Эконометрические модели с лаговыми переменными

Российская  экономическая академия им. Г.В. Плеханова

МИПК  РЭА им. Г.В. Плеханова 
 
 
 
 
 

КУРСОВАЯ РАБОТА

по  дисциплине «Эконометрика»

Тема: «Эконометрические  модели с лаговыми переменными» 
 

Слушатель: 
 

Руководитель:

Дорохина  Елена Юрьевна 
 
 
 
 
 

Москва, 2008 
Содержание 

 

 

Введение

      При анализе многих экономических показателей (особенно в макроэкономике) часто  используют ежегодные, ежеквартальные, ежемесячные и ежедневные данные. Например, это могут быть годовые данные по ВНП, ВВП, объему чистого экспорта, инфляции и т.д., месячные данные по объему продажи продукции, ежедневные объемы выпуска какой-либо фирмы. Для рационального анализа необходимо систематизировать моменты получения соответствующих статистических данных.

      В этом случае следует упорядочить  данные по времени их получения и  построить так называемые временные ряды.

      Пусть исследуется показатель Y. Его значение в текущий момент (период) времени t обозначают ; значения Y в последующие моменты обозначаются , , …, ; значения Y в предыдущие моменты времени обозначаются , , …, .

      Нетрудно  понять, что при изучении зависимостей между такими показателями либо при  анализе их развития во времени в  качестве объясняющих переменных используются не только текущие значения переменных, но и некоторые предыдущие по времени значения, а также само время Модели такого типа называются динамическими.

      В свою очередь переменные, влияние  которых характеризуется определенным запаздыванием, называются лаговыми переменными.

      Обычно  динамические модели подразделяются на два класса:

      1) Модели с лагами (модели с распределенными лагами) – содержат в качестве лаговых переменных лишь независимые (объясняющие) переменные.

      2) Авторегрессионные модели – модели, уравнения которых в качестве лаговых объясняющих переменных включают значения зависимых переменных.

      Во  многих случаях воздействие одних  экономических факторов на другие осуществляется не мгновенно, а с некоторым временным  запаздыванием – лагом. Причин наличия  лагов в экономике достаточно много, среди них можно выделить следующие:

• психологические причины – обычно выражаются через инерцию в поведении людей. Например, люди тратят свой доход не мгновенно, а постепенно. Привычка к определенному образу жизни приводит к тому, что люди приобретают те же блага в течение некоторого времени даже после падения реального дохода;
• технологические причины. Например, изобретение персональных компьютеров не привело к мгновенному вытеснению ими больших ЭВМ в силу необходимости замены соответствующего программного обеспечения, которое потребовало продолжительного времени;
• институциональные причины. Например, контракты между фирмами требуют определенного постоянства в течение времени контракта;
• механизмы формирования экономических показателей. Например, инфляция во многом является инерционным процессом.

 

Модели  с лаговыми переменными

      Отличительной особенностью моделей данного типа является наличие в них лагированных переменных, т. е. переменных, взятых в предыдущие моменты времени.

      Часто при моделировании экономических  процессов на зависимую переменную влияют не только текущие значения объясняющего фактора, но и его лаги. Типичным примером являются капиталовложения: они всегда дают результат с некоторым лагом.

      Например, выпуск предприятия за год  может зависеть не только от инвестиций в текущий год, но и от инвестиций в предыдущие годы:

      Модели  данного типа встречаются тогда, когда эндогенная переменная с запаздыванием реагирует на изменения экзогенной переменной. При этом в модель могут входить лагированные значения экзогенной переменной (модель распределенных лагов), например,

или эндогенной переменной (авторегрессионная модель):

либо  одновременно и те и другие (авторегрессионная модель распределенных лагов).

      Существенное  отличие моделей и с точки зрения оценивания заключается в том, что в первом случае регрессоры не коррелированы с ошибками, поэтому их можно оценивать обычным методом наименьших квадратов (МНК). Во второй модели, т. к. включает , регрессоры и ошибки коррелированы, что приводит к смещению оценок.

      Будем обозначать модели распределенных лагов  (q – порядок модели – максимальный лаг), авторегрессионные модели – (p – порядок модели), авторегрессионные модели распределенных лагов – .

      Моделям типа или могут соответствовать устойчивые (сходящиеся) или неустойчивые (расходящиеся) временные ряды. 

Оператор  сдвига

      Для удобства обозначений и действий с моделями, включающими лаговые переменные, удобно использовать оператор сдвига назад :

      Например, модель

с помощью  оператора сдвига можно записать в компактной форме:

где , - полиномы от оператора сдвига:

 

Модели  распределенных лагов

      Рассмотрим  модель :

,     q – максимальный лаг

      Считаем переменную детерминированной (неслучайной), а ошибки –аддитивным белым шумом с нулевым математическим ожиданием и дисперсией .

      Коэффициент регрессии  при переменной характеризует среднее изменение при изменении на одну единицу своего измерения в некоторый фиксированный момент времени t без учета воздействия лаговых значений фактора X. Этот коэффициент называется краткосрочным мультипликатором.

