Закон убывающей отдачи факторов производства и вогнутость производственной функции

 

 

 

 

 

Курсовая  работа

 

По дисциплине: «Математическая экономика»

 

По теме: «Закон убывающей отдачи факторов производства и вогнутость производственной функции»

 

 

 

 

 

 

Преподаватель: Антонов А.А.

Выполнил  студент:

4 курса, экономического

факультета

группы  41 ИЗС

№ зачетной книжки 1488

Иванов  А.Г.

 

 

 

 

 

 

 

 

Москва

2013г.

Оглавление

Введение 3

Производственные  факторы и производственная функция  фирмы. Закон убывающей отдачи факторов производства. 4

Заключение 8

Практическая  часть. 9

Список литературы 17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Факторы производства должны использоваться предприятием с соблюдением определенной пропорциональности между постоянными и переменными факторами. Нельзя произвольно увеличивать количество переменных факторов на единицу постоянного фактора, поскольку в этом случае вступает в действие закон убывающей отдачи (возрастающих затрат).

В соответствии с этим законом, непрерывное увеличение использования одного переменного ресурса в сочетании с неизменным количеством других ресурсов на определенном этапе приводит к прекращению роста отдачи от него, а затем и к ее сокращению. Данный закон действует при неизменном технологическом уровне производства. Переход к более прогрессивной технологии повышает отдачу ресурсов независимо от соотношения постоянных и переменных факторов.

Закон убывающей отдачи применим ко всем видам переменных факторов во всех отраслях. При постепенном введении в производство дополнительных единиц переменного ресурса при условии, что все остальные ресурсы  постоянны, отдача от этого ресурса  сначала быстро растет, а затем  ее прирост начинает снижаться.

Допустим, что предприятие в  своей деятельности использует только один переменный ресурс — труд, отдачей  которого является производительность. По мере загрузки оборудования за счет постепенного увеличения числа нанимаемых рабочих выпуск продукции быстро возрастает. Затем прирост постепенно замедляется до тех пор, пока рабочих  станет достаточно для полной загрузки оборудования. Если продолжать нанимать рабочих и дальше, то они уже  ничего не смогут добавить к объему производимой продукции. В конце  концов, рабочих станет так много, что они будут мешать друг другу, и выпуск сократится.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Производственные  факторы и производственная функция  фирмы. Закон убывающей отдачи факторов производства.  
Производственная функция - это зависимость между набором факторов производства и максимально возможным объемом продукта, производимым с помощью данного набора факторов.  
Производственная функция всегда конкретна, т.е. предназначается для данной технологии. Новая технология - новая производительная функция.  
С помощью производственной функции определяется минимальное количество затрат, необходимых для производства данного объема продукта.  
Производственные функции, независимо от того, какой вид производства ими выражается, обладают следующими общими свойствами:  
1) Увеличение объема производства за счет роста затрат только по одному ресурсу имеет предел (нельзя нанимать много рабочих в одно помещение - не у всех будут места).  
2) Факторы производства могут быть взаимодополняемы (рабочие и инструменты) и взаимозаменяемы (автоматизация производства).

Изокванта - кривая, демонстрирующая различные варианты комбинаций факторов производства, которые могут быть использованы для выпуска данного объема продукта. Изокванты иначе называют кривыми равных продуктов, или линиями равного выпуска.  
Наклон изокванты выражает зависимость одного фактора от другого в производственном процессе. При этом увеличение одного фактора и уменьшение другого не вызывает изменений в объеме выпускаемой продукции. Данная зависимость изображена на рис.  
Изокванты выпуклы в направлении начала координат, поскольку хотя факторы могут быть заменяемы один другим, однако они не являются абсолютными заменителями.

