Элементы теории игр в задачах моделирования экономических процессов. 2

Элементы теории игр в задачах моделирования  экономических процессов

Применение теории игр при решении экономических  задач

При решении экономических  задач часто приходится анализировать  ситуации, в которых сталкиваются интересы двух или более конкурирующих  сторон, преследующих различные цели; это особенно характерно в условиях рыночной экономики. Такого рода ситуации называются конфликтными. Математической теорией конфликтных ситуаций является теория игр. В игре могут сталкиваться интересы двух (игра парная) или нескольких (игра множественная) противников; существуют игры с бесконечным множеством игроков. Если во множественной игре игроки образуют коалиции, то игра называется коалиционной, если таких коалиций две, то игра сводится к парной.

На промышленных предприятиях теория игр может применяться  для выбора оптимальных решений, например, при создании рациональных запасов сырья, материалов, полуфабрикатов, когда противоборствуют две тенденции: увеличения запасов, гарантирующих  бесперебойную работу производства, и сокращения запасов в целях  минимизации затрат на их хранение. В сельском хозяйстве теория игр  может применяться при решении  таких экономических задач, как  выбор для посева одной из возможных  культур, урожай которых зависит  от погоды, если известны цена единицы  той или иной культуры и средняя  урожайность каждой культуры в зависимости  от погоды (например, будет ли лето засушливым, нормальным или дождливым); в этом случае одним из игроков выступает  сельскохозяйственное предприятие, стремящееся  обеспечить наибольший доход, а другим — природа.

Решение подобных задач требует  полной определенности в формулировании их условий (правил игры); установления количества игроков, выявления возможных стратегий игроков, возможных выигрышей (проигрыш понимается как отрицательный выигрыш). Важным элементом в условии игровых задач является стратегия, т.е. совокупность правил, которые в зависимости от ситуации в игре определяют однозначный выбор действий данного игрока. Если в процессе игры игрок применяет попеременно несколько стратегий, то такая стратегия называется смешанной, а ее элементы — чистыми стратегиями. Количество стратегий у каждого игрока может быть конечным и бесконечным, в зависимости от этого игры подразделяются на конечные и бесконечные.

 

 

Основные понятия  игровых моделей.

 

Важными являются понятия  оптимальной стратегии, цены игры, среднего выигрыша. Эти понятия находят  отражение в определении решения  игры: стратегии Р* и Q* первого и  второго игрока соответственно называются их оптимальными стратегиями, а число V — ценой игры, если для любых  стратегий Р первого игрока и  любых стратегий Q второго игрока выполняются неравенства

M(P,Q*) <V< M(P*,Q),

где M(P,Q) означает математическое ожидание выигрыша (средней выигрыш) первого игрока, если первым и вторым игроками избраны соответственно стратегии Р и Q.Из неравенств следует, в частности, что V = M(P*,Q*), т.е. цена игры равна математическому ожиданию выигрыша первого игрока, если оба игрока изберут оптимальные для себя стратегии

Одним из основных видов  игр являются матричные игры, которыми называются парные игры с нулевой  суммой (один игрок выигрывает столько, сколько проигрывает другой) при  условии, что каждый игрок имеет  конечное число стратегий. В этом случае парная игра формально задается матрицей А = (a_ij), элементы которой а_ij определяют выигрыш первого игрока (и соответственно проигрыш второго), если первый игрок выберет i-ю стратегию (i = 1,m), а второй —j-ю стратегию j = (1, n). Матрица А называется матрицей игры, или платежной матрицей.

Рассмотрим построение платежной  матрицы на примере.

