Элементы линейной и векторной алгебры

Костанайский экономический колледж Казпотребсоюза

 

 

 

Специальность № 0516053

 

 

 

Реферат

По предмету «Математика для экономистов»

Тема: «Элементы линейной и векторной алгебры».

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                             Выполнила учащаяся 3 курса

группы .

                                                                           Проверила: .

 

 

 

 

 

Костанай, 2014г.

 Содержание.

1. Введение.

2. Матрицы и действия над ними

• 2.1. Основные понятия
• 2.2. Действия над матрицами 
  −   2.2.1. Умножение матрицы на число 
  −   2.2.2. Сложение и вычитание матриц 
  −   2.2.3. Умножение матрицы на матрицу
• 2.3. Определители квадратных матриц и их свойства 
  −   2.3.1. Определители первого, второго и третьего порядков 
  −   2.3.2. Свойства определителей
• 2.4. Ранг матрицы
• 2.5. Обратная матрица

3. Системы линейных алгебраических уравнений

• 3.1. Общие сведения о системах линейных уравнений
• 3.2. Методы решения систем линейных уравнений 
  −   3.2.1. Матричный метод 
  −   3.2.2. Метод Гаусса

4. Элементы векторной алгебры

• 4.1. Основные понятия и определения
• 4.2. Трехмерное пространство
• 4.3. Произведение вектора на скаляр
• 4.4. Сложение и вычитание векторов
• 4.5. Скалярное произведение векторов 
  −   4.5.1. Свойства скалярного произведения 
  −   4.5.2. Скалярное произведение векторов, заданных своими проекциями в декартовой системе координат
• 4.6. Векторное произведение векторов 
  −   4.6.1. Свойства векторного произведения 
  −   4.6.2. Векторное произведение векторов, заданных своими проекциями в декартовой системе координат
• 4.7. Смешанное произведение векторов

5. Заключение.

6. Список литературы.

 

Введение.

 Алгебра - раздел математики, который можно охарактеризовать  как обобщение и расширение  арифметики. Слово «алгебра» также  употребляется в названиях различных  алгебраических систем. В более  широком смысле под алгеброй  понимают раздел математики, посвящённый  изучению операций над элементами  множества произвольной природы, обобщающий обычные операции  сложения и умножения чисел. Методы  алгебры являются основополагающими  в научной структуре знаний. Научные  знания представляют собой сложную  развивающуюся систему, в которой  по мере эволюции возникают  всё новые уровни организации. Они оказывают обратное воздействие  на ранее сложившиеся уровни  знания и трансформируют их. В  этом процессе постоянно возникают  новые приёмы и способы теоретического  исследования, меняется стратегия  научного поиска. . Научные дисциплины возникают и развиваются неравномерно. В них формируются различные типы знаний, причем некоторые из наук уже прошли достаточно длительный путь теоретизации и сформировали образцы развитых и математизированных теорий, а другие только вступают на этот путь.

В первой главе рассматривается, пожалуй, наиболее интересный и распространённый объект современных научных исследований – матрица.  Мы рассмотрим все действия с матрицами. Узнаем определители первого, второго и третьего порядков, и их свойства.

 Во второй главе  рассмотрим решение систем линейных уравнений матричным методом и методом Гаусса.

В третьей главе объектом исследования выступают векторы – основа языка любого современного образованного человека. Пример выполнения и методика изложения решения для каждой из групп заданий рассмотрены в самом реферате, как соответствующие примеры, демонстрирующие теоретические положения.

 

 

 

 

 

 

 

1.1. Основные понятия

Прямоугольной матрицей размерностью n на m называется прямоугольная таблица, состоящая из n строк и m столбцов.

Величины, из которых состоит эта таблица, называются элементами матрицы и обозначаются той же буквой, только строчной, что и матрица, с указанием номера строки (первый индекс) и номера столбца (второй индекс).

Если число строк равно числу столбцов, то матрицу называют квадратной порядка, равного числу строк (столбцов).

Например,   - квадратная матрица третьего порядка.

Элементы квадратной матрицы, имеющие одинаковые первый и второй индекс (b11 b22b33), образуют главную диагональ. Элементы b11 b22 b33 этой матрицы образуют побочную диагональ. Квадратная матрица, независимо от ее порядка, называется единичной матрицей, если элементы ее главной диагонали равны единице, а все остальные элементы равны нулю. Такую матрицу обозначают Е.

