Электростатическое поле,его напряженность и потенциал

    Электростатическое  поле,его напряженность  и потенциал.

    Электростатическое, то есть не меняющееся во времени, поле создается неподвижными в данной системе координат электрическими зарядами и описывается двумя  основными характеристиками.

    Силовой характеристикой поля является напряженность  электрического поля (векторная величина), а энергетической характеристикой является потенциал поля j (скалярная величина).

    Напряженность электрического поля в некоторой  точке - это отношение силы , действующей со стороны электрического поля на точечный заряд q, помещенный в эту точку, к величине этого заряда:

     = /q .

    Потенциал электрического поля в некоторой  точке равен отношению потенциальной  энергии W положительного точечного заряда q, помещенного в эту точку, к величине заряда:

    j = W / q.

    Потенциал электрического поля  j измеряется работой, которую совершают силы поля, перемещая единичный положительный заряд из данной точки в бесконечность (или другую точку, потенциал которой условно принят равным нулю). В этом определении j  раскрыт физический смысл величины W.

    Единица измерения напряженности  В/м, а  потенциала  В.

    Напряженность и потенциал j не являются независимыми характеристиками электрического поля. Они связаны друг с другом соотношением

     .                                                                                                      (1)

    Здесь dj - приращение потенциала между двумя точками, расположенными на расстоянии dl друг от друга, E_l - проекция вектора напряженности электрического поля на направление отрезка dl.

    Если  направление вектора  известно, то, выбирая dl вдоль этого направления, получаем формулу для определения величины :

     .                                                                                                        (2)

    Если  направление вектора  неизвестно, то для расчета вектора применяется формула

     = - grad j ,

    Напряженность поля равна градиенту потенциала , взятому со знаком "минус". Градиент показывает направление, в котором потенциал растет наиболее быстро, и скорость этого роста.  
 
 
 

Закон кулона.Напряженность  и потенциал полей.Силовые  линии напряженности.

Зако́н Куло́на — это закон о взаимодействии точечных электрических зарядов.

Был открыт Кулоном в 1785 г. Проведя большое количество опытов с металлическими шариками, Шарль Кулон дал такую формулировку закона:

Сила взаимодействия двух точечных неподвижных заряженных тел в вакууме направлена вдоль  прямой, соединяющей заряды, прямо  пропорциональна произведению модулей  зарядов и обратно пропорциональна  квадрату расстояния между ними.

Важно отметить, что для того, чтобы закон был  верен, необходимы:

1. точечность зарядов — то есть расстояние между заряженными телами много больше их размеров.
2. их неподвижность. Иначе уже надо учитывать дополнительные эффекты: возникающее магнитное поле движущегося заряда и соответствующую ему дополнительную силу Лоренца, действующую на другой движущийся заряд.
3. взаимодействие в вакууме.

Однако, с некоторыми корректировками закон справедлив также для взаимодействий зарядов  в среде и для движущихся зарядов.

В векторном  виде в формулировке Ш.Кулона закон  записывается следующим образом:

где  — сила, с которой заряд 1 действует на заряд 2; q₁,q₂ — величина зарядов;  — радиус-вектор (вектор, направленный от заряда 1 к заряду 2, и равный, по модулю, расстоянию между зарядами — r₁₂); k — коэффициент пропорциональности. Таким образом, закон указывает, что одноименные заряды отталкиваются (а разноименные – притягиваются). Коэффициент k

В СИ k ≈ 8,987551787·10⁹ Н·м²/Кл² (или Ф^-1·м) и записывается следующим образом:

где  ≈ 8.854187817·10⁻¹² Ф/м — электрическая постоянная.

В однородном изотропном веществе в знаменатель формулы добавляется диэлектрическая проницаемость среды ε.

      В системе СИ        

Величина e₀ называется электрической постоянной; она относится к числу фундаментальных физических постоянных и равна

         (78.3)

где фарад (Ф) — единица электрической емкости (см. § 93). Тогда

Как следует  из формул и напряженность поля точечного заряда в вакууме

                                                     (79.2)

Направление вектора Е совпадает с направлением силы, действующей на положительный заряд. Если поле создается положительным зарядом, то вектор Е направлен вдоль радиуса-вектора от заряда во внешнее пространство (отталкивание пробного положительного заряда); если поле создается отрицательным зарядом, то вектор Е направлен к заряду.

Если  поле создается системой n точечных зарядов Q₁, Q₂, ..., Q_n, то работа электростатических сил, совершаемая над зарядом Q₀, равна алгебраической сумме работ сил, обусловленных каждым из зарядов в отдельности. Поэтому потенциальная энергия U заряда Q₀, находящегося в этом поле, равна сумме потенциальных энергий U_i, каждого из зарядов:

        (84.3)

Из формул и (84.3) вытекает, что отношение U/Q₀ не зависит от Q₀ и является поэтому энергетической характеристикой электростатического поля, называемой потенциалом:

         (84.4)

Потенциал j в какой-либо точке электростатического поля есть физическая величина, определяемая потенциальной энергией единичного положительного заряда, помещенного в эту точку.

