Этапы построения математической модели

ЭТАПЫ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

Итак, предположим, что есть объект исследования и определена цель построения модели этого объекта. Что же дальше? С чего начать построение модели?

Вероятно, первое, что нужно сделать, это проанализировать объект с точки зрения цели моделирования. На этом этапе выделяются все известные субъекту моделирования свойства объекта. Это нужно для того, чтобы среди многих свойств и признаков объекта выделить существенные с точки зрения целей моделирования, которые затем должны быть отражены в модели.

Для одного и того же объекта при разных целях моделирования существенными будут считаться разные свойства.

Предположим, вы решили сделать бумажный самолётик, чтобы можно было его запускать и наблюдать, как он летает. Наиболее важно для вас в этом случае то, чтобы самолётик летел подобно настоящему самолёту (пусть очень короткое время и на маленькой высоте). Для этого в модели вы должны отразить корпус с носовой и хвостовой частью и крылья. Именно эти элементы конструкции и их взаимное расположение будут существенными признаками, по которым бумажный самолётик подобен настоящему.

Для кассира по продаже авиабилетов моделью самолёта будет план салона, а существенными признаками – расположение рядов кресел, количество кресел в ряду, стоимость билета для каждого места, наличие свободных мест.

Для авиадиспетчера модель самолёта – это светящаяся точка на экране радара. Существенные признаки – скорость и высота полёта, направление и вид движения (взлёт, посадка, разворот и т. п.), взаиморасположение с другими самолётами, находящимися в контролируемом районе.

Для технолога цеха, где происходит сборка самолёта, моделью самолёта будут конструкторские чертежи, технологическая карта сборки, перечень деталей. Существенные признаки - наименование и количество деталей, порядок и способ их соединения, требования к квалификации специалистов, необходимое оборудование для обеспечения технологического процесса и прочее.

Для конструктора самолёта, строящего компьютерную модель, моделью самолёта будет изменение графического изображения и расчётных параметров на экране дисплея при изменении значения входных параметров-переменных. Существенные признаки – закономерности и характер зависимости поведения самолёта и его отдельных элементов от воздействующих на самолёт внешних условий, а также формулы, позволяющие отразить эти зависимости на экране дисплея.

Вы можете дальше продолжить ряд примеров, если рассмотрите самолёт с точки зрения людей разной специальности, обладающих разным опытом «общения» с ними. Но даже из описания приведённых ситуаций ясно, что первое, что необходимо сделать при построении модели после определения цели моделирования, - это выделить существенные с точки зрения цели моделирования признаки моделируемого объекта.

От того, насколько правильно и полно выделены существенные признаки, зависит соответствие построенной модели заданной цели, то есть её адекватность цели моделирования. А вот адекватность модели объекту моделирования будет зависеть от того, как эти выделенные существенные признаки мы сможем выразить, в какой форме мы их отобразим. Понятие адекватности – одно из ключевых понятий моделирования.

В случае сложных объектов удовлетворить всем требованиям в одной модели обычно невозможно. Приходится создавать целый спектр моделей одного и того же объекта, каждая из которых наиболее эффективно решает возложенные на нее задачи. Например, в конструкторской и технологической практике, как правило, применяется широкий спектр моделей - от простых расчетных формул на первоначальной стадии до весьма сложных моделей - на завершающей стадии разработки конструкции или техпроцесса

2.1. ОБСЛЕДОВАНИЕ ОБЪЕКТА  МОДЕЛИРОВАНИЯ 

Математические модели, особенно использующие численные методы, требуют для своего построения значительных интеллектуальных, финансовых и временных затрат. Поэтому решение о разработке новой модели принимается лишь в случае отсутствия иных, более простых путей решения возникших проблем (например, модификации одной из существующих моделей). Необходимость в новой модели может появиться в связи с проведением научных исследований, выполнением проектно-конструкторских работ, созданием систем автоматического управления.

Основной целью обследования объекта моделирования является подготовка содержательной постановки задачи моделирования, т.е. списка основных вопросов об объекте моделирования, интересующих заказчика.

