Джордж Буль. Развитие математической логики

     МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И  НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 

     ФГБОУ ВПО «СТАВРОПОЛЬСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  УНИВЕРСИТЕТ» 

     ФАКУЛЬТЕТ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ 
 

     Кафедра прикладной математики и информатики 
 
 
 
 
 
 
 
 

     РЕФЕРАТ 

     ТЕМА: Джордж Буль. Развитие математической логики 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Выполнил (а):

       студентка ПМИ(маг)

     Перегудова  А.С 

     Научный руководитель:

     Журавлева И.А. 
 
 
 
 

Ставрополь, 2012г.

      Содержание 

     Введение……………………………………………………………….….3

     1. Этапы развития математической  логики……………………….….…4

     2. Вклад Дж.Буля в развитие математической логики…………….…...7

     Заключение………………………………………………………….........11

     Список  использованной литературы…………………………….……..12

      Введение

     Логика – это наука, изучающая формы и законы мышления, закономерности мыслительного процесса. Слово «логика» произошло от греческого logos, что означает слово, понятие, рассуждение, разум. Законы и правила формальной логики необходимо знать для построения правильных рассуждений. Логические знания чрезвычайно важны для повышения эффективности мыслительной деятельности человека и предотвращения логических ошибок. Согласно основному принципу логики, правильность рассуждения (вывода) определяется только его логической формой (структурой) и не зависит от конкретного содержания входящих в него утверждений. Например, рассуждения «Все люди смертны. Сократ – человек. Следовательно, Сократ смертен» и «Все металлы электропроводны. Медь – металл. Следовательно, медь электропроводна» имеют одинаковую логическую структуру, называемую силлогизмом. Отличительная особенность правильного вывода состоит в том, что из  истинных исходных утверждений всегда получаются истинные заключения. Это позволяет из одних истин получать другие с помощью только рассуждения, разума и без обращения к опыту.

     Логика  состоит из большого числа логических систем, описывающих отдельные типы содержательных рассуждений. Эти системы принято делить на классическую логику, включающую классические логику высказываний и логику предикатов, и неклассическую логику, в которую входят модальная логика, многозначная логика, деонтическая логика, логика времени, паранепротиворечивая логика, парафальсифицирующая логика и др.  Все эти частные системы, пользующиеся одними и теми же методами исследования при описании отдельных логических процессов, соединяясь вместе, и образуют логику как единую науку.

     В своем развитии логика прошла ряд  этапов. Современную логику часто  называют символической или математической логикой.  

     1. Этапы развития  математической логики

     1-й  этап связан с работами ученого и философа Аристотеля (384-322 гг. до н.э.). Он пытался найти ответ на вопрос “как мы рассуждаем”, изучал “правила мышления”. Аристотель впервые дал систематическое изложение логики. Он подверг анализу человеческое мышление, его формы - понятие, суждение, умозаключение и рассмотрел мышление со стороны строения, структуры, то есть с формальной стороны. Так возникла формальная логика. 
Аристотель исследовал различные формы рассуждений и их комбинаций, ввел понятие силлогизма, т.е. рассуждения, в котором из заданных двух суждений выводится третье.

     Например:

1. “Все млекопитающие имеют скелет. Все киты - млекопитающие. Следовательно, все киты имеют скелет”.
2. “Все квадраты - ромбы, все ромбы - параллелограммы. Следовательно, все квадраты - параллелограммы”.

     Логика, основанная на теории силлогизмов, называется классической. 

     Аппарат логики Аристотеля оказался настолько  мощным, что, например, на его основе средневековый философ и богослов Фома Аквинский (1225 – 1274) осуществил обоснование  всей христианской теологии. Широкое  применение силлогистика нашла также  в судебной практике, когда материалы предварительного следствия брались за истинные посылки. Применяя к этим посылкам процедуры порождения новых утверждений по правилам теории Аристотеля, судьи делали вывод о виновности или невиновности подсудимого. Традиционная логика просуществовала без серьезных изменений более двадцати столетий. 

