Алгебра оқиғасы. Ықтималдылығы.Ықтималдықтың қасиеттері

ҚАЗАҚСТАН  РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСРЛІГІ

М.ӘУЕЗОВ АТЫНДАҒЫ ОҢТҮСТІК ҚАЗАҚСТАН МЕМЛЕКЕТТІК УНИВЕРСИТЕТІ

 

 

« Жоғарғы математика » кафедрасы

 

 

 

 

 

 

СӨЖ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                 Орындаған: Райхан Меруерт

                                                                 Тобы: АП – 11 – 4К2

                                         Қабылдаған: Тажибекова Г.Н

 

 

 

 

 

 

                                                Шымкент – 2012 ж

Алгебра оқиғасы. Ықтималдылығы.Ықтималдықтың қасиеттері

Ықтималдық теориясы дегеніміз- жаппай  кездейсоқ құбылыстардың  математикалық моделі.Күнделікті өмірде қандай да бір оқиғаны бағалау  нәтижесінде, дәл, нақты мағынасына мән берместен, «ықтималдық» ұғымын қолданып жүрміз. Мысалы, «50 пайыз ықтималдыпен», « ықтималдыпен» немесе «100-дің 50 жағдайы», «50-де 50», «екіден бір мүмкіндік» деген сөз тіркестерін толық түсініп, жайбарақат қабылдаймыз. Тиынды лақтырмай-ақ, елтаңба жағы мен цифрдың түссу мүмкіндігі бірдей, ал оқиға нәтижесі  санына тең екеніне келісеміз. Мысалы, егер тиынды лақтыра отырып, әрбір лақтырудан кейін, айталық 800 рет лақтарылғаннан кейінгі нәтижені тіркеген кезде, елтаңба жағы 402 рет түскен болса, онда түсудің салыстырмалы жиілігін аламыз. Әрине, ол дәл емес, бірақ оған өте жақын. Егер әрі қарай лақтыру (сынақ) санын көбейтсек, онда 402 санына жақынырақ санды алуға болар еді. Мұндай санның ықтимал болуы мүмкін.

Сонымен, ықтималдық дегеніміз ─ белгілі бір анықталған жағдайда қандай да бір кездейсоқ оқиғаның пайда болу дәрежесінің сандық сипаттамасы.

Күнделікті өмірде бұл  ұғымды жиі қолданамыз. Мысалы, бүгін  мүмкін, кешігермін; ол мүмкін, бос емес шығар; жиналыстың болмауы мүмкін секілді.

Ықтималдық теориясы дегеніміз ─ кездейсоқ жағдайлардың пайда болу заңдылығын зерттейтін математикалық бөлігі.

Оқиғаның ықтималдығы дегеніміз ─ оқиғаның пайда болу мүмкіндігін білдіретін сан.

Кездейсоқ оқиғаның бір жолғы  тәжірибеде пайда болатынын, не пайда  болмайтынын алдын ала білуге мүкін болмағанымен, қайта-қайта  жасалған тәжірибелер барысында, оның пайда болуының белгілі бір заңдылығы  байқалады.

Белгілі жағдайда  қайта-қайта  n рет тәжірибе жасағанда А оқиғасы m рет пайда болса, онда қатынасы А оқиғасы пайда болуының салыстырмалы жиілігі деп аталады. Жоғарыдағы 5 бидай дәнін 5 тәжірибе, яғни m=4 деп ұғамыз. Сонда оқиғаның пайда болу жиілігі   немесе 80% болады.

Сол тұрақты  саны А оқиғасының ықтималдығы деп аталады да Р(А) деп белгіленеді.

А және В оқиғаларының қосындысы  деп А немесе В оқиғаларының кем  дегенде біреуінің орындалатынын  білдіретін  оқиғаны айтады және оны А+В арқылы белгілейді.

Осыдан А+В-ның құрамына А-ға не В-ға тиісті элементтар оқиғалар енеді. Мысалы, ойын сүйегін тастағанда «жұп ұпай түсуі» мен «үштен кем ұпай түсуін» білдіретін оқиғаларды қосу қажет болсын. Онда және В={А₁,А₂} оқиғаларын қосамыз: А+В={ А₂, А₄, А₆}.

