Арифметические действия в начальном курсе математики и методика их изучения

Введение

 

Глава I. Развитие арифметики

1.1 Появление  арифметических действий

 

1.2 Арифметические  действия в начальном курсе  математики и методика их изучения

 

Глава II. Исследовательская работа по изучению формирования понятия свойств арифметических действий у младших школьников

2.1 Изучение  арифметических действий и их  свойств в различных системах  обучения

 

Заключение

 

Список  литературы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Изучение свойств  алгебраических операций привело математиков  к выводу о том, что основная задача алгебры - изучение свойств операций рассматриваемых не зависимо от объектов, к которым они применяются. И если первоначально алгебра была учением уравнений, то XX веке она превратилась в науку об операциях и их свойствах.

 

Ознакомление учащихся с арифметическими действиями подготавливается на первых уроках математики практическими упражнениям в объединении двух множеств предметов, в установлении соответствия между элементами двух множеств, в выделении части данного множества предметов.

 

Каждое из четырех  арифметических действий должно прочно связаться в сознании детей с  теми конкретными задачами, которые  требуют его применения. Смысл  действий и раскрывается главным  образом на основе практических действий с множествами предметов и  на системе соответствующих текстовых задач.

 

Если по двум данным числам определяют третье число, удовлетворяющее некоторым условиям, то этот процесс в математике называют действием.

 

Все существующие ныне альтернативные системы обучения опираются на теоретико-множественный подход при формировании свойств арифметических действий.

 

Для объяснения обычно используют множества предметов  не ссылаясь на задачи. Не каждый учитель  ясно представляет, что изучение арифметических действий и их свойств в процессе работы с задачей усваиваются лучше. Исходя из важности изучения свойств арифметических действий, из-за отсутствия единого подхода к изучению данной проблеме в различных системах обучения возникает необходимость рассмотрения, выяснения и уточнения особенностей формирования понятия свойств арифметических действий. В этом заключается актуальность, так как, во-первых, изучение и применение свойств арифметических действий является одним из важных тем, во-вторых, многие учителя не акцентируют внимание на использование свойств этих действий.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава I. Развитие арифметики

1.1 Появление  арифметических действий

 

Содержание  курса арифметики в разные времена  у разных народов было весьма различно. Индийцы, например, причисляли извлечение кубического корня к элементарным арифметическим операциям. С другой стороны, руководство профессора Пурбаха (1423-1491гг.) первого профессора Венского университета, читавшего лекции по математике, содержащий только материал, изучаемый ныне в начальной школе.

 

Л.Ф. Магницкий, определив арифметику или числительницу, как "художество честное, независимое и всем удобопонятное, многополезнейшее и многопохвальнейшее", рассматривает в своей книге пять "определений" или арифметических действий: "нумерацию или счисление, аддицию или сложению, субтракцию или вычитание, мультипликацию еже есть умножение и дивизио еже есть деление".

 

Различно было понимание того, что называется арифметическими  действиями. В латинских учебниках, которыми в течение нескольких веков  пользовались школы всех народов, эти действия назывались виды (действия) (от лат. species). Это наименование определения арифметических действий впервые встречается в рукописях XIII в. В XVI в. оно становится общеупотребительным и вытесняет термин часть арифметическая (от лат. рагs arthmetika). Индийские математики рассматривали шесть арифметических действий: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и извлечение корней.

 

Сакробоско (XIII в) имеет их девять, как и многие авторы последующих веков: нумерация, сложение, вычитание, удвоение, умножение (деление пополам), деление, прогрессия, извлечение корней. Действие "прогрессия" рассматривало в большинстве случаев суммирование чисел натурального ряда, в редких случаях суммирование отдельно четных и нечетных чисел натурального ряда, и лишь в исключительных случаях суммирование двух простейших геометрических прогрессий 1, 2, 4, 8,... и 1, 3, 9, 27,...

