Элементы теории вероятностей. 2

Элементы теории вероятностей

Случайные события и их вероятности

 

Событие. Достоверное событие. Невозможное событие. Случайное событие.

Элементарное событие. Пространство элементарных событий (полная группа событий). Составное событие. Дополнение. Несовместные события. Равновозможные события.

Независимые события. Зависимые события. Правила действий над событиями.

Аксиомы теории вероятностей. Классическое определение вероятности. Статистическое определение вероятности. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Теорема сложения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула апостериорной вероятности (формула Бейеса).

 

1. Основные понятия теории вероятностей.

В теории вероятностей событием А называют всё то, что может произойти, а может и не произойти при осуществлении некоторого комплекса условий G. Событие наступает в результате реализации различных процессов, которые называют опытами (экспериментами).

Примеры событий:

А1 - появление орла при бросании монеты;

А2 - выпадение чётного числа очков при игре в кости;

А3 - выход из строя компьютера после пяти часов работы;

А4 - замерзание воды при сильном морозе;

А5 - после января следует апрель.

Все эти события отличаются в первую очередь тем, что возможность их появления различна. Одно событие (А4) происходит всегда, другое (А5) никогда не наступает, остальные могут произойти или не произойти в результате проведения одного опыта.

Если при реализации условий G событие А всегда происходит, то оно называется достоверным (событие А4). Если же событие при заданных условиях никогда не наступает, то его называют невозможным (событие А5).

Если в результате опыта при реализации определённого комплекса условий данное событие может наступить или не наступить, то оно называется случайным. Условия проведения такого опыта часто называют случайным опытом (экспериментом). Очевидно, что после бросания игральной кости чётное число может выпасть, но оно может и не выпасть. Через пять часов после включения компьютер может быть исправным, но может и выйти из строя.

Элементарными называют события, не разложимые на более простые.

Пусть при данных условиях проводится случайный опыт, в результате которого обязательно наступает одно и только одно из возможных элементарных событий. Множество Q всех элементарных событий wi образует пространство элементарных событий, или полную группу событий. Например, при бросании игральной кости множество элементарных событий Q образует полную группу из шести элементарных событий wi (выпало одно очко, выпало два очка и т. д.):

Q = {w1=1, w2=2, w3=3, w4=4, w5=5, w6=6}.

Наряду с элементарными рассматриваются так называемые составные, или разложимые события. Событие В называется составным, если можно указать, по меньшей мере, два таких элементарных события w1 и w2, что из существования каждого из них в отдельности следует существование события В. Этот факт записывается в виде:

В = {w1, w2}.

Используя введённую ранее терминологию, случайным событием А называют любое подмножество S пространства элементарных событий (S Ì Q). Содержательно это означает, что появление любого из элементарных событий, входящих в S, влечёт за собой появление события А.

Например, при бросании игральной кости составное событие А = {число очков чётное} можно записать так: А = {2, 4, 6}, подразумевая при этом, что если выпадет число 2 или 4, или 6, то наступит событие А.

Дополнение (противоположное к А) – это событие ØА (читается «не А»), состоящее в ненаступлении события А.

Пусть в урне 12 шаров, среди которых одна половина белых, а другая – чёрных. Тогда, если А – «вынуть белый шар», то ØА – «вынуть не белый шар».

События А1, А2, … Аn называются несовместными, если в результате одного опыта никакие два из них не могут произойти одновременно. Это означает, что среди событий А1, А2, … Аn нельзя найти такую пару событий Аi и Аj, в которой обнаружилось бы хотя бы по одному общему элементарному событию.

Например, при однократном бросании игральной кости выпадение чётного и нечётного числа – несовместные события. Несовместными являются также промах и попадание при одном выстреле по мишени.

События  А1, А2, … Аn называются равновозможными, если нет оснований считать, что одно событие встречается чаще, чем другое. Например, выпадение орла или решки при бросании монеты.

События А и В называются независимыми, если появление одного из них не изменяет шансы появления другого. Например, одновременно бросаются две игральные кости. Появление на одной из них трёх очков никоим образом не зависит от того, какое количество очков появилось на верхней грани другой кости.

Если появление одного события влияет на появление другого, то такие события называются зависимыми.

Рассмотрим пример. В урне два красных и два чёрных шара. Вынимается один шар, записывается его цвет, и шар откладывается в сторону. Затем вынимается второй шар. Событие А – первый вынутый шар красный. Событие В – второй вынутый шар тоже красный. Очевидно, что эти события зависимы: если первым вынули красный шар, то шанс вынуть красный шар и во втором опыте будет меньше, чем если бы первым был вынут чёрный шар.

