационального  числа Φ могут стать более  понятными, если показать отношения нескольких первых членов последовательности. В этом примере приведены отношения второго члена к первому, третьего ко второму, четвертого к третьему, и так далее:

1:1 = 1.0000, что меньше  фи на 0.6180

2:1 = 2.0000, что больше  фи на 0.3820

3:2 = 1.5000, что меньше фи на 0.1180

5:3 = 1.6667, что больше  фи на 0.0486

8:5 = 1.6000, что меньше  фи на 0.0180

По мере продвижения  по суммационной последовательности Фибоначчи  каждый новый член будет делить следующий  с все большим и большим  приближением к недостижимому Φ.

Далее будет видно, что отдельные числа из суммационной последовательности Фибоначчи можно увидеть в движениях цен на товары. Колебания соотношений около значения 1.618 на большую или меньшую величину мы обнаружим в Волновой теории Эллиотта, где они описываются Правилом чередования.

Человек подсознательно ищет пропорцию: она нужна для  удовлетворения его потребности  в комфорте.

При делении любого члена  последовательности Фибоначчи на следующий  за ним получается просто обратная к 1.618 величина (1: 1.618=0.618). Но это тоже весьма необычное, даже замечательное явление. Поскольку первоначальное соотношение – бесконечная дробь, у этого соотношения также не должно быть конца.

При делении каждого  числа Фибоначчи на следующее  за ним через одно, получаем число 0.382. Заметим еще, что 1:0.382=2.618

Таким образом, подбирая соотношения, получаем основной набор коэффициентов Фибоначчи: 4.235,2.618,1.618,0.618,0.382,0.236. Упомянем также 0.5. Все они играют особую роль в природе, технике, искусстве и, в частности, в финансовом техническом анализе.

Теория чисел Фибоначчи  выросла из знаменитой “задачи о  кроликах”, имеющей почти восьмисотлетнюю  давность; числа Фибоначчи до сих  пор остаются одной из самых увлекательных  глав элементарной математики. Задачи, связанные с числами Фибоначчи, приводятся во многих популярных изданиях по математике, рассматриваются на занятиях школьных и студенческих математических кружков, предлагаются на математических олимпиадах.

Числа Фибоначчи проявили себя еще и в нескольких математических проблемах, среди которых в первую очередь следует назвать решение Ю. В. Матиясевичем десятой проблемы Гильберта и далеко не столь глубокую, но приобретшую широкую известность теорию поиска экстремума унимодальной функции, построенную впервые, по-видимому, Дж. Кифером.

Было установлено довольно большое количество ранее неизвестных свойств чисел Фибоначчи, и к самим числам сегодня существенно возрос интерес. Значительное число связанных с математикой людей в различных странах приобщилось к благородному хобби “фибоначчизма”.

Пропорции Фибоначчи  благодаря усилиям многих энтузиастов  обнаруживаются в самых неожиданных  областях знания, через золотое сечение  удается связать между собой  совершенно разные теории и явления, что свидетельствует о фундаментальной  роли теории чисел Фибоначчи в естествознании и в гуманитарных науках.

 

2.2. Математические свойства чисел Фибоначчи

 

Числа Фибоначчи (или  последовательность Фибоначчи F_n) обладают целым рядом интересных и важных свойств.

Последовательность Фибоначчи F_n определяется рекуррентным соотношением:

F₀ =0,

F₁ =1,

                                   F_n = F_n-1 + F_n-2,……для № > 1.                                   (1)

Несколько первых значений представлены в таблице 3.

Таблица 3

n	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Fn	0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377

В отличие от многих знаменитых в математике чисел, числа Фибоначчи  являют собой подкупающие своей  бесхитростностью целые числа. Бесхитростность  правила образования этих чисел  – возможно, самого бесхитростного из всевозможных рекуррентных соотношений, в котором каждое число зависит от двух предыдущих – служит объяснением того, почему числа Фибоначчи встречаются в самых разнообразных ситуациях.

Простоту и естественность возникновения можно считать  первым свойством чисел Фибоначчи. И по мере накопления информации о числах Фибоначчи эта простота становится только таинственней и привлекательней.

