Энтропия тепловая диаграмма

Содержание

Введение……………………………………………………………………...3

1.      Понятие энтропии………………………………………………………...4

2. Изменение энтропии………………………………………………………5

2.1. Изменение энтропии в обратимых циклах…………………………….5

2.2.  Изменение энтропии в незамкнутом обратимом процессе………….9

2.3. Изменение энтропии в необратимых процессах……………………..11

2.4. Изменение энтропии изолированной системы………………………15

3. Тепловая диаграмма……………………………………………………..16

Заключение………………………………………………………………….22

Список литературы………………………………………………………....23

Введение

Процессы  взаимного  превращения  тепловой  и  механической энергии неразрывно связаны с процессами передачи этих видов энергии от одних тел к другим. Совокупность  тел, участвующих в таких процессах и находящихся в тепловом и механическом взаимодействии друг с другом и окружающими систему внешними телами, называется термодинамической системой.

Выбор системы произволен и диктуется условиями рассматриваемой задачи. Тела, не входящие в систему, называют окружающей средой.  Систему  отделяют  от  окружающей  среды  контрольной  поверхностью  (оболочкой).  Механическое и тепловое взаимодействие термодинамической системы осуществляется через контрольные поверхности. При механическом взаимодействии  самой  системой или над системой совершается работа. Тепловое  взаимодействие  заключается  в  переходе  тепловой  энергии между  отдельными  телами  (частями)  системы  (между  отдельными частями  тела)  и между  системой  и  окружающей  средой.

Термодинамическими  системами  являются  рабочие  тела,  при помощи которых происходят взаимные превращения тепловой и механической энергии. Рабочие тела представляют собой газы или пары жидкостей. Хотя те и другие находятся в одинаковом агрегатном состоянии  (газообразном),  свойства  их  существенно  различаются,  поскольку газы очень далеки от начала конденсации, а пары легко превращаются в жидкость. [6, с. 4-5]

Одной из функций состояния термодинамической системы является энтропия.

Цель данной работы – изучение энтропии.

Для этой цели были поставлены следующие задачи: дать понятие энтропии, рассмотреть изменение энтропии в различных процессах, изучить изображение термодинамических процессов в тепловой системе координат.

1. Понятие энтропии

Понятие энтропии было впервые введено в 1865 году Рудольфом Клаузиусом. Он определил изменение энтропии термодинамической системы при обратимом процессе как отношение общего количества тепла ΔQ к величине абсолютной температуры T (т.е. тепло, переданное системе, при постоянной температуре):

                                                                                                  (1.1)

Например, при температуре 0 °C, вода может находиться в жидком состоянии и при незначительном внешнем воздействии начинает быстро превращаться в лед, выделяя при этом некоторое количество теплоты. При этом температура вещества так и остается 0 °C. Изменяется состояние вещества, сопровождающееся изменением тепла, вследствие изменения структуры.

Рудольф Клаузиус дал величине S имя «энтропия», происходящее от греческого слова τρoπή, «изменение» (превращение, преобразование). Данное равенство относится к изменению энтропии, не определяя полностью саму энтропию.

Эта формула применима только для изотермического процесса (происходящего при постоянной температуре). Её обобщение на случай произвольного квазистатического процесса выглядит так:

,                                                                                                    (1.2)

где dS — приращение (дифференциал) энтропии некоторой системы, а δQ — бесконечно малое количество теплоты, полученное этой системой.

Необходимо обратить внимание на то, что рассматриваемое термодинамическое определение применимо только к квазистатическим процессам, состоящим из непрерывно следующих друг за другом состояний равновесия.

Поскольку энтропия является функцией состояния, в левой части равенства стоит её полный дифференциал. Напротив, количество теплоты является функцией процесса, в котором эта теплота была передана, поэтому δQ считать полным дифференциалом нельзя.

Таким образом, энтропия определена вплоть до произвольной аддитивной постоянной. Третье начало термодинамики позволяет определить её точнее: предел величины энтропии равновесной системы при стремлении температуры к абсолютному нулю полагают равным нулю.

Значение энтропии для заданного со­стояния определяется:

                                                                                                (1.3)                

где — константа интегрирования.

При температурах, близких к абсолютному нулю, все известные вещества находятся в конденсированном состоя­нии. В. Нернст (1906 г.) экспериментально установил, а М. Планк (1912 г.) окончательно сформулировал следующий принцип: при температуре, стремящейся к абсолютному нулю, энтропия вещества, находящегося в конденсированном состоянии с упорядоченной кристаллической структурой, стремится к нулю, т. е. s0 = 0 при Т = 0 К. Этот закон называют третьим законом термодинамики или тепловой теоремой Нернста. Он позволяет рассчитать абсолютное значение энтропии в отличие от внутренней энергии и энтальпии, которые всегда отсчитываются от произвольного уровня. [4, с.19]

Однако в технической термодинамике обычно используется не абсолютное значение энтропии, а ее изменение в каком-либо процессе:

                                                                                 (1.4).