      В момент совокупное воздействие факторной переменной на выходную переменную составит условных единиц. В момент воздействие фактора на выход можно оценить суммой . Такие суммы называют промежуточными мультипликаторами.

      Для максимального лага воздействие фактора на выход оценивается суммой , которая называется долгосрочным мультипликатором.

      Величины , называются относительными коэффициентами модели с распределенным лагом. Если все коэффициенты имеют одинаковые знаки, то и .

      Средний лаг модели определяется как взвешенная средняя арифметическая:

и представляет собой средний промежуток времени, в течение которого будет происходить изменение зависимой переменной под воздействием изменения фактора в момент t.

      Медианный лаг – это промежуток времени, в течение которого с момента времени t будет реализована половина общего воздействия фактора на выходную переменную:

 

Пример. Получение модели с распределенным лагом.

      Методом наименьших квадратов (МНК) получена зависимость расходов на отдых в зарубежье Y от доходов X:

      Малое значение статистики Дарбина-Уотсона  d указывает на наличие значительной автокорреляции ошибок регрессии. Временной ряд остатков полученного уравнения аппроксимирован моделью :

      Естественно предположить, что расходы на дорогостоящий  отдых на зарубежных курортах зависят не только от текущих доходов, но и от доходов в предыдущие периоды. Наиболее адекватной оказалась модель с четырьмя лагами:

      Как видим, значение d = 2,09 свидетельствует об отсутствии автокорреляции остатков в улучшенной модели. Следует также отметить, что коэффициент при уменьшился вдвое, что свидетельствует о том, что расходы на предметы роскоши, к которым относится и дорогой отдых, распределяются на несколько лет. 

Пример. Интерпретация модели с распределенным лагом.

      Получена  зависимость объема продаж компании в среднем за месяц от расходов на рекламу :

      Краткосрочный мультипликатор равен 4,5, т. е. увеличение расходов на рекламу на 1 млн. руб. ведет в среднем к росту объема продаж компании на 4,5 млн. руб. в том же периоде t. В момент объем продаж возрастает на 4,5 + 3 = 7,5 млн. руб., в момент – на 7,5 + 1,5 = 9 млн. руб. Долгосрочный мультипликатор составляет 9,5 млн. руб.

      Относительные коэффициенты: , т. е. 47% увеличения объема продаж происходит в текущем периоде, 31,6% – в момент , 15,8% – в момент , 5,3 % – в момент .

      Средний лаг равен 0,79 мес. Медианный лаг  составляет чуть более месяца. Сравнительно небольшая величина среднего и медианного лагов свидетельствует о достаточно быстром реагировании объема продаж на расходы на рекламу.

      Если  модель содержит слишком много переменных (q велико) и, кроме того, ряд коррелирован или имеет сезонную компоненту, оценивание коэффициентов модели вызывает определенные трудности. Для упрощения этой задачи зависимость коэффициентов модели от величины лага i может аппроксимироваться определенной функцией. Рассмотрим две таких модели. 

Модель полиномиальных лагов Алмон

      В этом случае зависимость от i аппроксимируется полиномом степени :

      При веса линейно убывают с ростом лага. При веса могут достигать максимума или минимума.

      Пусть, например, , а (квадратичная функция распределения лагов). После подстановки в и преобразований модель можно привести к виду:

где - линейные комбинации переменных :

 

Модель  геометрических лагов  Койка

      В этой модели предполагается, что коэффициенты при лаговых значениях объясняющей переменной убывают в геометрической прогрессии:

 - знаменатель геометрической прогрессии ( ).

      В данной модели всего три параметра: , , , однако их оценка осложняется нелинейностью модели. Можно поступить так: в диапазоне от 0 до 1 с некоторым шагом перебираются все возможные значения и для них находятся МНК-оценки и . Выбирается значение , для которого остаточная сумма квадратов минимальна.

      Уравнение можно преобразовать к виду:

 

      Суммарное воздействие всех лагированных переменных в модели (долгосрочный мультипликатор) составляет:

Средний лаг равен:

      При , а при , т. е. воздействие фактора на зависимую переменную в среднем занимает меньше одного периода времени.

      Величину  интерпретируют обычно как скорость, с которой происходит адаптация выхода во времени к изменению фактора .

      Медианный лаг в модели Койка равен:

 

Пример. Модель с полиномиальным лагом.

      Для описания динамики объемов ВВП США (млрд. долл. в ценах 1987 г.) и валовых внутренних инвестиций в экономику США (млрд. долл.) использована модель с распределенным лагом :

      Коэффициенты  модели аппроксимированы полиномом  второй степени  :

      После перехода к новым переменным:

      МНК произведена оценка модели:

      Возвращаясь к исходным переменным, получаем модель:

      Долгосрочный  мультипликатор равен 5,908, т. е. рост инвестиций в экономику США не менее 1 млрд. долл. через четыре года приведет к росту ВВП в среднем на 5,908 млрд. долл.

