Что изучает математика и почему она эффективна в естествознании и гуманитарных науках?

Федеральное агентство по образованию 
Государственное образовательное учреждение высшего 
профессионального образования 
 
 
Санкт-Петербургский государственный технологический 
университет растительных полимеров 
 
 
 

Факультет экономики и менеджмента 
 
 
 
 
 
 
 
 
Реферат 
на тему: « Что изучает математика и почему она эффективна в естествознании и гуманитарных науках?» 
 
 
 
 
 
 
 
 
Выполнил                                                                                               студент гр. 311 
                                                                                                                  Алиева А. А 
 

Проверил                                                                                                              доцент 
                                                                                                                          Спесивцев 
 
Санкт-Петербург

2012 

1. Введение…………………………………………………………………………………………………………………….3

2. Математика…………………………………………………………………………………………………………………3

     2.1 Понятие математики…………………………………………………………………………………………….3

     2.2 Что изучает математика?..........................................................................................4

3. Математика в гуманитарных  науках……………………………………………………………………..…..5

     3.1 Древнегреческая математика………………………………………………………………………………5

     3.2 Математические знания в проведении гуманитарных исследований………………6

     3.3 Проблемы и перспективы………………………………………………………………………………………8

4. Математика в естествознании…………………………………………………………………………………..10

    4.1 Математика - источник представлений и концепций в естествознании……………10

    4.2 Математика – язык точного естествознания……………………………………………………….12

5. Заключение…………………………………………………………………………………………………………………16

6. Список литературы………………………………………………………………………………………………………16

                                                                                                                                                                         2

1. Введение.

Математика играет важную роль в  естественно-научных и гуманитарных исследованиях. Она стала для многих отраслей знаний не только орудием количественного расчета, но также методом точного исследования и средством предельно четкой формулировки понятий и проблем. Без современной математики с ее развитым логическим и вычислительным аппаратом был бы невозможен прогресс в различных областях человеческой деятельности.

Математика является не только мощным средством решения прикладных задач  и универсальным языком науки, но также и элементом общей культуры. Поэтому математическое образование  следует рассматривать как важнейшую  составляющую в системе фундаментальной  подготовки современного специалиста-гуманитария.

2. Математика.

2.1 Понятие математики.

Математика — фундаментальная наука, предоставляющая (общие) языковые средства другим наукам; тем самым она выявляет их структурную взаимосвязь и способствует нахождению самых общих законов природы. 
Математика- это оперирование математическими конструкциями, основное свойство при таком оперировании-это внутренняя непротиворечивость. 
Математика представляет собой основу фундаментальных исследований в естественных и гуманитарных науках. В силу этого значение её в общей системе человеческих знаний постоянно возрастает.

                                                                                                                                                                         3

 Математические идеи и методы  проникают в управление весьма  сложными и большими системами  разной природы: полетами космических  кораблей, отраслями промышленности, работой обширных транспортных  систем и других видов деятельности. В математике возникают новые  теории в ответ на запросы  практики и внутреннего развития  самой математики. Приложения различных областей математики стали неотъемлемой частью науки, в том числе: физики, химии, геологии, биологии, медицины, лингвистики, экономики, социологии и др.

2.2 Что изучает математика?

Математика – это наука, которая  изучает величины, количественные отношения  и пространственные формы.

Все, что была заложено две тысячи лет назад по математике, все математические законы и теоремы, которые были сформулированы знаменитыми математиками тех времен, актуальны во все времена.

До начала XVII века математика в  Европе в основном занималась числами  и сравнительно простыми геометрическими  фигурами. К этому времени она  разделилась на арифметику и геометрию, а чуть позднее образовались алгебра  и тригонометрия. Но и на этом развитие математики не остановилось. С расширением  человеческих знаний и областей применения математики люди уже не могли обойтись простыми уравнениями, они начали мыслить  во многих плоскостях, начали изобретать другие, несуществующие, но облегчающие  жизнь пространства. Появились формулы  производных, тригонометрические формулы, основы дифференцирования и интегрирования, сформировались таблицы производных  и таблицы интегралов. Незаменимой  частью мира стали дифференциальные уравнения и различные методы их решения. И до сих пор из математики выделяются все новые и новые  дисциплины, например, такие, как математическая логика, теория игр, теория информации и многие другие. 

3.Математика в гуманитарных науках.

