Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Архитектура и математика

Министерство образования и науки Республики Хакасия

городской отдел образования

муниципальное общеобразовательное учреждение

средняя школа № 9.

Научно-исследовательская работа

Тема:

А Р Х И Т Е К Т У Р А И

М А Т Е М А Т И К А

Выполнил:

Рябчёнок Владимир,

ученик 11А класса

Проверил:

Сабитова Светлана Ингелевна,

учитель математики

Саяногорск – 2007

Оглавление

1. Введение стр. 1

2. Основная часть:

2.1. Как возникла геометрия стр. 3

2.2. Архитектура и математика стр. 4

2.3. «Геометрия православного храма» стр. 9

2.4. Геометрия купола (план построения купола) стр. 10

3. Приложение стр. 12

4. Список использованной литературы стр. 18

Введение

Математика-это не только стройная система законов, теорем и задач, но и уникальное средство познания красоты. Многие математические теории нередко кажутся искусственными, оторванными от реальной жизни, просто непонятными. Если же подойти к этим проблемам с позиции исторического развития, то станет, виден их глубокий жизненный смысл, их необходимость.

Издревле существовала проблема при построении громадных пирамид и их измерений, измерения площади земли, защита города от ветров, строительство алтаря в форме куба удвоенного объема.

Пирамиды - фантастические фигуры из камня, устремленные к Солнцу. Своими громадными размерами, совершенством геометрической формы они поражают воображение. Недаром эти творения рук человеческих считали одним из чудес света.

Шло время, постепенно усложнялись математические задачи архитектуры. Уже в Древнем Риме были широко распространены арки, придающие сооружениям особую привлекательность. Типичен в этом отношении римский Колизей, высота которого составляет 48,5 м.

Амфитеатр Флавиев - сооружение предназначалось для цирковых представлений.

В Древнем Риме был известен секрет создания еще одного вида арки - стрельчатой. По сравнению с полуциркулярной стрельчатая арка оказалась более совершенной конструкцией, так как благодаря ей происходит меньший боковой распор стен, а значит и меньший расход камня.

Цель работы:

Формирование представления о прикладных возможностях математики, ее месте в общечеловеческой культуре, а также о практической значимости геометрических знаний.

Задачи:

- Усвоение определенной системы знаний посредством моделирования и исследования реальных ситуаций;

- Развивать творческую сторону мышления;

- Формировать навыки умственного труда - поиск рациональных путей решения.

Основная часть

1. Как возникла геометрия.

Для первобытных людей важную роль играла форма окружавших их предметов. По форме и цвету они отличали съедобные грибы от несъедобных, пригодные для построек породы деревьев от тех, которые годятся лишь на дрова, вкусные орехи от горьких или ядовитых и т. д. Особенно вкусными казались им орехи кокосовой пальмы. Эти орехи очень похожи на шар. А добывая каменную соль, люди наталкивались на кристаллы, имевшие форму куба. Иногда в горах они находили кристаллы кварца и других минералов, из которых делали свои орудия. Так, овладевая окружающим их миром, люди знакомились с простейшими геометрическими формами.

Эти формы они использовали, изготовляя каменные орудия. Уже 200 тысяч лет тому назад были изготовлены орудия сравнительно правильной геометрической формы, а потом люди научились шлифовать их. Отшлифованное орудие позволяло быстрее срубать деревья, разрезать мясо, лучше охотиться на зверей. Специальных названий для геометрических фигур сначала, конечно, не было. Говорили: «такой же, как кокосовый орех» или «такой же, как соль» и т. д. Некоторые формы фигур казались особо красивыми. И действительно, нельзя без восхищения смотреть на красоту кристаллов, цветов, обитателей морских глубин.

А когда люди стали строить дома из дерева, пришлось глубже разобраться в том, какую форму следует придавать стенам и крыше, какой формы должны быть бревна и т. д. Стало ясно, например, что, не обтесав бревен, дома из них не построишь: они покатятся. А крыша должна быть наклонной, чтобы с нее стекал дождь. Люди научились вытесывать из древесных стволов прямоугольные балки. И, сами того фне зная, все время занимались геометрией. Геометрией занимались женщины, изготовляя одежду; охотники, изготовляя наконечники для копий или бумеранги особо сложной формы; рыболовы, делая такие крючки из кости, чтобы рыба с них не срывалась.