     Доказано, что общее число силлогизмов, которые можно составить из рассуждений  указанного вида, равно 256.Из них правильными  являются лишь 24. 

     Для проверки правильности силлогизмов можно использовать метод геометрической иллюстрации логических рассуждений, который был предложен великим математиком XVIII в., петербургским академиком Л.Эйлером (1707 - 1783) и широко применялся английским математиком Дж. Венном (1834 - 1923) 

     2-й  этап - появление математической или символической логики.

     Развитие  математической логики особенно активизировалось в середине нашего века в связи  с ее использованием в ВТ и программировании.

     В XIX в. - начале XX в. в логике произошла научная революция и на смену традиционной логике пришла современная логика, называемая также математической или символической логикой. Развитие математики выявило недостаточность Аристотелевой логики и поставило задачу о ее дальнейшем построении на математической основе. Впервые в истории идеи о таком построении логики были высказаны немецким математиком Готфридом Лейбницем (1646 — 1716)   в конце XVII века. Он считал, что основные понятия логики должны быть обозначены символами, которые соединяются по определенным правилам, и это позволяет всякие рассуждения заменить вычислением. Джордж Буль  (1815 - 1864)  в своей работе «Исследование законов мысли» (1854 г.) истолковывал умозаключения как результат решения логических равенств, в результате чего логическая теория приняла вид обычной алгебры и  получила название алгебры высказываний. Буль рассматривал свою алгебру как инструмент изучения законов человеческого мышления.

     Введение  символических обозначений в  логику имело для этой науки такое  же решающее значение, как и введение буквенных обозначений для математики. Именно благодаря введению символов в логику была получена основа для создания новой науки — математической логики. Предметом математической логики служат рассуждения, при изучении которых она пользуется математическими методами.

     При этом на первых порах развитие математической логики позволило представить логические теории в новой удобной форме  и применить вычислительный аппарат  к решению задач, малодоступных  человеческому мышлению, что, конечно, расширило область логических исследований. Однако главное назначение математической логики определилось в конце XIX века, когда стала ясна необходимость обоснования понятий и идей самой математики. Эти задачи имели логическую природу и, естественно, привели к дальнейшему развитию математической логики.

     В этом отношении показательны работы немецкого математика Готлоба Фрёге (1848 -1925) и итальянского математика Джузеппе Пеано (1858 - 1932), которые применили математическую логику для обоснования арифметики и теории множеств.

     В развитие логики значительный вклад внесли Бертран Рассел (1872 – 1970), А. Уайтхед (1861 – 1947), Д. Гильберт (1862 – 1943), К. Гёдель (1906 – 1978), А. Тарский (1901 – 1983) и др.

     Большой вклад в развитие математической логики внес русский математик П.С.Порецкий (1846-1907)

     П.С.Эренфест (1880-1933) доказал, что операции алгебры  логики можно иллюстрировать на физических и технических явлениях, а, следовательно, и применять.

     В первой половине XX в. стали складываться многозначная логика, предполагающая, что утверждение может быть не только истинным или ложным, но иметь и другие значения истинности; деонтическая логика, изучающая логические связи нормативных высказываний; модальная логика, рассматривающая понятия необходимости, возможности, случайности и т.п.; эпистемическая логика, изучающая такие понятия, как опровержимо, неразрешимо, доказуемо, убежден и т.п., паранепротиворечивая логика, парафальсифицирующая логика и др.  Все эти новые разделы логики были связаны с естественными и гуманитарными науками. Перемены, происшедшие с логикой в ХХ в., приблизили ее к непосредственному человеческому мышлению, к практической деятельности человека. 
 

     2. Вклад Дж.Буля  в развитие математической  логики

     Буль  считается основоположником математической логики как самостоятельной дисциплины. В его работах логика обрела свой алфавит, свою орфографию и грамматику. Недаром начальный раздел математической логики называют алгеброй логики, или булевой алгеброй.