А және В оқиғаларының көбейтіндісі деп А және В оқиғаларының қатар  орындалуын білдіретін оқиғаны айтады және оны А*В арқылы белгілейді.  Сонымен, А*В-ның құрамына А-ға және В-ға да тиісті элементар оқиғалар енеді. Мысалы, және В={А₁,А₂} оқиғалары үшін А*В={ А₂} болады.

А және В оқиғаларының айырмасы деп тек А ғана орындалып, В-ның орындалмайтынын білдіретін оқиғаны айтады және оны А-В арқылы белгілейді. Осыдан А-В құрамына тек А-ға ғана енетін және В-ға тиісті емес элементар оқиғалар енеді. Мысалы,  және  В={А₁,А₂} оқиғалары үшін А-В={ А₂, А₄, А₆} теңдіктері орындалады.

Егер А₁, А₂,...А_п элементар оқиғалары үшін А₁+А₂+...+А_п=U және  A_i*A_j =Ø (i≠j) шарттары орындалса, онда бұл оқиғаларды элементар оқиғалардың толық тобы (группасы) деп аталады. Мысалы, ойын сүйегін тастағанда А₁,А₂, А₃, А₄, А₅, А₆  элементар оқиғалары толық топ құрайды. Шынында да, ойын сүйегін тастағанда алты ұпайдың бірі түсері ақиқат, яғни А₁+А₂+ А₃+ А₄+ А₅+ А₆=U қосындысы- ақиқат оқиға. Сонымен қатар, бір тастағанда екі түрлі ұпай түсуі мүмкін емес, яғни A_i*A_j =Ø (i≠j)- жалған оқиға.

Егер В оқиғасы орындалған сайын А оқиғасы да орындалып  отырса, онда А-ны В оқиғасының салдары деп атайды және оны былай белгілейді: В А. Мысалы, және С={ А₂, А₄} болса, онда А оқиғасы- С-ның салдары. Өзара кері А және оқиғалары үшін Ø және U теңдіктері орындалады.

Кездейсоқ оқиғаларды жиындарға  қолданылады:

 

 

1 ─ Сурет  Эйлер-Венн диаграммаларымен бейнелеген қолайлы.

 

Сонымен бірге, әрбір А және В оқиғалары үшін:

1) ;

2) теңдіктері орындалады. 

Дәлелдеу. 1)  Айталық, болсын.

Онда . Осыдан және оқиғалары бірдей элементар оқиғалардан құралғанын көреміз, яғни .

2) Осы сияқты дәлелденеді:

1-мысалы: Үш атқыштың біріншісінің нысанаға тигізуін А оқиғасы, екіншісінің тигізуін В оқиғасы және үшіншісінің тигізуін С оқиғасы деп алып: 1)А+В; 2)АВС; 3)АВ+АС+ВС өрнектерімен анықталатын оқиғалардың мағынасын ашып көрсетейік.

Шешуі:1) Нысанаға бірінші немесе екінші атқыш тигізді; 2) Нысанға бірінші және екінші атқыштар тигізіп, үшінші мүлт кетті; 3) Кем дегенде екі атқыш нысанаға тигізді.

2-мысал: Алдыңғы мысал шартында нысанаға: 1) тек бірінші атқыш тигізді; 2) тек екі атқыш қана тигізді; 3) атқыштардың ешқайсысы тигізе алмады деген оқиғаларды А,В және С арқылы өрнектеу керек.

Шешуі: 1) Нысанаға тек бірінші атқыш тигізіп, қалған екеуі мүлт кеткен. Онда А, В және С оқиғалары орындалды. Сондықтан оқиғаларды көбейту ережесі бойынша бұл оқиға   арқылы өрнектеледі.

2) Бұл жағдайда нысанға  2 атқыш тигізіп, үшінші міндетті  түрде тигізбеуі қажет, яғни  немесе немесе оқиғаларының біреуі орындалуы керек. Сондықтан бізге қажет оқиға қосындысымен өрнектеледі.