Но не только в процессе работы знакомились люди с геометрическими фигурами. Издавна они любили украсить себя, свою одежду, свое жилище. И многие созданные данным – давно украшения тоже имели ту или иную геометрическую форму. Бусинки были шарообразными, браслеты и кольца имели форму окружности и т. д. Древние мастера научились придавать красивую форму бронзе и золоту, серебру и драгоценным камням. А художники, расписывавшие дворцы, находили все новые геометрические формы — многие из них дошли до наших дней.

Процесс знакомства с различными видами геометрических фигур сменился новым этапом — знакомством с их свойствами. И здесь главную роль играли практические задачи. Из практической задачи о межевании полей возникла наука о землемерии. По-гречески земля называлась «геос», измеряю — «метрио», а поэтому и наука об измерении полей получила название «геометрия». Как же мерили землю древние египтяне? Египтяне рассуждали примерно так. Если в прямоугольнике соединить отрезком два противоположных угла (такой отрезок называют диагональю), то получатся два одинаковых треугольника с прямыми углами — прямоугольные. Площадь каждого из них вдвое меньше площади прямоугольника, из которого они получились.

Значит, для того, чтобы узнать площадь прямоугольного треугольника, надо измерить те его стороны, которые образуют прямой угол, перемножить их длины и от того, что получится, взять половину. Эти стороны получили потом у греков название катеты. А самую длинную сторону прямоугольного треугольника греки называли гипотенузой. Катетом они называли вертикальный шест, а слово «гипотенуза» означало «натянутая». Вероятно, первое представление о прямоугольном треугольнике греки получили, рассматривая веревку, косо идущую от вершины шеста.

2. Архитектура и математика.

Архитектура — удивительная область человеческой деятельности. В ней тесно переплетены и строго уравновешены наука, техника и искусство. Только соразмерное, гармоническое единство этих начал делает возводимое человеком сооружение памятником архитектуры, неподвластным времени, подобно памятникам литературы, ваяния, музыки. Если же какой-то из элементов зодчества — наука, техника или искусство — начинает подавлять остальные, то истинная архитектура скатывается на одно из тупиковых направлений, именуемых функционализмом, техницизмом, эклектизмом или еще каким-нибудь «измом».

Архитектура бифункциональна: она призвана отвечать не только эстетическим, но и утилитарным требованиям, она должна создавать не только прекрасное, но и полезное. Интуиция и расчет — непременные спутники зодчего.

Архитектура триедина: она извечно сочетает в себе логику ученого, ремесло мастера и вдохновение художника. «Прочность, польза, красота» — такова знаменитая формула единого архитектурного целого, выведенная два тысячелетия тому назад древнеримским теоретиком зодчества Витрувием (I в. до н. э.). Вот почему архитектура как нельзя более отвечает теме: взаимодействие науки и искусства, математики и искусства.

Почему из всех геометрических тел именно пирамиду выбрали древнеегипетские зодчие, для того чтобы в веках прославить своих фараонов? Скорее всего причина кроется в том, что такая конструкция — одна из самых устойчивых. Ведь с увеличением высоты пирамиды масса ее верхней части уменьшается, а это — главный принцип надежности постройки. Они служили символами величия и могущества фараонов, свидетельством могущества страны.

Среди грандиозных пирамид Египта особое место занимает великая пирамида фараона Хеопса. С ней и сейчас связано много таинственного. Обнаружено, например, что пирамида способствует возникновению у человека особого психического возбуждения. В литературе описано много невероятных явлений, связанных с пребыванием рядом с пирамидой Хеопса. Нас, правда, больше интересуют загадки геометрии, которые скрыты в великом памятнике древней архитектуры.