     Джордж  Буль (2 ноября 1815,  —  8 декабря 1864,) — английский  математик  и  логик.   

     Буль  был, вероятно, первым после Джона Валлиса математиком, обратившимся к логической проблематике.  

     Начиная с 1839 года Буль стал посылать свои работы в новый Кембриджский математический журнал. Его первая работа «Исследования  по теории аналитических преобразований»  касалась дифференциальных уравнений, алгебраических проблем линейной трансформации  и концепции инвариантности. В своем исследовании 1844 года, опубликованном в «Философских трудах Королевского общества», он коснулся проблемы взаимодействия алгебры и исчисления. В том же году молодой ученый был награжден медалью Королевского общества за вклад в математический анализ.

     Вскоре  после того как Буль убедился, что  его алгебра вполне применима  к логике, в 1847 году он опубликовал  памфлет «Математический анализ логики», в котором высказал идею, что логика более близка к математике, чем к философии. Эта работа была чрезвычайно высоко оценена английским математиком Огастесом (Августустом) Де Морганом. Благодаря этой работе Буль в 1849 году получил пост профессора математики Куинз-колледжа в графстве Корк, несмотря на то, что он даже не имел университетского образования.

     В 1848 году Джордж Буль опубликовал статью по началам математической логики - "Математический анализ логики, или  Опыт исчисления дедуктивных умозаключений", а в 1854 году появился главный его  труд "Исследование законов мышления, на которых основаны математические теории логики и вероятностей".

     В 1854 году опубликовал работу «Исследование  законов мышления, базирующихся на математической логике и теории вероятностей». Работы 1847 и 1854 годов положили начало алгебре логики, или булевой алгебре. Буль первым показал, что существует аналогия между алгебраическими и логическими действиями, так как и те, и другие предполагают лишь два варианта ответов – истина или ложь, нуль или единица. Он придумал систему обозначений и правил, пользуясь которыми можно было закодировать любые высказывания, а затем манипулировать ими как обычными числами. Булева алгебра располагала тремя основными операциями – И, ИЛИ, НЕ, которые позволяли производить сложение, вычитание, умножение, деление и сравнение символов и чисел. Таким образом, Булю удалось подробно описать двоичную систему счисления. В своей работе «Законы мышления» (1854 г.) Буль окончательно сформулировал основы математической логики. Он также попытался сформулировать общий метод вероятностей, с помощью которого из заданной системы вероятных событий можно было бы определить вероятность последующего события, логически связанного с ними.

     Буль  не считал логику разделом математики, но находил глубокую аналогию между  символическим методом алгебры  и символическим методом представления логических форм и силлогизмов. Буль показал, что символика такого рода подчиняется тем же законам, что и алгебраическая, из чего следовало, что их можно складывать, вычитать, умножать и даже делить. В такой символике высказывания могут быть сведены к форме уравнений, а заключение из двух посылок силлогизма — получено путём исключения среднего термина по обычным алгебраическим правилам. Ещё более оригинальной и примечательной была часть его системы, представленной в «Законах мышления…», образующая общий символический метод логического вывода. Буль показал, как из любого числа высказываний, включающих любое число терминов, вывести любое заключение, следующее из этих высказываний, путём чисто символических манипуляций. Вторая часть «Законов мышления…» содержит аналогичную попытку обнаружить общий метод в исчислении вероятностей, позволяющий из заданных вероятностей совокупности событий определить вероятность любого другого события, логически связанного с ними. Профессор Огирко, Игорь на основе теории Буля создал теорию относительности в логике

     Буль  обозначал универсум мыслимых объектов, буквенными символами — выборки  из него, связанные с обычными прилагательными  и существительными. Буль показал, что  символика такого рода подчиняется  тем же законам, что и алгебраическая, из чего следовало, что их можно складывать, вычитать, умножать и даже делить. В «Законах мышления» (An investigation of the Laws of Thought), Буль показал, как из любого числа высказываний, включающих любое число терминов, вывести любое заключение, следующее из этих высказываний, путём чисто символических манипуляций. Вторая часть «Законов мышления» содержит аналогичную попытку обнаружить общий метод в исчислении вероятностей, позволяющий из заданных вероятностей совокупности событий определить вероятность любого другого события, логически связанного с ними.