Математика — наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. В неразрывной  связи с запросами науки и  техники запас количественных отношений  и пространственных форм, изучаемых  математикой, непрерывно расширяется, так что приведенное определение  необходимо понимать в самом общем  смысле.

Истины, добываемые математическим естествознанием, инвариантны относительно времени  и места протекающих явлений. Гуманитарное же знание, напротив,сосредоточено на конкретно-исторических особенностях эпохи, в которой довелось жить как выдающимся, так и простым рядовым гражданам той или иной страны. Пусть первые, благодаря своим талантам, способны «творить» историю, в то время как на долю других нередко выпадает лишь роль ее «строительного материала», но и в том и в другом случае исследователь равнодушен к закономерностям естественных наук, вскрывающих общие природные предпосылки исторического процесса и потому никак не выражающих его специфические особенности в конкретных условиях места и времени. Математическое естествознание и гуманитарные науки как бы дополняют друг друга, но о плодотворном взаимодействии между ними не может быть и речи в силу кардинального различия предмета и методов данных областей знания.

Можно ли что-нибудь противопоставить этим доводам, во многом опирающимся  на реальную практику современной науки? Если рассматривать сегодняшнее  состояние математического естествознания и гуманитарных наук как совершенно адекватное исследуемым в них  предметным областям, приведенные аргументы  поколебать не удастся. Для обоснования  самой возможности существования  какой-либо альтернативы в вопросе  о взаимоотношении математического  и гуманитарного образования  необходима точка зрения, позволяющая  критически взглянуть на каждую из указанных областей человеческого  знания, поставив под сомнение непреложность  взглядов современной науки на собственные  основания.

3.1 Древнегреческая математика.

В истории науки общим местом является констатация уникального  характера древнегреческой математики, разительно отличающейся доказательным  характером своих построений от рецептурно-вычислительной математики восточных цивилизаций. Поскольку современная математика справедливо считает себя правопреемницей  математики Древней Эллады, то математические знания Индии, Китая и других стран  Востока автоматически начинают выглядеть как ущербные, не «дотягивающие» до уровня подлинной науки. Между  тем имеются все основания  рассматривать древнегреческую  математику как уникальный феномен  не только с исторической, но и с  чисто теоретической точки зрения. Можно показать, что идеализация  современной математики отражает не «вневременную природу математического  знания», а лишь исторически сложившиеся  стандарты этой науки, которые в  качестве таковых в ней не осознаются. Но в таком случае отмеченная выше разделительная грань между математикой  и гуманитарным знанием начинает стираться, и математика становится похожей на «нематематические» дисциплины. Похожей в том смысле, что, как  и другие дисциплины, она занимается не поиском неких «божественных истин», бесконечно далеких от приземленных потребностей простых смертных, а ответом на вопросы, вырастающие из запросов общественной жизни. И если математика и отличается, скажем, от истории или психологии, то, главным образом, относительной простотой предмета своего исследования. Поэтому она оказывается в первую очередь школой научного мышления, приобретение навыков которого является необходимым условием успехов и в сфере гуманитарного знания.

3.2 Математические знания в проведении гуманитарных исследований.

Рассмотрим, каким же образом можно  применить математические знания при  проведении исследований в различных  гуманитарных исследованиях?

Как известно предметом любого исследования является объект, а любой объект есть некая совокупность количественных характеристик, описывающих его  поведение. Предметом гуманитарных исследований являются довольно сложные  объекты, такие как социальные, экономические  и прочие процессы и явления, обладающих множеством свойств.

В процессе числового представления  свойства сопоставляются, упорядочиваются, подчиняются отношениям порядка. Число  выступает не как самоцель, а как  инструмент упорядочивания, сопоставления. Числовым представлением объектов гуманитарных исследований занимается математическая теория измерений. Для каждой гуманитарной науки способы количественного  измерения свойств исследуемого объекта – свои. Так, например, в  социологии это могут быть: анкетирование, интервьюирование, наблюдение.

Наиболее удобным методом исследования сложных объектов может служить, в частности, математическое моделирование. Что и происходит на практике .