На этом этапе важную роль играют специалисты – постановщики задач, которые  должны не только хорошо разбираться в предметной области моделирования, знать возможности современной вычислительной техники, но и быть достаточно коммуникабельными, способными «разговорить» практиков, хорошо знающих объект моделирования.

На основании анализа всей собранной информации постановщик задачи должен сформулировать такие требования к будущей модели, которые: с одной стороны, удовлетворяли бы заказчика, а с другой - позволяли бы реализовать модель в заданные сроки и в рамках выделенных материальных средств.

Этап обследования объекта моделирования включает следующие работы:

• выявление основных факторов, механизмов, влияющих на поведение объекта моделирования, определение параметров, позволяющих описывать моделируемый объект;
• сбор и проверка имеющихся экспериментальных данных об объектах-аналогах, проведение при необходимости дополнительных экспериментов;
• аналитический обзор литературных источников, анализ и сравнение между собой построенных ранее моделей данного объекта (или подобных рассматриваемому объекту);
• анализ и обобщение всего накопленного материала, разработка общего плана создания математической модели.

На основе собранной информации постановщик и заказчик формулируют содержательную или техническую постановку задачи моделирования, которая, как правило, не бывает окончательной и может уточняться в процессе разработки модели.

Весь собранный материал об объекте, содержательная постановка задачи, требования к реализации модели и представлению результатов, оформляются в виде технического задания на проектирование и разработку модели.

Ниже приведен пример содержательной постановки задачи о баскетболисте.

Пример. Содержательная постановка задачи о баскетболисте: Необходимо разработать математическую модель, позволяющую описать полет баскетбольного мяча, брошенного игроком в баскетбольную корзину.

Модель должна позволять:

• вычислять положение мяча в любой момент времени;
• определять точность попадания мяча в корзину после броска при различных начальных параметрах.

Исходные данные:

• масса и радиус мяча;
• начальные координаты, начальная скорость и угол броска мяча;
• координаты центра и радиус корзины.

2.2. КОНЦЕПТУАЛЬНАЯ ПОСТАНОВКА  ЗАДАЧИ МОДЕЛИРОВАНИЯ 

Содержательная модель является синтезом когнитивных моделей, каждого из членов рабочей группы. На основании содержательной модели разрабатывается концептуальная, или «естественнонаучная» постановка задачи моделирования.

Концептуальная постановка задачи моделирования - это сформулированный в терминах конкретных дисциплин (физики, химии, биологии и т.д.) перечень основных вопросов, интересующих заказчика, а также совокупность гипотез относительно свойств и поведения объекта моделирования.

Наибольшие трудности при формулировке концептуальной постановки приходится преодолевать в моделях, находящихся на «стыке» различных дисциплин. Различия традиций, понятий и языков, используемых для описания одних и тех же объектов, являются очень серьезными препятствиями, возникающими при создании «междисциплинарных» моделей.

Например, такие понятия как «прибыль» и «баланс» вызывают совершенно разные ассоциации у экономиста и математика. Можно сказать, что когнитивные модели, стоящие за этими понятиями, у этих двух специалистов совершенно различны. Если экономист, говоря о прибыли и балансе, связывает с этими понятиями конкретное производство, цену и себестоимость продукции, то для математика данные понятия выглядят более формально – как результаты решения некоторых математических уравнений. При этом практически невозможно научить математика мыслить как экономиста, а экономиста - как математика. И тот, и другой способ восприятия имеет свои достоинства и недостатки. Экономист никогда не сделает ошибок, которые может допустить математик, без должных знаний в предметной области. В то же время, используя формальные преобразования математических соотношений, математик может получить решения, недоступные экономисту.

Пример. Концептуальная постановка задачи о баскетболисте. Движение баскетбольного мяча может быть описано в соответствии с законами классической механики Ньютона.

Примем следующие гипотезы:

• объектом моделирования является баскетбольный мяч радиуса R;
• мяч будем считать материальной точкой массой m, положение которой совпадает с центром масс мяча;
• движение происходит в поле сил тяжести с постоянным ускорением свободного падения g и описывается уравнениями классической механики Ньютона;
• движение мяча происходит в одной плоскости, перпендикулярной поверхности Земли и проходящей через точку броска и центр корзины;
• пренебрегаем сопротивлением воздуха и возмущениями, вызванными собственным вращением мяча вокруг центра масс.