      Относительные коэффициенты т. е. 32,5% воздействия фактора реализуется сразу же, в тот же год, а более половины (32,5+20)=52,5% - с лагом в один год (медианный лаг). Средний лаг составил 1,686, т. е. в среднем увеличение инвестиций в экономику США приведет к увеличению ВВП через 1,69 г. 

Пример. Модель с геометрическим лагом.

      При исследовании зависимости приращения основного капитала от инвестиций использована модель с геометрическим лагом:

,

или

      Второе  уравнение является функцией единственного параметра . Для его оценки по рядам исходных данных и рассчитывались ряды и .

      По  данным для России за 1966÷1989 гг. оценка уравнения дала результаты:

      Как видим, полученная модель имеет неплохие статистические характеристики. Возвращаясь к исходной модели с бесконечным геометрическим лагом, получаем:

      Согласно  этому уравнению около 85% инвестиций переходит в прирост капитала в течение текущего и первых двух лет, а остальные 15% - в последующие годы. 

Авторегрессионные модели распределенных лагов

      Напомним, что авторегрессионной моделью  распределенных лагов  называется модель, содержащая в правой части как эндогенную лагированную переменную с максимальным лагом p, так и экзогенную лагированную переменную с максимальным лагом q. Например, модель :

или

      В частном случае, если в правую часть  модели входят только лагированные значения эндогенной переменной , модель называется моделью авторегрессии.

      Например, модель авторегрессии первого порядка  :

      Как и в модели с распределенным лагом  , коэффициент в модели характеризует краткосрочное изменение под воздействием изменения на одну единицу, т. е. является краткосрочным мультипликатором. Однако промежуточные и долгосрочный мультипликаторы в этом случае определяются иначе.

      К моменту времени  при изменении на одну единицу , как следует из уравнения , изменится на

,

т. е. промежуточный мультипликатор в момент равен . Аналогично изменение в момент составит

,

т. е. промежуточный мультипликатор для момента равен . Таким образом, долгосрочный мультипликатор для рассматриваемой модели равен

Пример. Интерпретация модели авторегрессии.

      По  данным о динамике показателей потребления  и дохода в регионе получена модель авторегрессии, описывающая зависимость среднедушевого объема потребления за год (млн. руб.) от среднедушевого совокупного годового дохода (млн. руб.)

      Краткосрочный мультипликатор равен 0,85, т. е. увеличение среднедушевого совокупного дохода на 1 млн. руб. приводит к росту объема потребления в том же году на 850 тыс. руб.

      Долгосрочный  мультипликатор , т. е. в долгосрочной перспективе рост среднедушевого совокупного дохода на 1 млн. руб. приведет в росту объема потребления в среднем на 944 тыс. руб.

      Промежуточный мультипликатор для момента  равен , т. е. через год объем потребления в среднем увеличится на 935 тыс. руб. 

h-критерий Дарбина для определения автокорреляции остатков

в моделях авторегрессии

      h-критерий Дарбина позволяет проверить остатки на наличие в них автокорреляции первого порядка:

      h-статистика Дарбина вычисляется по формуле:

, где

n – число наблюдений в выборке данных;

d – обычная статистика Дарбина-Уотсона ( );

 - оценка дисперсии коэффициента при лаговой зависимой переменной в модели .

      При больших n статистика h имеет стандартное нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Гипотеза об отсутствии автокорреляции остатков отвергается при в пользу гипотезы наличия положительной автокорреляции.

      Рассмотрим  теперь частные случаи авторегрессионной  модели с лагированными переменными :

 

Модель  частичной корректировки (приспособления)

      Предполагается, что существует желаемое (ожидаемое) значение зависимой переменной , определяемое уравнением:

,

- белый шум с нулевым математическим ожиданием и известной дисперсией).

      Предполагается  также, что фактическое приращение зависимой переменной пропорционально разности между её желаемым уровнем и прошлым значением :

,

т. е. фактическое изменение y составляет долю от ожидаемого. Коэффициент называется корректирующим коэффициентом .

Из  следует, что:

,

т. е. есть взвешенная сумма желаемого значения и прошлого .

      Соотношение совместно с называется моделью частичной корректировки.

      Чем больше , тем быстрее происходит процесс корректировки. При , т. е. приспособление происходит за один период. При приспособление отсутствует.

      Модель  , описывает, например, размер запасов в зависимости от уровня продаж . Согласно размер запасов равен взвешенному среднему оптимального размера запасов и размера запасов в предыдущем периоде.

      Подставив в , получаем уравнение вида :

      Это уравнение называют краткосрочной функцией модели частичной корректировки, а уравнение – долгосрочной функцией модели частичной корректировки.

      Поскольку ошибки не коррелированы, МНК позволяет получить состоятельные оценки параметров вышеуказанного уравнения , , , а затем от модели вернуться к модели . 

Пример. Модель частичного приспособления.

      На  основе поквартальных данных за 1950-60 гг. по Великобритании получено уравнение регрессии, характеризующее спрос на труд:

,

где ;