Базисные коммутаторы

  Министерство  образования, науки, молодежи и спорта Украины.

  Донецкий  национальный университет 
 
 
 
 
 
 

  Реферат

  По  теме:

  Базисные  коммутаторы

  Выполнил:

  Студент группы 3-Б

  Щедловский  Кирилл

  Проверил : Лиманский В.В. 
 
 
 

  2011

  Содержание

1. Собирательный процесс………………………………………..3
2. Формула Вита теорема о базисе……………………………….7
3. Список литературы……………………………………………14

1. Собирательный процесс

Рассмотрим формальные слова, или цепочки, b₁b₂…b_n где каждый символ b представляет одну из букв x₁x₂...x_r. Определим также формальные коммутаторы c_j и их веса следующим образом:

1. c_i= x_i, i=1, ... r — коммутаторы веса 1, т. е. = 1,
2. если c_i и c_j — коммутаторы, то и c_k=(c_i, c_j) ─ коммутатор и

  Отметим, что, согласно этому определению, существует только конечное число формальных коммутаторов заданного веса. Упорядочим коммутаторы, располагая сначала c_i= x_i, i=1, ... r, а затем все остальные коммутаторы в порядке возрастания их весов, причем порядок среди коммутаторов одного и того же веса произволен.

  Будем говорить, что слово  , составленное из коммутаторов, собрано, если коммутаторы расположены в порядке возрастания индексов слева направо¹). Произвольное слово из коммутаторов:

содержит, вообще говоря, собранную часть где j = m+1, … , n, и несобранную часть j = m+1, … , n, и несобранную часть где i_m+1 уже не наименьший из индексов j = m+1, … , n. Собранная часть слова пуста, если только — i₁ не наименьший из индексов Определим собирательный процесс для слов

из коммутаторов. Пусть с_u — коммутатор с наименьшим индексом в несобранной части слова, и пусть — первое вхождение с_u в несобранную часть. Заменим тогда:

Словом

При этом коммутатор с_j сдвинется на одно место влево и появится новый коммутатор который по весу больше, чем

     Таким образом, и после указанного преобразования . останется коммутатором с наименьшим индексом в несобранной части. После конечного числа таких шагов коммутатор с,-займет (m+1)-е место и станет элементом собранной части. Так определенный собирательный процесс, вообще говоря, не будет обрываться, так как на каждом шаге вводится новый коммутатор.

Пусть x₁….x_r —образующие элементы группы F (мы будем в основном рассматривать случай, когда группа F — свободная группа с образующими x₁,x₂,….,x_r), и пусть тогда

(1.2)

и мы видим, что собирательный процесс не изменяет элемент группы, представленный словом. При нашем определении  собирательный процесс применим не ко всем словам, а только к так называемым положительным словам, т. е. к словам, составленным из букв x_i и не содержащим букв вида x_i^-1. Ниже мы освободимся от этого ограничения.

В ходе собирательного процесса, примененного к положительным словам, возникают не любые коммутаторы. Так, например, коммутатор (x₂,x₁) может возникнуть, а коммутатор (x₁,x₂) возникнуть не может, так как буква x₁ собирается до x₂. Коммутаторы, которые действительно могут возникнуть в собирательном процессе, называются базисными. Дадим формальное определение базисных коммутаторов группы F с образующими  x₁, x₂, … x_r

Определение базисных коммутаторов:

1. c_i=x_i i=1… r— базисные коммутаторы веса один =1.
2. Пусть базисные коммутаторы весов, меньших n, уже определены. Тогда базисными коммутаторами веса n являются коммутаторы c_k=(c_i,c_j), где
1. c_i и c_j — базисные коммутаторы и
2. c_i > c_j а если с_i= (с_s,c_t) c_j>c_t
3. Коммутаторы веса n следуют за коммутаторами весов меньших n и между собой они упорядочены произвольным образом. Базисные коммутаторы считаем пронумерованными так что они упорядочены по индексам.

  Заметим, что если коммутаторы упорядочены по весам, a в остальном — произвольным образом, то собирательный процесс, примененный к положительным словам, дает только базисные коммутаторы. Например, при замене

мы собираем c_v до с_u, откуда с_u> c_v, а если с_u= (с_s,c_t) это означает, что буква c_t собиралась до c_v, откуда c_v>c_t.