 Пример 1. На базе торговой фирмы имеется n типов товара ассортиментного минимума. В магазин фирмы должен быть завезен только один из этих типов товара. Если товар типа j (j = 1 ,n) будет пользоваться спросом, то магазин от его реализации получит прибыль Pj. Если же этот товар не будет пользоваться спросом, то издержки на его хранение принесут магазину убыток q_j. Требуется выбрать тип товара, который целесообразно завезти в магазин. В условиях неопределенного покупательского спроса конфликтная ситуация товароснабжения формализуется матричной игрой. Пусть первый игрок — магазин, второй игрок — покупательский спрос. Каждый из игроков имеет по n стратегий. Завоз i-ro товара — i-я стратегия первого игрока, спрос на й товар — j-я стратегия второго игрока. Тогда матрица выигрышей первого игрока имеет вид квадратной матрицы n-го порядка

 

Выбирая стратегию , игрок А должен рассчитывать, что игрок В ответит на неё той стратегией , при которой выигрыш игрока А будет наименьшим.

Пусть − наименьший выигрыш игрока А при выборе им стратегии для всех возможных стратегий игрока В, тогда

     (3.1)

то есть наименьшее число в i-ой строке платёжной матрицы.

Среди всех чисел , выберем наибольшее:

      (3.2)

Следовательно,

     (3.3)

Число называется нижней ценой игры, или максиминным выигрышем (максимином). Это гарантированный выигрыш игрока А при любой стратегии игрока В. Стратегия, соответствующая максимину, называется максиминной стратегией.

Игрок В заинтересован в том, чтобы уменьшить выигрыш игрока А, поэтому он выбирает стратегию , учитывая при этом максимально возможный выигрыш для А. Пусть − наибольший выигрыш игрока А при выборе им всех возможных стратегий, когда игрок В выбирает стратегию , тогда

     (3.4)

Одновременно  является наибольшим проигрышем игрока В при выборе им стратегии , поэтому среди всех чисел выбираем наименьшее, чтобы найти ту стратегию игрока В, при которой его проигрыш будет наименьшим. Это число обозначим , и оно равно

   (3.5)

Число называется верхней ценой игры, или минимаксным выигрышем (минимаксом). Это гарантированный проигрыш игрока В. Гарантированный в том смысле, что средний проигрыш игрока В при многократном повторении игры он не будет больше этого значения. Так же и выигрыш игрока А не превысит верхней цены игры. Стратегия, соответствующая минимаксу, называется минимаксной стратегией.

Принцип, диктующий игрокам  выбор наиболее "осторожных" минимаксной  и максиминной стратегий, называется принципом минимакса.

Этот принцип следует  из того, что в антагонистической  игре каждый игрок стремится достичь  цели, противоположной цели его противника.

 

Существует ряд методов  решения Матричных игр. Если матрица  игры имеет одну из размерностей, равную двум (у одного из игроков имеется  только две стратегии), то решение  игры может быть получено графически. Известно несколько методов приближенного  решения матричной игры, например, метод Брауна.

В качестве примера рассмотрим решение игры, когда матрица игры имеет так называемую седловую точку(Игра, для которой , называется игрой с седловой точкой)

Пример 2 Матрица игры имеет вид

 

Минимальный элемент первой строки (первой стратегии первого  игрока) равен 2, второй — 5, третьей  — 4; максимальное значение из этих величин  равно 5. Максимальный элемент первого  столбца (первой стратегии второго  игрока) равен 10, второго — 10; третьего — 5, четвертого — 14, пятого — 12; минимальное  значение из них равно 5. Следовательно, данная игра имеет седловую точку (2, 3) и задача разрешима в чистых стратегиях. Придерживаясь чисто второй стратегии, первый игрок обеспечивает себе выигрыш, не меньший 5; второй игрок, применяя чистую третью стратегию, проигрывает не более 5. Обе стратегии i = 2 и j =3 являются оптимальными для первого и второго игроков, при этом цена игры V = 5. 

 

 

 

Игровые модели в условиях полной коммерческой неопределенности

В условиях отсутствия достаточно полной информации о действиях противоположной  стороны возникает неопределённость в принятии решения. Так, в задачах, приводящих к игровым, эта неопределённость может быть вызвана разными причинами: отсутствием информации об условиях, в которых происходит действие; неоднозначным  характером развития событий в будущем; невозможностью получения полной информации о рассматриваемых процессах.

