Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Виды рядов распределения. Мода и медиана

МЭИ ИББ

Курсовая работа по статистике

на тему:

«14.Виды рядов распределения.

24.Мода и медиана.»

Выполнил студент группы ИБ-03-05:

Чувиков Александр Владимирович

Проверила:

Демченко Наталья Леонидовна

Москва 2006

Содержание

Введение…………………………………………………………………3

Глава 1. Теоретическая часть.

14. Виды рядов распределения.

14.1. Виды рядов распределения……………………………………..5

14.2. Ранжированный ряд……………………………………………..5

14.3. Дискретный ряд………………………………………………….6

14.4. Интервальный вариационный ряд……………………………7

14.5. Частота повторения……………………………………………...8

24. Мода и медина.

24.1. Мода………………………………………………………………..9

24.2. Медиана…………………………………………………………..10

24.3 Соотношение между средней величиной, медианой и модой……………………………………………………………………12

Глава 2. Расчётная часть.

Задачи №1-№10……………………………………………………13-23

Заключение……………………………………………………………24

Список использованой литературы………………………………..27

Введение.

Статистика – это самостоятельная общественная наука, которая изучает

количественную сторону массовых явлений и процессов, исследует

закономерности общественного развития в конкретных условиях, места и

времени. Статистика изучает статистические закономерности, которые в

отличие от динамических проявляются только в массовых процессах.

Данная курсовая работа состоит из двух глав: теоретической и расчётной.

В теоретической главе я рассмотрел два вопроса, которые кажутся мне наиболее важными и интересными. В них мы подробно разберем важнейшую часть статистического анализа (а именно построение радов распределения), а также моду и медиану.

Статистические ряды распределения являются одним из наиболее важных элементов статистики. Они представляют собой составную часть метода статистических сводок и группировок, но, по сути, ни одно из статистических исследований невозможно произвести, не представив первоначально полученную в результате статистического наблюдения информацию в виде статистических рядов распределения.

Актуальность данной темы обусловлена тем, что статистические ряды распределения являются базисным методом для любого статистического анализа. Понимание данного метода и навыки его использования необходимы для проведения статистических исследований.

В статистике применяют два вида средних величин, которые определяются только структурой распределения. Такими величинами являются мода и медиана. Их используют как среднюю характеристику в тех совокупностях, где расчёт средне степенной невозможен или нецелесообразен. Мода – наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной совокупности. Мода применяется при изучении качества продукции, покупательского спроса, конструировании одежды, обуви и т. д.

Медиана – варианта, делящая ранжированный ряд на две равные части.

Вторая глава – расчетная. Она состоит из задач, которые включают в себя большой спектр заданий (расчёта среднего показателя, нахождение моды и медианы, метод постоянной средней и многое другое).

Глава 1.Теоретическая часть.

14.Виды рядов распределения.

14.1. Виды рядов распределения

Важнейшей частью статистического анализа является построение рядов распределения (структурной группировки) с целью выделения характерных свойств и закономерностей изучаемой совокупности. В зависимости от того, какой признак (количественный или качественный) взят за основу группировки данных, различают соответственно типы рядов распределения.

Если за основу группировки взят качественный признак, то такой ряд распределения называют атрибутивным (распределение по видам труда, по полу, по профессии, по религиозному признаку, национальной принадлежности и т.д.).

Если ряд распределения построен по количественному признаку, то такой ряд называют вариационным. Построить вариационный ряд - значит упорядочить количественное распределение единиц совокупности по значениям признака, а затем подсчитать числа единиц совокупности с этими значениями (построить групповую таблицу).

Выделяют три формы вариационного ряда: ранжированный ряд, дискретный ряд и интервальный ряд.

14.2. Ранжированный ряд

Ранжированный ряд - это распределение отдельных единиц совокупности в порядке возрастания или убывания исследуемого признака. Ранжирование позволяет легко разделить количественные данные по группам, сразу обнаружить наименьшее и наибольшее значения признака, выделить значения, которые чаще всего повторяются.

Банк	Капитал (тыс. руб.)
СБ РФ	96007237
Внешторгбанк	47991724

Другие формы вариационного ряда - групповые таблицы, составленные по характеру вариации значений изучаемого признака. По характеру вариации различают дискретные (прерывные) и непрерывные признаки.