     Буль  изобрел своеобразную алгебру - систему  обозначений и правил, применимую ко всевозможным объектам, от чисел  и букв до предложений. Пользуясь  этой системой, Буль мог закодировать высказывания - утверждения, истинность или ложность которых требовалось доказать, - с помощью символов своего языка, а затем манипулировать ими подобно тому, как в математике манипулируют обычными числами.

     Три основные операции булевой алгебры - это И, ИЛИ и НЕ. Хотя система Буля допускает множество других операций - часто называемых логическими действиями, - указанных трех уже достаточно для того, чтобы производить сложение, вычитание, умножение и деление или выполнять такие операции, как сравнение символов и чисел. Логические действия двоичны по своей сути, они оперируют лишь с двумя сущностями - «истина» или «ложь», «да» или «нет», «открыт» или «закрыт», нуль или единица. Буль надеялся, что его система, очистив логические аргументы от словесной шелухи, облегчит поиск правильного заключения и сделает его всегда достижимым.

     В 1857 году Буль был избран членом Лондонского  Королевского общества. Его работы «Трактат о дифференциальных уравнениях» (1859 г.) и «Трактат о вычислении предельных разностей» (1860 г.) оказали колоссальное влияние на развитие математики. В них нашли свое отражение наиболее важные открытия Буля.

     Большинство логиков того времени либо игнорировали, либо резко критиковали систему  Буля, но ее возможности оказались  настолько велики, что она не могла долго оставаться без внимания. 

      Заключение 

     Бурное  развитие математической логики во многом определяет основные тенденции научного прогресса наших дней.

     Основоположником  математической логики является  Джордж Буль Положив в основу своих исследований аналогию между алгебры и логики, он разработал соответствующее логическое исчисление, в котором применил законы и операции математики (добавление классов, умножение и т.п.). В своих работах Буль преследует, как правило, одну цель: найти элементарные операции человеческого мышления и исследовать его законы, выйдя за рамки дедуктивной и индуктивной логики. Выражаясь современным языком, его исследования принадлежат к области кибернетики. Буль затронул и другую проблему: найти ту внутреннюю связь между логикой и математикой, которая впоследствии явилась предметом исследований Пеано, Кутюра, Гильберта, Рассела и др. Если еще точнее, Буль не считал, вообще говоря, логику разделом математики, но находил глубокую аналогию между символическим методом алгебры и символическим методом представления мыслительной способности человека в виде логических форм и силлогизмов.

     Сегодня математическая логика нашла применение во многих областях человеческой деятельности, перечислим основанные:

     Логика  оказала влияние на развитие математики, прежде всего теории множеств, формальных систем, алгоритмов, рекурсивных функций.

     Идеи  и аппарат логики используется в  кибернетике, вычислительной технике  и электротехнике (построение компьютеров  основано на законах математической логики).

     В гуманитарных науках (логика, криминалистика).

     Математическая  логика является средством для изучения деятельности мозга - для решения  этой самой важной проблемы биологии и науки вообще.

      Список использованной литературы 

1. Игошин  В.И. Математическая логика и теория алгоритмов : учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений / В. И. Игошин. — 2-е изд., стер. — М.: Издательский центр «Академия», 2008. — 448 с.
2. Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.) Математика XIX века. Том 1 Математическая логика. Алгебра. Теория чисел. Теория вероятностей. М.: Наука. 1978.
3. Стяжкин Н.И. Формирование математической логики. — М., наука, 1967.
4. Шенфилд Дж. Математическая логика. М.: Наука, 1975.
5. Джордж Буль http://www.peoples.ru