Если матрица состоит только из одной строки (столбца), то она называется матрицей-строкой (матрицей-столбцом).

Как и у чисел, у матриц существует матрица, выполняющая роль нуля, - нулевая матрица. Это матрица, все элементы которой равны нулю.

Две матрицы считаются равными, если размеры матриц (число строк и столбцов) одинаковы и равны элементы, лежащие на пересечении соответствующих строк и столбцов.

1.2.1. Умножение матрицы на число

В результате умножения матрицы на число получается матрица такой же размерности, что и исходная, каждый элемент которой является результатом произведения соответствующего элемента исходной матрицы на число.

Пример. 

Мы получим одинаковый результат, умножая число на матрицу, или матрицу на число.

Из определения следует, что общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.

1.2.2. Сложение и вычитание матриц

Складывать и вычитать можно только матрицы одинаковой размерности.

Суммой (разностью) двух матриц называется матрица той же размерности, что и исходные, каждый элемент которой определяется как сумма (разность) соответствующих элементов матриц.

Пример. 

Очевидно, результат сложения не изменится, если слагаемые матрицы поменять местами.

Если к матрице прибавить или от нее отнять нулевую матрицу той же размерности, то получим исходную матрицу.

1.2.3. Умножение матрицы на матрицу

Умножать друг на друга можно только те матрицы, для которых число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго сомножителя. Результатом умножения является матрица, у которой число строк равно числу строк первого сомножителя, а число столбцов совпадает с числом столбцов второго сомножителя.

Пример. 

Иными словами, перемножать можно те матрицы, у которых совпадают средние индексы. Крайние индексы определяют размерность получаемого результата

Элемент ci,j матрицы – ответа принадлежащий i-ой строке и j-му столбцу, вычисляется как произведение i-ой строки первого сомножителя An,m на j-ый столбец второго сомножителя Bm,k. Так, например, при вычислении элемента умножается первая строка на третий столбец, а при вычислении элемента умножается третья строка на первый столбец.

Можно перемножать только те строки и столбцы, у которых одинаковое число элементов (смотри условие возможности умножения матриц). В результате получается число, равное сумме произведений соответствующих элементов (первый элемент строки на первый элемент столбца плюс второй элемент строки на второй элемент столбца и т. д. и, наконец, плюс произведение последних элементов).

Рассмотрим умножение матриц на примере :

где

Пример. 

Отметим основные свойства операции произведения матриц.

1) В общем случае  . Если   то матрицы А и В называются перестановочными по отношению друг к другу.

 

2) 

3) 

4) При умножении любой  квадратной матрицы на единичную первоначальная матрица не меняется 

Рекомендуем проверить справедливость свойств на примере конкретных матриц.

1.3. Определители квадратных матриц  и их свойства

Важнейшей числовой характеристикой квадратной матрицы является определитель, который для матрицы An,n обозначается следующим образом:

Размерность матрицы, для которой ищется определитель, задает его порядок.

Если квадратная матрица имеет определитель, отличный от нуля (Δ ≠ 0), то говорят, что матрица невырожденная, в противном случае - матрица вырожденная или особая.

Оказывается, что определитель равен сумме произведений элементов любой строки или любого столбца на соответствующие этим элементам алгебраические дополнения.

Алгебраическое дополнение элемента aij задается выражением

Т. е., минор Mij элемента aij берется со своим знаком, если сумма его индексов четна, и с обратным, если сумма нечетна.

Минором элемента определителя aij n-го порядка называется определитель порядка (n-1), полученный из данного определителя вычеркиванием строки и столбца, в которых находится этот элемент (i-ой строки и j-го столбца).

1.3.1. Определители первого, второго  и третьего порядков

Определитель первого порядка равен тому единственному элементу, из которого состоит соответствующая матрица.

Определитель второго порядка вычислим, например, по элементам первой строки

Запишем разложение данного определителя по элементам второй строки

Полученный результат совпадает с результатом вычисления определителя по первой строке. Этот же результат получится и при разложении по любому из столбцов. Рекомендуем это проверить самостоятельно.

Из сказанного можно заключить, что определитель второго порядка равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали, минус произведение элементов, стоящих на побочной диагонали.

Пример. . 

Найдем определитель третьего порядка, раскладывая его по элементам, например, третьего столбца

 

 

 

Пример.