Вообще говоря, этап математизации  гуманитарной науки начинается тогда, когда ей не хватает того естественного  языка, с которого началось ее становление, когда возможности этого языка  для прогресса науки оказались  исчерпанными. Сейчас стало ясно, что  принципиально не математических дисциплин  вообще не существует. Другое дело, степень  математизации и этап эволюции научной  дисциплины, на котором математизация  становится необходимой. Одним из серьезных  направлений по использованию математики для гуманитарных исследований является моделирование различных процессов. Можно указать лишь несколько  наиболее типичных видов математических моделей, используемых гуманитарных исследованиях:

Вероятностные распределения. Логарифмически нормальное распределение используется, например, для моделирования распределения  доходов населения, распределение  Пуассона — для моделирования  среднего времени ожидания обслуживания и т. д.

Статистические исследования зависимостей — класс моделей, широко распространенный в гуманитарных исследованиях.

Аппарат Марковских цепей используется для анализа и прогноза численности тех или иных социальных групп, тенденций их изменения и т. п. (в демографии, криминологии, эпидемиологии, исследованиях социальной мобильности).

Моделирование предпочтений описывается  на языке теоретико-множественных  отношений или целевых функций.

Модели целенаправленного поведения  представляют собой непосредственное использование целевых функций  и предпочтений для анализа, прогнозирования  и планирования процессов в сфере  потребления, трудового поведения  и др.

Имитационные модели представляют собой класс моделей, реализованных  в виде алгоритмов и программ для  ЭВМ, отражающих относительно сложные  зависимости, не поддающиеся аналитическому анализу. Этот способ моделирования  широко применяется для исследования проблем развития городов, регионов, экологических и других сложных систем .

Так, например, большинство объектов, изучаемых экономической наукой, может быть охарактеризовано кибернетическим  понятием сложная система. Наиболее распространено понимание системы  как совокупности элементов, находящихся  во взаимодействии и образующих некоторую  целостность, единство. Важным качеством  любой системы является эмерджентность — наличие таких свойств, которые  не присущи ни одному из элементов, входящих в систему. Поэтому при  изучении систем недостаточно пользоваться методом их расчленения на элементы с последующим изучением этих элементов в отдельности. Одна из трудностей экономических исследований — в том, что почти не существует экономических объектов, которые  можно было бы рассматривать как  отдельные (внесистемные) элементы.

Сложность системы определяется количеством  входящих в нее элементов, связями  между этими элементами, а также  взаимоотношениями между системой и средой. Экономика страны обладает всеми признаками очень сложной  системы. Она объединяет огромное число  элементов, отличается многообразием  внутренних связей и связей с другими  системами (природная среда, экономика  других стран и т. д.). В народном хозяйстве взаимодействуют природные, технологические, социальные процессы, объективные и субъективные факторы. Сложность экономики иногда рассматривалась  как обоснование невозможности  ее моделирования, изучения средствами математики. Но такая точка зрения в принципе неверна. Моделировать можно  объект любой природы и любой  сложности. И как раз сложные  объекты представляют наибольший интерес  для моделирования; именно здесь  моделирование может дать результаты, которые нельзя получить другими  способами исследования. Потенциальная  возможность математического моделирования  любых экономических объектов и  процессов не означает, разумеется, ее успешной осуществимости при данном уровне экономических и математических знаний, имеющейся конкретной информации и вычислительной технике. И хотя нельзя указать абсолютные границы  математической формализуемости экономических проблем, всегда будут существовать еще неформализованные проблемы, а также ситуации, где математическое моделирование недостаточно эффективно.

Но арсенал применяемых в  гуманитарных науках математических средств  весьма обширен и многообразен —  различные методы математической статистики, теория игр, теория информации, аппарат  теории устойчивости, теория Марковских цепей, линейное программирование, факторный анализ, корреляционный анализ, теория графов, матричная алгебра и многое другое

Таким образом, математика прочно вошла  в процесс гуманитарных исследований, и любая гуманитарная наука может  подобрать набор конкретных математических методов для проведения исследований в своей области. 

3.3. Проблемы и перспективы.

Уже длительное время главным тормозом практического применения математического  моделирования в гуманитарных исследованиях  является наполнение разработанных  моделей конкретной и качественной информацией. Точность и полнота  первичной информации, реальные возможности  ее сбора и обработки во многом определяют выбор типов прикладных моделей. С другой стороны, исследования по моделированию выдвигают новые  требования к системе информации.