 

Извлечение  корней ограничивалось в большинстве  случаев только квадратными корнями. Действие "нумерация" вошло в  учебники в качестве особого арифметического действия в эпоху, когда борьба между сторонниками римского и индийского способов счисления была злободневной (XIII и XIV вв.).

 

Действие "удвоения" берет свое начало из Египта. Как  уже указано, основные сведения о  египетской математике черпаются из папируса Райнда, написанного писцом Ахмесом в эпоху 1800-1600 гг. до н.э. Он описан в главе о египетской нумерации.

 

Новейшие исследователи (Арчибальд, Вилейнтнер) опровергают  существовавший взгляд, согласно которому египетская наука считалась чисто практической и эмпирической, задачи Ахмеса порой настолько абстрактны, что возникали непосредственно из практики.

 

Наши четыре действия над числами египтяне выполняли  сложением, удвоением и делением пополам.

 

Удвоение являлось основной операцией; египетский язык имеет для этого и особую форму двойственного числа. Из прямых операций употреблялось еще только увеличение в десять раз. Вычитание выполнялось дополнением вычитаемого до уменьшаемого, деление - удваиванием.

 

Греки хотя и  имели действие умножения, в житейской практике обычно употребляли египетский метод удвоения. О двух методах умножения чисел упоминает Платон.

 

Однако даже передовой для своего времени  учебник "Начало" Вольфа, еще в 1754 г. указывает, что число можно  умножить без заучивания таблицы умножения - удвоением и сложением результатов.

 

Первое русское  издание книги Вольфа 1770 г. ("Сокращение первых оснований математики") этого  указания уже не содержит и ограничивается указанием "кто хочет иметь  способность скоро умножение делать, тому должно пифагорову решетку (таблицу умножения) наизусть выучить и покамест, на память не затвердится, иметь перед собой".

 

Удвоение и  египетский способ умножения при  помощи удвоения оказались очень  живучими и удержались в практике до последнего времени.

 

Порядок изучения четырех арифметических действий предлагался  в разные времена различий. У Леонарда Пизанского действия изучаются в  порядке: умножение, сложение, вычитание, деление; у Петра Борги (1484 г) - умножение, деление, сложение, вычитание.

 

Начать изучение арифметических действий, с умножения  было предложено на одном из международных  философских конгрессов еще в  начале нынешнего столетия. Против предложения резко выступил В.В. Бобынин Кебель (1515 г) подчеркивает равноценность всех четырех действий, Грамматеус (1518 г) отмечает взаимозависимость сложения с умножением, вычитания с делением. Мисрахи (1528 г) рассматривает умножение как частный случай сложения и не включает его в число арифметических действий, так как оно представляет лишь способ сокращенной записи.

 

Различение  арифметических действий по ступеням делает впервые Непир (1550-1617 гг.) в  книге "Логистическое искусство", которая была напечатана лишь в 1839 г. Непир считает умножение и  деление действиями более высшего  порядка, чем сложение и вычитание; третью ступень действий составляют возведение в степень и извлечение корней.

 

Наиболее древние  индийские памятники свидетельствуют  о том, что в Индии четыре арифметических действий выполнялись почти так  же, как мы их выполняем в настоящее время. Вследствие того, что жители Индии писали на посыпанных песком дощечках, на которых можно было легко "стереть" ненужную цифру, они производили действия слева направо. При письме же на бумаге при таком порядке действий возникала необходимость перечеркивать ставшую ненужной или неверную цифру писать над ней или под ней действительную. Этот прием был введен арабами и от них перешел к европейцам; неудобство его отмечает уже Максим Плануд (1313 г)

 

С XV в. в Европе входят в употребление наши способы вычисления, fie требующие зачеркиваний цифр (Начало в Италии). В "алгорифмитическом трактате" Белдоманди (1410 г) отличается от наших способов выполнения арифметических действий только деление. Способ перечеркивания цифр "немецким манером", которого придерживались в Германии, уступил место итальянскому, после того как последний способ приняли виднейшие европейские математики XV в. Гмунден, Пурбах, Региомонтан.