Из формул (84.4) и    следует, что потенциал поля, создаваемого точечным зарядом Q, равен

    Графически  электростатическое поле изображают с  помощью линий напряженности — линий, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора Е (рис. 119). Линиям напряженности приписывается направление, совпадающее с направлением вектора напряженности. Так как в каждой данной точке пространства вектор напряженности имеет лишь одно направление, то линии напряженности никогда не пересекаются. Для однородного поля (когда вектор напряженности в любой точке постоянен по величине и направлению) линии напряженности параллельны вектору напряженности. Если поле создается точечным зарядом, то линии напряженности — радиальные прямые, выходящие из заряда, если он положителен (рис. 120, а), и входящие в него, если заряд отрицателен (рис. 120, б). Вследствие большой наглядности графический способ представления электростатического поля широко применяется в электротехнике. 
 
 
 
 
 

Принцип суперпозиции полей  и его применение.Дифференциальный и интегральный методы.Расчеты  физических величин. 

      Если поле образовано системой  зарядов, то определение напряженности  проводится в соответствии с  принципом суперпозиции полей:  напряженность поля системы зарядов  определяется как геометрическая  сумма напряженностей, создаваемых  каждым зарядом в отдельности  в рассматриваемой точке поля, то есть поле системы зарядов  рассматривается как результат  сложения независящих друг от  друга полей отдельных зарядов:  или .

    В качестве примера использования  принципа суперпозиции рассматривается  поле диполя. Диполем называется система двух равных зарядов противоположного знака, находящихся друг от друга на расстоянии l, малом по сравнению с расстоянием до точки, в которой определяется напряженность поля. Линию, соединяющую заряды, называют осью диполя. Диполь характеризуется дипольным моментом. Дипольным моментом (p_e) называют вектор, направленный вдоль оси диполя от отрицательного заряда к положительному. Модуль дипольного момента равен произведению значения положительного заряда на расстояние между зарядами: Р = q l).

       Определим напряженность поля  в точке А, лежащей на перпендикуляре  к оси диполя, восставленном из  середины отрезка, соединяющего  заряды (плеча диполя). Треугольник  AEE подобен треугольнику Aq₊q_- , следовательно, . Учитывая, что r₊ = r_- » r, получаем (по модулю E₊ = E_--)  

E₊ = E_- = , отсюда E = E₊ = , то есть 

 E = = . 

Напряженность поля, точечного заряда обратно пропорциональна  квадрату расстояния, а напряженность  поля диполя – обратно пропорциональна  кубу расстояния от диполя до исследуемой  точки. Поэтому в некоторых случаях, там где нельзя пренебречь полем  точечного заряда, можно пренебречь полем диполя.  
 

Поток вектора напряженности.

Теорема Остроградского - гаусса.

Экспериментально  установленные закон Кулона и  принцип суперпозиции позволяют  полностью описать электростатическое поле заданной системы зарядов в  вакууме. Однако, свойства электростатического  поля можно выразить в другой, более  общей форме, не прибегая к представлению  о кулоновском поле точечного  заряда.

Введем новую физическую величину, характеризующую электрическое  поле – поток Φ вектора напряженности электрического поля. Понятие потока вектора аналогично понятию потока вектора скорости при течении несжимаемой жидкости. Пусть в пространстве, где создано электрическое поле, расположена некоторая достаточно малая площадка ΔS. Произведение модуля вектора на площадь ΔS и на косинус угла α между вектором и нормалью к площадке называется элементарным потоком вектора напряженности через площадку ΔS (рис. 1.3.1):

Теорема Гаусса утверждает:

Поток вектора напряженности  электростатического  поля через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, расположенных внутри этой поверхности, деленной на электрическую постоянную ε₀.

Для доказательства рассмотрим сначала сферическую поверхность  S, в центре которой находится точечный заряд q. Электрическое поле в любой точке сферы перпендикулярно к ее поверхности и равно по модулю

где R – радиус сферы. Поток Φ через сферическую поверхность будет равен произведению E на площадь сферы 4πR². Следовательно,

Теорема Гаусса является следствием закона Кулона и принципа суперпозиции. Но если принять утверждение, содержащееся в этой теореме, за первоначальную аксиому, то ее следствием окажется закон  Кулона. Поэтому теорему Гаусса иногда называют альтернативной формулировкой  закона Кулона.