Несомненно, основным, исходным элементом, определяющим главные пропорции пирамиды, является треугольник SMN в ее осевом сечении (рис 1). Отношение катетов SM и MN равно отношению гипотенузыSN к катету SM. Причем SN:x= Ф.

Если мы примем меньший катет MN за х, то SN: х = Ф. Получим, что SN =Ф х. Тогда пропорция SM:MN = SN:SM дает SM:x = (Фх):SM или SM²=Фх²,т.е. SM = . Тогда SN=====Фх.

Итак, стороны треугольника SMN составляют геометрическую прогрессию: х, х, хФ, знаменатель которой равен (φ = ).

В знаменитой пирамиде обнаруживаются и другие геометрические зависимости. В древнеегипетских мерах длина стороны квадрата, лежащего в основании пирамиды, равна 1000 локтям. Тогда SM = 500 ≈1,26·500 = 630 (локтей). х =500 локтей.

Вычислив отношение удвоенной стороны основания квадрата ASCD к высоте пирамиды, найдем: 2000 : 630 ≈ 3,17, что весьма близко к числу π, которое египтяне принимали равным (16/9)², т. е. 3,16.

Можно подумать, что локоть - неточная мера длины. Действительно, расстояние от кончиков пальцев до локтя у разных людей может принимать значения, несколько отличающиеся друг от друга. Но в Древнем Египте измерениями занимались специальные ремесленники, которых древнегреческие авторы называли гарпедонапты — «натягивающие веревку». Веревка, конечно, подбиралась неслучайно, и ее можно было выверить по какому-либо известному расстоянию. Для древних египтян постройка пирамиды была делом священным, гарпедонапты производили измерения, соблюдая торжественные обычаи, так что погрешности в работе здесь не должно было быть. Гарпедонапты обязаны были следить, чтобы храмы и пирамиды располагались точно по солнцу. При закладке культового сооружения египтяне определяли посредством астрономического наблюдения первую линию «север — юг». Затем они должны были найти вторую линию «восток — запад», перпендикулярную первой. Для этого натягивали веревку между деревянными кольями так, чтобы она образовала треугольник, стороны которого равнялись бы 3,4 и 5 частям веревки, разделенной узлами на 12 равных частей. Веревочный треугольник получался прямоугольным. Если один его катет натягивался вдоль линии «север — юг», то другой точно указывал линию «восток — запад».

Только в условиях рабовладельческого строя возможна была такая бессмысленная трата человеческой энергии, когда сто тысяч рабов в течение двадцати лет возводили гробницу для одного из смертных — фараона Хеопса. Внутренний, полезный объем пирамиды настолько ничтожен, что ее вообще с трудом можно отнести к архитектурному сооружению.

Зато прочность пирамид недосягаема. Желая прославить своего фараона в веках, древнеегипетские зодчие из всех геометрических тел выбрали именно пирамиду. Выбор этот не случаен, ибо в условиях земного тяготения пирамида является наиболее устойчивой конструкцией, способной существовать в веках без риска обвалиться или рассыпаться. Главное правило устойчивости конструкции — уменьшение ее массы по мере увеличения высоты над землей — выражено в пирамиде с предельной ясностью и симметрией. Рациональность, «полезность» геометрической формы пирамиды заставляют забыть о ее утилитарной бесполезности. Именно эта геометрически оправданная форма пирамиды, подчеркнутая ее циклическими размерами и точной системой пропорций, придает пирамиде ни с чем не сравнимую выразительность, особую красоту и величие, вызывает ощущение вечности, бессмертия, мудрости и покоя. «Сорок веков смотрят на вас с высоты этих пирамид» — эти красивые слова генерал Бонапарт произнес перед сражением при египетских пирамидах 21 июля 1798 г. Однако отнюдь не философские размышления, а сиюминутные честолюбивые планы вызывал у генерала вид четырех тысячелетних сооружений. Для генерала Бонапарта предстоящее сражение было еще одним шагом на пути к короне императора Наполеона...

А пирамиды продолжают бесстрастно взирать на проходящих у их подножия людей, прославляя в веках мудрость, мастерство и вдохновение древнеегипетских зодчих.