Кривизна  изокванты иллюстрирует эластичность замещения факторов при выпуске заданного объема продукта и отражает то, насколько легко один фактор может быть заменен другим. В том случае, когда изокванта похожа на прямой угол, вероятность замещения одного фактора другим крайне невелика. Если же изокванта имеет вид прямой линии с наклоном вниз, то вероятность замены одного фактора другим значительна.  
Чем дальше от начала координат расположена изокванта, тем больший объем выпуска она представляет.  
Линейная изокванта - изокванта, выражающая совершенную замещаемость факторов производства (MRTSLK = const) 
Жесткая дополняемость факторов производства представляет такую ситуацию, при которой труд и капитал сочетаются в единственно возможном соотношении, когда предельная норма технического замещения равна нулю (MRTSLK = 0), так называемая изокванта леонтьевского типа  
Карта изоквант представляет собой набор изоквант, каждая из которых иллюстрирует максимально допустимый объем производства продукции при любом данном наборе факторов производства. Карта изоквант является альтернативным способом изображения производственной функции.

Смысл карты изоквант аналогичен смыслу карты кривых безразличия для потребителей. Карта изоквант схожа с контурной картой горы: все большие высоты показаны посредством кривых (рис.).  
Карта изоквант может быть использована для того, чтобы показать возможности выбора среди множества вариантов организации производства в рамках короткого периода, когда, например, капитал является постоянным фактором, а труд - переменным фактором.

Изокоста - линия, демонстрирующая комбинации факторов производства, которые можно купить за одинаковую общую сумму денег. Изокосту иначе называют линией равных издержек. Изокосты являются параллельными прямыми, поскольку допускается, что фирма может приобрести любое желаемое количество факторов производства по неизменным ценам. Наклон изокосты выражает относительные цены факторов производства. На рис. каждая точка на линии изокосты характеризуется одними и теми же общими издержками. Эти линии прямые, поскольку факторные цены имеют отрицательный наклон и параллельны.  
Совместив изокванты и изокосты, можно определить оптимальную позицию фирмы. Точка, в которой изокванта касается (но не пересекает) изокосты, означает наиболее дешевую по стоимости комбинацию факторов, необходимых для выпуска определенного объема продукта (рис.). На рис. показан метод определения точки, в которой минимизируются издержки производства заданного объема производства продукта. Эта точка расположена на самой нижней изокосте, где изокванта соприкасается с ней.

Равновесие  производителя - состояние производства, при котором использование факторов производства позволяет получить максимальный объем продукции, т. е. когда изокванта занимает самую отдаленную от начала координат точку. Чтобы определить равновесие производителя, необходимо совместить карты изоквант с картой изокост. Максимальный объем выпуска будет в точке касания изокванты с изокостой (рис.).  
Из рис. видно, что изокванта, расположенная ближе к началу координат, дает меньшее количество производимой продукции (изокванта Q1). Изокванты, расположенные выше и правее изокванты Q2, вызовут изменение большего объема факторов производства, нежели позволяет бюджетное ограничение производителя.  
Таким образом, точка касания изокванты и изокосты (на рис. точка Е) является оптимальной, поскольку в этом случае производитель получает максимальный результат.  
Рассмотрим короткий период деятельности фирмы, в котором из двух факторов переменным является труд. В такой ситуации фирма может увеличить производство за счет использования большего количества трудовых ресурсов. График производственной функции Кобба - Дугласа с одной переменной изображен на рис. (кривая ТРн).  
Закон убывающей предельной производительности действует в краткосрочном временном интервале, когда один производственный фактор остается неизменным. Действие закона предполагает неизменное состояние техники и технологии производства, если в производственном процессе будут применены новейшие изобретения и другие технические усовершенствования, то рост объема выпуска может быть достигнут при использовании тех же самых производственных факторов. То есть технический прогресс может изменить границы действия закона.  
Если капитал является фиксированным фактором, а труд - переменным, то фирма может увеличить производство за счет использования большего количества трудовых ресурсов. Но по закону убывающей предельной производительности, последовательное увеличение переменного ресурса при неизменности других ведет к убывающей отдаче данного фактора, то есть к снижению предельного продукта или предельной производительности труда. Если же наем рабочих будет продолжаться, то в конечном итоге, они будут мешать друг другу (предельная производительность станет отрицательной) и объем выпуска сократится.

Предельная производительность труда (предельный продукт труда - MPL) - это прирост объема производства от каждой последующей единицы труда, т.е. прирост производительности к совокупному продукту (TPL).