 

Таким образом, у каждого народа были свои арифметические действия. И все они использовались для выполнения операций над числами. Более тысячи лет, развивалась и утверждалась идея выполнения арифметических действий. Хотя они являются условными действиями, как в математике, так и в практической деятельности людей. Изучение истории развития любого понятия являются интересным не только для учеников, но и для нас самих, а изучение истории развития арифметических действий, безусловно, помогает заинтересовать младших школьников математикой.

 

1.2 Арифметические  действия в начальном курсе  математики и методика их изучения

 

В течение всех четырех лет начального обучения ведется работа по формированию у  детей понятий о натуральном  числе и арифметических действиях. С самого начала это делается в  неразрывной связи с рассмотрением  различных случаев практического  применения этих понятий, с работой, направленной на усвоение детьми некоторых свойств чисел, десятичной системы счисления, арифметических действий и основанных на них приемов вычислений. Результатом этой работы должно стать усвоение детьми как включенных в программу вопросов теоретического характера, так и сознательное и прочное овладение навыками применения изученных вопросов теории к решению разнообразных практических и учебных задач и выполнению устных и письменных вычислений. Теория и практика должны при этом в ходе всей работы над арифметической частью программы выступать в их единстве и взаимосвязи. Как показывают наблюдения за опытом реализации программы в практике массовой школы, именно это важнейшее требование программы довольно часто нарушается.

 

Проявляется это в том, что, отрабатывая, скажем, навыки устных вычислений, учителя нередко забывают при этом о необходимости довести до сознания детей теоретическую основу выполняемых операций, не приучают к тому, чтобы в случае появления ошибок в ходе вычислений учащиеся возвращались к рассмотрению тех вопросов теории, которые могут помочь им осознать причину допущенной ошибки и самостоятельно исправить ее. Между тем именно сознательность усвоения - основа, на которой могут быть сформированы действительно прочные навыки уверенных, правильных и быстрых вычислений.

 

Нарушение требования рассмотрения теории и практики в  их единстве проявляется также в  том, что на уроках математики нередко  перед детьми ставятся в отвлеченной  форме вопросы теоретического характера, разучиваются соответствующие определения, "правила" и т.п. в отрыве от их практического применения. При этом приходится сталкиваться и с такими случаями, когда от учащихся требуется знание формулировок, которые либо вовсе не предусмотрены программой, либо должны быть усвоены детьми значительно позднее. Так обстоит дело, например, когда учитель в I классе требует полного ответа на вопрос: "Как называются числа при сложении?" В такой форме знания математической терминологии вообще не следует требовать. (Важно лишь, чтобы дети понимали смысл соответствующих слов, когда их использует учитель, и постепенно включали бы эти термины и в свою речь) Так обстоит дело и тогда, когда учитель уже в I классе требует от учащихся объяснения того, как может быть проверено вычитание с помощью сложения (это материал второго года обучения) и т.п.

 

Чтобы не допускать  подобных методических ошибок, приводящих к искусственной перегрузке учащихся, важно ясно представлять себе всю  систему работы над арифметическим материалом с I по IV класс, понимать значение и место тех элементов теории, которые предусмотрены программой.

 

Из требований программы вытекают следующие задачи:

 

Довести до сознания детей смысл рассматриваемых  действий, научить их правильно выбирать нужное арифметическое действие при решении различных простых задач.

 

На доступном  для младших школьников уровне и  в доступной для них форме  познакомить их с теми свойствами рассматриваемых действий, которые  являются теоретической основой  изучаемых приемов устных и письменных вычислений. Научить применять изученные свойства в разнообразных условиях, используя соответствующие знания в целях рационализации вычислений, а также в целях отыскания наиболее рационального способа решения задач.