14.3. Дискретный ряд

Дискретный ряд - это такой вариационный ряд, в основу построения которого положены признаки с прерывным изменением (дискретные признаки). К последним можно отнести тарифный разряд, количество детей в семье, число работников на предприятии и т.д. Эти признаки могут принимать только конечное число определенных значений.

Дискретный вариационный ряд представляет таблицу, которая состоит из двух граф. В первой графе указывается конкретное значение признака, а во второй - число единиц совокупности с определенным значением признака.

Кол-во детей в семье	0	1	2	3	4
Кол-во семей	20	40	45	10	5

14.4. Интервальный вариационный ряд

Если признак имеет непрерывное изменение (размер дохода, стаж работы, стоимость основных фондов предприятия и т.д., которые в определенных границах могут принимать любые значения), то для этого признака нужно строить интервальный вариационный ряд.

Групповая таблица здесь также имеет две графы. В первой указывается значение признака в интервале «от - до» (варианты), во второй - число единиц, входящих в интервал (частота).

Размер собственного капитала (тыс.руб.)	0 - 10000	10000 - 50000	Свыше 50000
Кол-во банков	20	40	10

При построении интервального вариационного ряда необходимо выбрать

оптимальное количество групп, самый распространенный способ по формуле

Стерджесса:

k 1 + 3,32 lg n= 1 + 1,44 ln n,

где k — число групп;

n — численность совокупности.

14.5. Частота повторения

Частота (частота повторения) - число повторений отдельного варианта значений признака, обозначается f_i , а сумма частот, равная объему исследуемой совокупности, обозначается

где k - число вариантов значений признака

Очень часто таблица дополняется графой, в которой подсчитываются накопленные частоты S, которые показывают, какое количество единиц совокупности имеет значение признака не большее, чем данное значение.

Частоты ряда f могут заменяться частностями w, выраженными в относительных числах (долях или процентах). Они представляют собой отношения частот каждого интервала к их общей сумме, т.е.:

При построении вариационного ряда с интервальными значениями прежде всего необходимо установить величину интервала i, которая определяется как отношение размаха вариации R к числу групп m:

где R = x_max - x_min ; m = 1 + 3,322 lgn (формула Стерджесса); n - общее число единиц совокупности.

24. Мода и медиана

24.1. Мода.

Бесспорно, важное значение имеет такая величина признака, которая встречается в изучаемом ряду, в совокупности чаще всего. Такую величину принято называть модой и обозначать Мо. В дискретном ряду мода определяется без вычисления как значение признака с наибольшей частотой. Обычно встречаются ряды с одним модальным значением признака. Если два или несколько равных (и даже несколько различных, но больших, чем соседние) значений признака имеются в вариационном ряду, он считается соответственно бимодальным либо мультимодальным. Это говорит о неоднородности совокупности, возможно, представляющей собой агрегат нескольких совокупностей с разными модами.

Так и в толпе туристов, приехавших из разных стран, вместо одной, преобладающей среди местных жителей модной одежды можно встретить смесь «мод», принятых у разных народов мира.

В интервальном вариационном ряду, тем более при непрерывной вариации признака, строго говоря, каждое значение признака встречается только один раз. Модальным интервалом является интервал с наибольшей частотой. Внутри этого интервала находят условное значение признака, вблизи которого плотность распределения, Т.е. число единиц совокупности, приходящееся на единицу измерения варьирующего признака, достигает максимума. Это условное значение и считается точечной модой. Логично предположить, что такая точечная мода располагается ближе к той из границ интервала, за которой частота в соседнем интервале больше частоты в интервале за другой границей модального интервала. Отсюда имеем обычно применяемую формулу :

Мо = хо + f_Mo - fMo - 1 • i,

(/Мо - f_mo-₁) + (/Мо - fMo+ 1)

где хо - нижняя граница модального интервала; fMo - частота в модальном интервале;

fMo - 1 - частота в предыдущем интервале;

fMo + 1 - частота в следующем интервале за модальным; i - величина интервала.

Вычисление моды в интервальном ряду весьма условно.