Аналогично  определяется предельный продукт капитала MPK.  
Основываясь на законе убывающей производительности, проанализируем взаимосвязь общего (TPL), среднего (АPL) и предельного продуктов (MPL) В движении кривой общего продукта (ТР) можно выделить три этапа. На этапе 1 она поднимается вверх ускоряющимися темпами, так как предельность продукта (MP) возрастает (каждый новый рабочий приносит больше продукции, чем предыдущий) и достигает максимума в точке А, то есть скорость роста функции максимальна. После точки А (этап 2) в силу действия закона убывающей отдачи, кривая MP падает, то есть каждый нанятый рабочий дает меньшее приращение общего продукта по сравнению с предшествующим, поэтому темп роста ТР после ТС замедляется. Но пока МР будет положительным, ТР будет все равно увеличиваться и достигнет максимума при МР=0.  
На 3 этапе, когда количество рабочих становится избыточным по отношению к фиксированному капиталу (станки), МР приобретает отрицательное значение, поэтому ТР начинает снижаться.  
Конфигурация кривой среднего продукта АР также обусловлена динамикой кривой МР. На 1 этапе обе кривые растут, пока приращение объема выпуска от вновь нанятых рабочих будет большим, чем средняя производительность (АРL) ранее нанятых рабочих. Но после точки А (max MP), когда четвертый рабочий добавляет к совокупному продукту (ТР) меньше чем третий, МР уменьшается, поэтому средняя выработка четырех рабочих также сокращается.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

Таким образом, производственная функция – это функция, позволяющая определить максимально возможный объем выпуска продукции при различных сочетаниях и количествах ресурсов.

В теории производства традиционно  используются двухфакторная производственная функция, в которой объем производства, является функцией использования ресурсов труда и капитала:

Q = f (L, K).

Она может быть представлена в виде графика или кривой. В  теории поведения производителей при  определенных допущениях существует единственная комбинация ресурсов, при которой  минимизируются затраты на ресурсы  при данном объеме производства.

Расчет производственной функции фирмы – это поиск  оптимума, выбор среди многих вариантов, предусматривающих различные сочетания  факторов производства, такого, который  даёт максимально возможный объем  выпуска продукции. В условиях растущих цен и денежных затрат фирма, т.е. издержек на приобретение факторов производства, расчет производственной функции сосредоточен на поисках такого варианта, который  обеспечил бы максимизацию прибыли  при наименьших издержках.

Расчет производственной функции фирмы, стремящийся к  достижению равновесия между предельными  издержками и предельным доходом, будет  сосредоточен на поиски такого варианта, который обеспечит необходимый  выпуск продукции при минимальных  издержках производства. Минимальные  издержки определяются на стадии расчетов производственной функции методом  замещения, вытеснения дорогостоящих  или возросших в цене факторов производства альтернативными, более дешевыми. Замещение осуществляется с помощью сравнительного экономического анализа взаимозаменяемых и взаимодополняемых факторов производства их рыночных цен. Удовлетворительным будет такой вариант, в котором комбинация факторов производства и заданный объем выпуска продукции соответствует критерию наименьших издержек производства.

Существует несколько  видов производственной функции. Основными  из них являются:

1. Нелинейная ПФ;
2. Линейная ПФ;
3. Мультипликативная ПФ;
4. ПФ «затраты-выпуск».

Производственные функции  широко применяются в экономическом  анализе региональных рынков. Фактически форма производственной функции  может отражать технические возможности  данного рынка на данный момент.

 

 

Практическая  часть.

Задание №1

Задана мультипликативная  производственная функция производственной подсистемы экономики некоторой  страны

 

и показатели экономики:

= валовый выпуск продукции,

= объем основных фондов,

= объем трудовых ресурсов,

выраженные в относительных (безразмерных) единицах и соответствующих некоторому периоду времени.