Условия, в которых может  происходить действие игры, зависят  не от сознательных действий другого  игрока, а от объективных факторов, которые принято называть "природой". Такие игры называются играми с природой.

С целью уменьшения неблагоприятных  последствий при принятии решения  следует учитывать степень риска  и имеющуюся информацию. Таким  образом, лицо, принимающее решение (статистик), вступает в игровые отношения  с природой. Любую хозяйственную  деятельность человека можно рассматривать  как игру с природой. В широком  смысле под "природой" будем понимать совокупность неопределённых факторов, влияющих на эффективность принимаемых  решений.

Задачей экономиста или статистика является принятие наилучшего управленческого  решения в каждой конкретной ситуации. Качество принимаемого решения зависит  от информированности лица, принимающего решение (ЛПР), о ситуации, в которой  принимается решение. В случае неопределённости ошибки в принятии решения наиболее вероятны. Умение использовать даже неполную информацию для обоснования принимаемых  решений − это задача экономиста, а в решении её помогает математическая теория игры с природой.

От обычной матричной  игры игру с природой отличает безразличие  природы к результату игры и возможность  получения статистиком дополнительной информации о состоянии природы.

Игры с природой дают математическую модель теории принятия решений в  условиях частичной неопределённости. Для её описания используем обозначения  матричных игр. Множество стратегий (со-стояний) природы обозначим В, отдельное состояние её − B_j , j=1,n . Множество стратегий (решений) статистика обозначим А, а его от-дельную стратегию в игре с природой – A_i, i=1,m  .

Человек в играх с природой старается действовать осмотрительно, используя, например, минимаксную стратегию, позволяющую получить наименьший проигрыш.

Природа действует совершенно случайно, возможные стратегии определяются как её состояния; например, условия  погоды в данном районе, спрос на определённую продукцию, объём перевозок, сочетание производственных факторов и т. д. В некоторых задачах  для состояний природы может  быть задано распределение вероятностей, в других − оно неизвестно.

Условия игры с природой задаются платёжной матрицей

 

Элемент a_ij  называется выигрышем статистика А, если он использует стратегию Ai  , когда природа находится в состоянии Bj  . Фактически это может быть значение некоторой функции, характеризующей эффективность принятого статистиком решения.

При решении игры с природой допускается исключение доминируемых стратегий только для стратегий статистика. Стратегии природы исключать нельзя, поскольку она может реализовать состояния, заведомо невыгодные для неё.

Наиболее простой является ситуация, когда известна вероятность  pj каждого состояния природы Bj . При этом, если учтены все возможные состояния, то р1 + р2 + ... + pj + ... +рn = 1 .

При решении игр с природой используется также ряд критериев: критерий Сэвиджа, критерий Вальда, критерий Гурвица и др.

При максиминном критерии Вальда оптимальной считается та стратегия лица, принимающего решение (ЛПР), которая обеспечивает максимум минимального выигрыша; применяя этот критерий, ЛПР в большей степени ориентируется на наихудшие условия (этот критерий иногда называют критерием «крайнего пессимизма»). Максиминный критерий выбирается из условия:                            

 и совпадает с нижней ценой игры. Критерий является пессимистическим, считается, что природа будет действовать наихудшим для человека способом.

Критерий минимаксного риска Сэвиджа предполагает, что оптимальной является та стратегия, при которой величина риска в наихудшем случае минимальна. Суть критерия состоит в выборе такой стратегии, чтобы не допустить чрезмерно высоких потерь, к которым она может привести. Находится матрица рисков, элементы которой показывают, какой убыток понесет человек (фирма), если для каждого состояния природы он не выберет наилучшей стратегии.

Элементы матрицы рисков находятся по формуле

где - максимальный элемент в столбце исходной матрицы. Оптимальная стратегия определяется выражением

Критерий Гурвица. Критерий рекомендует стратегию, определяемую по формуле

,

где - степень оптимизма и изменяется в диапазоне [0, 1].