2. Правила действий над событиями.

Объединением (суммой) событий А1, А2, … Аn называется событие А, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий:

А = А1

А2 … Аn = А1 + А2 + … + Аn.

Пример. В урне 6 шаров, которые отличаются только номером (1, 2, 3 и т.д.). Пусть событие Ai – «наугад выбрать шар под номером i». Тогда событие А = А1 + А3 + А5 состоит в том, что будет выбран шар с номером 1 или 3, или 5, т.е. с нечётным номером.

Пересечением (произведением) событий А1, А2, … Аn называется событие В, состоящее в обязательном наступлении всех этих событий:

В = А1

А2 … Аn = А1 × А2 ´ … ´ Аn.

Пример. В урне 12 шаров, среди которых одна половина белых с номерами от 1 до 6, а другая – чёрных с такими же номерами. Пусть событие А – «вынуть белый шар», событие В – «вынуть шар с нечётным номером». Тогда событие С = А × В означает «вынуть белый шар и с нечётным номером».

Разностью событий А и В (А – В) называется событие D, заключающееся в наступлении события А при одновременном ненаступлении события В:

D = A – B.

Для предыдущего примера разность D = A – B означает «вынуть белый шар с чётным номером».

3. Аксиомы теории вероятностей.

Числовая функция Р(А) называется вероятностью события А, если она удовлетворяет следующим аксиомам.

1. Вероятность Р(А) есть неотрицательное число, заключённое между нулём и единицей: 0 £ Р(А) £ 1.

2. Вероятность достоверного события равна единице.

3. Вероятность невозможного события равна нулю.

4. Классическое определение вероятности.

Рассмотрим полную группу из n несовместных равновозможных событий.

Примерами таких групп являются число очков при бросании игральных костей, число попаданий в мишень при выстрелах, проводимых в одинаковых условиях, появление шара с заданным номером при наличии в урне нескольких неразличимых на ощупь шаров.

Пусть среди всех n возможных исходов опыта, только m исходов, образующих m-подмножество в полной группе, влекут за собой наступление события А. Случаи, входящие в m-подмножество будем называть благоприятными.

Например, в урне два белых, три чёрных и пять красных одинаковых на ощупь шаров. Будем считать благоприятным выбор белого шара; таких случаев два. Появление же чёрного или красного шара – случай неблагоприятный; таких случаев восемь.

Классическая вероятность события А вычисляется как отношение числа благоприятных событию А случаев к общему числу исходов опыта:

P(A) =

,  где m – число элементарных исходов, благоприятных событию А,

       n – общее число всех элементарных равновозможных исходов опыта,

          0 £ m £ n.

 

Алгоритм применения классической формулы для вычисления вероятностей при решении задач следующий:

1. удостоверяются в том, что возможные исходы образуют полную группу несовместных равновозможных событий;
2. выбирается интересующее нас случайное событие А;
3. вычисляется число возможных исходов (n) и число благоприятных исходов (m);
4. вычисляется искомая вероятность P(A).

 

Задача 1. Игральная кость бросается один раз. Какова вероятность выпадения чётного числа очков?

Решение.

1. Пусть событие А – выпадение чётного числа очков. Таких исходов может быть три – числа 2, 4 или 6, т.е. m=3.
2. Общее количество возможных исходов n=6.
3. Получаем: P(A) .·

Задача 2. Монета бросается один раз. Какова вероятность выпадения герба?

Решение.

Рассуждая по аналогии с предыдущей задачей, имеем: m=1, n=2.

Искомая вероятность P(A) .·

Задача 3. Монета бросается два раза. Какова вероятность: 1) выпадения орла хотя бы один раз (событие А); 2) двукратного выпадения орла (событие В)?

Решение.

1. Равновозможными элементарными исходами здесь являются: ОО, ОР, РО, РР; число их n=4.
2. Событию А благоприятствуют исходы ОО, ОР, РО, число которых m=3. Следовательно:

P(A)

.

3. Событию В благоприятствует один исход ОО (m¢=1). Поэтому:

P(В)

.·

Задача 4. Опыт заключается в подбрасывании двух монет: медной и серебряной. Какова вероятность того, что хотя бы на одной монете выпадет орёл?

Решение.