Разговор о египетских пирамидах незаметно привел нас к важнейшей проблеме архитектурной теории: проблеме соотношения конструкции и архитектурной формы. Только единство конструкции и наружной формы придает строению качество, именуемое архитектурной истиной. Диалектическое единство внутренней конструкции и внешней формы является главнейшим правилом образования архитектурных форм. Суть этой проблемы точно схвачена в афоризме французского архитектора Огюста Перре (1874—1954): «Тот, кто прячет колонну, столб или какую-либо несущую часть, допускает ошибку; тот, кто делает ложную колонну, совершает преступление».

Конструкция древнеегипетской пирамиды является самой простой, прочной и устойчивой. Вес каждого верхнего блока пирамиды по всей поверхности передается нижним блокам. Форма пирамиды представляет полное единство с ее конструкцией. Однако такая конструкция не создает внутреннего объема и, по существу, не является архитектурной конструкцией.

Простейшей и древнейшей архитектурной конструкцией является стоечно-балочная система (Рис 2). Ее прототипом был дольмен — культовое сооружение, состоящее из двух вертикально поставленных камней, на которые наши предки водрузили третий горизонтальный камень. Назначение дольмена до конца не выяснено. Но ясно одно: дольмен — это гимн человека о преодолении силы тяжести, это вступление к грандиозной архитектурной симфонии будущего. Со временем дольмен перерос в кромлех — сооружение, служившее, по всей видимости, для жертвоприношений и ритуальных торжеств. Кромлех состоял из огромных отдельно стоящих камней, которые накрывались горизонтальными камнями и образовывали одну или несколько концентрических окружностей. Самый значительный и загадочный кромлех сохранился в местечке Стонхендж (Англия) и относится к XX—XVII векам до н. э. Есть основания считать, что он был и древней астрономической обсерваторией.

Родившись в Месопотамии и Персии, также славилась арочно-сводчатая конструкция, которая была доведена римлянами до совершенства и стала основой древнеримской архитектуры. Арочно-сводчатая конструкция позволяла римлянам возводить гигантские сооружения. Это амфитеатр Флавиев самое высокое (48 м) из сохранившихся сооружений Рима, вмещавшее 56 тысяч зрителей. Три яруса арок Колизея являются необходимым элементом его конструкции и весомой частью его архитектурной формы. Римские формы имели цилиндрические и крестовые своды высоты, были пышно украшены мозаикой, скульптурой, росписями залы для омовения, массажа, сухого метения, гимнастических упражнений и даже библиотеки и походили скорее на дворцы. Это система арочных сводов акведуков которые стали частью римского пейзажа. И наконец, вершина древнеримского нового искусства — Пантеон — храм богов. Пантеон не вершина научных и технических насаждений древнеримских строителей, шедевр архитектурного искусства.

Римские арки, своды и купола были неизменно полуциркульными. Рим пал, растоптанный варварами, а вместе с Римом пало и рабовладение. Средневековые мастера уже не могли себе позволить гасить огромные распоры от полуциркульных сводов семиметровыми стенами. Камень был дорог, да и каменотесам нужно было платить. Благо, вместе с пленниками-сарацинами крестоносцы привезли в Европу секреты возведения стрельчатых арок. Так новая конструкция породила новую архитектуру — готику.

Стрельчатая арка (Рис 3) по сравнению с полуциркульной является более совершенной конструкцией: она вызывает меньший боковой распор, а следовательно, и меньший расход камня. Очевидно, также, что стрельчатая арка имеет более сложную геометрическую форму по сравнению с полуциркульной, которая строится одним движением циркуля. Таким образом, на примере трех конструкций — стоечно-балочной, арочной и стрельчатой — мы видим, что по мере совершенствования конструкции усложняется и ее геометрия. Современная архитектура подтверждает эту закономерность.

Стрельчатая арка привнесла в готическую архитектуру (Рис 4) два конструктивных новшества. Во-первых, стрельчатые своды стали выполнять на нервюрах — каменных ребрах, несущих независимые друг от друга части свода — распалубки. Нервюры служат как бы скелетом свода, они воспринимают на себя основную нагрузку. В результате конструкция свода становится более гибкой: она может выдерживать те деформации, которые для монолитного свода окажутся губительными. Таким образом, нервюры явились прототипом современной каркасной конструкции.