Таким образом, вычисление определителя третьего порядка сводится к вычислению определителей второго порядка.

Получается, что определитель n - го порядка мы найдем через определители (n -1) - го порядка.

1.3.2. Свойства определителей

Перечисленные ниже свойства рекомендуется использовать при вычислении определителей.

1.Общий множитель любой строки (столбца) можно выносить за знак определителя.  
2. Если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число, то величина определителя не изменится.  
3. Если в определителе есть нулевая строка (столбец), то определитель равен нулю.  
4. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный.  
5. Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю

1.4. Ранг матрицы

Рассмотрим прямоугольную матрицу

Выделим в этой матрице k произвольных строк и k произвольных столбцов (k≤n, k≤m). Определитель k-го порядка, составленный из элементов матрицы А, расположенных на пересечении выделенных строк и столбцов, называется минором k-го порядка матрицы. Так, у матрицы с тремя строками и пятью столбцами возможны миноры первого, второго и третьего порядка.

Рангом матрицы А (обозначается r(A)) называется наибольший порядок минора этой матрицы, отличного от нуля. Если все элементы матрицы равны нулю, то ранг такой матрицы принимают равным нулю.

Всякий отличный от нуля минор матрицы, порядок которого равен рангу этой матрицы, называется базисным минором матрицы.

Ранг матрицы не изменится от следующих преобразований, называемых элементарными преобразованиями матрицы  
: - замены строк столбцами, а столбцов соответствующими строками; - перестановки строк матрицы; - вычеркивания строки, все элементы которой равны нулю; - умножения строки на число, отличное от нуля; - прибавления к элементам строки соответствующих элементов другой строки, умноженной на одно и то же число.

Подчеркнем, что сама матрица при элементарных преобразованиях меняется, но ранг матрицы не изменится.

Пример 1. Определить ранг матрицы 

Решение

Все миноры второго и третьего порядков данной матрицы равны нулю, т.к. элементы строк этих миноров пропорциональны. Миноры первого порядка (сами элементы матрицы) отличны от нуля. Следовательно, ранг матрицы равен единице.

Пример 2. Определить ранг матрицы 

Решение

Вычеркнув из этой матрицы вторую строку и выбрав первый и четвертый столбцы, получим минор

Ранг матрицы равен 2.

1.5. Обратная матрица

Пусть имеем матрицу А.

Матрицей, обратной матрице А, называется матрица A-1 такая, что A-1A = A A-1 = E.

Обратная матрица может существовать только для квадратной матрицы. Причем сама является той же размерности, что и исходная матрица.

Можно показать, что для того, чтобы квадратная матрица имела обратную, она должна быть невырожденной (т.е. Δ ≠0 ). Это условие является и достаточным для существования A-1матрице А. Итак, всякая невырожденная матрица имеет обратную, и, притом, единственную.

Сформулируем правило нахождения обратной матрицы на примере матрицы А.  
1. Находим определитель матрицы. Если Δ ≠0, то матрица A-1 существует.  
2. Составим матрицу В алгебраических дополнений элементов исходной матрицы А. Т.е. в матрице В элементом i - ой строки и j - го столбца будет алгебраическое дополнение Aij (см. 1.3.) элемента aij исходной матрицы.  
3. Транспонируем матрицу В и получим BT. 

Транспонировать матрицу - это значит поменять строки и столбцы местами (первый столбец с первой строкой, второй столбец со второй строкой и т. д.).  
4. Найдем обратную матрицу

После вычисления обратной матрицы рекомендуется убедиться в том, что выполняется одна из частей условия.

Пример Найдем обратную матрицу для матрицы 

 

 

 

Решение

Вычисления произведем в соответствии с описанной схемой.  
1.   
2.   
3.   
4.   
5.

Обратная матрица найдена верно.

 

2.1. Общие сведения  о системах линейных уравнений

Система линейных уравнений имеет вид

Здесь x1, x2,...xm - неизвестные. Коэффициенты aij и свободные члены Ii- известные числа. Если все свободные члены равны нулю, то систему называют однородной.

Систему линейных уравнений (1), например, для трех уравнений с тремя неизвестными, можно записать так:

Если матрицу коэффициентов обозначить через А, столбец неизвестных через Х, столбец свободных членов через L, то система примет вид

Так может быть представлена любая система (1).