Критерий придерживается некоторой промежуточной позиции, учитывающей возможность как  наихудшего, так и наилучшего поведения  природы. При = 1 критерий превращается в критерий Вальда, при = 0 - в критерий максимума. На оказывает влияние степень ответственности лица, принимающего решение по выбору стратегии. Чем больше последствия ошибочных решений, больше желания застраховаться, тем ближе к единице.

При принятии решений в  условиях неопределенности следует  оценивать различные варианты с  точки зрения нескольких критериев. Если рекомендации совпадают, можно  с большей уверенностью выбрать  наилучшее решение; если рекомендации противоречат друг другу, окончательное  решение надо принимать с учетом его сильных и слабых сторон.

 

Пример 3. Возможно строительство четырех типов электростанций: А₁ (тепловых), А₂ (приплотинных), А₃ (бесшлюзовых), А₄ (шлюзовых). Состояния природы обозначим через Экономическая эффективность строительства отдельных типов электростанций изменяется в зависимости от состояния природы и задана матрицей

1). Согласно критерию Вальда

 Þ следует строить бесшлюзовую электростанцию.

2). Воспользуемся критерием Сэвиджа. Построим матрицу рисков:

Согласно критерию Сэвиджа определяем

В соответствии с этим критерием  также предлагается строить бесшлюзовую электростанцию.

3). Воспользуемся критерием Гурвица. Положим

т.е. следует принять решение  о строительстве приплотинной электростанции.

4). Если принять известным  распределение вероятностей для  различных состояний природы,  например считать эти состояния равновероятностными

 то для принятия решения следует найти математические ожидания выигрыша:

Так как максимальное значение имеет М₃, то следует строить бесшлюзовую электростанцию.

 

 

Пример 4. Магазин имеет некоторый запас товаров ассортиментного

минимума. Если запас товаров недостаточен, то необходимо завести его с базы; если запас превышает спрос, то магазин несет расходы по хранению нереализованного товара. Пусть спрос на товары лежит в пределах S = 5-8 единиц, расходы по хранению одной единицы товара составляют с = 0,1 руб., а расходы по завозу единицы товара к = 0,2 руб. Определить оптимальную

стратегию магазина по завозу товаров. Составим платежную матрицу. Игроком является магазин, а «природой» — спрос на товары. Элементы платежной матрицы определяют следующим образом. Если магазин имеет 5 единиц товара и спрос равен S = 5, то магазин расходов не несет и элемент

α₁₁= 0.

Если магазин имеет 6 единиц товара, а спрос равен S = 5, то

магазин может продать 5 единиц товара, а одну единицу должен

хранить, неся при этом расходы, которые определяются элементом

α₂₁= —0,1.

Если магазин имеет 5 единиц товара, а спрос равен S = 6, то магазину необходимо завести одну единицу товара, расходуя на это сумму, равную к. Следовательно, элемент α₁₂ = —0,2. Проведя аналогичные рассуждения, можно получить значения всех элементов платежной матрицы:

 

aij	5	6	7	8
5	0	-0,2	—0,4	-0,6
6	-0,1	0	-0,2	-0,4
7	-0,2	-0,1	0	~0,2
8	-о,з	-0,2	-0,1	0

 

Определим оптимальную стратегию  по максиминному критерию Вальда:

W=max min α_ij

      i   j

 

Для этого по каждой строке найдем минимальные значения элементов матрицы α_i=min α_ij.    

j

Так как элементами являются расходы магазина, взятые с противоположным знаком, то, следовательно, минимальный выигрыш будет соответствовать минимальному числу.

Тогда α1= -0,6;  α2= -0,4;α3 = -0,2; α4= -0,3, из которых по

критерию Вальда находим максимальное значение:

W=max α_i=α₃= -0,2.

 

Следовательно, оптимальная стратегия магазина заключается в поставке 7 единиц товара, что позволит ему обеспечить минимум издержек в самой неблагоприятной ситуации.