 

Обеспечить  усвоение детьми связей, существующих между действиями. Научить применять соответствующие знания: а) в вычислениях (при нахождении частного с опорой на знание соответствующего случая умножения, при нахождении разности с опорой на знание соответствующего случая сложения); б) при проверке правильности выполненных вычислений; в) при решении задач на нахождение неизвестного компонента действий и г) при решении простейших уравнений.

 

Обеспечить  сознательное и прочное усвоение детьми основных приемов устных и  письменных вычислений, умение сознательно выбирать такие из известных приемов вычислений, которые более всего отвечают особенностям каждого конкретного примера.

 

Сформировать  у детей сознательные и прочные  навыки быстрых и правильных вычислений.

 

Для успешного  решения каждой из этих конкретных задач курса необходимо не только определить содержание и систему соответствующих упражнений (это в основном сделано в учебниках), но целесообразно использовать различные методы обучения.

 

Осознание смысла действий, существующих между ними связей, зависимости между компонентами и результатами действий может быть обеспечено только в том случае, если рассмотрение этих теоретических вопросов будет вестись на прочной базе собственного опыта детей. При этом следует учитывать, что речь здесь должна идти не только о жизненном опыте, приобретаемом детьми в ходе разнообразных практических действий с предметами, но и об опыте, накапливаемом при изучении математики в школе.

 

Так, скажем, работа над нумерацией и арифметическими  действиями строится в начальном  курсе математики концентрически. В программе намечена система постепенного расширения области рассматриваемых с - детьми чисел (десяток - сотня - тысяча - многозначные числа), причем при изучении каждой из этих тем предусмотрено наряду с рассмотрением новой области чисел постепенное введение (или углубление, систематизация, обобщение) приобретенных детьми ранее знаний нумерации и действий с числами. Ознакомление детей с числами и арифметическими действиями подготавливается на первых уроках математики практическими упражнениями в объединении двух данных множеств предметов, в установлении соответствия между элементами двух множеств, в выделении части данного множества предметов.

 

От операций с множествами дети постепенно переходят  к счету предметов, знакомятся с  первыми десятью числами натурального ряда (их названиями, последовательностью), выясняют на примере этих чисел, как образуется каждое следующее число в натуральном ряду, учатся сравнивать числа, находить их сумму и разность. Сначала это делается на основе выполнения соответствующих операций над множествами предметов и счета элементов множества, полученного в результате объединения двух множеств или удаления части множества, а затем и с использованием некоторых приемов действий над числами (присчитывание и отсчитывание по единице и группами и др.).

 

При изучении сложения и вычитания в пределах 10, а  затем и сотни дети знакомятся с вычислительными приемами, основанными  на использовании свойств действий (переместительное свойство суммы, различные  способы прибавления числа к сумме и суммы к числу, вычитания числа из суммы и суммы из числа), а также на основе понимания связи между сложением и вычитанием. При этом, как уже отмечалось, вся работа, связанная с рассмотрением этих свойств и разнообразных приемов вычислении, подчиняется задаче рационализации вычислений.

 

Важнейшей задачей  первого года обучения в отношении  формирования вычислительных навыков  является такое усвоение детьми табличных  случаев сложения и вычитания, которое  обеспечивало бы возможность автоматизированных вычислений при сложении однозначных чисел и формирования навыков быстрых устных вычислений с двузначными числами.

 

В объяснительной записке к программе подчеркивается, что табличные случаи сложения и  вычитания должны быть в результате упражнений усвоены детьми па память и поэтому большое значение имеет своевременное создание у детей установки на их запоминание. Необходимо также вести повседневную тренировочную работу, без которой желаемого результата достичь, нельзя.

 

При рассмотрении нумерации в пределах 100 специальное внимание уделяется ознакомлению детей с новой счетной единицей - десятком, изучению состава чисел из разрядных слагаемых (13 - это 10 и 3 или 1 десяток и 3 единицы), выяснению поместного значения цифр в записи двузначных чисел. Рассмотрение этих вопросов происходит на таком уровне, который предполагает уверенное использование детьми соответствующих знаний, но не требует усвоения каких-либо обобщенных формулировок.