Приближенно Мо может быть определена графически .

В равно интервальном ряду при расчете моды следует использовать плотность распределения.

К изучению структуры вариационного ряда средняя арифметическая величина тоже имеет отношение, хотя основное значение этого обобщающего показателя другое.

24.2. Медиана.

При изучении вариации применяются такие характеристики вариационного ряда, которые описывают количественно его структуру, строение. Такова, например, медиана - величина варьирующего признака, делящая совокупность на две равные части - со значениями признака меньше медианы и со значениями признака больше медианы. На примере этих данных видно принципиальное различие между медианой и средней величиной. Медиана не зависит от значений признака на краях ранжированного ряда. Если бы капитал крупнейшего банка Санкт-Петербурга был в десять раз больше, величина медианы не изменилась бы. Поэтому часто медиану используют как более надежный показатель типичного значения признака, нежели арифметическая средняя, если ряд значений неоднороден, включает резкие отклонения от средней. В данном ряду средняя величина собственного капитала равна 394 млн руб., сложилась под влиянием наибольшей варианты. 80% банков имеют капитал меньше среднего и лишь 20% - больше. Вряд ли такую среднюю можно считать типичной величиной. При четном числе единиц совокупности за медиану принимают арифметическую среднюю величину из двух центральных вариант, например при 10 значениях признака - среднюю из пятого и шестого значений в ранжированном ряду.

В интервальном вариационном ряду для нахождения медианы применяется формула

Ме = Х_е + fi...L (~ - fMe - 1) ,

Ме где Ме - медиана;

Х_е - нижняя граница интервала, в котором находится медиана;

п - число наблюдений; .

!Ме -\ - накопленная частота в интервале, предшествующем медиан-

ному;

fMe - частота в медианном интервале; j - величина интервала.

Например, если имеется 100 наблюдений, то медианными,

Т.е. стоящими в середине ряда, являются: 100,,+ 1= 50,5 - 50-я

и 51-я единицы. В нашем примере имеется нечетное число значений: 143_+1= 72, Т.е. в середине ряда находится 72-е от

начала ряда значение урожайности. Как видно из ряда накопленных частот , оно находится в четвертом интервале. Тогда

Ме = 25 + 724135 . 5 = 29,5 цjгa.

При нечетном числе единиц совокупности номер медианы, как видим, равен не 'Lfj: 2, а ('Lfj + 1) : 2, но это различие несущественно и обычно игнорируется на практике.

В равно интервальном ряду медиана - это середина среднего интервала при их нечетном числе или средняя арифметическая из границ двух средних интервалов при их четном числе.

В дискретном вариационном ряду медианой следует считать значение признака в той группе, в которой накопленная частота превышает половину численности совокупности. Например, для данных табл. 5.1 медианой числа забитых за игру мячей будет два.

24.3. Соотношение между средней величиной, медианой и модой.

Различие между средней арифметической величиной, медианой и модой в данном распределении невелико. Если распределение по форме близко к нормальному закону, то медиана находится между модой и средней величиной, причем ближе к средней, чем к моде.

При правосторонней асимметрии х > Ме > Мо; при левосторонней асимметрии х < Ме < Мо.

Me=230 + 10 * ((51,5 – 32)/26)=237,5=Mo

Для умеренно асимметричных распределений справедливо равенство: IMo - хl = 31Ме - xl.

Глава 2. Расчётная часть.

2.1 Задача №1

Выполнить расчёт средней выработки на одного рабочего в бригаде из 12 человек.

Выработка каждого рабочего представлена в следующей таблице:

Выработка одного рабочего деталей, штук

Решение:

Определим среднюю выработку по формуле средней арифметической:

__ ∑ Xi

Х = --------------

X = (20+18+22+15+27+16+14+28+21+25+17+19)/12 = 242/12 = 20,1(6) (штук)

2.2 Задача №2

Определить среднюю трудоёмкость работ по производству деталей.

Трудоёмкость одной детали, чел.час	5	7	9	4	8	12	14
Объём производства деталей, штук	30	15	35	27	29	30	34

Решение:

Для решения используем формулу средней арифметической взвешенной:

__ ∑ X_i*n_i

Х = --------------

∑ n_i

Х = (5*30+7*15+9*35+4*27+8*29+12*30+14*34)/ (30+15+35+27+29+30+34) = 1746/200 = 8,73 (мин.)

2.3 Задача №3

Определить среднюю выработку рабочего на предприятии. Известно, что норма на одного рабочего в смену составляет 20 деталей.

Удельный вес рабочих предприятия, %	74	15	3	4	2	1	1
Выполнение норма выработки рабочими предприятия (%)	100	95	90	85	80	75	70

Решение:

__ ∑ X_i*n_i

Х = --------------

100%

Х=(74*100+15*95+3*90+4*85+2*80+1*75+1*70)/100= 95,8 (%)

Х=0,958*20=19,16 (деталей)

2.4 Задача №4

Определить среднее время обработки одной детали в бригаде из 9 человек. Определить сколько деталей будет изготовлено бригадой за 8 часовой рабочий день по индивидуальным нормам выработки с использованием полученной средней величины затрат времени на изготовление одной детали членом бригады.

Число рабочих, чел.	2	3	1	1	1	1
Время обработки одной детали, мин.	3	4	5	6	7	8

Решение:

1) Используем формулу средней гармонической величины:

__ ∑ n

Х = --------------

∑ n/х

X= 9/(2/3 + ¾ + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8) ~ 4.56 (мин)

Тогда общее количество деталей, изготовленных бригадой из 9 человек за 8 часов, будет равно (480/4,88)*9 ~ 947,34 (дет).

Находим сколько деталей за 8 часов сделает каждый рабочий:

X₁ = 480/3 = 160 шт; X₂ = 480/3 = 160 шт; X₃ = 480/4 = 120 шт; X₄ = 480/4 = 120 шт; X₅ = 480/4 = 120 шт X₆ = 480/5 = 96 шт; X₇ = 480/6 = 80 шт; X₈ = 480/7 = 68,6 шт; X₉ = 480/8 = 60 шт;.

Просуммировав эти результаты, получаем, что вся бригада за 8 часов сделает:

Х = 160 +160 + 120*3 + 96 + 80 + 68,6 + 60 = 984,6 шт.

2.5 Задача №5

Определить средний коэффициент роста для динамического ряда данных об объёме выпуска продукции за 5 лет. Показать расчётно, что полученная средняя соответствует данным динамического ряда.

Год	1996	1997	1998	1999	2000
Объём выпуска продукции, млн. руб	3	24	60	120	156

Решение:

Используем формулу средней геометрической:

___________

Х = ^n-1√X₁*X₂*…*X_n

X = ⁴√(24/3)(60/24)(120/60)(156/120) = ⁴√52 ~ 2,68

Проверка: 4*2,68*2,68*2,68*2,68 ~ 206 => средний коэффициент роста не равен 2,68.

2.6 Задача №6

Определить Моду и Медиану для распределения рабочих сдельщиков по нормам выработки.

Выполнение норм выработки рабочими, %	100-110	110-120	120-130	130-140	140-150	150-160	160-170	170-180	180-190
Численность рабочих сдельщиков	12	19	37	47	45	22	11	6	2
Сумма накопленных частот	4	10	23	47	69	80	86	88	89

Решение:

Расcчитаем моду по формуле (модальный интервал - 130-140):

M₀=x₀+d(n₂-n₁)/((n₂-n₁)+(n₂-n₃))

M₀=130+10*(47-37)/((47-37)+(47-45)) ~130,08 (%)

Рассчитаем медиану по формуле:

M_е=x₀+d*(½*∑n – S_m-1)/n_m

Сумма накопленных частот в данном случае составит: 12+19+37+47+45+22+11+6+2=201 => Полусумма равна 100,5 => медианный интервал – 130-140. Отсюда, медиана равна:

M_е= 130 + 10*(100,5-23)/24 ~ 146,49 (%)

2.7 Задача №7

Выполнить расчёт средней трудоёмкости обработки деталей методом моментов.