Определим оптимальную стратегию  по минимаксному критерию

Сэвиджа:

S= min max r_ij

  i       j

 

Матрица рисков строится следующим  образом. По каждой

строке (так как оптимальная стратегия находится для магазина,

т.е. игрока А) находится элемент  с максимальным значением

βj =max α_ij Каждый элемент в i-й строке находится как разность

r_ij=βj- α_ij  . Следовательно, матрица рисков будет выглядеть следующим образом

 

rij	5	6	7	8
5	0	0,2	0,4	0,6
6	0,1	0	0,2	0,4
7	0,2	0,1	0	0,2
8	0,3	0,2	0,1	0

 

Согласно минимаксному критерию находим максимальное

значение риска по каждой строке: 0,6; 0,4; 0,2; 0,3.

 

Минимаксное значение риска  r = 0,2. Следовательно, минимаксная

стратегия магазина заключается в поставке 7 единиц товара, что позволяет ему гарантировать минимальный риск в самой неблагоприятной ситуации.

 

Таким образом, используя  методы и модели принятия решений в условиях неопределенности, можно проводить количественный анализ сложных ситуаций, возникающих в коммерческой практике, учитывать разнообразные социально-экономические факторы, влияющие на деятельность торговых предприятий, и принимать обоснованные, близкие к оптимальным решения по управлению.

 

 

Примеры экономических  задач, сводящихся к игровой модели

Рассмотрим в заключение конкретный числовые примеры решения задачи принятия решения в экономике методами теории игр.

Пример 1. Швейное предприятие, выпускающее детские платья и костюмы, реализует свою продукцию через фирменный магазин. Сбыт продукции зависит от состояния погоды. По данным прошлых наблюдений предприятие в течение апреля — мая в условиях теплой погоды может реализовать 600 костюмов и 1975 платьев, а при прохладной погоде — 1000 костюмов и 625 платьев. Известно, что затраты на единицу продукции в течение указанных месяцев составили для костюмов 27 руб., для платьев 8 руб., а цена реализации равна соответственно 48 руб. и 16 руб. (цифры условные).

Задача заключается в  максимизации средней величины прибыли  от реализации выпущенной продукции  с учетом неопределенности погоды в  рассматриваемые месяцы. Таким образом, служба маркетинга предприятия должна в этих условиях определить оптимальную  стратегию предприятия, обеспечивающую при любой погоде определенный средний доход. Решим эту задачу методами теории игр, игра в этом случае будет относиться к типу игр с природой.

Предприятие располагает  в этих условиях двумя чистыми  стратегиями: стратегия А — в  расчете на теплую погоду и стратегия  Б — в расчете на холодную погоду. Природу будем рассматривать  как второго игрока также с  двумя стратегиями: прохладная погода (стратегия В) и теплая погода (стратегия  Г). Если предприятие выберет стратегию  А, то в случае прохладной погоды (стратегия  природы В) доход составит:

 

600(48 - 27) + 625(16 - 8) - (1975 - 625)8 = 6 800 руб., а в случае теплой погоды (стратегия природы Г) доход  будет равен:

600(48 - 27) + 1 975(16 - 8) = 28 400 руб.

Если предприятие выберет  стратегию Б, то реализация продукции  в условиях прохладной погоды даст доход:

1 000(48 - 27) + 625(16 - 8) = 26 000 руб., а  в условиях теплой погоды

600(48 - 27) + 625(16 - 8) - (1 000 - 600)27 = 6 800 руб.

Следовательно, матрица данной игры (платежная матрица) имеет вид:

 

Первая и вторая строки этой матрицы соответствуют стратегиям А и Б предприятия, а первый и второй столбцы — стратегиям В и Г природы.

По платежной матрице  видно, что первый игрок (предприятие) никогда не получит доход меньше 6800 руб. Но если погодные условия совпадают  с выбранной стратегией, то выручка (выигрыш) составит 26 000 или 28 400 руб. Отсюда можно сделать вывод, что в  условиях неопределенности погоды наибольший гарантированный доход предприятие  обеспечит, если будет попеременно  применять то стратегию А, то стратегию  Б. Такая стратегия называется смешанной. Оптимизация смешанной стратегии позволит первому игроку всегда получать среднее значение выигрыша независимо от стратегии второго игрока.