  Мы покажем  сейчас, что по модулю Г_k+1(F), где Г_k+1(F) ─ k+1-й член нижнего центрального ряда группы F, обозначаемый также F_k+1 (k — любое число), произвольный элемент может быть представлен в виде

   1.1.4

где с₁ c_t — базисные коммутаторы весов 1,2…k

  В ходе собирательного процесса имеем

vu=uv(v,u) (1.5)

где и,v и (v, и) — базисные коммутаторы. Мы должны также ' рассмотреть выражения vu^-1, v^-1u^-1 и v^-1u. При этом vu^-1=u^-1v(v,u^-1) следовательно имеем

1=(v,uu^-1)=(v,u)(v,u^-1)=(v,u,u^-1) (1.6)

откуда

(v,u^-1)=(v,u,u^-1)^-1=(v,u)^-1

Аналогично

(v,u,u^-1)=(v,u,u,u^-1)^-1=(v,u,u)^-1

Положив v₀=v и v_t+1=(v_t,u) получим

(1.7)

Если  здесь коммутатор v₁ = (v, и) базисный, то и v₂ v₃, ...— также базисные коммутаторы. По модулю F_k+1 мы можем пренебречь коммутатором (v_s,u^-1), если индекс s настолько велик, что вес этого коммутатора не меньше k + 1. Следовательно, в качестве элементарного этапа собирательного процесса мы допускаем следующую замену:

(1.8)

Аналогично v^-1u=uv^-1(v^-1,u) получаем 1=(vv^-1,u)=(v,u)(v,u,v^-1)=(v^-1,u) откуда, полагая , имеем

. (1.9)

Имеет место  тождество v^-1u^-1=u^-1(v^-1,u,u^-1), а из (1.1.8) получаем

, (1.10)

откуда

. (1.11)

Повторное применение замен (1.5, 8, 9, 11) приводит к записи (1.4) произвольного элемента f группы F в виде слова из базисных коммутаторов.

  Если F — свободная группа с образующими x₁, x₂, … x_r, то при заданной нумерации базисных коммутаторов запись (1.4) единственна. В частности, базисные коммутаторы веса k образуют свободный базис факторгруппы   являющейся, следовательно, свободной абелевой группой. Это обстоятельство, конечно, оправдывает термин базисный в применении к этим коммутаторам.

2. Формула Витта.  Теорема о базисе

  Предположим, нам дана последовательность базисных коммутаторов c₁,c₂… состоящих из образующих x₁x₂...x_r. Назовем произведение базисных коммутаторов

 (2.1)

базисным, если слово (2.1) собрано, т. е. если . Для произведения коммутаторов р=а₁а₂…а_n произвольного вида мы определим понятие веса . Собирательный процесс изменяет вес произведения. Мы определим сейчас аналогичный процесс — процесс заключения в скобки, не меняющий веса произведения. Если и, v и (и, v) — базисные коммутаторы, то слово ... uv ... заменяется на ... (и, v) ... в отличие от собирательного процесса, где слово ... uv ... заменяется произведением ...vu(u, v)…

  Теорема 2.1. Число базисных произведений веса n, составленных из образующих x₁x₂...x_r равно rⁿ.

  Доказательство. Для всех k=1, 2, ... определим семейство P_k= всех произведений a₁a₂…a_t веса п (где a_t—базисные коммутаторы) вида где и для каждого коммутатора =(c_u , c_v) коммутатор c_v предшествует c_k. Таким образом, P_k можно рассматривать как семейство слов, в которых коммутаторы c₁,…,c_k-1 собраны, a c_k еще не собраны. Обозначим число таких произведений семейства P_k через . Ясно, что Р₁ — семейство всех произведений п образующих x_i, откуда . Можно установить взаимно однозначное соответствие между элементами семейств P_k и P_k+1 Действительно, если — произведение из семейства P_k, то коммутатор следует за c_k и хотя в произведении могут встречаться цепочки коммутаторов c_k в несобранной части, каждой такой цепочке непосредственно предшествует коммутатор c_y где у > k. Ко всем подобным цепочкам

применим  операции заключения в скобки, заменив  их выражениями , и так как при условии c_y=(c_u,c_v), >v, то вновь возникающий коммутатор будет опять базисным и будет следовать за c_k. Указанное преобразование дает однозначно определенное произведение из семейства P_k+1. Обратно, если в произведении из семейства P_k+1 убрать все скобки, заключающие коммутатор c_k, то мы получим однозначно определенное произведение из семейства P_k. Следовательно, откуда для любого k имеем |P_k|=|Р₁|=rⁿ. Но при достаточно большом k семейство P_k состоит из всех базисных произведений веса п. Этим теорема доказана.