 

Умножение и  деление в пределах 100 рассматривается  во II классе. При ознакомлении с этими новыми для детей арифметическими действиями учитель может опереться на подготовительную работу, предусмотренную программой для I класса (упражнения в нахождении суммы одинаковых слагаемых и в представлении числа в виде такой суммы).

 

Как и при изучении сложения и вычитания, рассмотрение приемов умножения и деления в пределах 100 ведется на основе предварительного ознакомления детей с некоторыми важнейшими свойствами этих действий и связи, существующей между умножением и делением. При этом возникают вопросы, аналогичные тем, которые были рассмотрены нами выше применительно к сложению и вычитанию.

 

Каждое из четырех арифметических действий должно прочно связаться в  сознании детей с теми конкретными  задачами, которые требуют его  применения. Смысл действий и раскрывается главным образом на основе практических действий с множествами предметов и на системе соответствующих текстовых задач.

 

На их основе доводится  до сознания детей связь между  компонентами и результатами действий, связь между действиями, рассматриваемые свойства действий и изучаемые математические отношения.

 

Уже в теме "Десяток" после ознакомления с первыми  десятью числами дети впервые  встретятся с нулем. В дальнейшем, по ходу изучения сложения, вычитания, умножения и деления уделяется специальное внимание рассмотрению случаев действий с нулем. В связи с изучением умножения и деления выделяются случаи умножения и деления с нулем и единицей.

 

В органической связи с  изучением чисел и арифметических действий ведется и работа по ознакомлению детей с величинами и их измерением. Знакомство с новыми единицами измерения и установление соотношений между ними, упражнения в преобразовании чисел, выраженных в различных единицах измерения, связывается, как правило, с работой над нумерацией. (Так, параллельно рассматриваются состав чисел второго десятка из разрядных слагаемых и получение в результате измерения отрезков чисел вида 1 дм 5 см, преобразование этих чисел: 1 дм 5 см = 15 см. Делается это по аналогии со случаями вида: 1 дес.5 ед. составляют 15 ед) Этот принцип реализуется и в дальнейшем - при каждом расширении области чисел и при рассмотрении новых случаев действий.

 

При переходе к изучению тем "Тысяча" и "Многозначные числа" основное значение приобретает работа над формированием навыков письменных вычислений. Однако при этом предполагается, что параллельно с рассмотрением приемов письменного выполнения арифметических действий все время будет совершенствоваться и умение выполнять устные вычисления с числами в пределах 100 (а также, в легких случаях, и с числами большими).

 

При раскрытии способов письменного  выполнения сложения, вычитания, умножения  и деления чисел, как и для  приемов устных вычислений, предусмотрено  осознание учащимися смысла выполняемых  операций, их последовательности, доступное их обоснование. Вместе с тем при этом все время должна иметься в виду конечная цель, состоящая в выработке определенного автоматизма в письменных вычислениях (возврат к осмыслению производимых операций и в данном случае рекомендуется главным образом при возникновении тех или иных затруднений или ошибок в ходе вычислений).

 

Хотя программой предусмотрено  ознакомление учащихся начальных классов  с нумерацией и действиями над  многозначными числами в пределах класса миллионов, в соответствии с  ограничением, оговоренным в объяснительной записке, подавляющее большинство тренировочных упражнений должно включать лишь такие числа и действия, которые не выходят за пределы миллиона.

 

Параллельно с работой  над письменными вычислениями обобщаются и углубляются знания детей о самих действиях, их свойствах (вводятся некоторые новые свойства), о существующей между действиями связи, об изменении результатов действий при изменении одного из компонентов, о взаимосвязи между компонентами и результатом. Обобщение и углубление соответствующих знаний происходят на прочной основе наблюдений, систематически проводимых в течение четырех лет начального обучения. Все эти знания, как подчеркивается в объяснительной записке к программе, используются для рационализации вычислений.