В зависимости от моделируемых объектов и назначения моделей используемая в них исходная информация имеет  существенно различный характер и происхождение. Она может быть разделена на две категории: о  прошлом развитии и современном  состоянии объектов и о будущем  развитии объектов, включающую данные об ожидаемых изменениях их внутренних параметров и внешних условий (прогнозы). Вторая категория информации является результатом самостоятельных исследований, которые также могут выполняться  посредством моделирования.

Методы наблюдений и использования  результатов этих наблюдений разрабатываются  статистикой. Поэтому стоит отметить только специфические проблемы наблюдений, связанные с моделированием процессов

Как известно многие процессы являются массовыми; они характеризуются  закономерностями, которые не обнаруживаются на основании лишь одного или нескольких наблюдений. Поэтому моделирование  в гуманитарных исследованиях должно опираться на массовые наблюдения.

Другая проблема порождается динамичностью  исследуемых процессов, изменчивостью  их параметров и структурных отношений. Вследствие этого процессы приходится постоянно держать под наблюдением, необходимо иметь устойчивый поток  новых данных. Поскольку наблюдения за процессами и обработка эмпирических данных обычно занимают довольно много  времени, то при построении математических моделей требуется корректировать исходную информацию с учетом ее запаздывания.

Познание количественных отношений  исследуемых процессов и явлений  опирается на измерения. Точность измерений  в значительной степени предопределяет и точность конечных результатов  количественного анализа посредством  моделирования. Поэтому необходимым  условием эффектного использования  математического моделирования  является совершенствование измерителей. Применение математического моделирования  заострило проблему измерений и  количественных сопоставлений различных  аспектов и явлений социально-экономического развития, достоверности и полноты  получаемых данных, их защиты от намеренных и технических искажений.

В процессе моделирования возникает  взаимодействие «первичных» и «вторичных»  измерителей. Любая модель опирается  на определенную систему измерителей (продукции, ресурсов, элементов и  т. д.). В то же время одним из важных результатов моделирования является получение новых (вторичных) измерителей  — экономически обоснованных цен  на продукцию различных отраслей, оценок эффективности разнокачественных  природных ресурсов, измерителей  общественной полезности продукции. Однако эти измерители могут испытывать влияние недостаточно обоснованных первичных измерителей, что вынуждает  разрабатывать особую методику корректировки  первичных измерителей для хозяйственных  моделей.

С точки зрения «интересов» моделирования  в гуманитарных исследованиях в  настоящее время наиболее актуальными  проблемами совершенствования измерителей  являются: оценка результатов интеллектуальной деятельности (особенно в сфере научно-технических  разработок, индустрии информатики), построение обобщающих показателей  социально-экономического развития, измерение

Математические методы позволяют  упорядочить систему информации, выявлять недостатки в имеющейся  информации и вырабатывать требования для подготовки новой информации или ее корректировки. Разработка и  применение математических моделей  указывают пути совершенствования  информации, ориентированной на решение  определенной системы задач планирования и управления. Прогресс в информационном обеспечении планирования и управления опирается на бурно развивающиеся  технические и программные средства информатики.

Интенсификация и повышение  точности расчетов. Формализация экономических  задач и применение ЭВМ многократно  ускоряют типовые, массовые расчеты, повышают точность и сокращают трудоемкость, позволяют проводить многовариантные  обоснования сложных мероприятий, недоступные при господстве «ручной» технологии.

Углубление количественного анализа  проблем. Благодаря применению метода моделирования значительно усиливаются  возможности конкретного количественного  анализа; изучение многих факторов, оказывающих  влияние на процессы, количественная оценка последствий изменения условий  развития экономических объектов и  т. п.

Решение принципиально новых задач. Посредством математического моделирования  удается решать такие задачи, которые  иными средствами решить практически  невозможно, например: нахождение оптимального варианта народнохозяйственного плана, имитация народнохозяйственных мероприятий, автоматизация контроля над функционированием сложных экономических объектов.

4. Математика в естествознании. 

4.1 Математика - источник представлений и концепций в естествознании.

Назначение математики состоит  в том, она вырабатывает для остальной  науки, прежде всего для естествознания, структуры мысли, формулы, на основе которых можно решать проблемы специальных  наук.