Используя теорему  Гаусса, можно в ряде случаев легко  вычислить напряженность электрического поля вокруг заряженного тела, если заданное распределение зарядов  обладает какой-либо симметрией и общую  структуру поля можно заранее  угадать.

Теорема Остроградского — Гаусса — утверждение интегрального исчисления функций многих переменных, устанавливающее связь между n-кратным интегралом по области и (n − 1)-кратным интегралом по её границе. Пусть V = (v₁,v₂,...,v_n) есть векторное поле на , такое что функции v_i вместе со своими частными производными интегрируемы по Лебегу в ограниченной области Ω, граница которой является объединением конечного множества кусочно гладких (n − 1)-мерных гиперповерхностей, ориентированных с помощью внешней единичной нормали ν.

Тогда формула  Остроградского имеет вид

где

есть дивергенция поля V. 

Формула Остроградского — Гаусса в векторной форме имеет вид

,

то есть интеграл от дивергенции векторного поля , распространённый по некоторому объёму T, равен потоку вектора через поверхность S, ограничивающую данный объём.

Формула применяется  для преобразования объёмного интеграла  в интеграл по поверхности, ограничивающей данный объём, то есть замкнутых, таких  как поверхность воздушного шарика, и не применима к поверхностям, таким как воздушный шар с подогревом.

В работе Остроградского формула записана в следующем  виде,

,

где ω и s дифференциалы объёма и поверхности. В современной записи ω = dΩ — элемент объема, s = dS — элемент поверхности.  — функции, непрерывные вместе со своими частными производными первого порядка в замкнутой области пространства, ограниченного замкнутой гладкой поверхностью 

Работа  при перемещение  электрического заряда в электрическом  поле.Теорема о  циркуляции вектора  напряженности электрического поля в интегральной форме.

 Работа, совершаемая селами электростатического  поля при перемещении заряда  Q₀ из точки 1 в точку 2 (см. (84.1), (84.4), (84.5)), может быть представлена как

        (84.6)

т. е. равна  произведению перемещаемого заряда на разность потенциалов в начальной  и конечной точках. Разность потенциалов двух точек 1 и 2 в электростатическом поле определяется работой, совершаемой силами поля, при перемещении единичного положительного заряда из точки 1 в точку 2.

Работа  сил поля при перемещении заряда Q₀ из точки 1 в точку 2 может быть записана также в виде

     (84.7)

Приравняв (84.6) и (84.7), придем к выражению для  разности потенциалов:

         (84.8)

где интегрирование можно производить вдоль любой  линии, соединяющей начальную и  конечную точки, так как работа сил  электростатического поля не зависит  от траектории перемещения.

Если  перемещать заряд Q₀ из произвольной точки за пределы поля, т. е. в бесконечность, где, по условию, потенциал равен нулю, то работа сил электростатического поля, согласно (84.6), A_¥=Q₀j, откуда

Если  в электростатическом поле точечного  заряда Q из точки 1 в точку 2 вдоль произвольной траектории (рис. 132) перемещается другой точечный заряд Q₀, то сила, приложенная к заряду, совершает работу. Работа силы F на элементарном перемещении dl равна

Так как  d/cosa=dr, то

Работа  при перемещении заряда Q₀ из точки 1 в точку 2

       (83.1)

не зависит  от траектории перемещения, а определяется только положениями начальной  1 и конечной 2 точек. Следовательно, электростатическое поле точечного заряда является потенциальным, а электростатические силы — консервативными (см. § 12).

Из формулы (83.1) следует, что работа, совершаемая  при перемещении электрического заряда во внешнем электростатическом поле по любому замкнутому пути L, равна нулю, т.е.

         (83.2)

Если  в качестве заряда, переносимого в  электростатическом поле, взять единичный  точечный положительный заряд, то элементарная работа сил поля на пути dl равна Е dl = E_l dl, где E_l = Ecosa — проекция вектора Е на направление элементарного перемещения. Тогда формулу (83.2) можно записать в виде

          (83.3)

Интеграл  называется циркуляцией вектора напряженности. Следовательно, циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль любого замкнутого контура равна нулю. Силовое поле, обладающее свойством (83.3), называется потенциальным. Из обращения в нуль циркуляции вектора Е следует, что линии напряженности электростатического поля не могут быть замкнутыми, они начинаются и кончаются на зарядах (соответственно на положительных или отрицательных) или же уходят в бесконечность.

Формула (83.3) справедлива только для электростатического  поля. В дальнейшем будет показано, что для поля движущихся зарядов  условие (83.3) не выполняется (для него циркуляция вектора напряженности  отлична от нуля). 

Электростатическое  поле.Диэлектрики  в электрическом  поле.типы диэлектриков.