1. Равновероятными элементарными исходами опыта являются следующие:

w1 – орёл выпал на обеих монетах,

w2 – орёл выпал только на медной монете,

w3 – орёл выпал только на серебряной монете,

w4 – орёл не выпал ни на одной монете,

т.е. n=4.

2. Благоприятствуют событию А (появлению орла хотя бы на одной монете) исходы w1, w2 и w3, т.е. m=3.
3. Получаем: P(A) .·

Задача 5. В ящике лежат 20 одинаковых на ощупь шаров. Из них 12 белых и 8 чёрных. Наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что он окажется белым? (Точный смысл выражения «наугад вынимается шар» будет выяснен в процессе решения.)

Решение.

1) В этой задаче рассматривается  следующий опыт: из ящика наугад  вынимают шар и смотрят его  цвет. Сразу напрашивается множество исходов, состоящее из двух событий: Ч = «вынутый шар чёрный» и Б = «вынутый шар белый». Но эти исходы неравновероятны, т.к. белых шаров больше и шансов вынуть белый шар больше.

2) Для выявления в этом опыте  множества равновероятных исходов внесём в опыт дополнительный элемент, не нарушающий вероятностной структуры задачи, а именно, перенумеруем все шары. Белым шарам поставим в соответствие номера с 1 по 12, а чёрным — номера с 13 по 20.

3) События Аk = «вынут шар с номером k» уже равновероятны, так как шары на ощупь неотличимы и вынимаются наугад. Кроме того, эти 20 событий образуют множество исходов нашего опыта. Следовательно, n = 20, а интересующему нас событию B = «вынутый шар белый» благоприятствуют первые 12 исходов, т. е. т = 12.

Получаем: P(В) .

4) Точный смысл выражения «наугад  вынимается шар» состоит в  том, что введенные события  Аk равновероятны. ·

 

При решении задач вычисления вероятностей часто оказываются полезными формулы комбинаторики.

 

Задача 6. Игральная кость бросается два раза. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков равна 6 (событие А)?

Решение.

1. Равновозможными элементарными исходами здесь являются пары (x, y), где x и y принимают значения 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Общее число элементарных исходов n=36 (см. применение правила произведения: задача 13, в разделе «Структуры на множестве. Элементы комбинаторики.»).
2. Событию А благоприятствуют пары (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1), число которых m=5.
3. Получаем: P(A) .·

Задача 7. Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Какова вероятность того, что номер набран правильно?

Решение.

1. Две последние цифры можно набрать числом способов, равным числу упорядоченных двухэлементных подмножеств у десятиэлементного множества (множества всех цифр). Это число способов равно А102 (см. раздел, посвящённый комбинаторике). Следовательно, всего существует n = А102 исходов.
2. Благоприятствует событию А (цифры набраны верно) только один исход (m=1).
3. Получаем: P(A) .·

Задача 8. Среди 100 электроламп 5 испорченных. Какова вероятность того, что выбранные наудачу 3 лампы окажутся исправными?

Решение.

1. Выбор трёх ламп из 100 – это число сочетаний из 100 по 3 (С3100), т.к. порядок выбора ламп не имеет значения. Лампы выбирают наудачу. Это означает, что все эти способы выбора (все исходы) равновероятны. Имеем число возможных исходов:

n = С3100

.

2. Число благоприятных исходов – это три лампы из 95 исправных, т.е. число сочетаний из 95 по 3:

m = С395

.

3. Искомая вероятность P(A) .·

Задача 9. Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово «книга». Неграмотный мальчик перемешал буквы и потом наугад их собрал. Какова вероятность того, что он опять собрал слово «книга»?

Решение.

1. Введём обозначение: событие А – собрано слово «книга».
2. В этом опыте элементарными событиями будут все возможные перестановки из пяти различных букв к, н, и, г, а. Число таких перестановок: Р5 = 5! = 120 = n.
3. Только в одном из этих случаев будет составлено слово «книга», т.е. m=1.
4. Получаем: Р(А) .·

Задача 10. На полке стоят 6 одинаковых банок: 3 с зелёной краской и 3 – с красной. Наугад берут три банки. Какова вероятность того, что эти банки содержат краску одного цвета?

Решение.