Стрельчатая арка образуется пересечением двух частей окружностей (здесь мы, конечно, говорим об эскизе стрельчатой арки). На рисунке показана стрельчатая арка, в которую вписана окружность и две равные полуокружности (Рис 5).

Измерив ширину арки, мы сможем найти не только радиус большой окружности, но и длину отрезка OD, который входит в центральную часть фасада. Обозначим радиус большой окружности через х. Тогда ОО₂= х + 5; DO₂ = 5; OB - 20 - х; DB = 10. Дважды воспользовавшись теоремой Пифагора для треугольников 0DO₂ и ODB, составим уравнение (х + 5)² – 5² = (20 - х)² – 10². Откуда х = 6 (м) и 0О₂ = 6 + 5 = 11 м. А длина общего катета OD этих треугольников равна: OD=.

Мы вновь пришли к иррациональному результату.

Красивые арки разнообразных форм были широко распространены не только в Европе, но и странах Среднего и Ближнего Востока. Заимствуя научные знания и технические достижения эллинистического мира, арабоязычные ученые создали и свои архитектурные традиции. Науку и архитектуру они развили настолько оригинально, что придали той и другой новое лицо, новый блеск.

Невозможно описать все многообразие геометрических приемов, которыми владели среднеазиатские зодчие. Рассмотрение лишь некоторых способов применения математики для создания гармоничных архитектурных зависимостей заставляет удивляться и восхищаться мастерством и талантом древних зодчих. Они открывают новые формы арок, среди которых особый интерес представляет подковообразная (Рис 6)

Для построения такой арки соединяют верхние концы проема точки А и В. Далее делят полученный отрезок точками О₁, О₂, О₃ на четыре равные части.

Из точек О₁, и О₃ как из центров проводят окружности радиусом О₁А . Их общая касательная МN перпендикулярна отрезку АВ.

От луча O₃B откладывают угол BO₃C, равный 60°, и продолжают прямую О₃С до пересечения с прямой MN в точке O₄.

Из точек О₁, и О₃ проводят две малые окружности радиусом О₁А, а из точки О₄, — большую окружность радиусом О₄В, которая пересекает малые окружности в точках D и D.

Линия ADD^/В составляет подковообразную арку, которая завершает проем.
И в этой арке скрыта иррациональность.

3. «Геометрия православного храма»

Русская красота. Русская духовность. Когда мы слышим эти слова, перед глазами возникают образы куполов православного храма, слышится колокольный звон, призывающий к вере, единству, добру, жертвенности и стойкости.

Православный храм, символизирующий землю, с куполом — символом неба — осмысляется как модель мироздания, которое согласно религиозным воззрениям — творение Божие. К небу, Богу верующий устремляет свои мысли. Поэтому «луковичная» форма купола выбрана неслучайно. Она напоминает заостряющееся кверху пламя, горящую свечу, которую зажигают во время обращенной к Богу молитвы. Такая форма купола символизирует духовный подъем и стремление к совершенству. Когда верующие выходят из храма и видят настоящий небесный свод, они понимают, что высшее благо на земле еще не достигнуто. Для его воплощения нужны новый подъем, и новое духовное горение.

Конечно, люди нерелигиозные могут не согласиться с описанной трактовкой формы куполов. Прагматики скажут, что «луковичная» форма служит тому, чтобы на куполе не залеживался снег, не задерживалась влага. По-своему они правы, поскольку красота и духовность всегда идут рука об руку с целесообразностью. Именно это сочетание и рождает гармонию. Но если человек видит только целесообразность и не хочет замечать духовности, то противоречить ему нет смысла. Нельзя объяснить слепому, что такое пламя, если от него он чувствует только ожог. Конечно, можно было бы заметить, что кроме «луковичного» купола архитектура знает немало других способов помешать влаге скапливаться на крыше здания. Но в архитектуре храма есть что-то еще, что выше житейских забот о сохранности строения.