Рассмотрим особенности приведенной в примере концептуальной постановки задачи о баскетболисте. Первая из перечисленных гипотез особенно важна, так как она выделяет объект моделирования. В данном случае объект можно считать простым. Однако в качестве объекта моделирования можно рассматривать систему «игрок - мяч - кольцо». Требуемая для описания подобной системы модель будет уже намного сложнее, так как игрок в свою очередь представляет собой сложную биомеханическую систему и его моделирование является далеко не тривиальной задачей. В данной ситуации выбор в качестве объекта моделирования только мяча обоснован, поскольку именно его движение требуется исследовать, а влияние игрока можно учесть через начальные параметры броска. Для сложных систем выбор объекта моделирования - далеко не простая и неоднозначная задача.

Гипотеза о том, что мяч можно считать материальной точкой, широко применяется для исследования движений тел в механике. В рассматриваемом случае она оправдана в силу симметрии формы мяча и малости его радиуса по сравнению с характерными расстояниями перемещения мяча.

Гипотезу о применимости в данном случае законов классической механики можно обосновать огромным экспериментальным материалом, связанным с изучением движения тел вблизи поверхности Земли со скоростями много меньше скорости света. Предположение о постоянстве ускорения свободного падения также представляется обоснованным. А вот если бы моделировалось движение баллистической ракеты, то пришлось бы учитывать изменение ускорения свободного падения в зависимости от высоты и широты места.

Гипотеза о движении мяча в плоскости, перпендикулярной поверхности Земли, ограничивает класс рассматриваемых траекторий и значительно упрощает модель. Траектория мяча может не лежать в одной плоскости, если при броске он сильно подкручивается вокруг вертикальной оси. В этом случае поток воздуха, обтекающий мяч, становится не симметричным. Так как поток неразрывный, а элементарные струйки № 1,2 и 3 должны пройти бОльший путь, чем струйка №4, следовательно, и скорости этих струек должны быть выше. В соответствии с законом Бернулли, давление газа на поверхность меньше там, где скорость потока выше. Поэтому на мяч будет действовать дополнительная сила, направленная в сторону. Этот эффект будет проявляться тем больше, чем больше скорость центра масс мяча и скорость его вращения. Для баскетбола характерны относительно низкие скорости полета мяча (порядка 10 м/с). При этом довольно редко используется подкрутка мяча рукой. Поэтому гипотеза о движении мяча в одной плоскости кажется оправданной. Ее использование позволяет отказаться от построения значительно более сложной трехмерной модели движения мяча.

Гипотеза об отсутствии влияния сопротивления воздуха наименее обоснована. При движении тела в газе или жидкости сила сопротивления увеличивается с ростом скорости движения. Учитывая невысокие скорости движения мяча, его правильную обтекаемую форму и малые дальности бросков, указанная гипотеза может быть принята в качестве первого приближения.

Следует отметить, что концептуальная постановка задачи моделирования в отличие от содержательной постановки использует терминологию конкретной дисциплины (в рассматриваемом случае - механики). При этом моделируемый реальный объект (мяч) заменяется его механической моделью (материальной точкой). Фактически в приведенном примере концептуальная постановка свелась к постановке классической задачи механики о движении материальной точки в поле сил тяжести. Концептуальная постановка более абстрактна по отношению к содержательной, так как материальной точке можно сопоставить произвольный материальный объект, брошенный под углом к горизонту: футбольный мяч, ядро, камень или артиллерийский снаряд.

2.3. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА  ЗАДАЧИ МОДЕЛИРОВАНИЯ

Концептуальная постановка позволяет сформулировать математическую постановку задачи моделирования, т.е. совокупность математических соотношений, описывающих поведение и свойства объекта моделирования.

Как было отмечено ранее, совокупность математических соотношений определяет вид оператора модели. Наиболее простым будет оператор модели в случае, если он представлен системой алгебраических уравнений.