1. Составим вероятностную модель данного опыта. Будем считать, что банки занумерованы числами 1, 2, 3, 4, 5, 6, при этом первые три содержат зелёную краску, а последние три – красную. Тогда естественно считать, что элементарным исходом нашего опыта является тройка выбранных чисел, причём порядок чисел не важен.
2. Количество возможных исходов – это число сочетаний из 6 по 3, т.е. n = С63 = 20.
3. Благоприятных исходов два, а именно (1, 2, 3) и (4, 5, 6), т.е. m=2.
4. Искомая вероятность P(A) .·

Задача 11. На складе имеется 15 кинескопов, причём 10 из них изготовлены Омским заводом. Найти вероятность того, что среди пяти наудачу взятых кинескопов окажутся 3 кинескопа Омского завода.

Решение.

1. Элементарным исходом следует считать пятёрку выбранных кинескопов.
2. Общее число исходов n = С155 = 3003.
3. Подсчитаем число благоприятных исходов. При благоприятных исходах среди выбранных кинескопов должны быть: q1 – 3 кинескопа Омского завода и q2 – 2 кинескопа не омские. Т.е. благоприятные исходы m – это произведение q1×q2, т.к. именно произведение соответствует логическому и (см. раздел, посвящённый логическим операциям).
4. 3 кинескопа Омского завода из 10-ти можно выбрать С103 =120 способами.

2 кинескопа не омские выбираем  из 15 – 10 = 5: число сочетаний – С52 =10.

m = С103 × С52 = 120 × 10 = 1200.

5. Искомая вероятность P(A) .·

5. Статистическое определение вероятности.

Классическое определение вероятности события предполагает, что: 1) число элементарных исходов конечно; 2) все эти исходы равновозможны.

Однако на практике встречаются испытания с бесконечным числом различных возможных исходов. Кроме того, нет общих методов, позволяющих результат испытания, даже с конечным числом исходов, представить в виде суммы или объединения равновозможных элементарных исходов.

Поэтому применение классического определения вероятности весьма ограниченно.

Мы укажем сейчас другое определение вероятности, иногда более удобное для приложений.

Рассмотрим пример. Пусть в урне 10 одинаковых по размеру шаров, из них два белых, три чёрных и пять красных. Случайный опыт заключается в том, что вынимается наугад один шар. При этом шар может оказаться белым или чёрным, или красным. Будем в каждом опыте вытаскивать шар, фиксировать его цвет, опускать вынутый шар обратно в урну и тщательно перемешивать там шары. В результате каждого проведённого опыта можно вытащить шар любого из трёх возможных цветов: событие А1 – вынут белый шар, А2 – вынут чёрный шар, А3 – красный шар.

Если проводить такой опыт значительное число раз (n – велико), то окажется, что примерно в половине случаев вынули красный шар, в двадцати процентах случаев – белый, а в тридцати – чёрный. По мере увеличения числа проведённых опытов уверенность в соотношении шансов возможных событий, соответственно 5 : 2 : 3, будет подтверждаться со всё большей точностью.

Частота появления каждого из возможных событий, или относительная частота события:

p =

, где i= .

При числе испытаний n ® ¥ относительная частота события колеблется около некоторого постоянного числа p, называемого статистической вероятностью:

P(Ai) =

.

Задача 12. В результате ряда испытаний было обнаружено, что при 200 выстрелах стрелок попадает в цель в среднем 190 раз. Какова вероятность поражения цели стрелком? Сколько для него попаданий в цель можно ожидать при 1000 выстрелах?

Решение.

1) Используя статистическое определение  вероятности, имеем:

P =

= 0,95 = 95 %.

2) Число удачных выстрелов из 1000 выстрелов примерно составляет:

m = 1000 × 0,95 = 950.·

 

6. Теорема умножения вероятностей.

Вероятность события А при условии, что произошло событие В, называется условной вероятностью события А и обозначается:

Р(А/В) = РВ(А).

Вероятность каждого события А в данном испытании связана с наличием известного комплекса условий. При определении условной вероятности мы предполагаем, что в этот комплекс условий обязательно входит событие В. Таким образом, мы фактически имеем другой, более обременительный комплекс условий, соответствующий испытанию в новой обстановке. Вероятность РВ(А) появления события А при этих новых условиях называется его условной вероятностью, в отличие от вероятности Р(А), которая может быть названа безусловной вероятностью события А.

Задача 13. В урне находятся 7 белых и 3 чёрных шара. Какова вероятность: 1) извлечения из урны белого шара (событие А); 2) извлечения из урны белого шара после удаления из неё одного шара, который является белым (событие В); 3) извлечения из урны белого шара после удаления из неё одного шара, который является чёрным (событие С)?

Решение.