Требуется найти:

1. Отношение предельной производительности труда к средней производительности труда.
2. Отношение предельной фондоотдачи к средней фондоотдаче.
3. На сколько процентов изменится выпуск, если основные фонды увеличить на 1 %.
4. На сколько процентов изменится выпуск, если число занятых увеличится на 1%.
5. Построить семейство изоквант и изоклиналей.
6. Показатель эффективности экономики страны E и показатель масштаба производства М, а также выполнить анализ состояния и поведения экономики страны за рассматриваемый период времени.

 

 

Решение.

 

Частные производные выпуска  по факторам называются предельными (маржинальными) эффективностями факторов и характеризуют  прирост  выпуска на единицу прироста фактора:

- предельная эффективность фондов (предельная фондоотдача),

- предельная эффективность труда  (предельная производительность  труда).

 

Для мультипликативной функции

,

.

Это означает, что предельная производительность труда пропорциональна  с коэффициентом  средней производительности труда X/L, а предельная фондоотдача – средней фондоотдаче X/K с коэффициентом :

, .

1. Отсюда отношение предельной производительности труда к средней производительности труда равно 4,27.
2. Отношение предельной фондоотдачи к средней фондоотдаче равно 0,47.
3. Коэффициент эластичности фактора показывает, на сколько процентов изменится выпуск, если фактор увеличится на 1%. Согласно ПФ, заданной в условии задачи:

При увеличении ОПФ на 1%, валовой выпуск увеличится на 0,47%;

4. При увеличении занятых на 1% - на 4,27%.
5. Построить семейство изоквант и изоклиналей.

 

Изоквантой называется множество точек плоскости, для которых

F(K, L)=X₀=const. Для мультипликативной ПФ заданной в условии задачи изокванта имеет вид

= X₀=const, или ,

т.е. является степенной гиперболой, асимптотой которой служат оси координат.

 

Изоклиналями называются линии наибольшего роста ПФ. Изоклинали ортогональны линиям нулевого роста, т.е. изоквантам. Поскольку направление наибольшего роста в каждой точке(K, L) задается градиентом , то уравнение изоклинали записывается в форме

.

В частности, для мультипликативной  ПФ , , поэтому изоклиналь задается дифференциальным уравнением

,

которое имеет решение

, ,

где (L₀, K₀) – координаты точки, через которую проходит изоклиналь.

 

6. Показатель эффективности экономики страны Е и показатель масштаба производства М.

Эффективность экономики  страны оценивается с помощью  обобщенного показателя, представляющего  собой взвешенное среднегеометрическое частных показателей экономической эффективности

в котором роль весов выполняют относительные эластичности и . Частные показатели эффективности представляют собой:

_{- фондоотдача;  - производительность труда.}

Подставим исходные данные задачи, получим:

0,09,

,

_,

Эффективность экономики  страны найдем как среднегеометрическое из частных эффективностей.

_3,25

Так как валовый выпуск продукции _{представляет собой произведение экономической эффективности экономики страны на масштаб производства, т.е., ,  то}

Подставив исходные данные, получим:

Таким образом, валовый выпуск продукции в экономике рассматриваемой страны за указанный период вырос в 4,5 раза. В том числе и за счет прироста масштаба производства в 1,38 раза.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание №3

Пусть все  народное хозяйство (район и т.д.) состоит из трех отраслей, каждая из которых выпускает один вид из продукции. В первых таблицах указаны  расходные коэффициенты (прямые затраты) единиц продукции i-ой отрасли, используемые как сырье (промежуточный продукт) для выпуска единицы продукции k-й отрасли, а также количество единиц y_i продукции i-й отрасли, предназначенные для реализации (конечный продукт).

 

Дополнительно заданы расходные нормы двух видов  сырья и топлива на единицу  продукции соответствующей отрасли, трудоемкость продукции в человеко-часах  на единицу продукции, стоимость  единицы соответствующего материала  и оплата за 1 чел. (вторые таблицы).

 

Отрасли	Прямые затраты аik			Конечный продукт
	1	2	3
1	0,9	0,1	0	400
2	0,2	0	0,1	100
3	0,3	0,1	0,2	400

 

	Прямые затраты аik			Стоимость, у.е.
	1	2	3
Сырье A	2,2	1,7	1,0	9
Сырье B	1,3	1,6	1,0	13
Топливо	2,1	2,8	2,4	3
Трудоемкость	16	21	32	1,3

 

 

 

 

Определить:

1.Коэффициенты полных  затрат.