Следует отметить, что во многих областях знаний (механике, физике, биологии и т.д.) принято выделять законы, справедливые для всех объектов исследования данной области знаний, и соотношения, описывающие поведение отдельных объектов или их совокупностей. К числу первых в физике и механике относятся, например, уравнения баланса массы, количества движения, энергии и т.д., справедливые при определенных условиях для любых материальных тел, независимо от их конкретного строения, структуры, состояния, химического состава. Уравнения этого класса подтверждены огромным количеством экспериментов, хорошо изучены и в силу этого применяются в соответствующих математических моделях как данность. Соотношения второго класса в физике и механике называют уравнениями состояния. Они устанавливают особенности поведения материальных объектов или их совокупностей (например, жидкостей или газов) при воздействиях различных внешних факторов.

В качестве классических примеров определяющих соотношений можно привести закон Гука в теории упругости или уравнение Клапейрона для идеальных газов.

Соотношения этого класса гораздо менее изучены, а в ряде случаев их приходится устанавливать самому исследователю. Необходимо отметить, что определяющие соотношения - это основной элемент, «сердцевина» любой математической модели физико-механических процессов. Именно ошибки в выборе или установлении определяющих соотношений приводят к количественно неверным результатам моделирования.

Совокупность математических соотношений указанных двух классов определяет оператор модели. В большинстве случаев оператор модели включает в себя систему обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальных уравнений в частных производных и интегро-дифференциальных уравнений. Для обеспечения корректности постановки задачи к системе уравнений добавляются начальные или граничные условия, которые, в свою очередь, могут быть алгебраическими или дифференциальными соотношениями различного порядка.

Для контроля правильности полученной системы математических соотношений требуется проведение ряда обязательных проверок:

• Контроль размерностей, включающий правило, согласно которому приравниваться и складываться могут только величины одинаковой размерности.
• Контроль порядков, состоящий из грубой оценки сравнительных порядков складываемых величин и исключением малозначимых параметров.
• Контроль характера зависимостей заключается в проверке того, что направление и скорость изменения выходных параметров модели, вытекающие из математических соотношений, такие, как это следует непосредственно из «физического» смысла изучаемой модели.
• Контроль экстремальных ситуаций - проверка того, какой вид принимают математические соотношения, а также результаты моделирования, если параметры модели или их комбинации приближаются к предельно допустимым значениям, чаще всего к нулю или бесконечности. В подобных экстремальных ситуациях модель часто упрощается, математические соотношения приобретают более наглядный смысл, упрощается их проверка.
• Контроль граничных условий, включающий проверку того, что граничные условия действительно наложены, что они использованы в процессе построения искомого решения и что значения выходных параметров модели на самом деле удовлетворяют данным условиям.
• Контроль физического смысла - проверка физического или иного смысла исходных и промежуточных соотношений.
• Контроль математической замкнутости, состоящий в проверке того, что выписанная система математических соотношений дает возможность, притом однозначно, решить поставленную математическую задачу. Например, если задача свелась к отысканию n неизвестных из некоторой системы алгебраических уравнений, то контроль замкнутости состоит в проверке того, что число независимых уравнений должно быть n. Если их меньше n, то надо установить недостающие уравнения, а если их больше n, то либо уравнения зависимы, либо при их составлении допущена ошибка. Однако если уравнения получаются из эксперимента или в результате наблюдений, то возможна постановка задачи, при которой число уравнений превышает n, но сами уравнения удовлетворяются лишь приближенно, а решение ищется, например, по методу наименьших квадратов

Понятие корректности задачи имеет большое значение в прикладной математике. Например, численные методы решения оправдано применять лишь к корректно поставленным задачам. Доказательство корректности конкретной математической задачи - достаточно сложная проблема.

Математическая модель является корректной, если для нее осуществлен и получен положительный результат всех контрольных проверок размерности, порядков, характера зависимостей, экстремальных ситуаций, граничных условий, физического смысла и математической замкнутости.

Пример. Математическая постановка задачи.