1. Р(А) = = 0,7 (см. классическую вероятность).
2. РВ(А) = = 0,(6).
3. РС(А) = = 0,(7).·

Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения (совмещения) двух событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, в предположении, что событие А имеет место:

Р(А×В) = Р(А)×РА(В) = Р(В)×РВ(А).

Теорему можно распространить на произведение n событий:

P(A1×A2´…´An) = P(A1)×P(A2/A1)×P(A3/A1×A2)´…´P(An/A1×A2´…´An-1).

 

Задача 14. Механизм собирается из трёх одинаковых деталей и считается неработоспособным, если все три детали вышли из строя. В сборочном цехе осталось 15 деталей, из которых 5 нестандартных (бракованных). Какова вероятность того, что собранный из взятых наугад оставшихся деталей механизм будет неработоспособным?

Решение.

1. Обозначим искомое событие через А, выбор первой нестандартной детали через А1, второй – через А2, третьей – через А3.
2. Событие А произойдёт, если произойдёт и событие А1, и событие А2, и событие А3, т.е.

А = А1× А2× А3,

т.к логическое «и» соответствует произведению (см. раздел «Алгебра высказываний. Логические операции»).

3. События А1,  А2,  А3 зависимы., поэтому P(A1×A2×A3) = P(A1)×P(A2/A1)×P(A3/A1×A2).
4. P(A1) = , P(A2/A1) = , P(A3/A1×A2) = . Тогда P(A1×A2×A3) = × × » 0,022.·

 

Для независимых событий: Р(А×В) = Р(А)×Р(В).

Исходя из вышеуказанного, критерий независимости двух событий А и В:

Р(А) = РВ(А) = РØВ(А),

Р(В) = РА(В) = РØА(В).

 

Задача 15. Вероятность поражения цели первым стрелком (событие А) равна 0,9, а вероятность поражения цели вторым стрелком (событие В) равна 0,8. Какова вероятность того, что цель будет поражена хотя бы одним стрелком?

Решение.

1. Пусть С – интересующее нас событие; противоположное событие ØС состоит в том, что оба стрелка промахнулись.
2. ØС = ØА × ØВ
3. Т.к. при стрельбе один стрелок не мешает другому, то события ØА и ØВ независимы.

Имеем: Р(ØС) = Р(ØА) × Р(ØВ) = [1 – Р(А)]×[1 – Р(В)] = (1 – 0,9) × (1 – 0,8) = 0,1 × 0,2 = 0,02.

4. Р(С) = 1 – Р(ØС ) = 1 – 0,02 = 0,98·

 

Несколько событий называются независимыми, если независимы любые два из них, и каждое событие, и все произведения остальных.

Вероятность произведения n независимых событий:

Р(А1× А2´…´Аn) = Р(А1) × Р(А2)´…´Р(Аn).

7. Теорема сложения вероятностей.

Теорема сложения вероятностей. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность произведения этих же событий:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(А×В).

Задача 16. Производится два независимых выстрела в одну и ту же мишень. Вероятность попадания при первом выстреле 0,6, а при втором – 0,8. Найти вероятность попадания в мишень при двух выстрелах.

Решение.

1) Обозначим попадание при первом  выстреле как событие А1, при втором – как событие А2.

    Попадание в мишень предполагает хотя бы одно попадание: или только при первом выстреле, или только при втором, или и при первом, и при втором. Следовательно, в задаче требуется определить вероятность суммы двух совместных событий А1 и А2: Р(А1 + А2) = Р(А1) + Р(А2) – Р(А1× А2).

2) Т.к. события независимы, то Р(А1× А2) = Р(А1) × Р(А2).

3) Получаем: Р(А1 + А2) = 0,6 + 0,8 – 0,6×0,8 = 0,92.·

 

Если события несовместны, то Р(А×В) = 0 и Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

 

Задача 17. В урне находятся 2 белых, 3 красных и 5 синих одинаковых по размеру шаров. Какова вероятность, что шар, случайным образом извлечённый из урны, будет цветным (не белым)?

Решение.

1. Пусть событие А – извлечение красного шара из урны, событие В – извлечение синего шара. Тогда событие (А + В) есть извлечение цветного шара из урны.
2. Р(А) = 3/10, Р(В) = 5/10.
3. События А и В несовместны, т.к. извлекается только один шар. Тогда: Р(А + В) = Р(А) + Р(В) = = 0,3 + 0,5 = 0,8.·

8. Формула полной вероятности.