Это обусловлено особенностью математики описывать не свойства вещей, а свойства свойств, выделяя отношения, независимые  от каких-либо конкретных свойств, то есть отношения отношений. Но поскольку  и отношения, выводимые математикой, особые (будучи отношениями отношений), то ей удается проникать в самые  глубокие характеристики мира и разговаривать  на языке не просто отношений, а структур, определяемых как инварианты систем. Поэтому, кстати сказать, математики скорее говорят не о законах (раскрывающих общие, существенные, повторяющиеся  и т.д. связи), а именно о структурах.

Эти глубинные проникновения в  природу и позволяют математике исполнять роль методологии, выступая носителем плодотворных идей. Относительно сказанного современный американский исследователь Ф. Дайсон пишет: "Математика для физики - это не только инструмент, с помощью которого она может  количественно описать явление, но и главный источник представлений  и принципов, на основе которых зарождаются  новые теории". Близкие мысли  высказывает известный математик, академик Б. Гнеденко, также подчеркивая, что роль математики не ограничивается функцией аппарата вычисления, подчеркивал, что математика - определенная концепция природы.

Поскольку привилегия математики - выделять чистые, безотносительные к какому-либо физическому (химическому или социально  насыщенному содержанию), она тем  самым вырабатывает модели возможных  еще неизвестных науке состояний. Естествоиспытатель может выбирать из них и примеривать к своей  области исследования. Это стимулирует  научный поиск, пробуждая и будоража ученую мысль. В силу указанной особенности  математику характеризуют как склад  готовых костюмов, пошитых на все  живые существа, мыслимые и немыслимые (Р. Фейнман), вообще на все возможные  природные ситуации. То есть это  своеобразный портной для разнообразных  вещественных образований, которые  могут быть вписаны в эти готовые  одежды. Характеризуя рассматриваемую  особенность отношений между  математикой и физикой, американский физик-теоретик венгерского происхождения  Е. Вигнер в режиме шутки произнес: "Физики - безответственные люди: они берут готовые математические уравнения и используют их, не зная, верны они или нет".

В свое время И. Кант метко определил: "Математика - наука, брошенная человеком  на исследование мира в его возможных  вариантах". Если физику или вообще естествоиспытателю позволено видеть мир таким, каков он есть, то математику дано видеть мир во всех его логических вариантах. Иначе сказать, физик  не может строить мир, противоречивый физически (и уж тем более - логически), математику же разрешены построения, противоречивые физически, лишь бы они  не страдали логическими противоречиями. Физики говорят, каков мир, математики исследуют, каким бы он мог быть в  его потенциальных версиях. Это  и придает стимул воображению. Как  замечает австрийский математик и писатель нашего времени Р. Музиль, математика есть роскошь броситься вперед, очертя голову, потому математики предаются самому отважному и восхитительному авантюризму, какой доступен человеку. Стоит заметить лишь, что раскованность и рискованность - преимущество не только собственно математика, но и любого исследователя, если и поскольку он мыслит математически, то есть пытаясь дать, по выражению Г. Вейля, "теоретическое изображение бытия на фоне возможного".

Здесь не должно сложиться впечатления  о возможности бескрайней фантазийной  деятельности ученого. Истина состоит  в том, что нематематические науки, сталкиваясь с запретами в  проявлении какого-либо свойства, действия, не знают границ, до которых распространяется их компетенция. Это способна определить и узаконить лишь математика, владеющая  искусством расчета на основе количественного  описания явлений. Другие науки знают  лишь, что нечто разрешено, но они  не умеют знать той черты, до которой  это разрешено, не умеют устанавливать  пределов возможного - той количественной меры, определяющей вариантность изменений. Скажем, биолог не располагает сведениями пределов возможного для жизни и  познает их в диапазоне лишь наблюдаемого.

Методологическое значение математики для других наук проявляется еще  в одном аспекте. Поскольку ее абстракции отвлечены от конкретных свойств, она способна проводить  аналогии между качественно различными объектами, переходить от одной области  реальности к другой. Д. Пойа назвал это свойство математики умением "наводить мосты над пропастью". Там, где  конкретная наука останавливается (кончается ее компетенция), математика в силу ее количественного подхода  к явлениям, свободно переносит свои структуры на соседние, близкие и  далекие, регионы природы.

Таковы некоторые методологические уроки, внушаемые математикой. Однако, сколь ни эффективна математическая наука, и на нее брошены некоторые  тени, а лучше сказать: эти тени - есть продолжение ее достоинств (при  неадекватном использовании последних).