2. Изменение энтропии

2.1. Изменение энтропии в обратимых циклах

Представление о математическом выражении для энтропии можно получить на примере цикла Карно. В общем случае для любого обратимого цикла Карно с любым рабочим телом справедливо следующее соотношение:

                         (2.1)

При условии, что подводимое тепло положительное (+q1), а отводимое - отрицательное (-q2). Тогда с учетом собственного знака у q2 получается:

                                                                                         (2.2)

или

                                                                                                 (2.3)

Отношение называется приведенной теплотой. Итак, алгебраическая сумма приведенных теплот в цикле Карно равна нулю. Подобное выражение будет справедливым и для любого обратимого цикла.

Возьмем  любой  произвольный  обратимый  цикл  и  изобразим  его в  pυ- координатах (рис. 2.1). Точки 1 и 2 являются крайними  точками,  в  них подвод  тепла  меняется  на  отвод  тепла  от рабочего тела.

              (рис. 2.1)                                      (рис. 2.2)

Рассечем рассматриваемый цикл бесконечно близкими адиабатами на ряд элементарных циклов. Рассмотрим  один из  элементарных циклов (рис. 2.2). С точностью до бесконечно малых величин заменим участок цикла a-b изотермическим расширением (T1/ =const), а участок c-d изотермическим сжатием (T2/ =const), т.е. с точностью до бесконечно малых величин заменим взятый элементарный цикл элементарным циклом Карно.

Для полученного элементарного цикла Карно согласно (2.2) будет справедливо уравнение

                                                                          (2.4)

Совершенно  аналогично  для  второго  элементарного  цикла  можем написать

                                                                                       (2.5)

и т. д.

Для z-го элементарного цикла будем иметь

                                                                             (2.6)

Для суммы этих элементарных циклов, образующих зубчатый контур из z элементарных циклов, получим следующее уравнение:

                                                             (2.7)

В случае если z→∞, зубчатый контур сольется с контуром взятого произвольного цикла, и вышеизложенное уравнение примет вид

                                                                                 (2.8)                                                                       

Полученное выражение справедливо для любого обратимого цикла.

Следует обратить внимание на то, что во всех полученных выше соотношениях значения Т - температура источника и холодильника. Однако для всех обратимых процессов, у которых между рабочим телом и источником тепла существует бесконечно малая разность температур, эти значения температуры определяют и температуру рабочего тела в соответствующие моменты цикла. [6, с.30]

Итак, в целом для всего цикла (для всего контура) может быть получено следующее выражение: 

                                                                                          (2.9)                                                              

В любом обратимом цикле изменение энтропии равно нулю. 

Уравнение  можно трактовать и значительно шире. Это уравнение характеризует изменение данной функции s не только у рабочего  тела, но и одновременно у источника тепла и холодильника. 

Представим выражение (2.9) в виде суммы двух интегралов:

                                                                     (2.10)

Первый интеграл представляет собой изменение энтропии источника, так как содержит тепловые характеристики источника (отданное  тепло  q1  и

температуру Т1):

                                                                                  (2.11)

Эта функция для прямого цикла - убывающая. 

Второй интеграл представляет собой изменение энтропии холодильника, т.к. содержит тепловые характеристики холодильника (полученное тепло q2 и температуру Т2):

                                                                                  (2.12)                                     

Эта функция - возрастающая для прямого цикла.

Изменение энтропии рабочего тела в цикле равно нулю ΔsTPT=0, т.к. энтропия - функция состояния, а ТРТ в цикле возвращается в исходное состояние.

Таким образом, на основании всего вышеизложенного можно утверждать, что для обратимого цикла не только изменение энтропии рабочего тела равно нулю, но также имеется полная компенсация изменений энтропии у всех частей системы, принимавших участие в процессе, т.е. у источника тепла и холодильника. [2, с.54]

                                                                                  (2.13)

Энтропия обладает свойствами аддитивности, т.е. изменение энтропии всей системы равна сумме изменений энтропии отдельных ее частей (источника, холодильника, ТРТ).

                                                           (2.14)

2.2.  Изменение энтропии в незамкнутом обратимом процессе

Пусть точка 1определяет начальное состояние системы с начальным значением энтропии S1, а точка 2 - конечное состояние системы с конечным значением энтропии S2. Между этими состояниями протекают незамкнутые обратимые процессы (рис. 2.3).