Пусть событие А может произойти в результате проявления одного и только одного события Hi (i = 1, 2, …n) из некоторой полной группы несовместных событий Н1, Н2, …Нn. События этой группы обычно называют гипотезами.

Формула полной вероятности. Вероятность события А равна сумме парных произведений вероятностей всех гипотез, образующих полную группу, на соответствующие условные вероятности данного события А:

P(A) =

, где .

Задача 18. Имеется три одинаковых урны. В первой – два белых и один чёрный шар, во второй – три белых и один чёрный шар, в третьей урне – два белых и два чёрных шара. Из выбранной наугад урны выбирается один шар. Какова вероятность того, что он окажется белым?

Решение.

1) Гипотезой Hi будем считать выбор i-ой урны.

Все урны считаются одинаковыми, следовательно, вероятность выбрать i-ю урну есть

Р(Нi) = 1/3, где i = 1, 2, 3.

2. Вероятность вынуть белый шар из первой урны: .

Вероятность вынуть белый шар из второй урны: .

Вероятность вынуть белый шар из третьей урны: .

3. Искомая вероятность: Р(А) .·

Задача 19. В магазин для продажи поступает продукция трёх фабрик, относительные доли которых: I – 50 %, II – 30 %, III – 20 %. Для продукции фабрик брак соответственно составляет: I – 2 %, II – 3 %, III – 5 %. Какова вероятность того, что изделие этой продукции, случайно приобретённое в магазине, окажется доброкачественным (событие А)?

Решение.

1. Здесь возможны следующие три гипотезы: Н1, Н2, Н3 – приобретённая вещь выработана соответственно на I, II, III фабриках; система этих гипотез полная.

Вероятности: Р(Н1) = 0,5; Р(Н2) = 0,3; Р(Н3) = 0,2.

2. Соответствующие условные вероятности события А равны:

; ; .

3. По формуле полной вероятности имеем: .·

 

9. Формула апостериорной вероятности (формула Бейеса).

Рассмотрим ситуацию.

Имеется полная группа несовместных гипотез Н1, Н2, …Нn, вероятности которых Р(Нi) (i = 1, 2, …n) известны до опыта (вероятности априори). Производится опыт (испытание), в результате которого зарегистрировано появление события А, причём известно, что этому событию наши гипотезы приписывали определённые вероятности (i = 1, 2, …n). Каковы будут вероятности этих гипотез после опыта (вероятности апостериори)?

Ответ на подобный вопрос даёт формула апостериорной вероятности (формула Бейеса):

,  где i = 1, 2, …n.

Задача 20. Вероятность поражения самолёта при одиночном выстреле для 1-го ракетного расчёта (событие А) равна 0,2, а для 2-го (событие В) – 0,1. Каждое из орудий производит по одному выстрелу, причём зарегистрировано одно попадание в самолёт (событие С). Какова вероятность, что удачный выстрел принадлежит первому расчёту?

Решение.

1. До опыта возможны четыре гипотезы:

Н1 = А × В – самолёт поражён 1-м расчётом и самолёт поражён 2-м расчётом (произведение соответствует логическому «и»),

Н2 = А × ØВ – самолёт поражён 1-м расчётом и самолёт не поражён 2-м расчётом,

Н3 = ØА × В – самолёт не поражён 1-м расчётом и самолёт поражён 2-м расчётом,

Н4 = ØА × ØВ – самолёт не поражён 1-м расчётом и самолёт не поражён 2-м расчётом.

Эти гипотезы образуют полную группу событий.

2. Соответствующие вероятности (при независимом действии расчётов):

Р(Н1) = 0,2×0,1 = 0,02;       Р(Н2) = 0,2×(1 – 0,1) = 0,18;       Р(Н3) = (1 – 0,2)×0,1 = 0,08;       Р(Н4) = (1 – 0,2)× (1 – 0,1) = 0,72.

3. Т.к. гипотезы образуют полную группу событий, то должно выполняться равенство

.

Проверяем: Р(Н1) + Р(Н2) + Р(Н3) + Р(Н4) = 0,02 + 0,18 + 0,08 + 0,72 = 1, таким образом, рассматриваемая группа гипотез верна.

4. Условные вероятности для наблюдаемого события С при данных гипотезах будут:

, т.к. по условию задачи зарегистрировано  одно попадание, а гипотеза Н1 предполагает два попадания;

; ;

, т.к. по условию задачи зарегистрировано  одно попадание, а гипотеза Н4 предполагает отсутствие попаданий.

Следовательно, гипотезы Н1 и Н4 отпадают.