  С помощью теоремы 2.1 можно найти число базисных коммутаторов веса n, и, даже более того, можно найти число базисных коммутаторов с заданными весами относительно каждого образующего. Определим вес , следующим образом: , а далее по правилу . Пусть М _r(n)— число базисных коммутаторов веса п от r образующих x₁, x₂, … x_r, и пусть M(n₁,n₂,….,n_r)— число таких коммутаторов с, что , причем . Тогда имеет место следующая теорема.

  Теорема 2.2. (Теорема Витта.)

  (2.3)

Здесь — функция Мёбиуса, определенная на множестве натуральных чисел следующим образом: ; для , где — различные простые числа, , если хоть один показатель степени

   Доказательство. Согласно теореме 2.1, число базисных произведений равно rⁿ. Это приводит к следующему формальному тождеству для степенных рядов от переменной :

Процесс расстановки скобок оставляет веса неизменными. Число слов W от образующих равно, очевидно,

Отсюда вытекает формальное тождество  для рядов от переменных

(2.4)

Воспользуемся несколько видоизмененным результатом Мейера-Вундерли, доказав его аналогично теореме 2.1, и выведем из него формулу Витта.

  Слово будем называть циклическим, если считать, что a₁ следует за a_n, а — записи одного и того же слова. Циклическое слово С длины п может быть получено в результате повторения подслова из d букв n/d раз, где d — некоторый делитель п. Тогда мы будем говорить, что С — циклические слова периода d. Каждому циклическому слову соответствует единственный наименьший период, который в свою очередь однозначно определяет некоторое циклическое слово длины d.

  Лемма  2.1. Между базисными коммутаторами веса n и циклическими словами длины и периода n имеет место взаимно однозначное соответствие. Оно осуществляется подходящей расстановкой скобок в циклическом слове.

  Доказательство. Пусть — циклическое слово длины п. Циклические слова веса п образуют семейство если они вида — базисные коммутаторы, и для любого , если , то причем или (1) , или (2) . Если имеет место случай (1), то слово принадлежит, по определению, также семейству если же налицо случай (2), то мы берем каждую циклическую подпоследовательность (если таковые существуют) вида и расставляем скобки следующим образом:

Получается  вполне определенное циклическое слово  из семейства . Обратно, удалив из какого-либо слова семейства все скобки, заключающие c_k, получаем определенное слово из семейства . Таки образом, установлено существование однозначного соответствия между словами семейства и семейства для произвольного k. Если же k достаточно велико, то коммутатор c_k имеет вес, больший n, и случай (2) невозможен. Следовательно, в итоге процесс расстановки скобок прекращается и получается циклическое слово, для которого имеет место случай (1). Это слово будет или базисным коммутатором веса n, или последовательностью тождественных базисных коммутаторов веса d. Расстановка скобок, при помощи которой осуществляется переход от семейства к семейству , охватывает один коммутатор и некоторое число коммутаторов . Следовательно, каждая такая расстановка скобок осуществляется только внутри одного периода и в точности повторяется во всех остальных процессах. При всем этом число периодов в слове остается неизменным. Следовательно, расстановка скобок во всех циклических словах длины (и периода) n дает все базисные коммутаторы веса n а в случае d|п дает все базисные коммутаторы веса d, повторенные раз каждый, так как все они являются членами семейства при достаточно большом k. Приведенные рассуждения доказывают утверждение леммы и даже несколько больше.

  Сколько существует циклических слов длины и периода n? Циклическое слово длины п и периода d, где d | n, дает точно d обыкновенных(т.е. нециклических) слов длины n:

Таким образом, , так как число циклических слов длины и периода d равно и каждому из обыкновенных слов соответствует вполне определенный период d. Из тождества

 . (2.7)

можно найти Mr(d), пользуясь формулой обращения Мёбиуса:

если

      (2.8)

то

      (2.9)

Отсюда 

или

      (2.10)

т. е. получим  формулу Витта.

Число обыкновенных слов W таких, что где равно. 