              (рис. 2.3)

Изменение энтропии в процессе a будет равно

                                                                                          (2.15)

Изменение энтропии в процессе b будет

                                                                                             (2.16)

Для всего цикла 1-a-2-b изменение энтропии равно нулю. Согласно (2.9)

или

или, меняя пределы, получаем

                                       (2.17)

Обобщая полученный результат, можно утверждать, что в любом незамкнутом обратимом термодинамическом процессе

                                                                  (2.18)

Для элементарного обратимого термодинамического процесса

                                                                                             (2.19)

Для элементарного обратимого процесса температура одновременно является оценкой как теплового состояния рабочего тела, так и источника тепла;  +dq -элементарное тепло, воспринимаемое рабочим телом;  -dq - элементарное тепло, отдаваемое источником рабочему телу.

Относя в рассматриваемом примере dq и Т к рабочему телу, будем иметь выражение 

                                                                        (2.20)

представляющее собой увеличение энтропии ТРТ. 

Понимая dq и Т, отнесенными к источнику тепла, получаем интеграл

                                                                (2.21)

представляющий собой уменьшение энтропии источника.

Итак, при протекании незамкнутых обратимых процессов изменение энтропии  теплового источника равно изменению энтропии рабочего тела, но противоположно по знаку. [6, с.31]

Изменение энтропии всей системы в данном случае будет равно

                                                                     (2.22)

2.3. Изменение энтропии в необратимых процессах

Рассмотрим случай, когда в системе совершаются необратимые процессы. Пусть термодинамическая система перешла из состояния 1 в состояние 2 реальным необратимым процессом (рис. 2.4).

          (рис. 2.4)

При этом оба состояния пусть будут равновесными. Так как состояния равновесные, то им отвечают соответствующие значения энтропии  s1  и  s2. Следовательно, при этом переходе произошло изменение энтропии (s2 − s1).

Однако при необратимом изменении системы от состояния 1 до состояния 2 величина (s2 − s1) уже не может быть определена интегралом 

т.к. при этом имеют место различные реальные потери тепла на трение, излучение, завихрение и т.п., которые этим интегралом не охватываются.

Следовательно, для необратимых процессов понятие энтропии теряет значение термодинамического параметра.  [1, с.80]

Изменение энтропии в необратимом процессе можно определить, если воспользоваться условием, что энтропия системы есть функция состояния и ее изменение не зависит от процесса, по которому система переходила из начального состояния в конечное. Для этого необходимо отыскать такой обратимый процесс, который приводил бы систему из взятого начального состояния 1 в полученное конечное состояние 2, т.е. перевел бы систему в то же состояние, которое получилось при необратимом процессе.

Для этого обратимого процесса уже можно определить интеграл

                                                                                             (2.23)

который и будет собой представлять то изменение энтропии

которое получалось при совершении необратимого процесса в системе, т.е.

                                                                     (2.24)

Однако вместе с тем интересно и важно установить соотношение между изменением энтропии термодинамической системы

для случая необратимых процессов. При одинаковой затрате теплоты и при фиксированных температурах Т1 и Т2 источника и холодильника двигатель, работающий по необратимому циклу Карно, отдает меньше работы, чем двигатель, работающий по обратимому циклу Карно. Следовательно,

Это неравенство запишется:

                                            (2.25)

тогда

                                                                                                  (2.26)

Следует отметить, что во всех выражениях для необратимых циклов температуры Т1 и Т2 относятся к источникам теплоты, а не к рабочему телу вследствие конечной разности температур между ними

                                                                                             (2.27)

Учитывая собственный знак q2, получаем

                                                                                             (2.28)

Для необратимого цикла Карно

                                                                                               (2.29)

Для всякого произвольного необратимого цикла, который можно представить в виде суммы большого числа элементарных необратимых циклов Карно, для каждого из которых будет справедливо соотношение (2.28), очевидно неравенство

                                                                                             (2.30)

или в интегральной форме

                                                                                          (2.31)

Здесь интеграл

                                                                                          (2.32)

представляет уменьшение энтропии источника теплоты; другой интеграл

                                                                                          (2.33)

представляет увеличение энтропии холодильника, т.е. согласно (2.28)

                                                                                       (2.34)

Таким образом, для всего необратимого цикла в целом получим

                                                                                             (2.35)

Обобщая (2.9) и (2.35), получаем

                                                                                            (2.36)

где знак = для обратимого цикла; знак < для необратимого цикла.