2.Валовой выпуск для  каждой отрасли.

3. Производственную программу  отраслей.

4. Коэффициенты косвенных  затрат.

5. Суммарный расход сырья,  топлива и трудовых ресурсов  на выполнение производственной  программы.

6. Коэффициенты прямых  затрат сырья, топлива и труда  на единицу конечной продукции  каждой отрасли.

7.Расход сырья, топлива  и трудовых ресурсов по отраслям.

8. Производственные затраты  в денежных единицах по отраслям  и на всю производственную  программу.

9. Производственные затраты  на единицу конечной продукции.

 

Решение.

1. Обозначим производственную программу Х = (х₁, х₂, х₃) (х_i – валовый выпуск продукции i-й отраслью), а выпуск товарной продукции Y = (y_1, y_2, y₃). - расходные коэффициенты (таблица 1), тогда производственные взаимосвязи могут быть представлены формулой

,

где AX – внутрипроизводственное потребление.

,

.

- матрица, обратная для , представляет собой искомые коэффициенты полных внутрипроизводственных затрат.

.

Таким образом, например, для  выпуска единицы продукции 1, 2, 3 отраслей необходимо затратить продукции 1-ой отрасли соответственно 13.17, 1.33, 0.17 единиц.

2. Для определения валового выпуска продукции отраслей воспользуемся равенством

 

 

 

 

Следовательно, х₁ = 5469_, х₂ =1469, х₃=2731.

3. Производственную программу каждого из отраслей можно определить из соотношений:

и представить в виде таблицы:

Отрасли	Внутрипроизводственное потребление			Итого	Конечный продукт	Валовой выпуск
	1	2	3
1	4922	147	0	5069	400	5469
2	1094	0	273	1367	100	1469
3	1641	147	546	2334	400	2731

 

4. Коэффициенты косвенных затрат найдем по формуле:

 

.

 

5. Суммарный расход сырья A, сырья B, топлива и труда можно получить, умножив матрицу нормы расхода на валовой продукт:

 

 

6. Расход сырья на единицу конечной продукции отраслей (соответствующие коэффициенты полных затрат сырья, топлива, труда на каждую единицу конечного продукта) получим из произведения матриц:

 

.

 

Таким образом, например, для  изготовления y₁=1 необходимо затратить 39.69 единиц сырья A, 27.52 единиц сырья B, 49.33 единиц топлива и 447.85 человеко-часов.

7. Расход сырья, топлива и труда по каждой отрасли получим из умножения их расходных норм на соответствующие валовые выпуски по отраслям. В результате получим матрицу полных затрат.

 

 

 

 

8. Производственные расходы по отраслям можно получить путем умножения слева строки стоимостей (9, 13, 3, 1.3) на матрицу п.7:

 

 

 

 

9. Производственные затраты на единицу конечной продукции, необходимые для определения себестоимости продукции, можем найти путем умножения слева матрицы полных затрат, найденном в п. 6 на строку цен:

 

 

 

Таким образом, внутрипроизводственные затраты на единицу товарной продукции 1, 2, 3 отраслей соответственно равны: 1445,17;  227,87;  117,17.

Список  литературы

1. http://ru.wikipedia.org
2. Колемаев В.А. Математическая экономика.  2-е изд., перераб. и доп. - М.: Юнити-Дана, 2002. — 399 с.
3. Райзберг Б.А., Лозовский Л.Ш., Стародубцева Е.Б.. Современный экономический словарь. — 2-е изд., испр. М.: ИНФРА-М. 479 с.. 1999.
4. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике. В 2-х ч. М.: Финансы и статистика, 2000. — Ч.1 - 224с.; Ч.2 - 376с.
5. Грызина Н.Ю., Мастяева И.Н., Семенихина О.Н.Математические методы исследования операций в экономике. М.: ЕАОИ, 2008, — 204 с.