3) Атқыштардың біреуі  де нысанаға тигізе алмаса, онда  оқиғалары қатар орындалады, яғни оқиғасы орындалады.

Іс жүзінде адамға заттардың  өзара орналасуының барлық мүмкін жағдайларын  есептеуге немесе қандай да бір іс-әрекеттің  барлық мүмкін нәтижелерін және оны  орындауға қажетті барлық мүмкін тәсілдер санын есептеуге тура келеді. Мысалы, әр түрлі 5 кітапты екі оқушыға  неше түрлі тәсілмен үлестіріп беруге болады? Сондықтан мұндай есептерді комбинаторикалық есептер деп атайды. Ал комбинаторикалық есептерді шешуді үйрететін математика саласын комбинаторика деп атайды. Комбинаторика есептерін шешуде қолданатын өзіндік заңдылықтар мен формулалар бар.

Комбинаторикалық формулаларды қолдану кездейсоқ оқиғалардың  ықтималдықтарын есептеуді біршама  жеңілдетеді. Мысалдар қарастырайық.

1-мысал: 9 қабатты мекеменің 5-қабатынан лифтке 3 қызметкер мініп, жоғары  көтерілді. Бұлардың әрқайсысы лифттен әртүрлі қабаттарда шығуы ықтималдылығы қандай?

Шешуі: Мұнда -ке  тең, себебі жолаушылардың түсуі мүмкін 4 қабатты (4 элементтен тұратын жиынды) үш адамға тағайындап беру қажет (яғни 4-тен 3 бойынша қайталанбалы орналастырулар). Ал -ке тең, себебі 4 элементті (қабатты) 3 орынға (қызметкерлерге) қайталанбайтындай етіп орналастыру қажет. Сонымен,

2-мысал: Бес карточкаға бір-бірден а,й,қ,с,ы әріптері жазылып, келесі бетімен аударылып, мұқият араластырылды. Кездейсоқ бір-бір карточкадан алып, бір қатарға тізіп шыққанда «қайыс» сөзінің шығуы ықтималдығы қандай?

Шешуі: Барлық мүмкін нәтижелер саны 5 элементтен тұратын жиынның алмастырулары санына тең:

Ал бізге қолайлы нәтижелер  саны біреу ғана m=1. Сонда 

3-мысалы: Сынаптарға ағылшын тілін оқитын бір топта 12 оқушы бар. Олардың туған күндері әр түрлі айларға түсуі ықтималдығын табу керек.

Шешуі: Барлық мүмкін жағдайлар саны 12-ден 12 бойынша алынған қайталанбалы орналастырулар санына тең; . Ал қолайлы жағдайлар саны 12 элементтен алынған барлық орналастырулар санына тең:

4-мысал: Қорапта қолғаптардың 10 түрлі парлары бар. Қораптан кездейсоқ 4 қолғап алынды. Алынған қолғаптар арасында өзара пар құрайтын қолғаптардың болмауы ықтималдығы қандай?

Шешуі: 20 қолғаптың ішінен төртеуін түрлі тәсілмен алуға болады, яғни . Ал бізге қолайлы жағдайлар саны -ке тең. Себебі қолғаптардың 10 парынан 4 сыңарын түрлі тәсілмен аламыз, ал әр пардан бір сыңарын 2 түрлі тәсілмен ала аламыз, яғни 4 сыңарды 2*2*2*2=2⁴ түрлі тәсілмен аламыз. Сонымен

5-мысал: Конверттегі 100 фотосуреттің ішінен бізге қажеттісі біреу ғана. Конверттен кездейсоқ 10 фотосурет алынды. Алынған суретер ішінде бізге қажетті суреттің бар болу ықтималдығын анықтайық.

Шешуі: 100 суреттің ішінен 10 суретті түрлі тәсілмен алуға болады, яғни . Ал егер алынған 10¹⁰⁰ суреттің ішінде бізге қажеттісі бар болса, онда бұлардың қалған 9-ы бізге қажетсіз. Онда осы қажетсіз 9 суретті 99 қажетсіз суреттер арасынан . Онда

 

Чебышев теңсіздігі және теоремасы

 

Теорема. Оң кездейсоқ x шамасын және x>0 болғандағыны қарастырамыз. Сонда мына теңсіздік орындалады:

.                              (22)

Дәлелдеу. Осы кездейсоқ шаманы оқиғалар индикаторы арқылы екі шаманың қосындысы түрінде өрнектейміз:

.