Это неравенство представляет математическую трактовку второго закона термодинамики для необратимых и обратимых циклов. Изменение энтропии всей системы в целом может быть представлено как совокупность изменений энтропии рабочего тела, источника и холодильника:

                                                              (2.37)

Для источника тепла, отдающего теплоту рабочему телу при температуре Т1, имеет место уменьшение энтропии:

                                       (2.38)

Для холодильника, получающего теплоту при температуре Т2, имеет место увеличение энтропии:

                                            (2.39)

причем

                                                                                  (2.40)

Для рабочего тела изменение энтропии в цикле равно нулю, т.е. ΔsТРТ=0, т.к. рабочее тело возвращается в свое первоначальное состояние.

Следовательно, если учитывать изменение энтропии каждой составляющей, изменение энтропии всей системы в целом при необратимых циклах  будет всегда положительно, т. е.

Итак, в результате свершения необратимого цикла энтропия всей системы возрастает.  [6, с.32]

Но так как для необратимого цикла

а изменение энтропии системы Δs>0, то, следовательно,

                                                                          (2.41)

или для элементарного необратимого процесса

                                                                                          (2.42)

т.е. в элементарном необратимом цикле отношение вида уже не имеет смысла дифференциала энтропии для обратимого цикла.

2.4. Изменение энтропии изолированной системы

Для изолированной системы внешний теплообмен, как и любой другой вид энергообмена, отсутствует и, следовательно, dq=0.

Если в изолированной системе происходят обратимые процессы, то согласно уравнению (2.19): 

                                                                                       (2.43)

Так как Т существенно положительная величина, не равная нулю (Т≠0), то единственно возможным результатом будет

                                                                           (2.44)

Если в изолированной системе происходят необратимые процессы, то согласно уравнению (2.42) Тds>dq, имеем 

                                                                                  (2.45)

Значит, если в изолированной системе имеет место увеличение энтропии, то, следовательно, в такой системе идут необратимые процессы, ведущие всю систему к наиболее вероятному состоянию, к состоянию равновесия.

Наступлению равновесия отвечает максимум энтропии такой изолированной системы:  s=smax. Условие равновесия изолированной системы - smax.

Энтропия является некоторой характеристической функцией. Ее изменение характеризует направление процессов, происходящих в изолированной системе. 

Если в изолированной системе происходят обратимые процессы, то энтропия системы остается постоянной, если же в этой системе имеют место необратимые процессы, то энтропия такой системы возрастает.  [4, с.19-20]

Следовательно, математическим выражением второго закона термодинамики для изолированных систем является уравнение

                                                                                                  (2.46)

где знак = для обратимых процессов; знак > для необратимых процессов.

3. Тепловая диаграмма

В термодинамике для анализа работы тепловых машин весьма широко используются энтропийные диаграммы. Наиболее распространена тепловая диаграмма T-S.

В 1872 г. Бельпером была предложена плоская система термодинамического анализа термодинамических процессов.

              T

              1

              T              2

              0                                           S

                            dS             

                 (рис. 3.1)

Величина количества теплоты элементарного процесса аb, будет эквивалентна элементарной площадке , т.е. произведению ТdS, т.к. dq = TdS – согласно аналитическому выражению второго начала термодинамики.

Общее количество теплоты подводимое (отводимое) в процессе 1-2, эквивалентно площади под линией данного процесса, поскольку

                                                                                            (3.1)

поэтому часто диаграмма Т-S называется «тепловой диаграммой».

На T-S диаграмме видно, в каком процессе теплота подводиться, а в каком отводится. Процесс 1-2 сопровождается подводом теплоты, поскольку энтропия в процессе 1-2 возрастает, а согласно аналитическому выражению второго начала термодинамики знаки изменения энтропии и теплоты совпадают , т.к. абсолютная температура имеет всегда положительное значение. [6, с.33]

Изображение процесса в тепловой системе координат определяется конкретным для данного термодинамического процесса значением функциональной зависимости Т = f(S). Вид процесса в координатах Т-S характеризуется величиной производной , которая согласно второму закону и определению истинной теплоемкости в любой точке процесса будет равна

                                                                                                        (3.2)

Эту зависимость примем за основу для исследования термодинамических процессов в тепловой системе координат.

Рассмотрим изохорный процесс в системе координат Т-S.

Угловой коэффициент для изохоры (V=const) принимаем следующий вид

T              n=k              n=

                            n=0             

              n=1              A                            n=1                                         

              n=0             

              n=

              n=k

              S             

                     (рис. 3.2)

т.е. с увеличением температуры возрастает.

Следовательно, изохора в T-S координатах кривая, обращенная своей выпуклостью вниз. Площадь под изохорой эквивалентна изменению внутренней энергии , которым сопровождается изохорный процесс. Изменение внутренней энергии за счет подвода или отвода теплоты. Рассмотрим семейство изохор. Расстояние по горизонтали (Т=idem) между изохромами различных объемов согласно формуле

                                                                           (3.3)