Диэлектрик, внесенный в электрическое поле, так же как и проводник, электризуется  через влияние. Однако между электризацией  проводника и диэлектрика имеется  существенная разница. Если в проводнике под влиянием сил электрического поля свободные электроны передвигаются  по всему объему проводника, то в  диэлектрике свободного перемещения  электрических зарядов произойти  не может. Но в пределах одной молекулы диэлектрика возникает смещение положительного заряда вдоль направления  электрического поля и отрицательного заряда в обратном направлении. В  результате влияния заряженного  тела на поверхности диэлектрика  возникнут электрические заряды. Это явление называется поляризацией диэлектрика.

Различают диэлектрики двух классов. У диэлектриков первого класса молекула в нейтральном  состоянии имеет положительный  и отрицательный заряды, настолько  близко расположенные один к другому, что действие их взаимно компенсируется. Под влиянием электрического поля положительные  и отрицательные заряды в пределах молекулы несколько смещаются один относительно другого, образуя диполь. 
 
У диэлектриков второго класса молекулы и в отсутствие электрического поля образуют диполи. Такие диэлектрики называются полярными. К ним относятся вода, аммиак, эфир, ацетон и т. д. У таких диэлектриков при отсутствии электрического поля диполи в пространстве расположены хаотически и вследствие этого результирующее электрическое поле вокруг полярного диэлектрика равно нулю. Под действием внешнего электрического поля молекулы (а стало быть и диполи) стремятся повернуться так, чтобы их оси совпали с направлением внешнего поля. 
 
В отличие от индуцированных зарядов на проводнике поляризационные заряды диэлектрика нельзя отделить один от другого. С устранением электрического поля поляризация диэлектрика исчезает. Таким образом, поляризация представляет собой упругое смещение электрических зарядов в веществе диэлектрика. При некоторой определенной величине напряженности электрического поля смещение зарядов достигает предельной величины, после чего происходит разрушение — пробой диэлектрика, в результате которого диэлектрик теряет свои изолирующие свойства и становится токопроводящим. Необходимость правильного выбора величины напряженности электрического поля в диэлектрике привела к созданию теории электрической прочности, имеющей важное значение для современной техники высоких напряжений. 

Электрический ток.Сила и плотность  тока.Закон Ома.

Электрическим током (ЭТ) называют направленное движение электрических зарядов. Различают  электрический ток проводимости, связанный с упорядоченного движения свободных электрических зарядов внутри проводников (в зависимости от типа проводников это могут быть электроны или ионы), и конвекционный ток, механическое движение заряженных макроскопических микроскопических тел (например, заряженных капель дождя). Направлением тока условно принято считать направление движе-

ния положительных  зарядов. Два условия, необходимые  для возникновения и существования  ЭТ:1. наличие свободных электрических  зарядов;

2. наличие электрического  поля, которой вызывает и поддерживает  их упорядоченное движение.

Так, если на концах проводника поддерживается постоянная разность потенциалов, то внутри проводника возникает постоянное электрическое  по-

ле. Сила, действующая со стороны эл. поля на электроны проводимости, создает и поддерживает постоянный ЭТ.Выдающуюся роль в создании законов постоянного ЭТ сыграл немецкий

физик Георг  Симон Ом (1787 1854). 
 

Для количественной характеристики электрического тока в физике используют две величины: плотность тока и силу тока.

Плотностью электрического тока называют векторную физическую величину, модуль которой равен количеству заряда, переносимого через единичную площадь поперечного сечения проводника за единицу времени

(44)

где n обозначает концентрацию свободных носителей заряда, а где       скорость их упорядоченного движения.

Эта формула действительно  определяет заряд, пересекающий единичную  площадку сечения проводника за одну секунду. На рис. 11 видно, что

через единичную площадку S, ориентированную перпендикулярно скорости     зарядов, проходят только те заряды, которые в начале этого промежут-

ка времени ∆t = 1 с находятся внутри цилиндра с основанием площадью S и высотой |vд|∆t.

Количество заряда, перенесенное через поперечное сечение  проводника за единицу времени называют силой тока. Плотность ЭТ является дифференциальной характеристикой ЭТ проводимости, указывая направление и силу ЭТ в различных точках поперечного сечения проводника, или другими словами распределение тока по его сечению. При равномерном распределении плотности ЭТ по сечению проводника сила (случай постоянного

электрического  тока в однородном цилиндрическом) сила и плотность токасвязаны соотношением

(45) I = |j|nS,

где jn= |j| cos θ проекция вектора плотности тока на направление перпендикуляра к поверхности сечения проводника, S площадь этого сечения.

Если плотность тока j не постоянна по сечению проводника, то сечениенеобходимо мысленно разбить на малые участки dS, в пределах которых плотность тока можно считать постоянной. Полная сила тока получается

суммированием сил  тока jndS через малые участки.

Для силы тока справедливо следующее соотношение равная отношению