Пусть х означает частоту  применения первым игроком стратегии  А, тогда частота применения им стратегии  Б равна (1 - х). В случае оптимальной  смешанной стратегии первый игрок (предприятие) получит и при стратегии  В (холодная погода), и при стратегии  Г (теплая погода) второго игрока одинаковый средний доход:

 

6800x + 26 000(1 - х) = 28 400x + 6800(1 - х).

Отсюда можно найти, что  х = 8/17; 1 - х = 9/17.

Следовательно, первый игрок, применяя чистые стратегии А и  Б в соотношении 8:9, будет иметь  оптимальную смешанную стратегию, обеспечивающую ему в любом случае средний доход в сумме 6800∙8/17 + 26000∙9/17 ≈16965 руб.; эта величина и будет в данном случае ценой игры.

Легко рассчитать, какое  количество костюмов и платьев должно выпускать предприятие при оптимальной  стратегии:

(600 костюмов + 1975 платьев)  ∙ 8/17 + (1000 костюмов +625 платьев)∙ 9/17 = 812 костюмов + 1260 платьев.

Следовательно, оптимальная  стратегия предприятия заключается  в выпуске 812 костюмов и 1260 платьев, что обеспечит ему при любой  погоде средний доход в сумме 16 965 руб.

 

 

Рассмотрим еще одну экономическую задачу, сводящуюся к игровой модели.

Пример 2.Предприятие выпускает скоропортящуюся продукцию, которую может сразу отправить потребителю (стратегия А2), отправить на склад для хранения (стратегия A3) или подвергнуть дополнительной обработке (стратегия А3 для длительного хранения.

Потребитель может приобрести продукцию: немедленно (стратегия В1), в течение небольшого времени (В2), после длительного периода времени (В3).

В случае стратегий A2 и А3 предприятие несет дополнительные затраты на хранение и обработку продукции, которые не требуются для A1, однако при A2 следует учесть возможные убытки из-за порчи продукции, если потребитель выберет стратегии B2 или В3.

Определить оптимальные  пропорции продукции для применения стратегий А1, A2, А3, руководствуясь "минимаксным критерием" (гарантированный средний уровень убытка) при матрице затрат, представленной табл.

А	В1	В2	В3
А1	2	5	8
А2	7	6	10
А3	12	10	8

 

Решение. Получаем игру с платежной матрицей

 

 

В этой матрице первую строку можно отбросить как невыгодную (ее элементы меньше соответствующих  элементов второй строки). Матрица  примет вид

 

 

 

 

Элементы первого столбца больше соответствующих элементов второго столбца, поэтому его можно отбросить.

Игра упростилась:

Находим:

P*₂₌ =                                P*₃=

V=+=8

Вывод: оптимальная стратегия производителя продукции

S*_A= (0; ;), т.е. стратегия А₁ не применяется, 1/3 продукции отправляется на склад (стратегия А₂, 2/3 продукции дополнительно обрабатывается (стратегия A₃), при этом цена игры  V=8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

В заключение данной работы можно сделать вывод о необходимости  использования теории игр в современных  экономических условиях.

В последние годы значение теории игр существенно возросло во многих областях экономических и  социальных наук. В экономике она  применима не только для решения  общехозяйственных задач, но и для  анализа стратегических проблем  предприятий, разработок организационных  структур и систем стимулирования.

В условиях альтернативы очень часто нелегко принять решение и выбрать ту или иную стратегию. Исследование операций позволяет с помощью использования соответствующих математических методов принять обоснованное решение о целесообразности той или иной стратегии. Теория игр, имеющая в запасе арсенал методов решения матричных игр, позволяет эффективно решать указанные задачи несколькими методами и из их множества выбрать наиболее эффективные, а также упрощать исходные матрицы игр.