Требуется найти зависимости x(t), y(t) и Vx(t), Vy(t) из решения системы дифференциальных  уравнений:

,            

,      

при следующих начальных условиях:

x(0) = x0 ,                           y(0) = y0 ,

Vx(0) = V0 cos a ,      Vy(0) = V0 sin a

Как можно видеть, с математической точки зрения задача о баскетболисте свелась к задаче Коши для системы ОДУ первого порядка с заданными начальными условиями. Полученная система уравнений является замкнутой, т.к. число независимых уравнений (4) равно числу искомых параметров задачи (x, y, Vx, Vy). Выполним контроль размерности задачи:

уравнение динамики

связь скорости и перемещения

Существование и единственность решения задачи Коши доказана математиками. Поэтому данную математическую модель можно считать корректной.

2.4. ВЫБОР И ОБОСНОВАНИЕ ВЫБОРА МЕТОДА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

При использовании разработанных математических моделей, как правило, требуется найти зависимость некоторых неизвестных заранее параметров объекта моделирования (например, координат и скорости центра масс тела), удовлетворяющих определенной системе уравнений. Таким образом, поиск решения задачи сводится к отысканию некоторых зависимостей искомых величин от исходных параметров модели. Как было отмечено ранее, все методы решения задач, составляющих «ядро» математических моделей, можно подразделить на аналитические и алгоритмические.

Аналитические методы более удобны для последующего анализа результатов, но применимы лишь для относительно простых моделей. В случае, если математическая задача допускает аналитическое решение, оно, без сомнения, предпочтительнее численного.

Алгоритмические методы сводятся к некоторому алгоритму, реализующему вычислительный эксперимент с использованием ЭВМ. Точность моделирования в подобном эксперименте существенно зависит от выбранного метода и его параметров (например, шага интегрирования). Алгоритмические методы, как правило, более трудоемки в реализации, требуют обширной библиотеки специального программного обеспечения и мощной вычислительной техники.

Общим для всех численных методов является сведение математической задачи к конечномерной. Это чаще всего достигается дискретизацией исходной задачи, т.е. переходом от функции непрерывного аргумента к функциям дискретного аргумента. Например, траектория центра тяжести баскетбольного мяча определяется не как непрерывная функция времени, а как дискретная функция координат от времени. Полученное решение дискретной задачи принимается за приближенное решение исходной математической задачи.

Применение любого численного метода неминуемо приводит к погрешности результатов решения задачи. Выделяют три основных составляющих погрешности при численном решении исходной задачи:

• неустранимая погрешность, связанная с неточным заданием исходных данных (начальные и граничные условия, коэффициенты и правые части уравнений);
• погрешность метода, связанная с переходом к дискретному аналогу исходной задачи;
• ошибка округления, связанная с конечной разрядностью чисел, представляемых в ЭВМ.

Численный, или приближенный, метод реализуется всегда в виде вычислительного алгоритма. Прежде всего, алгоритм должен быть реализуем - обеспечивать решение задачи за допустимое машинное время. Важной характеристикой алгоритма является его погрешность. Для очень малых значений погрешности время вычислений может быть недопустимо большим. Поэтому на практике добиваются некоторого компромисса между точностью и затрачиваемым машинным временем.

Если погрешность в процессе вычислений неограниченно возрастает, то такой алгоритм называется неустойчивым, или расходящимся. В противном случае алгоритм называется устойчивым, или сходящимся.

2.5. РЕАЛИЗАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ  МОДЕЛИ В ВИДЕ ПРОГРАММЫ для  ЭВМ 

Процесс создания программного обеспечения можно разбить на ряд этапов:

• составление технического задания на разработку программного обеспечения;
• проектирование структуры программного комплекса;
• кодирование алгоритма;
• тестирование и отладка;
• сопровождение и эксплуатация.

Техническое задание на разработку программного обеспечения оформляют в виде спецификации. Примерная форма спецификации включает следующие семь разделов:

1. Название задачи - дается краткое  определение решаемой задачи, название программного комплекса, указывается система программирования для его реализации и требования к аппаратному обеспечению (компьютеру, внешним устройствам и т.д.).

2. Описание - подробно излагается  математическая постановка задачи, описываются применяемая математическая модель для задач вычислительного характера, метод обработки входных данных для задач не вычислительного (логического) характера и т.д.