 

 4⁰ қасиет бойынша оның математикалық күтімін табамыз:

.

Кездейсоқ шамалар оң болғандықтан оның математикалық күтімі де оң болады. Егер де екінші қосындыны алып тастасақ, онда қосындының шамасы азаяды:

,         (*)

  болғандықтан, онда .

Бұл теңсіздік үшін математикалық  күтімнің бірсарындылық қасиетін пайдаланамыз:

.   (**)

 

  (**) теңсіздігін (*) теңсіздігіне  қоямыз, 2⁰, 6⁰ қасиеттері бойынша мынаны аламыз:

.

Сонымен,

теңсіздігін аламыз немесе

. Теорема дәлелденді.

  (22) формула Чебышев теңсіздігінің бірінші түрі деп аталады.

 

Кездейсоқ шамасының  дисперсиясы

 

  ,  кездейсоқ шамасын қарастырамыз.

Анықтама. Кездейсоқ шама мен оның математикалық күтімінен ауытқуының квадратының математикалық күтімін кездейсоқ шаманың дисперсиясы деп атайды және былай белгілейді:

,                               (23)

  бар болуы керек. Егер бұл өрнек жоқ болса, онда дисперсияда жоқ.

  (23) өрнектегі жақшаны  ашамыз және математикалық күтімнің  қасиеттері бойынша түрлендіреміз: 

,

.                                  (24)

• кездейсоқ шамасы  ,  , саналымды жиында жатсын және олардың ықтималдықтары

 берілсін.

  Сонда (23) формула бойынша дисперсияны табамыз.

.  

Егер x  үзілссіз кездейсоқ шама және оның тығыздығы болса, онда дисперсия былай анықталады:

.        

 

Математикалық күтім  мен дисперсияның механикалық түсініктемесі. Жазықтықтағы массасы материалдық нүктелерін қарастырамыз. Сонда координаталар бойынша статикалық моменттері , инерция моменті және ауырлық центрінің координаталары мына формулалармен анықталады:

;  ;                      (*)

  ;                    (**)            ; .        (***)

  x кездейсоқ шамасының математикалық күтімін қарастырамыз:

.                   (25)

  (25) формула  (*) формуласына  ұқсайды, сондықтан (25) формуланы х  осі бойындағы бірлік массаның үлестірімі деп қарастыруға болады, мұнда әрбір х_i нүктесіне р_i сәйкес келеді.   (***) формуласына қарап былай жазуға болады:

,

яғни кездейсоқ шаманың  математикалық күтімінің механикалық  түсініктемесі кездейсоқ шама үлестірімінің  ауырлық центрі болып табылады. Осы  сияқты  (**) формуласын пайдаланып дисперсияны  қарастырамыз:

,

яғни дисперсия инерция  моментін еске түсіреді.

- кездейсоқ шаманың орта квадрат ауытқуы деп аталады.

 

Шектік  теорема

Егер  - шегі бар болса (кейде оны немесе деп те белгілейді), онда оны функция -тің х х₀-ге сол жағынан ұмтылғандағы шегі деп атайды. Дәл осы сияқты функция -тің х х₀-ге оң жағынан ұмтылғандағы шегі анықтауға болады.

Функцияның оң жақты және сол жақты шектерін оның бір жақты шектері деп атайды.

Функция -тің х₀-дегі шегі болуы үшін оның оң жақты және сол жақты шектерінің болуы қажетті және жеткілікті, яғни .

Функция шектері жөнінде  келесі теоремалар орынды болады:

1-теорема. Айталық онда

2-теорема. Айталық, және бар болсын, онда болады (мұнда болуы да мүмкін).

Егер осы теоремалардың  шарттары орындалмаса, онда түріндегі анықталмағандықтар жүз беруі мүмкін, ондай анықталмағандықтар алгебралық түрлендірулер арқылы айқындалады.

1-мысал. - шегін табыңыз.