Решением системы называется любой упорядоченный набор чисел, при подстановке которых вместо неизвестных каждое уравнение системы обращается в тождество.

Система линейных уравнений может иметь: - единственное решение (система совместна и определена); - более одного решения (система совместна и неопределенна); - не иметь решений (система несовместна).

Для совместности системы (1) необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы коэффициентов А этой системы был равен рангу ее расширенной матрицы (теорема Кронекера - Капелли). Если к матрице коэффициентов добавить столбец свободных членов, то получится расширенная матрица системы

Итак, система (1) совместна тогда и только тогда, когда   Число r называется рангом системы (1).

Если ранг совместной системы равен числу неизвестных (r =m), то система является определенной (единственное решение).

Если же ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система - неопределенная. В такой системе будет r базисных неизвестных и m-r свободных неизвестных. Придавая свободным неизвестным произвольные значения, можно найти соответствующие значения базисных неизвестных. Следовательно, система (1) в этом случае имеет бесчисленное множество решений.

Система может и не иметь решений (система несовместна) в случае 

Решить систему - значит, найти все ее решения (в случае неопределенной системы - указать правило, по которому можно найти любое ее решение, т.е. дать формулу общего решения) или доказать ее несовместность.

Например, однородная система линейных уравнений всегда совместна и имеет хотя бы одно решение x1 = x2 = ... = xm = 0. Это решение не всегда единственно.

2.2.1. Матричный  метод

Матричным методом могут быть решены только те системы, у которых число уравнений совпадает с числом неизвестных и определитель матрицы коэффициентов отличен от нуля (матрица А невырожденная).

Из этих условий следует, что  и, следовательно, система совместна и определена.

Решение системы можно получить так: 

Используя свойства произведения матриц и свойство обратной матрицы

Т.е., для получения столбца неизвестных нужно обратную матрицу матрицы коэффициентов системы умножить на столбец свободных членов.

Пример Решить систему   матричным методом.

Решение

В соответствии с пунктом 1.5 найдем обратную матрицу для матрицы коэффициентов системы

Вычислим определитель, раскладывая по первой строке:

Поскольку Δ ≠ 0, то A-1 существует.

Обратная матрица найдена верно.

Найдем решение системы 

Следовательно, x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3.

Проверка: 

Система решена верно.

Матричный метод годится для решения любых систем, у которых матрица А квадратная и невырожденная.

2.2.2. Метод Гаусса

Этот метод решения систем линейных уравнений пригоден для решения систем с любым числом уравнений и неизвестных.

Суть метода Гаусса заключается в преобразовании заданной системы уравнений с помощью элементарных преобразований в эквивалентную систему ступенчатого треугольного вида.

Полученная система содержит все неизвестные в первом уравнении. Во втором уравнении отсутствует первое неизвестное, в третьем уравнении отсутствуют первое и второе неизвестные и т. д.

Если система совместна и определена (единственное решение), то последнее уравнение содержит одно неизвестное. Найдя последнее неизвестное, из предыдущего уравнения находим еще одно - предпоследнее. Подставляя полученные величины неизвестных, мы последовательно найдем решение системы.

Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений, используемыми для приведения системы к треугольному виду, являются следующие преобразования:  
- перестановка местами двух уравнений;  
- умножение обеих частей одного из уравнений на любое число, отличное от нуля;  
- прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое число.

Элементарные преобразования переводят данную систему линейных алгебраических уравнений в эквивалентную систему.

Две системы называются эквивалентными, если всякое решение первой системы является решением другой системы и наоборот.

Пример 1. Решить систему  методом Гаусса.

Решение

Определитель системы не равен нулю (см. пример из 2.2.1). Поэтому система совместна и определена (решение единственно). Выполним преобразования.

Первое уравнение оставим без изменения. Для того, чтобы избавиться от первого неизвестного во втором и третьем уравнениях, к ним прибавим первое, умноженное на -2 в первом случае и на -1 - во втором

Теперь избавимся от второго неизвестного в третьем уравнении. Для этого второе уравнение умножим на -2 и прибавим к третьему. Получим эквивалентную заданной систему треугольного вида

Решаем систему снизу вверх. Из третьего уравнения имеем x3= 3 и, подставляя его во второе уравнение, находим x2= 2. Поставив найденные неизвестные в первое уравнение, получим x1= 1. Таким образом, получим решение системы: x1= 1, x2= 2, x3= 3.