Одним из самых первых фактов о числах Фибоначчи, обнаруженным в 1680 г. французским астрономом Жан-Домиником  Кассини, является соотношение:

 

                            F_n+1 F_n-1 – F_n² = (-1)ⁿ при № > 0.                                 (2)

 

Так, при № = 6 соотношение  Кассини справедливо утверждает, что 13×5 – 8² = 1.

Многочленная формула, которая включает в себя числа  Фибоначчи вида F_n±k при малых k, может быть преобразована в формулу, которая включает в себя только F_n и F_n+1, если воспользоваться правилом

 

                                         F_m = F_m+2 – F_m+1                                          (3)

 

для выражения F_m через большие числа Фибоначчи при m < n, и если воспользоваться формулой

 

                                          F_m = F_m-2 + F_m-1                                                              (4)

 

для замены F_m меньшими числами Фибоначчи при m > n+1.Так, например, можно заменить F_n-i на F_n+1 – F_n в (2), получая соотношение Кассини вида:

                                          F_n+1² – F_n+1F_n – F_n² = (-1)ⁿ.                                   (5)

 

Кроме того, если заменить № на № + 1, то соотношение Кассини  принимает вид:

 

F_n+2F_n – F_n+1² = (-1)ⁿ⁺¹;

 

это то же самое, что и (F_n+1 +F_n)F_n – F_n+1² = (– 1)ⁿ⁺¹, а последнее совпадает с (5). Таким образом “Кассини(n)” справедливо тогда и только тогда, когда справедливо “Кассини (n + 1)” так что по индукции равенство (2) справедливо при любом n.

Соотношение Кассини  лежит в основе геометрического  парадокса, который был одной  из излюбленных головоломок Льюиса Кэррола. Суть его в том, чтобы  взять шахматную доску и разрезать  ее на четыре части.

Первоначальные 8 х 8 = 64 клетки переставлены так, что получилось 5 х 13 = 65 клеток. Аналогичная конструкция расчленяет любой F_n х F_n-квадрат на четыре части с размерами сторон F_n+1, F_n, F_n-1 и F_n-2 клеток вместо соответственно 13, 8, 5, и 3 клеток в нашем примере. В результате получается F_n-1 х F_n+2-прямоугольник, и в соответствии с (2) одна клетка либо прибавляется, либо утрачивается – в зависимости от того, четно или нечетно n.

Строго говоря, мы не можем  применять правило (4) кроме как  при та m ≥ 2, ибо нами не определены F_n при отрицательном n. Мы обретем большую свободу действий, если избавимся от этого ограничительного условия и воспользуемся правилами (3) и (4) для доопределения чисел Фибоначчи при отрицательных индексах. Так, F_-1 оказывается равным F₁ – F₀ = 1, a F_-2 – равным F₀ – F_-1 = – 1. Действуя таким образом, выписываем величины:

 

 

 

Таблица 4

n	0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11
Fn	0 1 -1 2 -3 5 -8 13 -21 34 -55 89

 

и вскоре становится ясно, что

 

                                               F_-n = (-l)^n-1F_n, № – целое.                                  (6)

 

Если обобщить последовательность Фибоначчи подобным образом, то соотношение  Кассини (2) будет справедливым при  любых целых n, а не только при  № > 0.

Процесс сведения Т_n±k к комбинации F_n и F_n+1 по правилам (4) и (3) приводит к последовательности формул:

F_n+2 = F_n+1 + F_n, F_n-1 = F_n+1 – F_n,

F_n+3 = 2F_n+1 + F_n, F_n-2 = – F_n+1 + 2F_n,

F_n+4 = 3F_n+1 + 2F_n, F_n-3 = 2F_n+1 – 3F_n,

F_n+5 = 5F_n+1 +3F_n, F_n-4 = – 3F_n+1 +5F,_V,

в которой просматривается закономерность другого рода:

 

                                     F_n+k = F_kF_n+1 + F_k-1F_n                                         (7)

 

Это соотношение, которое  легко доказывается по индукции, справедливо  при любых целых k и № (положительных, отрицательных или равных нулю).