Шешуі: Біз мұнда -анықталмағандығына душар боламыз. Оны айқындау үшін жақша ішіндегі өрнекті ортақ бөлімге келтіреміз. Сонда -ті аламыз, бұл бізге -анықталмағандығын береді, сондықтан х-тің орнына 2-ні қоймай тұрып, яғни, шек астындағы өрнекті (х-2)-ге қысқартамыз. Сонда -ді аламыз.

2-мысал. -шегін табыңыз.

Шешуі: Мұнда -анықталмағандығын аламыз. Оны айқындау үшін шек астындағы бөлшектің алымын да, бөлімін де х³-ке бөлеміз. Сонда:

 шек астындағы бөлшектің бөлімінің  шегі  ұмтылғанда нөлден өзгеше, олай болса оған 2-теореманы қолдануға болады, яғни,

 

Муавр-Лаплас теоремасы. тәуелсіз кездейсоқ шамалары бірдей үлестірілген және шенелген дисперсиялары бар, онда -да 

; 

арақатыс орындалады (дәлелдемесіз).

Бұл жақшаның ішінде берілген үлестірім қалыпты  үлестірімге  жақын екенін білдіреді.

Мысал.

үлестірімінің тығыздығын табалық, мұндағы n=1,2,3; , k=1,2,3- тәуелсіз кездейсоқ шамалары  [-1;1] кесіндісінде бірқалыпты үлестірілген.

Үйірткі формуласын пайдаланамыз (тығыздық суперпозициясы)

,

,

            u

                    u=x+1   

                                    u=x-1 

    -2

           0                  2  x 

 

 

, өйткені  ; ,  өйткені ;

;   ;  ; ;

:  ,    ;

 

;  ;

.                          (*)

Бұл бір қалыпты үлестірілген екі кездейсоқ шаманың қосындысы  үшін ықтималдықтың үлестірім тығыздығы 

немесе, (*) үлестірімімен  пайдаланып аламыз:

,

мұндағы үлестірім тығыздығы ,

u             u=x+1                                          u=x-1          -3       -1                     0       1          3    x

;  ;    болғанда;   ;

;

;

             (33)

Ықтималдықтың үлестірім  графигін саламыз.

 

 

 

 

 

1-сурет   2-сурет    3-сурет

(33) арақатыс Симпсон үлестірімі  деп аталады.

1, 2, 3-суреттерден n өскен  сайын кездейсоқ шаманың үлестірімі  Гаусстың қалыпты үлестіріміне  жақындайтынын байқауға болады. Шынында, бірқалыпты үлестірім  ( үлестірім тығыздығы үзілісті, 1-суретті қара). (*) үлестірім (ықтималдықтың  үлестірім тығыздығы үзіліссіз)  және үшінші жағдай, Симпсон үлестірімі, үлестірім тығыздығы үзіліссіз  және дифференциалданады (3-сурет)  және де сурет биномдық үлестірім  графигіне ұқсайды.

Теорема.   тәуелсіз кездейсоқ шамаларының ақырлы үшінші абсолюттік орталық моменті бар болсын.

;    ;     ;

;   ;     ,

сонда, егер мына қатынастың шегі 

бар болса, онда   

(дәледемесіз). Ал бұл орталық  шектік теорема.

 

Биномдық үлестірілу

Биномдық үлестірілу, Бернулли үлестірілуі — пм = П{Х = м} = пм (1 — п)н-м формуласынан анықталатын және м = 0,1,...,н бүтін мәндерін қабылдайтын Х кездейсоқ шамасы ықтималдығының үлестірілуі (мұндағы н1 және п1 — параметрлер, — биномдық коэффициент).Биномдық үлестірулер — тәуелсіз сынаулар тізбегіне байланысты болып келген негізгі ықтималдықтар үлестірілулерінің бірі. Y1, Y2, … ықтималдығы р-ға және (1 — р)-ға тең әрі әрқайсысы 1-ді не 0-ді қабылдайтын тәуелсіз кездейсоқ шамалар тізбегі болсын. Егер тәуелсіз сынаулар саны н алдын ала берілген болса, онда мұндай сұлба Бернулли сынаулары деп аталып, Х=Y1+Y2+…+Yн оң нәтижелі сынаулар қосындысы (н1) параметрі р биномдық үлестірулеріне бағынады. Биномдық үлестірулері бар Х кездейсоқ шамасының математикалық күтімі және дисперсиясы Е[Х]=нп және Д[Х]=нп(1—п)  болады. Іс жүзінде биномдық үлестірулер ықтималдығын есептеу үшін: н-нің шамасы кіші болғанда — кесте, н-нің шамасы үлкен болғанда — шекті теоремаларға негізделген жуық формулалар пайдаланылады. Биномдық үлестірулердің көп өлшемді жалпыламасы полиномдық үлестірілу болып есептеледі.