Попытаемся приблизиться к возвышенному с помощью геометрии.

4. Геометрия купола

Я проводил построения эскиза «луковичного» купола. Существуют разные виды куполов. Самый простой эскиз купола строится таким образом: В квадрате ABCD отмечаются середины Е, F, К его сторон AD, DC и CB соответственно. (Рис 7)

Из точек А, В, С, D как из центров проводят дуги радиусом, который составляет половину стороны квадрата. Продолжение стороны АВ квадрата пересекают двое из дуг в точках М и N как построено на рисунке.

Для построения более сложных эскизов вспомним о золотой пропорции, которая была обозначена через Ф, установив, что

Ф == 1,6. Допустим: АВ: О,С 1,6. Как построить отрезки АВ и O₁C? Прежде всего выберем единицу измерения – отрезок е. Затем выполним преобразования АВ: 0₁С = 1,6 = 16 : 10 = 8 : 5. Это значит, что АВ = 8е, а О₁С= 5е. Представим себе, что нам следует построить равнобедренный треугольник АВС, у которого основание АВ и высота 0₁С составляют золотую пропорцию (рис 8). Тогда мы строим отрезок АВ= 8е, делим его пополам точкой О₁ и проводим перпендикуляр к АВ через точку О₁, на которой откладываем отрезок О₁С = 5е. Треугольник АСВ послужит основой для нового эскиза купола православной церкви.

План построения.

1. Проведем перпендикуляр О₁К к стороне ВС.

2. На высоте СО₁ отметим точку М так, чтобы СМ = О₁В, и через точку М проведем прямую, перпендикулярную прямой СО_1, которая пересекает отрезок O₁K в точке О₂.

3. Проведем окружность с центром в точке О₂ и радиусом О₂К.

4. Разделим отрезок О₁В точкой S через нее проведем прямую SP, перпендикулярную АВ. Она пересекает построенную окружность в точке L, через которую проведем прямую, параллельную АВ. В пересечении с осью СО получится точка Е. (рис 9)

5. На прямой СЕ от точки С отложим отрезок CG= 2e. Из точки О₁ как из центра проведем окружность, радиусом 0₁G, которая пересечет предыдущую окружность в точке N, и окружность радиусом О₁К, пересекающую высоту СО₁ в точке F

6. Через точки E и N проведем прямую. Из точки С как из центра проведем окружность радиусом EF, которая пересечет прямую EN В точке О₃.

7. Затем из О₃ проведем дугу радиусом 0₃N до ее пересечения с точкой С.

Линия, составленная из двух построенных дуг LKN и NC, образует половину эскиза купола. Вторая половина получается при выполнении симметрии относительно оси СО₁ (рис. 10).

Это наглядный пример построения «луковичного» купола в селе Сизая (Церковь Святой Евдокии)

Заключение: Я думаю, что эта работа является мини-пособием для изучения применения геометрии в архитектуре. Возможно, не все подробно, но в проекте затронуты все опорно-полагающие аспекты. Секрет того могучего эмоционального воздействия, которые эти знания оказывают на зрителя, многие искусствоведы искали и находили в практическом применении геометрии.

Приложение

Рис 1

Рис 2

Рис 3

Рис 4

Рис 5

Рис 6

Рис 7

рис 8

рис 9

рис 10

4. Список использованной литературы:

Аркин Д.Е. Должность архитектурной экспедиции. В кн.: Архитекурный архив. М., 1946.
Азевич А.И. Двадцать уроков гармонии // Математика в школе. 1998. №7.
Васютинский Н. Золотая пропорция. М.,1992
Дмитриева Н. А. “Краткая история искусств” 1974
Пидоу Д. Геометрия и искусство. М.,1979
Пилявский В.И. История Русской архитектуры. Л., 1984.
Михайловский К. “Пирамиды и масштабы” Варшава 1973г
София Киевская (фотоальбом) – Киев, 1984.

Архитектура и математика 📙 Реферат → 🆔 29983