Если в (7) положить k = n, то выясняется, что:

 

                                             F_2n = F_nF_n+1 + F_n-1F_n;                                           (8)

 

следовательно, F_2n кратно F_n. Аналогично,

F_3n = F_2n F_n+1 + F_2n-1 F_n,

и можно заключить, что F_3n также кратно F_n. И, вообще, по индукции:

 

                                                F_kn кратно F_n                                                 (9)

 

при любых целых k и n. Это  объясняет, в частности, почему F₁₅ (которое равно 610) кратно как F₃, так и F₅ (которые равны 2 и 5). Фактически справедливо даже большее: можно доказать, что:

 

                                   НОД(F_m, F_n) = F_Нод(m,n)                                          (10)

 

К примеру, НОД(F₁₂, F₁₈) = НОД(144,2584) = 8 = F₆.

Теперь можно доказать обращение свойства (9): если № > 2 и если F_m кратно F_n, то m кратно n. Действительно, если F_n\F_m, то F_n \ НОД(F_m, F_n) = F_Нод(m,n) ≤ F_n. А это возможно только тогда, когда F_Нод(m,n) = F_n и допущение о том, что № > 2 приводит к необходимости того, что НОД(m, n) = n. Следовательно, n\m.

Доказательство. Докажем это, рассмотрев последовательность (F_kn mod F_n²) при k = 1, 2, 3,… № выяснив, когда же F_kn mod F_n² = 0.(Мы знаем, что m должно иметь вид kn, если F_mmod F_n = 0.) Вначале имеем F_n mod F_n² = F_n, что не равно нулю. Затем, согласно (6.108), получаем:

F_3n = F_nF_n+1 +F_n-1F_n ≡ 2F_nF_n+1 (mod F_n²),

поскольку F_n+1 ≡ F_n-1 (mod P_n). Аналогично F_2n+1 = F_n+1² + F_n² ≡ F_n+1² (mod F_n²).

Это сравнение позволяет  вычислить:

F_3n = F_2n+1F_n + F_2nF_n-1

≡ F_n+1²F_n + (2F_nF_n+1)F_n+1 = 3 F_n+1²F_n (mod F_n²),

F_3n+1 = F_2n+1F_n+i + F2nF_n

≡ F_n+1³ ₍2F_nF_n+1) F_n ≡ F³_n+1 (mod F_n²)

И вообще индукцией по k устанавливается, что:

F_kn ≡ kF_n+1^k-1 и F_kn+1 = F_n+1^k (mod F_n²).

А поскольку F_n+1 взаимно просто с F_n, то

F_kn ≡ 0 (mod F_n²) kF_n ≡ 0 (mod F_n²) k ≡ 0 (mod F_n²)

и лемма Матиясевича доказана.

Одно из наиболее важных качеств чисел Фибоначчи –  это особый способ представления  целых чисел с их использованием. Будем писать:

 

                                                    j >> k j ≥ k + 2.                                         (11)

 

Тогда верна следующая Теорема Цеккендорфа. Каждое целое положительное число имеет единственное представление вида:

 

                            n = F_k1, + F_k2+ … + F_kr, k₁ > k₂ > … > k_r > 0.                         (12)

 

К примеру, представление одного миллиона оказывается таким:

1 000 000 = 832040 + 121393+46368 + 144+55 = F₃₀ + F₂₆ + F₂₄ + F₁₂ + F₁₀.

Подобное представление  всегда может быть найдено с помощью «жадного» подхода: в качестве F_k1, выбирается наибольшее число Фибоначчи ≤ n, затем в качестве Fk₂выбирается наибольшее число ≤ № – F_k1, и т. д. (Более точно, предположим, что F_k ≤ № < F_k+1; тогда 0 ≤ № – F_k < F_k+1 – F_k = F_k-1,. Если № – одно из чисел Фибоначчи, то представление (12) справедливо при r = 1 и k₁ = k. В противном случае индукция по № показывает, что № – F_k имеет фибоначчиево представление F_k2 + … + F_kr, и представление (12) справедливо, если положить k₁ = k, ибо неравенства F_k2 ≤ № – F_k < F_k-1 означают, что k >> k₂.) И обратно, всякое представление вида (12) означает, что: