Возведение многочлена в n –ую степень

                 Министерство образования и науки Российской Федерации 
                       Главное управление общего и профессионального

                                   Образования Иркутской области  
                           Отдел образования Куйтунского района 
                                      МОУ Тулинской СОШ 
 
 

  
 
 
 

                                    Исследовательская работа  
 
 

                 Возведение многочлена  в n –ую степень 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Выполнила ученица 11 класса

информационно-технологического

  профиля 

Щербакова Елена

Руководитель  Шульгина С.И,

учитель математики 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

  Тулюшка. 2008г

Актуальность:

Тему своей  работы я выбрала не случайно. Изучая тему «Многочлены. Действия с многочленами», меня заинтересовал вопрос, существуют ли способы возведения многочлена в любую n-ую степень? Поэтому цель моей работы стало раскрытие данного вопроса. В ходе работы мною были рассмотрены вопросы школьной и внешкольной программы, а также исторические сведения по теме. Большая часть отведена использованию формулы бинома Ньютона для возведения многочлена в n-ую степень. Я хочу углубить свои знания по этой, очень интересной, теме. Моя исследовательская работа состоит из 14 страниц. Список литературы включает 5 источников. В работу включен алгоритм возведения в n-ую степень с использованием элементов языка программирования Pascal. В ходе работы мною также были рассмотрены и решены задачи возведения многочлена в n-ую степень. В моей работе рассказ ведется языком понятным любому читателю, который знаком с понятием «многочлена». 

Тема  исследования:

«Возведение многочлена в n –ую степень» 

Объект  исследования:

Способы возведения многочлена в n –ую степень. 

Предмет исследования:

Многочлен. 

Цель-

Познакомиться с различными способами возведения многочлена в n-ую степень. 
 
 

Задачи:

1. Собрать  сведения из истории математики о возведении многочлена в n –ую степень

2. Рассмотреть  теорию возведения многочлена в  n – ую степень

3. Подобрать  задачи с ее применением. 
 

Гипотеза

Я думаю, что,  изучив данную теорию,  и рассмотрев ее применение на практике,  расширю и углублю свои знания по теме, что будет способствовать развитию логического и творческого мышления в процессе разрешения проблемных задач.  
 

Содержание: 

Актуальность, тема, объект и предмет исследования, цель, задачи, гипотеза …………………………………………….. …………………………………2 

1. Основная  часть

►Историческая справка о возникновении данной теории

►Сама теория доказательства

►Подборка задач с применением данной теории 

Многочлен. Действия над многочленами…………………………………………………………………4 - 5

Формулы сокращенного умножения……………………………………………………………………  6

Алгоритмы вычисление куба и квадрата суммы (разности) на языке Pascal……………………………………………………………………………7

Квадрат суммы (разности) трех слагаемых………………………………………………………………………8.

Квадрат суммы нескольких слагаемых………………………………………………………………………9 

Треугольник Паскаля. Его свойства Блуждание по прямой. ………………… Бином   Ньютона……………………………………………………………10-11. 
 

Исторические  сведения о формуле бинома Ньютона

Заслуга И. Ньютона  и Б. Паскаля…………………………………………......12. 

Формула бинома Ньютона для ненатуральных степеней.

Заключение…………………………………………………………………….13.

Список использованной литературы………………………………………….13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Многочлен.

Действия  над многочленами

В алгебре часто  рассматриваются алгебраические выражения, представляющие собой сумму или разность одночленов.

Многочленом называется алгебраическая сумма нескольких одночленов.

Одночлены, из которых  составлен многочлен, называются членами  этого многочлена.

Например, членами  многочлена  5nm² - 3m²k – 7nk² + 4nm являются 5nm²,                            

- 3m²k, - 7nk², 4nm.

Многочлен, состоящий  из двух членов, называется двучленом; многочлен, состоящий из трех членов, называется трехчленом и т. д.

Примеры двучленов: a² - b² ; 5ab + 4c ;

Примеры трехчленов: a + 2b -3c ; ½ - bc + 3ab.

Одночлены являются частным случаем многочленов, именно как многочлены, составленные из одного члена. Воспользуемся этим соглашением  и сделаем следующие выводы:

1. Сумма и разность двух многочленов есть многочлен.
2. Произведение двух многочленов есть многочлен.

Отсюда непосредственно  следует такая общая теорема:

Всякое  целое алгебраическое выражение равно  некоторому многочлену.

Или, что то же самое:

Всякое  целое алгебраическое выражение может  быть преобразовано  в виду многочлена.

Действительно, целое алгебраическое выражение  есть запись действий сложения, вычитания  и умножения (в том числе и  умножения равных множителей, т.е. возведения в степень) над числами, часть  которых обозначена буквами. Как  заданные числа, так и отдельные  буквы представляют собой одночлены.

Произведя над  ними одно за другим указанные действия, мы будем получать результаты в виде многочленов в силу сформулированных выше выводов. И наконец, окончательный  результат тоже будет иметь вид  многочлена, что и требовалось доказать. Например:  

[(a + b)² - 4ab]·[(a – b)² + (a + 2b) (a + b)] + [2a² - (a + 2b) (a - 2b)]·[(a + 2b) (a + 3b) –

(a – b)·(a – 6b)] = (a² + 2ab + b² - 4ab) (a² - 2ab + b²+

a² + 2ab + ab + 2b²) + (2a² - 2a² - 4ab +ab + 2b²) (2ab + a² + 6b²  + 3ab - a² +

+ ab + 6ab - 6b²) = (a²  - 2ab + b²)(2a² + ab + 3b²) + (-3ab + 2b²)(12ab) =

= 2a⁴ + a³b + 3a²b² - 4 a³b - 2a²b² - 6ab³ + 2a²b² + ab³ + 3b⁴ - 36a²b² + 24ab³ =

= 2a⁴ - 3 a³b - 33a²b² + 19ab³ + 3b⁴       

Многочлен называется приведенным, если он не содержит подобных членов. Очевидно, что всякий многочлен равен некоторому приведенному многочлену.

Действительно, если многочлен содержит подобные члены, то их можно привести. В силу этого  всякое целое алгебраическое выражение  можно преобразовать к виду приведенного многочлена.

Очевидно, что  если два приведенных многочлена составлены из одинаковых одночленов, то они равны тождественно, т.е. их значения равны при всех численных  значениях входящих в них букв. Верна также и обратная теорема:

Если два приведенных  многочлена равны тождественно, то они составлены из одинаковых одночленов.

Доказательство  теоремы о тождестве довольно сложно:

Пусть f₁(x) и f₂(x) – тождественно равные многочлены. Будем считать, что они уже приведены к каноническому, т.е. к виду суммы степеней с некоторыми коэффициентами.

Составим многочлен  F(x) = f₂(x) - f₁(x).

Коэффициентами  в многочлене F(x) являются разности соответствующих коэффициентов в многочленах f₁(x) и f₂(x). По условию многочлен тождественно равен нулю, ибо f₁(x) и f₂(x) принимают одинаковые значения x. Если допустить, что F(x) формально отличен от нуля, то он обращался бы в нуль только при конечном числе значений для x, это противоречит тому, что он обращается в нуль при всех значениях x, т.е. при бесконечном множестве значений. Следовательно, F(x) равен нулю формально, что возможно, только если в записи многочленов f₁(x) и f₂(x) соответствующие коэффициенты равны. Теорема доказана.

Эти две теоремы  дают возможность ответить на такой  вопрос. Пусть даны два целых алгебраических выражения. Равны они тождественно или нет? Для решения этого вопроса достаточно привести каждое из выражений к виду приведенного многочлена. Если при этом окажется, что полученные многочлены составлены из одинаковых одночленов, то данные выражения тождественно равны. Если же полученные многочлены окажутся  различными, т.е. составленными из неодинаковых одночленов, то данные равны тождественно. 

Стандартным видом многочлена с одной переменной называется запись этого многочлена в порядке убывания степеней одночленов, каждый из которых записан в стандартном виде и среди которых нет подобных. 

                   P(x) = a_n nⁿ + a_n-1 x^n-1 +…+ a₁ x + a₀ 

Числа a_n, a_n-1,…, a₀ называются коэффициентами многочлена. При этом   a_n≠ 0.

Пример: 3x⁵ – 4x³ + 2x³ - 6x +1 – стандартный вид многочлена. 

Старший коэффициент 3.

Пусть дан многочлен  в стандартном виде: 

                   P(x) = a_n nⁿ + a_n-1 x^n-1 +…+ a₁ x + a₀

Коэффициент a_n≠ 0 называется старшим коэффициентом многочлена.

Многочлен с  одной переменной стандартного вида называется приведенным, если его старший коэффициент равен 1.

Любой многочлен  можно привести, разделив все его  коэффициенты на старший коэффициент  a_n. При этом корни многочлена не изменяются.

Пример: x³ – 2x³ + x – 1 – приведенный кубический многочлен.

Пусть дан многочлен в стандартном виде: 

                   P(x) = a_n nⁿ + a_n-1 x^n-1 +…+ a₁ x + a₀ 

Одночлен a₀ называется свободным членом многочлена. 

Степенью многочлена называется наибольшая из степеней входящих в него одночленов. 

В некоторых  случаях приведение целого выражения к стандартному виду многочлена осуществляется с использованием тождеств:

(a +b) (a – b) = a² - b².                                                                                      (1)

(a + b)²  = a² + 2ab +b².                                                                                     (2)

(a – b)² = a² - 2ab + b².                                                                                     (3)

(a + b) (a²  - ab + b²) = a³ +b³.                                                                          (4)

(a – b) (a² + ab + b²) = a³ - b³.                                                                         (5) 

(a + b)³  = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.                                                                       (6)

(a –b)³ = a³ - 3a²b + 3ab²  - b³.                                                                          (7)

 

Эти  тождества  называют формулами сокращенного умножения. Они читаются так:

1. Произведение суммы двух чисел на их разность равно разности квадратов этих чисел.
2. Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.
3. Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.
4. Произведение суммы двух чисел на неполный квадрат их разности равно сумме кубов этих чисел.
5. Произведение разности двух чисел на неполный квадрат их суммы равно разности кубов этих чисел.

6 . Куб суммы   двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное                  произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа  на квадрат второго числа плюс куб второго числа. 

7. Куб разности  двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа  на квадрат второго числа минус куб второго числа.     

Алгоритмы вычисление куба и  квадрата

суммы (разности) на языке  Pascal

Вычисление квадрата суммы (разности).

Var

A,b,c:single;

D:string;

Procedure TForm1.Button1Click(Sender:TObject);

Begin

A:=StrToFloat(Edit1.Text);

d:=StrToFloat(Edit2.Text);

b:=StrToFloat(Edit3.Text);

If Edit2.Text:=‘+’ then

C:=a·a+2·a·b+b·b;

Else

C:=a·a-2·a·b+b·b;

Edit4.Text:=c;

End;

End. 
 

Вычисление куба суммы(разности)

Var

A,b,c:single;

D:string;

Procedure TForm1.Button1Click(Sender:TObject);

Begin

A:=StrToFloat(Edit1.Text);

d:=StrToFloat(Edit2.Text);

b:=StrToFloat(Edit3.Text);

If Edit2.Text:=‘+’ then

C:=a·a·a+3·a·a·b+3·a·b·b+b·b·b;

Else

C:=a·a·a-3·a·a·b+3·a·b·b-b·b·b;

Edit4.Text:=c;

End;

End. 

Я хочу рассмотреть, приведение целого выражения к стандартному виду многочлена через возведение многочлена в n –ую степень. Из школьного курса математики известны формулы: квадрат суммы (разности) двух чисел и куба суммы (разности) двух чисел. А как же возвести любой многочлен в n –ую степень, где n может быть как целым числом, так и дробным?  