 

Параллельно и в неразрывной связи с изучением чисел и арифметических действий ведется работа, направленная на формирование понятий выражения, равенства и неравенства. Числовые выражения, равенства и неравенства впервые встречаются уже на первых уроках обучения математике и затем систематически, из урока в урок, работа над ними продолжается. Она предполагает постепенное усложнение материала не только за счет расширения области рассматриваемых чисел, но и за счет усложнения структуры рассматриваемых выражений и усложнения видов заданий, связанных с применением приобретенных детьми ранее знаний.

Помимо задачи формирования понятий о выражении, равенстве, неравенстве, соответствующие упражнения служат, таким образом, задаче закрепления как вычислительных навыков, так и тех элементов арифметической теории, которые рассматривались при изучении действий.

Выводы

 

У каждого народа были свои арифметические действия. И все они использовались для выполнения операций над числами. Более тысячи лет развивалась и утверждалась идея выполнения арифметических действий сложения, вычитания, умножения и деления. Эти арифметические действия являются основными действиями в математике. Изучение истории развития являются интересными не только для учеников, но и для нас самих, а изучение помогает заинтересовать младших школьников.

 

Каждое из четырех  арифметических действий должно прочно связаться в сознании детей с теми конкретными задачами, которые требуют его применения. Смысл действий и раскрывается главным образом на основе практических действий с множествами предметов и на системе соответствующих текстовых задач. На их основе доводится до сознания детей связь между компонентами и результатами действий, связь между действиями, рассматриваемые свойства действий и изучаемые математические отношения.

 

Сложение и  умножение чисел обладают свойствами коммутативности, ассоциативности, умножение  дистрибутивно относительно сложения.

 

Переместительное  свойство умножения широко используется при составлении таблицы умножения  однозначных чисел. Сочетательный  закон в начальной школе в  явном виде не рассматривается, но используется вместе с переместительным законом  при умножении числа на произведение. Распределительный закон умножения относительно сложения рассматривается в школе на конкретных примерах и носит название правил умножения числа на сумму и суммы на число. Рассмотрение этих двух правил диктуется методическими соображениями.

 

Глава II. Исследовательская работа по изучению формирования понятия свойств арифметических действий у младших школьников

2.1 Изучение  арифметических действий и их  свойств в различных системах  обучения

 

В программе  Моро М.И. уделяется значительное внимание формированию у учащихся осознанных и прочных, во многих случаях доведенных до автоматизма навыков вычислений, программа предполагает вместе с тем и доступное детям обобщение учебного материала, понимание общих принципов и законов, осознание тех связей, которые существуют между рассматриваемыми явлениями.

 

Формирование  понятий о натуральном числе  и арифметических действиях начинается с первых уроков и проводится на основе практических действий с различными группами предметов. Такой подход дает возможность использовать ранее накопленный детьми опыт, их первоначальные знания о числе и счете. Это позволяет с самого начала вести обучение в тесной связи с жизнью. Приобретаемые знания дети могут использовать при решении разнообразных задач, возникающих в их игровой и учебной деятельности, а также в быту.

 

Вместе с  тем с самого начала обучения у  детей формируются некоторые  важные обобщения. Так, на примере чисел  первого десятка выясняется, как  образуется каждое следующее число  в натуральном ряду, устанавливается соотношение между любым числом ряда и всеми предшествующими или последующими числами, учащиеся знакомятся с различными способами сравнения чисел (сначала на основе сравнения соответствующих групп предметов, а затем по месту, которое занимают сравниваемые числа в ряду).

 

При изучении сложения и вычитания в пределах 10 дети знакомятся с названиями действий, их компонентов и результатов, терминами  равенство, неравенство. При этом имеется  в виду, что математические термины  должны усваиваться детьми естественно, как усваиваются ими любые новые для них слова, если они часто употребляются окружающими и находят применение в практике. В дальнейшем, во II классе, вводятся термины выражение, значение выражения.