 

Биноминалдық  қатар

Биноминалдық қатар –  α көрсеткіші кез келген тұрақты  сан болатын (л+з)α бином дәрежесінің  дәрежелік қатарға жіктелуі. Егер α теріс емес бүтін сан болса  биноминалдық қатар Ньютон биномы болады. Ньютон биномының биноминалдық қатар  таралу мүмкіндігі барын алғашқы  рет Ньютон 1676 жылы айтқан болатын. Бұл пікір көп кейін 1826 жылы Абель  еңбектерінде дәлелденді. Кез келген белгіленген α (жалпы алғанда, кешен) саны үшін биноминалдық қатар мына түрде жазылады:

 

Квадраттық ауытқу

Квадраттық ауытқу (синонимдары: ортаквадраттық ауытқу) — ықтималдық теориясы мен статистикада кездейсоқ  шама мәндерінің оның математикалық  болжамына қатысты таралуын сипаттайтын  маңызды көрсеткіш.

Кездейсоқ шама өлшем бірлігімен өлшенеді. Квадраттық ауытқу кезейсоқ шама дисперсиясының квадраттық түбіріне тең.

 Орта квадраттық ауытқу:

стандарттық ауытқу :

Мұндағы  — кезейсоқ шама дисперсиясы; — алынған і-ші элементі;  — таңдау көлемі; — таңдаудың арифметикалық ортасы

 

Үш сигма ережесі

 Қалыпты үлестірілу  ықтималдық тығыздығының графигі  мен кездейсоқ шама мәнінің  ұзындығы ортаквадарттық ауытқуға  тең болытаны кесінділерге түсу  пайыздық үлесі.

Үш сигма ережесі ( ) — шамамен қалыпты үлестірілетін кездейсоқ шаманың барлық мәндері    аралығында жатыр. Дәлірек айтса, 99,7 % сеніммен қалыпты үлестірілетін кездейсоқ шаманың мәндері көрсетілген аралықта жатыр ( шамасы таңдау нәтижесі емес, ақиқат болған жағдайда).

Егер ақиқатшама беймәлім болса, онда σ орнына с пайдаланады. Осылайша, Үш сигма ережесі үш с ережесіне саяды.

 

 

 

 

 

 

 

                             Пайдаланған әдебиеттер

1.Орысша-қазақша түсіндірме сөздік: Математика / 0-71 Жалпы редакциясын басқарған э.ғ.д., профессор Е. Арын - Павлодар: «ЭКО» ҒӨФ. 2007. - 192 б. Ы10. Қасымов К.А., Қасымов Е.А. Жоғары математика курсы (Сызықтық алгебра)-Алматы, Санат, 1997.

2.Қасымов К.А., Қасымов  Е.А. Жоғары математика курсы  (Математикалық талдау), т. 1-2, Алматы, КазҰУ, 2002.

3.Саханов Н., Жаңбырбаев Б. Жоғары математика. Алматы,Қайнар, 1993.

4.Қазешов А.К. және т.б. Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика бойынша  есептер шығару. Алматы,1996.

5.Кәкімов Ә. Ықтималдықтар теориясы. Алматы,РБК, 1996.СБН 9965-08-339-8

6.Гмурман В.Е. «Теория  вероятиностей и математичкая  статистика» Учеб. пособие для  вузов. Изд.7-е стер-Москва «Высш.школа»  2000-479 стр (17-31-37-64 стр)