   Сначала я взяла трехчлен и возвела его в квадрат: 

(a +b + c)² = ((a + b) +c)² = (a + b)² + 2( a + b) · c + c² =  a² + 2 ab +b² + 2ac +2bc +c² =           = a² + b² +c² + 2( ab + ac +bc ) 

Например:

(a +2b + 3)² = a² +4b² +9 + 2 (2ab + 3а +6b) = a² +4b² +9 + 4ab +6а +12b.

 

Итак, делаю вывод:

Квадрат суммы  трех чисел равен сумме их квадратов  плюс все возможные удвоенные произведения этих чисел взятых по два.

Аналогично 

(a -b - c)² = a² + b² +c² - 2( ab + ac +bc )

Итак

(a -b - c)² = a² + b² +c² - 2ab – 2ac – 2bc                                                       (8)

(a +b + c)² = a² + b² +c² + 2ab + 2ac +2bc                                                    (9)                                                                                                     

Пример:

(a -2b - 3)² = a² +4b² +9 - 2 (2ab +3а +6b) =  a² +4b² +9 -4ab – 6а - 12b.

 

Значит квадрат суммы нескольких слагаемых для любых чисел или выражений a ,j = 1, n верно тождество 

(a₁ + a₂ + …+ a_n )² = a₁² + a₂² +…+ 2(a₁ a₂ + a₁ a₃ +…+ a_i a_j +…+ a_n-1 a_.) 

Квадрат суммы  n слагаемых равен сумме их квадратов плюс удвоенная сумма всевозможных попарных произведений этих слагаемых вида

a_i a_j , где i < j.  
 

Пример: (2x³ + 2x² - 3x – 3)² = 4x⁶ + 4x⁴ + 9x² + 9 + 8x⁵ – 12x⁴ – 12x³ –     

- 12x² + 18x = 4x⁶ + 8x⁵ –8x⁴ – 24x³ - 3x² + 18x + 9. 

А сейчас рассмотрим, как возвести двучлен в n –ую степень, где n e N; т. e (а + b)ⁿ

  Известно, что               (а + b) ¹ = а + b                                                             (1)

                                         (а + b) ² = a² + 2ab +b²                                                 (2)

                                         (a + b) ³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³                                     (3)

(a + b) ⁴ = (a + b) ³ · (a + b) = (a³ + 3a²b + 3ab² + b³) · (a + b) =

=  a⁴+ 3a³b+ 3a²b² + ab³ + a³b +3a²b²+ 3ab³+b ⁴ =  a⁴+ 4a³b+6a²b²+ 4ab³+b ⁴             (4) 

Рассмотрев формулы (1) - (4), можно заметить, что при  разложении (a + b)ⁿ многочлена получается сумма членов aⁿ , aⁿ־¹b , aⁿ־²b², …, abⁿ־¹ + bⁿ с некоторыми коэффициентами. Для их определения часто применяют треугольник Паскаля. Он устроен так. В его нулевой строке стоит единица, в первой строке стоят две единицы, далее в каждой следующей строке по краям стоят единицы, а каждое из оставшихся  

n – 1 чисел n-й строки равно сумме двух чисел, записанных над ним в предыдущей строке. 
 

              Номер

             Строки

0.                         1
1.                        1 1
2.                     1 2 1
3.                     1 3 3 1
4.                   1 4 6 4 1
5.                1 5 10 10 5 1
6.             1 6 15 20 15 6 1

…                      ……

1. Свойства треугольника  Паскаля:

1) В треугольнике  Паскаля каждое число кроме  крайних единиц равно

сумме двух соседних в предыдущей строке.

2) Сумма чисел  n-ой строки равна 2n, где n принадлежит  целым чис-

лам.

3) Сумма чисел  любой строки в два раза больше суммы чисел в пре-

дыдущей строке.

4) Числа, равноудаленные  от концов любой строки равны  между собой.