3. Управление режимами работы программы - формируются основные требования к способу взаимодействия пользователя с программой – описывается интерфейс «пользователь-компьютер».

4. Входные данные - описываются  входные данные, указываются пределы, в которых они могут изменяться, значения, которые они не могут принимать, и т.д.

5. Выходные данные - описываются  выходные данные, указывается, в каком виде они должны быть представлены (в числовом, графическом или текстовом), приводятся сведения о точности и объеме выходных данных, способах их сохранения и т.д.

6. Обработка ошибок - перечисляются возможные ошибки пользователя при работе с программой (например, ошибки при вводе входных данных). Указываются способы диагностики (под диагностикой понимается, обнаружение ошибок при работе программного комплекса) и защиты от этих ошибок, а также возможная реакция пользователя при совершении им ошибочных действий и реакция программного комплекса (компьютера) на эти действия.

7. Тестовые задачи - приводятся один или несколько тестовых примеров, на которых в простейших случаях проводится отладка и тестирование программного комплекса.

Для  повышение надежности программного обеспечения и увеличение производительности труда программиста разработаны современные технологии программирования: объектно-ориентированная и визуальная, которые мы будем изучать на практических занятиях.

Изучим модель в системе AnyLogic с использованием тестового примера

AnyLogic является инструментом моделирования, основанным на новых, нетрадиционных для области имитационного моделирования принципах. Вместо того чтобы долго рассказывать об особенностях этого инструмента, мы сразу начнем с изучения простейшей модели.

2.6. ПРОВЕРКА АДЕКВАТНОСТИ  МОДЕЛИ 

Под адекватностью математической модели понимается степень соответствия результатов моделирования – экспериментальным данным или тестовой задаче.

Проверка адекватности модели преследует две цели:

1. убедиться в справедливости гипотез, принятых на этапах концептуальной и математической постановок.
2. установить, что точность полученных результатов соответствует точности, оговоренной в техническом задании.

Проверка разработанной математической модели выполняется путем сравнения с имеющимися экспериментальными данными о реальном объекте или с результатами других, созданных ранее и хорошо себя зарекомендовавших моделей. В первом случае говорят о проверке путем сравнения с экспериментом, во втором - о сравнении с результатами решения тестовой задачи.

Решение вопроса о точности моделирования зависит от требований, предъявляемых к модели, и ее назначения. В моделях, предназначенных для выполнения оценочных расчетов, удовлетворительной считается точность 10-15 %. В моделях, используемых в управляющих системах, требуемая точность может быть 1-2% и даже более.

Как правило, различают качественное и количественное совпадение результатов сравнения. При качественном сравнении требуется лишь совпадение некоторых характерных особенностей исследуемых параметров (например, наличие экстремальных точек, возрастание или убывание параметра). При количественном сравнении большое значение следует придавать точности исходных данных для моделирования и соответствующих им значений сравниваемых параметров.

Неадекватность результатов моделирования возможна, по крайней мере, по трем причинам:

1. значения задаваемых параметров модели не соответствуют допустимой области этих параметров, определяемой принятой системой гипотез
2. принятая система гипотез верна, но константы и параметры в использованных определяющих соотношениях установлены не точно.
3. не верна исходная совокупность гипотез.

Все три случая требуют дополнительного исследования как моделируемого объекта (с целью накопления новой дополнительной информации о его поведении), так и исследования самой модели (с целью уточнения границ ее применимости).

При возникновении проблем, связанных с адекватностью модели, ее корректировку требуется начинать с последовательного анализа всех возможных причин, приведших к расхождению результатов моделирования и результатов эксперимента. Проверка адекватности – чрезвычайно важный этап моделирования. Попытка проигнорировать его и быстрее перейти к решению «настоящей задачи» приводит к огромным временным издержкам. Особенно опасной является ситуация, в которой при решении реальной задачи с использованием не проверенной должным образом модели получаются правдоподобные результаты. Для других условий модель может дать качественно неверные результаты, но истоки ошибок разработчики будут искать уже не в модели .