Это приводит к формуле

(2.11) 

Здесь d пробегает все делители числа . Применяя формулу обращения Мёбиуса, мы получаем вторую формулу Витта:

  (2.12)

Рассмотрим  свободное ассоциативное кольцо R с целочисленными коэффициентами и с r образующими . Элементы степени m образуют свободную абелеву группу с базисом, состоящим из произведений вида . В этом кольце R мы следующим образом определяем коммутатор [u,v]:

[u,v]=uv-vu    (2.13),

Формальные  свойства расстановки скобок для  коммутаторов кольца те же, что и  для коммутаторов групп. Мы покажем, что в действительности существует очень тесная связь между групповыми и кольцевыми коммутаторами, которая впервые была установлена Магнусом.

  Теорема 2.3. Базисные произведения степени m образуют аддитивный базис группы .

  Следствие 2.1. Базисные коммутаторы степени т линейно независимы.

  Доказательство. Так как, согласно теореме 2.1, число базисных произведений степени т равно т. е. числу базисных элементов группы , то достаточно показать, что любой элемент из может быть представлен как линейная комбинация базисных произведений с целыми коэффициентами. Так как семейство образует базис, состоящий из произведений , и так как для достаточно большого k семейство состоит из базисных произведений, то достаточно выразить элементы из в виде линейных комбинаций с целыми коэффициентами элементов из . Для этого нам понадобится одно тождество. Для упрощения записи введем обозначения:

если  число букв ν равно s.

   Необходимое нам тождество выглядит так:

        (11.2.14)

При s=1 оно сводится к uv = vu+[u,v]. Предположив выполнимость (2.14) для s, при помощи тождества

(2.15)

легко показать справедливость равенства (2.14) для s+1. Для этого нужно умножить (2.14) справа на v, применить соотношение (2.15) и собрать подобные члены.

  Если  элемент из содержит подпоследовательность вида , где коммутатор и больше коммутатора , который встречается здесь s раз, то мы применяем тождество (2.14), полагая u=u, v=. При этом получаются произведения или принадлежащие семейству или семейству с меньшим числом коммутаторов , или содержащие коммутаторы ближе к началу слова. В результате многократного применения тождества (2.14) произведение из представится в виде линейной комбинации с целыми коэффициентами элементов из Теорема доказана.

   Присоединим теперь к кольцу R единицу 1 и будем рассматривать целые рациональные числа как элементы степени нуль. Их совокупность обозначим через R₀. Образуем в R факторкольцо по двустороннему идеалу, порожденному всеми членами, степени которых не меньше п+1. Тогда

         (2.16)

В элементы вида образуют группу G, так как в силу равенства имеем

   (2.17)

Если  для j=m,….n, то мы говорим, что — старший член элемента . Старший член 1 равен 0.

  Лемма 11.2.2. Пусть — элементы группы G со старшими членами и степеней s и t соответственно. Старшими членами элементов и являются элементы —u_s и —v_t. Если s<t, то старший член элемента uv есть u_s. Если t<s, то старший член uv равен v_t. Если t=s и то старший член произведения равен . Если кольцевой коммутатор [u_s, v_t] не равен нулю, то он является старшим членом группового коммутатора (и, v ).

  Доказательство.

    Пусть . Тогда

Из этих соотношений сразу получаются утверждения  леммы о старших членах элементов u^-1,v^-1 и uv. Используя эти же соотношения, получаем

откуда (u,v)=1+[u_s v_t]+слагаемые более высокой степени. (2.18)

Лемма доказана!

  Пусть с₁,с₂, ... — последовательность базисных коммутаторов свободной группы F, порожденной элементами у₁, .. ., у_r и пусть d₁,d₂ ...—кольцевые коммутаторы в кольце R, получающиеся заменой у₁…y_r на х₁ ... х_r . Кроме того, пусть с_t — последний коммутатор веса п. Тогда существует соответствие между коммутаторами с_i и d_i в кольце , устанавливаемое следующей леммой.

Лемма 2.3. При соответствии определяющем отображение группы F на группу G, пусть . Тогда старший член элемента равен d_i(i=1,…,t).

Доказательство Так как то старший член элемента . Доказательство проведем методом полной индукции. Если , то, по предположению индукции, старший член элемента g_u равен d_u а элемента g_v равен d_v . Следовательно, по лемме 2.2 старший член коммутатора равен [d_u,d_v], если последний коммутатор не равен нулю. Будучй базисным коммутатором, он на самом деле не равен нулю, как; это показывает следствие из теоремы 2.3. Итак, старший член коммутатора равен , что и требовалось доказать.