Проверка:   Получили три тождества.

Пример 2. Решить систему 

Решение

В ней   для исключения первого неизвестного во второй и третьей строках (уравнениях) умножим первую строку расширенной матрицы на -2 и -3 и сложим полученные результаты со второй и третьей строками соответственно.

Следовательно, мы пришли к эквивалентной системе

Ее третье уравнение получено в результате сложения двух последних уравнений (строк).

Найдя   , мы приходим к выводу, что система несовместна. Об этом же говорит и противоречие в третьем уравнении системы.

Пример 2. Решить систему 

Решение

В ней 

Умножим первую строку расширенной матрицы на 2 и -3, сложим полученные результаты со второй и третьей строками соответственно и получим

Следовательно, мы пришли к эквивалентной системе

которая может быть представлена в виде

поскольку два последних уравнения - истинные равенства.

Поскольку   постольку система совместна, но имеет множество решений. Общее решение системы имеет вид

Множество частных решений системы будет трехмерным, так как зависит от трех параметров. Выбрав t = 2, v = 1, s = -3, получим частное решение системы x1 = - 6, x2 = 2, x3 = 1, x4= -3.

 

3.1. Основные понятия и определения

Направленный отрезок или, что то же самое, упорядоченную пару точек будем называть вектором. Обозначается вектор одной буквой   или  . Векторы характеризуются длиной   и направлением. Мы рассматриваем свободные векторы, т. е. такие, которые без изменения длины и направления могут быть перенесены в любую точку пространства.

Ортом вектора   называется вектор  , который имеет единичную длину и то же направление, что и вектор  .

Векторы, расположенные на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными.

Векторы, лежащие в одной плоскости или параллельные одной плоскости, называются компланарными.

Два вектора считаются равными, если они коллинеарные, одинаково направлены и равны по длине.

Пусть даны два вектора. Параллельным переносом приведем их к общему началу. Наименьший угол, на который надо повернуть один вектор до совпадения с другим, называется углом между векторами.

Рис.1

 

 

3.2. Трехмерное пространство

Три вектора ,  , называются линейно-независимыми, если они не лежат в одной плоскости.

Базисом в трехмерном пространстве R3 называется упорядоченная тройка любых линейно-независимых векторов.

Если   - базис в R3, то любой другой вектор, например  , единственным образом разлагается по этому базису

где числа da, db, dc находятся единственным образом и называются координатами вектора   в базисе 

Базис   называется прямоугольным (ортогональным), если векторы   попарно перпендикулярны. Если они к тому же имеют длину, равную единице, то базис называется ортонормированным.

В пространстве R3 обычно используют прямоугольную декартову систему координат Оxyz, где любая точка М пространства, имеющая координаты х (абсциссу), y (ординату) и z (аппликату), обозначается М(x, y, z).

Свободный вектор, например  , заданный в координатном пространстве Oxyz, может быть представлен в виде

Здесь xd, yd, zd - проекции вектора   на соответствующие оси координат (координаты вектора),  
- орты этих осей.

Пишут 

Длина вектора определяется по формуле

Направление вектора определяется углами α, β, γ, образованными им с осями координат Ox, Oy, Oz. Косинусы этих углов (так называемые направляющие косинусы вектора) вычисляются по формулам:

Координаты вектора будут равны

Подставив эти выражения в формулу вычисления длины вектора, установим, что направляющие косинусы вектора связаны соотношением

 

3.3. Произведение вектора на скаляр

Произведением вектора   на действительное число m называется вектор , который удовлетворяет условиям:

Следовательно, если векторы   и   коллинеарные, то

 

3.4. Сложение и вычитание векторов

 

Суммой двух векторов   и   называется вектор  , направленный из начала вектора  в конец вектора   при условии, что начало  совпадет с концом вектора  . Если векторы заданы их разложениями по базисным ортам, то при сложении векторов складываются их соответствующие координаты.

Рассмотрим это на примере декартовой системы координат. Пусть

Покажем, что

Из рисунка 3 видно, что    
 
 

Сумма любого конечного числа векторов может быть найдена по правилу многоугольника (рис. 4): чтобы построить сумму конечного числа векторов, достаточно совместить начало каждого последующего вектора с концом предыдущего и построить вектор, соединяющий начало первого вектора с концом последнего.