Решение:

Решение можно записать в виде следующей таблицы:

Трудоёмкость обработки деталей, мин.	20-25	25-30	30-35	35-40	40-45	45-50	50-55	55-60	60-65
Число деталей, штук.	12	19	37	47	45	22	11	6	2
Среднее значение интервала ( X’)	22,5	27,5	32,5	37,5	42,5 (А)	47,5	52,5	57,5	62,5
(X’ – A)	-20	-15	-10	-5	0	5	10	15	20
C_i=(X’-A)/i	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
C_i*n_i	-16	-18	-26	-24	0	11	12	6	4

Рассчитаем среднюю арифметическую:

__ ∑ c_in_i

С = --------------

∑ n_i

C=(-16-18-26-24+11+12+6+4)/(12+19+37+47+45+22+11+6+2)=-51/201 ~ -0,25

Тогда средняя трудоёмкость равна: X=(C*i + A)= -0,25*5 + 42,5 = 41,23 (мин.)

2.8 Задача №8

По данным о численности работников предприятия по годам определить показатели, характеризующие тенденцию развития данного явления во времени:

Абсолютные приросты базисные (накопленные) и цепные (годовые).
Темпы роста базисные и цепные.
Темпы прироста базисные и цепные.
Абсолютное значение одного процента прироста; темп наращивания
одного процента.
Средний абсолютный прирост; средний темп роста.
Постройте график базисных и цепных темпов роста.

На основании расчетов сделайте выводы о тенденции динамики численности работников предприятия.

Расчет показателей выполнить в таблице

Решение:

Годы	Числен-ность работни-ков (чел.)	Абсолютные приросты (чел.)		Темп роста (%)		Темп прироста (%)		Абсолют-ное значе-ние 1% прироста	Темп наращивания одного процента
Годы	Числен-ность работни-ков (чел.)	Базис-ный	Цеп-ной	Базис-ный	Цеп-ной	Базис-ный	Цеп-ной	Абсолют-ное значе-ние 1% прироста	Темп наращивания одного процента
2002	1200	-	-	-	-	-	-	-	-
2003	1250	50	50	104,2	104,2	4,2	4,2	11,9	-
2004	1320	120	70	110	105,6	10	5,6	12,5	105
2005	1380	180	60	115	104,5	15	4,5	13,3	105
2006	1460	260	80	121,7	105,8	21,7	5,8	13,8	103,8
2007	1500	300	40	125	102,7	25	2,7	14,8	107,2
Среднее значение		182	60	115,2	104,6

Данные показатели рассчитаны следующим образом:

Абсолютный прирост = Численность рабочих за отчётный период – Численность рабочих за базисный период (или предыдущий, в случае цепного метода)

Темп роста = 100% * Численность рабочих за отчётный период / Численность рабочих за базисный период (или предыдущий, в случае цепного метода)

Темп прироста = Темп роста – 100%

Абсолютное значение 1% прироста = Абсолютный прирост / Темп прироста

Темп наращивания одного процента = Абсолютное значение 1% прироста за отчётный период / Абсолютное значение 1% прироста за базисный (или предыдущий) период

График базисных и цепных темпов роста выглядит следующим образом:

2.9 Задача №9

По данным об объеме реализованной продукции (млн. руб.) :

измерить сезонные колебания объема реализованной продукции, применяя соответствующую формулу индекса сезонности;
показатели сезонной волны изобразить графически;
на основе синтезированной модели сезонной волны сделайте прогноз объемов реализованной продукции (млн. руб.) по месяцам 2007 г. возможного объема реализации в 1000 млн. руб.

Расчет выполнить в таблице.

Решение:

Период	Значения	Индекс сезонности	Прогноз на 2007 г.
Январь	30,8	0,87	72,5
Февраль	25,9	0,73	60,8
Март	29,1	0,82	68,3
Апрель	41,1	1,16	96,6
Май	35,2	0,99	82,5
Июнь	39,4	1,11	92,5
Июль	38,4	1,08	90,0
Август	35,3	0,99	82,5
Сентябрь	35,7	1,01	84,4
Октябрь	35,6	1,00	83,3
Ноябрь	36,3	1,02	85,0
Декабрь	42,7	1,20	100
Среднее значение	35,46		83,3

Виды рядов распределения. Мода и медиана 📙 Курсовая → 🆔 50371