С_mⁿ=C_m^m-n 

В частности, используя  треугольник Паскаля, получим, что 

( a + b)⁵ = a⁵ + 5a⁴ b + 10a³ b² + 10a² b³ + 5ab⁴ + b⁵ .                                  (5)

( a + b)⁶ = a⁶ + 6a⁵ b + 15a⁴ b² + 20a³ b³ + 15a²b⁴ +6ab⁵ + b⁶ .                 (6)

Конечно, используя  треугольник Паскаля можно найти  разложение (a + b)ⁿ в многочлен для любого натурального n. Но этот процесс для больших n достаточно трудоемок. Кроме того, надо обосновать правильность треугольника Паскаля. Поэтому приведем общую формулу.

Для любого натурального числа n справедлива формула, называемая формулой бинома Ньютона

(a+b) - двучлен (бином)

(a+b)⁰=1

(a+b)¹=a+b

(a+b)²=C₂⁰a² + C₂¹ab + C₂²b²

и т.д. ;)

Свойства бинома Ньютона:

1) Бином Ньютона  содержит n+1 слагаемых.

2) Биноминальные  коэффициенты, равноудаленные от  концов равны

между собой.

3) Формулу бинома  Ньютона можно записать символически:

                               _n 

   ( a + b)ⁿ = ∑ C_n^k aⁿ־^kb^k                                                          

                   ^k=0

4) Любой член  можно выразить формулой: T_k+1=C_n^ka^n-kb^k 

( a + b)ⁿ = aⁿ + naⁿ־¹b + Cn²aⁿ־²b²+…+Cnªaⁿ־ªbª +…+ nabⁿ־¹ + bⁿ ,                  (7)

Где C_n^k  - число сочетаний из n по k.

                          С   =            

Слагаемые суммы  в правой части называют членами  разложения бинома Ньютона. Член aⁿ называют нулевым членом разложения бинома Ньютона, далее идут первый, второй и т.д. члены до n-го (равного bⁿ) включительно; k-й член бинома Ньютона имеет вид

    C_n^k aⁿ־^kb^k   (k≠0, 1 …n)

Формулу (7) можно  записать еще так:

                               _n  (7’)

   ( a + b)ⁿ = ∑ C_n^k aⁿ־^kb^k                                                          

                   ^k=0

Правая часть  равенства  (7’) читается так: сумма  слагаемых    C_n^k aⁿ־^kb^k ,  взятая для целых k от 0 до n.

Числа C_n^k называют также биномиальными коэффициентами. Легко проверить, что коэффициенты C_n^k действительно равны соответствующим числам n-й строки треугольника Паскаля. При n = 1,2…6 формула (7) выражает приведенные выше равенства (1) – (6).

Например:

( 2 + b)⁵ = 2⁵ + 5· 2⁴ b + 10·2³ b² + 10·2² b³ + 5·2b⁴ + b⁵=

= 32 + 80 b + 80 b² + 40 b³ + 10b⁴ + b⁵ .

 

   ( a + b)ⁿ = ∑ C_n^k aⁿ־^kb^k                                                          

                   ^k=0 

Блуждание по прямой. Треугольник  Паскаля.

    Рассмотрим  задачу блуждания по прямой. За один шаг частица продвинется на расстояние h вверх, либо на то же расстояние вниз. Горизонтальную ось теперь удобно использовать для того, чтобы по ней откладывалось число шагов. Легко понять, что в этой задаче число возможных способов перемещения частицы за t шагов будет равно 2^t.

    Блуждание такого рода осуществляется в специальном приборе, который называется доской Гальтона. Устройство этого прибора таково: металлические шарики один за другим попадают в самый верхний канал. Наткнувшись на первое острие, они должны выбрать путь направо либо налево. Затем происходит второй такой выбор и т. д. при тщательной подгонке деталей выбор пути оказывается вполне случайным: любой из 2^t способов

(в нашем случае  t = 5) равновозможен. Пропустив через прибор большое количество шариков, обнаруживают, что доля шариков, попавших в каждое из отделений внизу, примерно соответствует рассчитанным вероятностям.

Оставим теперь приборы, иллюстрирующие физический механизм случайности, и займемся математикой. Выпишем числа в виде таблицы: